Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 4. Основные определения. Операции над многочленами 41
Очевидно, что степень n1многочлена f1(x) строго меньше степени многочлена f (x). Обозначим старший коэффициент многочлена
f1(x) через a
, а если n1> m, то образуем еще многочлен
n
1
a
n
1
f2(x) = f1(x) −
n1−m
x
b
m
g(x). (2.15)
Если степень n2многочлена f2(x) еще не меньше m, а старший
коэффициент этого многочлена a
f3(x) = f2(x) −
, то снова образуем многочлен
n
2
a
n
2
n2−m
x
b
m
g(x), (2.16)
и т. д.
Очевидно, что степени многочленов f (x), f1(x), f2(x), f3(x), .. .
убывают: n > n1> n2> n3> ... , поэтому после конечного числа шагов
получим многочлен
a
n
k−1
n
−m
fk(x) = f
k−1
(x) −
b
m
k−1
x
g(x), (2.17)
степень nkкоторого уже будет строго меньше m. На этом процесс
построения многочленов fi(x) остановим. Складывая полученные равенства, приводя подобные и группируя слагаемые, получим
f(x) −
a
n
n−m
x
b
m
+
a
n
1
n1−m
x
b
m
+ ···+
a
n
k−1
n
k−1
x
b
m
−m
g(x) = fk(x).
Для завершения доказательства первой части теоремы остается лишь
в соответствии с (2.13) обозначить
a
n
k−1
n
−m
k−1
x
b
m
,
q(x) =
a
n
n−m
x
b
m
+
a
n
1
n1−m
x
b
m
+ ···+
r(x) = fk(x).
Докажем вторую часть теоремы. Пусть существуют еще многочлены q1(x) и r1(x), такие, что выполняется равенство
f(x) = g(x)q1(x) + r1(x), (2.18)
причем степень многочлена r1(x) строго меньше степени многочлена
g(x). Тогда из равенств (2.13) и (2.18) получим
g(x)[q(x) −q1(x)] = r1(x) − r(x).
42 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Степень многочлена, стоящего в правой части последнего равенства, строго меньше степени многочлена g(x); если же многочлен q(x) − q1(x) отличен от нуля, то степень многочлена в левой
части этого равенства не меньше степени многочлена g(x). Значит,
q(x) −q1(x) = 0 и q(x) = q1(x). Тогда r1(x) = r(x). Теорема доказана.
Определение 5. Многочлены q(x) и r(x) в формуле (2.13) назы-
вают соответственно частным и остатком от деления многочлена f (x)
на многочлен g(x).
Доказательство теоремы 2.1 конструктивно и дает метод нахождения частного и остатка при делении многочлена на многочлен. Это
же доказательство показывает, что если многочлены f(x) и g(x) с
действительными коэффициентами, то и частное q(x) и остаток
r(x) также будут иметь действительные коэффициенты.
Пример. Найти частное и остаток от деления многочлена f(x) =
= 3x3+ 10x2+ 2x −3 на многочлен g(x) = x2+ 5x + 6.
Решение. Если f(x) = g(x)q(x) + r(x), то частное от деления —
это многочлен q(x), а остаток — r(x). Деление выполним «уголком»
3x3+ 10x2+2x − 3 x2+ 5x + 6
3x3+ 15x2+ 18x 3x − 5
− 5x2− 16x − 3
− 5x2− 25x − 30
9x + 27.
Таким образом, q(x) = 3x − 5, r(x) = 9x + 27.
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида
Определение 6. Если в формуле (2.13) остаток r(x) равен нулю,
то будем говорить, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), или
g(x) делит f(x). При этом многочлен g(x) называют делителем f(x).
Тем самым деление определено только для ненулевых многочленов. Нулевой многочлен можно делить на любой ненулевой многочлен,
при этом частное от деления всегда будет нулевым многочленом.
Следующее утверждение не только будет полезным в дальнейшем, но и делает понятие делителя многочлена более ясным.
Лемма 2.1. Многочлен g(x) тогда и только тогда будет дели-
телем многочлена f(x), если существует многочлен h(x) такой, что
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида 43
выполняется равенство
f(x) = g(x)h(x). (2.19)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если g(x) делит f(x), то
существование h(x) вытекает из определения делителя. Пусть теперь
равенство (2.19) выполняется. По теореме 2.1 существуют такие многочлены q(x) и r(x), что f(x) = g(x)q(x) + r(x), причем q(x) и r(x)
определяются для данных многочленов f(x) и g(x) однозначно. Тогда
q(x) = h(x), r(x) = 0 и, по определению 6, g(x) делит f(x).
Очевидно, что оба многочлена g(x) и h(x), по определению,
являются делителями многочлена f (x).
Докажем несколько свойств делимости многочленов.
Свойство 1. Если многочлен f (x) делится на многочлен g(x), а
g(x) на h(x), то f (x) делится на h(x).
Действительно, по условию существуют такие многочлены q(x)
и d(x), что справедливы равенства f(x) = g(x)q(x) и g(x) = h(x)d(x).
Но тогда f(x) = h(x)[d(x)q(x)] и h(x) делит f(x).
Свойство 2. Если многочлены f(x) и g(x) делятся на многочлен
h(x), то h(x) делит сумму f (x) ±g(x).
В самом деле, по условию f(x) = h(x)q(x) и g(x) = h(x)d(x). Тогда f(x) ±g(x) = h(x)q(x) ± h(x)d(x) = h(x)[q(x) ± d(x)] и утверждение
доказано.
Свойство 3. Если многочлен f (x) делится на многочлен h(x), то
произведение f (x) на любой многочлен g(x) также делится на h(x).
Для доказательства достаточно умножить обе части равенства
f(x) = h(x)d(x) на g(x):
f(x)g(x) = h(x)[d(x)g(x)].
Следующее свойство является непосредственным следствием
свойств 2 и 3.
Свойство 4. Если каждый из многочленов f1(x), f2(x), .. . , fk(x)
делится на многочлен h(x), то для произвольных многочленов
g1(x), g2(x), .. . , gk(x) алгебраическая сумма f1(x)g1(x) ± f2(x)g2(x) ±
± ···± fk(x)gk(x) также делится на h(x).
Свойство 5. Любой многочлен делится на произвольный многочлен нулевой степени.
44 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
Пусть f (x) = anxn+ a
n−1
x
n−1
+ ··· + a1x + a0и b — произвольное
число, отличное от нуля, т. е. произвольный многочлен нулевой степени. Тогда можно записать равенство
f(x) = b(
a
n
b
xn+
a
n−1
b
x
n−1
+ ···+
a
1
b
x +
a
0
),
b
из которого получаем справедливость утверждения.
Свойство 6. Если многочлен f(x) делится на g(x), то f (x)
делится на cg(x), где c — произвольный многочлен нулевой степени.
Действительно, по условию f(x) = g(x)h(x), а тогда
f(x) = (cg(x))(c−1h(x)).
Свойство 7. Для любого многочлена f(x) многочлен g(x), такой
же степени, что и f (x), тогда и только тогда будет делителем f (x),
когда g(x) = cf(x), где c — отличное от нуля число.
В самом деле, если f(x) = g(x)h(x), то из условия равенства
степеней многочленов f(x) и g(x) ясно, что многочлен h(x) должен
иметь степень, равную нулю, т. е. h(x) = d для подходящего числа
d 6= 0. Тогда g(x) = cf(x), где c = d−1. Обратное утверждение получаем
из равенства f(x) = c−1(cf(x)).
Два других свойства легко вытекают из предыдущих.
Свойство 8. Многочлены f(x) и g(x) тогда и только тогда
делятся друг на друга, когда g(x) = cf (x), где c — отличное от нуля
число.
Свойство 9. При c 6= 0 любой делитель одного из многочленов
f(x), cf(x) является делителем и для другого многочлена.
Определение 7. Многочлен ϕ(x) называется общим делителем
многочленов f(x) и g(x), если он одновременно делит каждый из этих
многочленов.
По свойству 5 всякий многочлен нулевой степени, т. е. любое
комплексное число, кроме нуля, будет общим делителем любых двух
многочленов. Ниже подробно рассмотрим случай, когда общими делителями двух многочленов являются только многочлены нулевой
степени. В общем случае данные многочлены f(x) и g(x) могут иметь
общие делители, степень которых больше нуля. В любом случае имеет
место такое определение.
Определение 8. Многочлен ϕ(x) называется наибольшим общим
делителем многочленов f(x) и g(x), если он является общим делителем этих многочленов и делится на любой другой их общий делитель.
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида 45
Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) будем
обозначать символом (f(x), g(x)).
Рассмотрим метод отыскания наибольшего общего делителя двух
многочленов, который называется алгоритмом последовательного
деления, или алгоритмом Евклида. Изложим суть этого метода.
Пусть даны два многочлена — f (x) и g(x). Разделим f(x) на
g(x):
f(x) = g(x)q1(x) + r1(x). (2.20)
Теперь многочлен g(x) разделим на r1(x):
g(x) = r1(x)q2(x) + r2(x). (2.21)
Затем r1(x) разделим на r2(x):
r1(x) = r2(x)q3(x) + r3(x), (2.22)
и т. д. Так как степень остатка всегда строго меньше степени делителя,
то для остатков в этом алгоритме будут выполняться следующие
неравенства:
ст.g(x) > ст.r1(x) > ст.r2(x) > ст.r3(x) > ... (2.23)
Таким образом, в предложенной цепочке последовательных делений после конечного числа шагов наступит такой момент, когда
получится нулевой остаток и поэтому процесс остановится. Запишем
последние три шага этого алгоритма:
r
k−3
r
k−2
(x) = r
(x) = r
r
k−1
(x)q
k−2
k−1
k−1
(x)qk(x) + rk(x), (2.25)
(x) = rk(x)q
(x) + r
(x). (2.26)
k+1
(x), (2.24)
k−1
Докажем, что многочлен rk(x) будет наибольшим общим делителем многочленов f (x) и g(x). Действительно, из (2.26) получаем,
что rk(x) делит r
тогда, используя (2.24), получим, что rk(x) делит r
(x). Из (2.25) ясно, что rk(x) делит r
k−1
(x). Поднимаясь
k−3
k−2
(x), а
последовательно по этой цепочке, мы получим сначала из (2.21), что
rk(x) делит g(x), а затем из (2.20) будет видно, что rk(x) является
делителем и многочлена f (x).
Осталось доказать, что многочлен rk(x) делится на любой другой
общий делитель многочленов f (x) и g(x). Пусть ϕ(x) — какой-либо
общий делитель многочленов f (x) и g(x). Так как левая часть и
первое слагаемое в правой части равенства (2.20) делятся на ϕ(x), то
46 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
r1(x) также будет делиться на ϕ(x). Аналогично из равенства (2.21)
получим, что r2(x) будет делиться на ϕ(x), а из (2.22) будет вытекать,
что ϕ(x) делит r3(x). Спускаясь по этой цепочке последовательно вниз,
наконец получим, что ϕ(x) делит rk(x), что и требовалось доказать.
Нетрудно проверить, что для данных двух многочленов наибольший общий делитель находится с точностью до числового множителя,
отличного от нуля. Действительно, если для f (x) и g(x) существуют
два наибольших общих делителя ϕ(x) и ψ(x), то, по определению 8,
многочлены ϕ(x) и ψ(x) должны делиться друг на друга. Но тогда
из свойства 8 получаем ϕ(x) = cψ(x), c 6= 0. Это замечание позволяет
считать, что старший коэффициент наибольшего общего делителя
двух многочленов можно принять равным единице.
Описанный выше алгоритм позволяет практически находить наибольший общий делитель двух многочленов.
Далее мы докажем так называемое свойство линейного представления наибольшего общего делителя двух многочленов. Это свойство
сформулируем в виде теоремы 2.2, для доказательства которой используем алгоритм Евклида.
Теорема 2.2. Если d(x) есть наибольший общий делитель мно-
гочленов f (x) и g(x), то существуют такие многочлены u(x) и v(x),
что
f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x). (2.27)
При этом если степени многочленов f(x) и g(x) больше нуля, то
можно считать, что степень u(x) меньше степени g(x), а степень v(x)
меньше степени f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся равенствами (2.20)–(2.26).
Тогда d(x) = rk(x). Если обозначить u1(x) = 1, v1(x) = −qk(x), то из
(2.25) получим
d(x) = r
Выразим из равенства (2.24) r
(x)u1(x) + r
k−2
(x)v1(x). (2.28)
k−1
(x) через r
k−1
(x) и r
k−2
k−3
(x), а
затем подставим в (2.28). В итоге получим
d(x) = r
где, понятно, u2(x) = v1(x), v2(x) = u1(x) − v1(x)q
(x)u2(x) + r
k−3
(x)v2(x), (2.29)
k−2
(x). Продолжая
k−1
подниматься вверх таким образом по цепочке равенств (2.20)–(2.26),
получим равенство (2.27).
Остается лишь выяснить, всегда ли можно скорректировать
только что описанную процедуру так, чтобы выполнялись условия
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида 47
для степеней многочленов, записанные во второй части утверждения теоремы. Предположим, что в результате всех действий, изложенных в первой части доказательства, получено представление
f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x), (2.30)
но, например, степень многочлена u(x) больше или равна степени g(x).
Разделим u(x) на g(x):
u(x) = g(x)q(x) + r(x),
где степень r(x) меньше степени g(x), и подставим это выражение в
(2.30). Получим равенство
f(x)r(x) + g(x)[v(x) + f(x)q(x)] = d(x). (2.31)
Так как степень f (x)r(x) строго меньше степени f(x)g(x), то
степень левой части равенства (2.31) будет равна степени второго слагаемого этой части. Если допустить, что степень многочлена
v(x) + f(x)q(x) больше либо равна степени f(x), то степень второго
слагаемого, а значит, и всей левой части равенства (2.31), будет
не меньше степени произведения f (x)g(x). Это, однако, невозможно,
так как при наших предположениях многочлен d(x) имеет заведомо
меньшую степень. Поэтому, степень v(x) + f(x)q(x) меньше степени
f(x). Остается лишь в равенстве (2.31) обозначить r(x) через u(x), а
v(x) + f(x)q(x) через v(x). Теорема доказана.
Определение 9. Многочлены f(x) и g(x) называются взаимно
простыми, если наибольший общий делитель этих многочленов имеет
степень, равную нулю.
Так как ранее было условлено считать старший коэффициент
наибольшего общего делителя двух многочленов равным единице,
то с учетом этого можно дать другое определение взаимно простых
многочленов.
Определение 10. Многочлены f (x) и g(x) называются взаимно
простыми, если наибольший общий делитель этих многочленов равен
единице, или (f(x), g(x)) = 1.
Теперь теорема 2.2 для взаимно простых многочленов формулируется следующим образом.
Теорема 2.3. Многочлены f(x) и g(x) тогда и только тогда
взаимно просты, когда существуют такие многочлены u(x) и v(x), для
48 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
которых выполняется равенство
f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1. (2.32)
Используем эту теорему для доказательства нескольких важных
свойств взаимно простых многочленов.
Свойство 10. Если многочлен f(x) взаимно прост с каждым из
многочленов ϕ(x) и ψ(x), то он взаимно прост и с их произведением.
Действительно, по теореме 2.3 существуют такие многочлены
u(x) и v(x), что выполняется равенство
f(x)u(x) + ϕ(x)v(x) = 1.
Умножим обе части этого равенства на ψ(x):
f(x)[u(x)ψ(x)] + [ϕ(x)ψ(x)]v(x) = ψ(x).
Отсюда видно, что если найдется многочлен, который является общим
делителем для f(x) и ϕ(x)ψ(x), то он будет одновременно делить f(x)
и ψ(x), что противоречит их взаимной простоте.
Свойство 11. Если произведение многочленов f(x) и g(x) делит-
ся на ϕ(x), а f(x) и ϕ(x) взаимно просты, то g(x) делится на ϕ(x).
В самом деле, из условия и теоремы 2.3 вытекает, что имеет
место равенство
f(x)u(x) + ϕ(x)v(x) = 1.
Умножим обе его части g(x) и получим
[f(x)g(x)]u(x) + ϕ(x)[v(x)g(x)] = g(x).
Так как оба слагаемых в левой части последнего равенства делятся на
ϕ(x), то и g(x) будет делиться на этот многочлен.
Свойство 12. Если многочлен f(x) делится на каждый из мно-
гочленов ϕ(x) и ψ(x), которые взаимно просты, то f(x) делится на их
произведение.
По условию f(x) = ϕ(x)h(x). Так как ϕ(x) и ψ(x) взаимно просты, то по свойству 11 ψ(x) делит h(x), т. е. h(x) = ψ(x)d(x). Таким
образом, f(x) = [ϕ(x)ψ(x)]d(x), и свойство доказано.
В заключение распространим понятия наибольшего общего делителя и взаимной простоты на любое конечное число многочленов.
Сформулируем определение.
§ 5. Делители многочленов. Алгоритм Евклида 49
Определение 11. Общим делителем многочленов
f1(x), f2(x), .. . , fk(x)
называется любой многочлен, который одновременно делит все эти
многочлены.
Наибольшим общим делителем многочленов
f1(x), f2(x), .. . , fk(x)
называется такой общий делитель этих многочленов, который делится
на любой другой их общий делитель.
Следующая теорема показывает существование наибольшего общего делителя для любого конечного числа многочленов, а также дает
способ его нахождения.
Теорема 2.4. Наибольший общий делитель многочленов f1(x),
f2(x), .. . , fk(x) равен наибольшему общему делителю многочлена fk(x)
и наибольшего общего делителя многочленов f1(x), f2(x), .. . , f
k−1
(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему индукцией по числу k.
Очевидно, что утверждение теоремы справедливо при k = 2. Предположим: теорема верна для (k − 1) многочленов; докажем, что тогда
утверждение теоремы будет верно и для k. В соответствии с индуктивным предположением нам известен наибольший общий делитель d(x)
многочленов f1(x), f2(x), .. . , f
k−1
(x).
Далее, применяя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий
делитель d1(x) многочленов fk(x) и d(x). Очевидно, что d1(x) является
общим делителем всех многочленов f1(x), f2(x), .. . , fk(x). Понятно,
что всякий общий делитель этих многочленов будет делить d(x), а
значит, и d1(x). Теорема доказана.
И наконец, распространим понятие взаимной простоты на любое
конечное число многочленов. При этом учтем, что ранее условлено
считать старший коэффициент наибольшего общего делителя двух
многочленов равным единице.
Определение 12. Система многочленов f1(x), f2(x), .. . , fk(x) называется взаимно простой, если их наибольший общий делитель равен
единице.
Заметим, что при k > 2 система многочленов может быть взаимно простой, но многочлены, в нее входящие, не обязательно будут
попарно взаимно простыми. Например, система многочленов
f(x) = x2− 5x + 6, g(x) = x3− 8x2+ 17x −10,
50 Глава 2. Многочлены от одного неизвестного
h(x) = x3− 14x2+ 63x −90
взаимно проста, однако
(f(x), g(x)) = x −2, (g(x), h(x)) = x − 5, (f(x), h(x)) = x − 3.
Нетрудно проверить, что свойства 10–12 взаимно простых многочленов справедливы для любого конечного числа многочленов.
Пример 1. Найти наибольший общий делитель (f(x), g(x)) мно-
гочленов
f(x) = x4+ 3x3− x2− 4x −3, g(x) = 3x3+ 10x2+ 2x −3.
Решение. Так как старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов можно принять равным единице, то, применяя алгоритм Евклида к двум многочленам с целыми коэффициентами,
мы можем избежать появления в процедуре дробных коэффициентов.
Для этого будем умножать делимое или сокращать делитель на подходящие не равные нулю числа, причем не только начиная какое-либо
из последовательных делений, но и в процессе данного деления.
Это, понятно, будет приводить к искажению частного, но все остатки будут лишь приобретать некоторый множитель нулевой степени.
Разделим f (x) на g(x), предварительно умножив f (x) на 3:
3x4+ 9x3− 3x2− 12x − 9 3x3+ 10x2+ 2x −3
3x4+ 10x3+ 2x2− 3x x + 1
−x3− 5x2− 9x − 9
3x3+ 15x2+ 27x + 27
3x3+ 10x2+ 2x − 3
5x2+ 25x + 30.
Здесь в процессе деления промежуточный остаток −x3− 5x2−
− 9x − 9 умножили на −3 и продолжили деление. Таким образом,
первый остаток r1(x), после сокращения его на 5, равен r1(x) = x2+
+ 5x + 6. Делим на него многочлен g(x):
3x3+ 10x2+ 2x − 3 x2+ 5x + 6
3x3+ 15x2+ 18x 3x − 5
− 5x2− 16x − 3
− 5x2− 25x − 30
9x + 27.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]