Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа 21
r
=
[(cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ − cos ϕ sin ψ)] =
s
r
=
[cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)].
s
Окончательно имеем
a
r
=
b
[cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)]. (1.27)
s
Тогда
a
b
r
=
и arg
s
a
= ϕ − ψ,
b
или
a
b
|a|
=
, (1.28)
|b|
a
arg
= arg a − arg b. (1.29)
b
Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен
частному от деления модуля делимого на модуль делителя, а аргумент частного равен разности аргумента делимого и аргумента
делителя. Здесь, как для произведения комплексных чисел, правило
для аргумента частного нужно понимать с точностью до слагаемого,
кратного 2π.
Теперь операции умножения и деления хорошо иллюстрируются на комплексной плоскости. Для изображения точки ab (рис. 1.4)
необходимо построить луч, выходящий из начала координат и составляющий с положительным направлением действительной оси угол
ϕ + ψ, а затем на этом луче поставить точку, расположенную на
расстоянии rs от начала координат. Это и будет точка, изображающая
на комплексной плоскости число ab.
Аналогично интерпретируется операция деления комплексных
чисел. Для того чтобы построить на комплексной плоскости точку,
a
соответствующую числу
, необходимо из начала координат провести
b
луч, составляющий с положительным направлением действительной
оси угол ϕ − ψ, тогда искомая точка будет находиться на этом луче на
r
расстоянии
от начала координат.
s
22 Глава 1. Комплексные числа
M
ab = rs[cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)]
rs
b = s(cos ψ + isin ψ)
ϕ + ψ
s
ψ
a = r(cos ϕ + i sin ϕ)
r
ϕ
O
Рис. 1.4
D
Операции сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, не могут быть представлены формулами, аналогичными (1.24)–(1.26), и не имеют подобной интерпретации. Однако нам известно, что эти операции хорошо иллюстрируются,
если комплексные числа записаны в алгебраической форме.
Используя тригонометрическую форму записи комплексных чисел, докажем неравенства, которые позволяют сравнить модули суммы
и разности двух комплексных чисел с суммой и разностью их модулей.
Пусть a = r(cos ϕ + i sin ϕ), b = s(cos ψ + i sin ψ). Тогда
a + b = (r cos ϕ + scos ψ) + i(r sin ϕ + s sin ψ).
Если тригонометрическая форма a+b есть a+b =ρ(cos ϑ+i sin ϑ),
то
r cos ϕ + s cos ψ = ρ cos ϑ,
r sin ϕ + s sin ψ = ρ sin ϑ.
Умножим обе части первого равенства на cos ϑ, второго — на sin ϑ и
сложим. В результате получим
(r cos ϕ cos ϑ + s cos ψ cos ϑ) + (r sin ϕ sin ϑ + s sin ψ sin ϑ) =
= r(cos ϕ cos ϑ + sin ϕ sin ϑ) + s(cos ψ cos ϑ + sin ψ sin ϑ) =
= ρ(cos2ϑ + sin2ϑ),
или окончательно:
r cos(ϕ − ϑ) + s cos(ψ −ϑ) = ρ.
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа 23
Так как cos(ϕ − ϑ) 6 1 и cos(ψ − ϑ) 6 1, то r + s > ρ. Отсюда |a + b| 6
6 |a|+ |b|. Заметим, что a = (a + b) + (−b) и тогда
|a| = |(a + b) + (−b)|.
По доказанному, |a| 6 |a + b|+ | − b|. Очевидно, | −b| = |b| и поэтому
|a| 6 |a + b|+ |b|. Тогда |a| − |b| 6 |a + b| и окончательно имеем
|a| − |b| 6 |a + b| 6 |a| + |b|. (1.30)
Заменим в неравенствах (1.30) b на −b и получим
|a| − |b| 6 |a − b| 6 |a| + |b|. (1.31)
Неравенства (1.30) и (1.31) можно легко получить, рассматривая
соответствующие треугольники (рис. 1.5).
M
|b|
B
A
|a + b|
|a|
|a|
|a − b|
C
|b|
O
Рис. 1.5
D
Если на рис. 1.5 точка A обозначает число a, а точка C — число
b, то очевидно, что точка B будет обозначать число a + b. Тогда в
треугольнике OAB длина стороны OA равна |a|, длина стороны AB
равна |b|, а длина стороны OB будет равна |a + b|. Применяя известное
свойство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы
двух других, но больше их разности), получим неравенства (1.30)
(случай, когда точки A и B расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Исследуя треугольник OAC, получим аналогичную интерпретацию для неравенств (1.31). Поэтому неравенства (1.30)
и (1.31) называют неравенствами треугольника.
Заметим, что при сравнении двух действительных чисел a и b
сравнивают расстояния соответствующих точек числовой прямой от
точки 0 (например, если a > 0 и b > 0, то б´oльшим мы считаем то
число, чья точка находится на б´oльшем расстоянии от точки 0, а
при a < 0, b < 0 наоборот). Это вполне объяснимо, так как каждому
24 Глава 1. Комплексные числа
отрезку данной длины r соответствуют точно два действительных
числа r и −r, расстояние от которых до точки 0 равно r. Если же
рассматривать на комплексной плоскости все числа, расстояние от
которых до точки (0, 0) равно данному числу r, то ими будут все точки
окружности радиуса r с центром в (0, 0), и нет никакого разумного
способа сравнения двух различных чисел, чьи точки расположены
на данной окружности. По этой причине нельзя ставить знаки < и
> между двумя комплексными числами (если, конечно, они оба не
являются одновременно числами действительными).
Определение 6. Пусть дано комплексное число a = α + iβ. Тогда
число α − iβ будем называть сопряженным с a и обозначать a. Замена
знака на противоположный перед мнимой частью комплексного числа
называется операцией сопряжения. Таким образом,
a = α + iβ = α − iβ. (1.32)
По определению, a = a и поэтому числа a и a сопряжены друг
с другом. Очевидно, что если a — действительное число, то a = a.
Следовательно, всегда имеется не более двух сопряженных друг другу
чисел.
Если a — комплексное число, то точки, соответствующие на
комплексной плоскости числам a и a, расположены симметрично относительно оси абсцисс (рис. 1.6).
M
β
a = α + iβ
r
O
ϕ
−ϕ
α
D
r
−β
a = α − iβ
Рис. 1.6
На рис. 1.6 показано, что для сопряженных чисел выполняются
равенства:
|a| = |a| и arg a = −arg a. (1.33)
Оба равенства (1.33) получаются непосредственно из определений
сопряженного числа, модуля и аргумента комплексного числа.
§ 2. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Сопряженные числа 25
Отметим еще два свойства сопряженных чисел, которые также
следуют из определения: сумма и произведение сопряженных ком-
плексных чисел являются действительными числами. В самом деле,
a + a = (α + iβ) + (α + iβ) = 2α,
aa = (α + iβ)(α − iβ) = α2+ β2= |a|.
Для операции сопряжения комплексных чисел выполняются следующие свойства:
a ± b = a ± b, (1.34)
ab = ab, (1.35)
a
b
a
=
. (1.36)
b
Доказательства свойств (1.34)–(1.36) предлагаем для самостоятельной работы. На самом деле справедливо более общее свойство,
которое сформулируем как теорему.
Теорема 1.1. Если число a некоторым образом выражено через
комплексные числа b1, b2, .. . , bkпри помощи сложения, умножения,
вычитания и деления, то, заменяя в этом выражении все числа biих
сопряженными, мы получим число, сопряженное с a.
Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике [1] (§18).
Пример 1. Найти модуль и аргумент числа z = 1 + i.
Решение. |z| =√12+ 12=√2 . Если ϕ = arg z, то tg ϕ = 1. По-
π
скольку число z находится в первой четверти, то arg z =
.
4
Пример 2. Записать число z = 1 + i√3 в тригонометрической
форме.
Решение. |z| =√1 + 3 = 2; если ϕ = arg z, то tg ϕ =√3 . Тогда
arg z =
π
. Следовательно, z = 2cos
3
π
+ i sin
3
π
.
3
Пример 3. Используя тригонометрическую форму записи, выполнить действия:
1 + i
(1 + i)(1 + i√3 ),
.
1 + i√3
Результаты записать в тригонометрической форме.
26 Глава 1. Комплексные числа
Решение. Вычислим
(1 + i)(1 + i√3 ) =
= 2√2cos
h
√
π
4
2cos
π
+
3
+ i sin
π
+ i sin
4
π
4
ih2
π
4
π
+
3
= 2√2cos
cos
π
+ i sin
3
π
3
7π
12
i
=
+ i sin
7π
.
12
π
4
=
π
3
−
π
3
+ i sin
=
π
4
√
2
2
π
4
cos−
−
π
3
π
12
=
+ i sin−
π
12
1 + i
1 + i√3
=
√
2cos
2cos
=
π
3
√
2
π
+ i sin
4
+ i sin
2
cos
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней
из комплексных чисел
В предыдущих параграфах рассматривались вопросы, связанные
с рациональными операциями над комплексными числами. Здесь изучим операцию извлечения корня n-й степени из комплексного числа,
когда n — натуральное число. Вначале выведем формулу возведения
.
комплексного числа в целую степень.
Пусть a = α + iβ — комплексное число. Если n — целое положительное число, то при возведении a в степень n
an= (α + iβ)n,
можно, конечно, воспользоваться формулой бинома Ньютона, а затем в правой части выделить действительную и мнимую части (эта
формула справедлива для комплексных чисел, так как при ее выводе используется лишь закон дистрибутивности, который был ранее
доказан, см. (1.14), (1.15)). В некоторых случаях такие действия
бывают оправданы, однако очевидно, что этот путь ведет к громоздким
вычислениям (которые возрастают при увеличении n). Поставленная
задача решается гораздо проще и быстрее, если записать число a в
тригонометрической форме. Действительно, пусть
a = r(cos ϕ + i sin ϕ) —
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней из комплексных чисел 27
тригонометрическая форма записи числа a. Тогда из правила умножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (см.
(3.24)–(3.26)), следует
an= rn(cos nϕ + i sin nϕ). (1.37)
Эта формула носит название формулы Муавра.
Очевидно, что
a−1= r−1(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)). (1.38)
Тогда
a−n= (a−1)n= r−n(cos(−nϕ) + i sin(−nϕ)). (1.39)
Значит, формула Муавра справедлива при возведении комплексных
чисел в любую целую ненулевую степень.
С помощью формулы Муавра можно достаточно просто выразить
синус и косинус кратного угла nϕ (n — натуральное число) через эти
же тригонометрические функции от угла ϕ. Пусть, например, n = 2.
Тогда, с одной стороны,
(cos ϕ + i sin ϕ)2= cos 2ϕ + isin 2ϕ,
с другой —
(cos ϕ + i sin ϕ)2= cos2ϕ + 2i cos ϕ sin ϕ − sin2ϕ.
Сравнивая правые части полученных равенств и выделяя действительную и мнимую части, получим
cos 2ϕ = cos2ϕ − sin2ϕ,
sin 2ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ.
Очевидно, что аналогичные формулы для любого натурального n можно получать таким же образом.
Теперь определим операцию извлечения корня n-й степени из
комплексного числа при натуральных n. Пусть a — комплексное число.
Под корнем n-й степени из числа a будем, естественно, понимать
любое комплексное число b, n-я степень которого равна a. Таким
образом, если a = α + iβ, то
a =
p
n
α + iβ = b = γ + iδ,
√
n
28 Глава 1. Комплексные числа
где γ + iδ — алгебраическая форма записи числа b, и при этом
bn= (γ + iδ)n= α + iβ = a. (1.40)
При n = 2 для нахождения корней n-й степени из числа a можно
воспользоваться равенствами (1.40). Действительно, пусть
b2= (γ + iδ)2= γ2+ 2iγδ − δ2= α + iβ.
Приравнивая действительные и мнимые части, получим систему уравнений относительно неизвестных γ, δ :
γ2− δ2= α,
(1.41)
2γδ = β.
Предлагаем самостоятельно доказать, что из (1.41) достаточно элементарно получаются равенства:
γ2=
1
α +pα2+ β
2
,
2
δ2=
1
−α +pα2+ β
2
.
2
Несложный анализ этих двух равенств показывает, что существуют точно две такие различные пары действительных чисел (γ, δ),
что число b = γ + iδ есть результат вычисления корня второй степени
из a 6= 0. Таким образом, из любого ненулевого комплексного числа
можно извлекать квадратный корень и при этом всегда будем
иметь точно два его различных значения.
В предложенной процедуре нахождения квадратных корней из
комплексных чисел вполне сознательно не приведено подробное описание всех преобразований и анализа, так как уже при n = 3 степень сложности этой процедуры резко возрастает. При возрастании
n усложняться будут, прежде всего, системы уравнений, аналогичные
системе (1.41). Начиная с n = 5, эти проблемы становятся практически
непреодолимыми, поскольку решение таких систем будет сводиться к
решению алгебраических уравнений с высокими степенями неизвестных. В дальнейшем станет ясно, что при произвольных коэффициентах
таких уравнений данная задача неразрешима. Поэтому предложенный
метод не может быть обобщен для произвольных n. По сути это
методологические проблемы, связанные с тем, что задача извлечения
корней n-й степени из комплексных чисел решалась с использованием
только алгебраической формы их записи. Если можно комплексное
§ 3. Возведение в степень. Извлечение корней из комплексных чисел 29
число записать в тригонометрической форме, то поставленная задача
нахождения корней n-й степени из комплексных чисел решается полностью.
Итак, пусть требуется извлечь корень n-й степени их комплексного числа
a = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Допустим, что в результате получится комплексное число b = s(cos ψ +
+ i sin ψ). Тогда bn= a и, применяя формулу Муавра, получим
bn= [s(cos ψ + i sin ψ)]n= sn(cos nψ + i sin nψ) =
= r(cos ϕ + i sin ϕ). (1.42)
Из (1.42) и правила сравнения двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, получаем
sn= r; nψ = ϕ + 2kπ, (1.43)
где k — целое число. Отсюда
s =
√
n
+
r; ψ =
ϕ + 2kπ
. (1.44)
n
В правой части первого из равенств (1.44) записан арифметический
корень n-й степени из положительного действительного числа r, т. е.
однозначно определенное положительное значение корня n-й степени
из r.
Рассмотрим теперь комплексное число
+
√
n
rcos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
,
n
где k — любое целое число. Возведем это число в степень n :
+
√
n
rcos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
n
=
= rcos
n (ϕ + 2kπ)
+ i sin
n
n (ϕ + 2kπ)
=
n
= r (cos (ϕ + 2kπ) + i sin (ϕ + 2kπ)) =
= r (cos ϕ + i sin ϕ) = a.
30 Глава 1. Комплексные числа
Таким образом
p
n
r (cos ϕ + i sin ϕ) =
+
√
n
rcos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
, (1.45)
где k может принимать любые целые значения.
Выясним, при каких значениях k в правой части формулы (1.45)
будут получаться различные комплексные числа. Пусть
k = 0, 1, 2, ... , n − 1. (1.46)
Тогда в правой части (1.45) получим n различных значений
корня
b0, b1, b2, .. . , b
, (1.47)
n−1
так как при увеличении k на единицу аргумент числа в правой части
2π
(1.45) увеличивается на
. Покажем теперь, что при любых целых
n
значениях k всегда будем получать какое-то из значений корня
biсогласно (1.47). Заметим прежде всего, что из (1.45) вытекают
равенства |b0| = |b1| = |b2| = ··· = |b
| = |bk|. Поэтому необходимо
n−1
изучить только аргумент комплексного числа bk. Разделим k на n
и получим k = nq + r, где q — частное, а r — остаток и, значит,
r = 0, 1, 2, .. . , n − 1. Тогда
ϕ + 2kπ
n
ϕ + 2(nq + r)π
=
n
ϕ + 2rπ
=
n
+ 2qπ.
Из этих равенств очевидно: arg bk= arg br, поэтому bk= br. Поскольку r = 0, 1, 2, . .. , n − 1, то число bkявляется одним из чисел
системы (1.47).
Таким образом, числа b0, b1, b2, .. . , b
, которые получаются
n−1
в правой части равенства (1.45) последовательной подстановкой
вместо k чисел 0, 1, 2, . .. , n − 1, исчерпывают все значения корня
p
n
r(cos ϕ + i sin ϕ).
.. . , b
Из приведенных рассуждений ясно, что все значения b0, b1, b2, .. .
этого корня расположены на окружности радиуса
n−1
√
n
r с
+
центром в начале координат и являются вершинами правильного
n-угольника.
Формула (1.45) справедлива для любых комплексных чисел
r(cos ϕ + i sin ϕ).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]