Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 17. Линейная зависимость векторов 141
Равенство (4.33) означает, что любой n-мерный вектор может
быть выражен через все векторы системы (4.30), значит, векторы
ε1, ε2, .. . , εnпорождают пространство An. Пока мы не можем утверждать, что эта система порождающих векторов минимальна — это
будет доказано немного ниже.
Докажем следующую теорему.
Теорема 4.5. Всякие s векторов пространства Anпри s > n
составляют линейно зависимую систему.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в Anданы векторы
a1= (α11, α12, .. . , α1n),
a2= (α21, α22, .. . , α2n),
(4.34)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
as= (αs1, αs2, .. . , αsn).
Запишем равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γsas= o (4.35)
с неизвестными коэффициентами γiи выясним, при каких значениях
этих коэффициентов оно может выполняться. Подставляя в (4.35) числовые строки из (4.34) и приравнивая соответствующие компоненты
векторов, получим однородную систему линейных уравнений
α11γ1+ α21γ2+ ···+ αs1γs= 0,
α12γ1+ α22γ2+ ···+ αs2γs= 0,
(4.36)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1nγ1+ α2nγ2+ ···+ αsnγs= 0
с неизвестными γ1, γ2, .. . , γs. Так как в системе (4.36) число неизвестных больше числа уравнений, то из теоремы 4.4 следует, что
эта система имеет бесчисленное множество ненулевых решений. То
есть равенство (4.35) выполняется не только при всех коэффициентах,
равных нулю, и поэтому система векторов (4.34) линейно зависима.
Теорема доказана.
Определение 14. Линейно независимая система векторов
a1, a2, .. . , a
k
(4.37)
142 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
пространства Anназывается максимальной, если в Anне существует
таких линейно независимых систем векторов, которые содержали бы
ее в качестве собственной подсистемы.
Другими словами, если
a1, a2, .. . , a
k
— максимальная линейно независимая система векторов пространства
An, то система
a1, a2, .. . , ak, b
будет уже линейно зависимой для любого вектора b ∈ An. Тогда,
очевидно, существуют такие числа γ1, γ2, .. . , γk, δ, что в равенстве
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak+ δb = o
коэффициент δ отличен от нуля.
Поэтому любой вектор b пространства Anможно представить
в виде
b = β1a1+ β2a2+ ···+ βkak,
γ
где βi= −
i
, i = 1, 2, ... , k.
δ
Следовательно, система векторов (4.37) пространства Anтогда
и только тогда будет максимальной линейно независимой системой,
когда векторы (4.37) линейно независимы, а любой вектор b из A
линейно выражается через них.
Резюмируем все полученное выше в виде теоремы.
Теорема 4.6. В n-мерном векторном пространстве Anвсякая
линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов,
будет максимальной.
В то же время понятно, что любая максимальная линейно
независимая система векторов пространства Anсостоит не более
чем из n векторов.
Возвращаясь к вопросу о системах порождающих в n-мерном
пространстве, заметим, что любая максимальная линейно независимая
система векторов в Anявляется системой порождающих этого пространства.
Пусть в Anимеем линейно независимую систему векторов, не
являющуюся максимальной. Тогда, по определению, к ней можно
добавить один вектор так, что полученная система будет линейно
независимой. Если эта система еще не максимальна, то к ней снова
n
можно добавить один вектор и получить еще одну линейно независи-
§ 17. Линейная зависимость векторов 143
мую систему, и т. д. Так как все системы векторов в An, состоящие
из (n + 1) векторов, линейно зависимы, то найдется максимальная линейно независимая система, состоящая из конечного числа векторов,
содержащая исходную линейно независимую систему. Поэтому любая
линейно независимая система векторов пространства Anсодержится в некоторой максимальной линейно независимой системе.
Любой ненулевой вектор, очевидно, образует линейно независимую систему и поэтому может входить в некоторую максимальную линейно независимую систему векторов. Таким образом,
в любом n-мерном пространстве существует бесконечно много
различных максимальных линейно независимых систем векторов.
Ранее был поставлен вопрос о существовании в Anтакой системы векторов, порождающих все пространство, в которой число
векторов было бы меньше, чем n. Сейчас понятно, что это вопрос
равносилен вопросу о существовании в Anмаксимальной линейно
независимой системы с меньшим, чем n, числом векторов. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо подробнее изучить понятия линейной
зависимости и независимости векторов в An.
Определение 15. Будем говорить, что система векторов
a1, a2, .. . , a
k
(4.38)
пространства Anлинейно выражается через систему векторов
b1, b2, .. . , b
s
(4.39)
этого же пространства, если каждый вектор системы (4.38) можно
представить в виде линейной комбинации векторов системы (4.39).
Покажем, что это понятие обладает свойством транзитивности.
Действительно, пусть система (4.38) линейно выражается через систему (4.39), а система
c1, c2, .. . , c
t
(4.40)
линейно выражается через систему (4.38). Покажем, что система
(4.40) будет линейно выражаться через систему (4.39). В самом деле,
cj=
k
X
ζjiai, j = 1, 2, .. . , t, (4.41)
i=1
144 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
в то же время
s
X
ai=
ηimbm, i = 1, 2, . .. , k.
m=1
Подставляя правые части этих выражений в (4.40) вместо ai, i =
= 1, 2, .. . , k, получим
cj=
k
X
i=1
s
X
ζ
ji
ηimb
m=1
m
!
=
s
X
m=1
k
X
i=1
ζjiη
!
bm, j = 1, 2, .. . , t,
im
значит, каждый вектор системы (4.40) является линейной комбинацией векторов системы (4.39).
Определение 16. Две системы векторов в Anназываются экви-
валентными, если каждая из них линейно выражается через другую.
Из доказанного выше следует, что понятие эквивалентности
систем векторов обладает свойством транзитивности и справед-
ливо утверждение 1.
Утверждение 1. Пусть две системы векторов пространства A
эквивалентны. Если некоторый вектор пространства линейно выражается через какую-то из этих систем, то он линейно выражается и через
другую.
Теперь понятно, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов пространства Anэквивалентны.
n
Докажем теорему, применение которой позволит ответить на
основные вопросы этого параграфа:
1) могут ли эквивалентные линейно независимые системы содер-
жать разное число векторов;
2) могут ли две максимальные линейно независимые системы
векторов пространства Anсостоять из разного количества векторов?
Теорема 4.7. Пусть даны две системы векторов простран-
ства An:
a1, a2, .. . , a
k
(4.42)
и
b1, b2, .. . , bs, (4.43)
причем система (4.42) линейно независима и линейно выражается
через (4.43). Тогда число векторов в системе (4.42) не больше, чем
в системе (4.43), т. е. k 6 s.
§ 17. Линейная зависимость векторов 145
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что k > s. Так как каждый
вектор системы (4.42) линейно выражается через систему (4.43), то
при подходящих значениях коэффициентов справедливы равенства
a1= α11b1+ α12b2+ ···+ α1sbs,
a2= α21b1+ α22b2+ ···+ α2sbs,
(4.44)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ak= αk1b1+ αk2b2+ ···+ αksbs.
Из коэффициентов этих равенств составим систему из k
s-мерных векторов:
c1= (α11, α12, .. . , α1s),
c2= (α21, α22, .. . , α2s),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ck= (αk1, αk2, .. . , αks).
Поскольку k > s, то, как было показано выше, в пространстве A
эти векторы образуют линейно зависимую систему, т. е. существуют
коэффициенты γ1, γ2, .. . , γk, не все равные нулю, для которых верно
равенство
γ1c1+ γ2c2+ ···+ γkck= o.
Отсюда получаются равенства между компонентами:
k
X
γiαij= 0, j = 1, 2, .. . , s. (4.45)
i=1
Рассмотрим линейную комбинацию векторов системы (4.42)
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak.
Тогда из (4.44) и (4.45) получаем
k
X
i=1
γiai=
k
X
i=1
s
X
γ
i
j=1
αijb
=
j
s
X
j=1
k
X
i=1
γiα
!
ij
bj= 0.
s
Это невозможно, так как противоречит линейной независимости векторов системы (4.42). Теорема доказана.
Теперь мы в состоянии ответить на первый из поставленных
выше вопросов. Так, справедлива следующая теорема.
146 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Теорема 4.8. Всякие две эквивалентные линейно независимые
системы векторов содержат равное число векторов.
Выше уже отмечалось, что любые две максимальные линейно
независимые системы векторов пространства Anэквивалентны. Отсюда ответ и на второй вопрос.
Теорема 4.9. Всякие две максимальные линейно независимые
системы пространства Anимеют одинаковое число векторов.
Ранее была построена максимальная линейно независимая система (4.30), состоящая из n векторов пространства An. Резюмируем
полученное в виде теоремы.
Теорема 4.10. В n-мерном векторном пространстве Anвсякая
максимальная линейно независимая система векторов состоит из n
векторов.
Возвращаясь к началу этого параграфа, мы можем сделать
несколько важных выводов:
1) понятия линейной зависимости и независимости век-
торов в пространствах Anявляются алгебраическими эквивалентами геометрических понятий параллельности (компланарности) и непараллельности (некомпланарности) векторов плоскости
(трехмерного пространства);
2) в пространствах Anпри n > 3 имеются минимальные си-
стемы векторов, порождающих эти пространства; причем число
векторов в этих системах, как и в пространствах малых размерностей (n = 2, 3), равно n.
Определение 17. Всякую максимальную линейно независимую
систему векторов пространства Anбудем называть базисом этого пространства.
Выше было отмечено, что в Anсуществует бесконечно много
различных максимальных линейно независимых систем векторов и,
значит, бесконечно много базисов. Мы показали, что каждый базис
пространства Anсодержит n векторов.
Если
e1, e2, .. . , e
n
— какой-либо базис пространства An, то
An= hα1e1+ α2e2+ ···+ αnen| ∀αi∈ R, i = 1, 2, ... , ni. (4.46)
Заметим, что аналогичную формулу мы в начале этого параграфа
записывали для пространства A3, где в качестве базиса были выбраны
любые три некомпланарных вектора-отрезка.
§ 17. Линейная зависимость векторов 147
Здесь уместно сделать еще одно важное замечание: число век-
торов в базисе пространства Anравно индексу n в обозначении
этого пространства. Будем называть число векторов в базисе
пространства размерностью этого пространства.
Теорема 4.8 позволяет показать не только равенство числа векторов в любых базисах пространства, но и равенство числа векторов
в любых максимальных линейно независимых подсистемах данной
системы векторов этого пространства.
Утверждение 2. Если в линейно зависимой системе векторов
пространства Anвыбрать две максимальные линейно независимые
подсистемы, т. е. такие подсистемы, к которым нельзя присоединить
ни одного вектора выбранной системы, не нарушая их линейной независимости, то эти подсистемы содержат равное число векторов.
Действительно, пусть в системе векторов
a1, a2, .. . , a
k
(4.47)
подсистема
a1, a2, .. . , as, s < k (4.48)
будет максимальной линейно независимой. Тогда всякий вектор
a
, .. . , akлинейно выражается через систему (4.48). Так как для
s+1
всех i = 1, 2, ... , s справедливо
ai= 0a1+ 0a2+ ···+ 1ai+ ···+ 0as,
то система (4.47) линейно выражается через систему (4.48). Очевидно,
что для всех i = 1, 2, ... , s
ai= 0a1+ 0a2+ ···+ 1ai+ ···+ 0as+ 0a
+ ···+ 0ak.
s+1
Отсюда следует, что система (4.48) линейно выражается через систему (4.47). Значит, система (4.47) эквивалентна любой своей максимальной линейно независимой подсистеме. Используя транзитивность,
получаем, что любые две максимальные линейно независимые подсистемы системы векторов (4.47) эквивалентны и поэтому содержат
одинаковое число векторов. Утверждение доказано.
Определение 18. Если выбрана система
a1, a2, .. . , a
k
148 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
векторов пространства An, то любую максимальную линейно независимую ее подсистему будем называть базисными векторами, или базисом
данной системы.
Если a
, a
1
, .. . , a
i
2
i
— базис системы векторов a1, a2, .. . , ak, то
i
r
все остальные векторы этой системы могут быть представлены как
линейные комбинации базисных.
Сформулируем еще одно очень важное понятие, которое будет
использоваться далее регулярно.
Определение 19. Рангом системы векторов пространства A
называется число векторов, входящих в любую ее максимальную линейно независимую подсистему, т. е. в любой базис данной системы.
Теорема 4.11. Пусть даны две системы векторов пространства
An:
a1, a2, .. . , a
k
(4.49)
и
b1, b2, .. . , b
s
(4.50)
не обязательно линейно независимые, причем ранг системы (4.49)
равен числу r, ранг системы (4.50) — числу l. Если система (4.49)
n
линейно выражается через систему (4.50), то r 6 l. Если же эти
системы эквивалентны, то r = l.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
a
, a
, .. . , a
i
i
1
2
i
r
(4.51)
и
b
, b
, .. . , b
j
j
1
2
j
l
(4.52)
— соответственно любые две максимальные линейно независимые
подсистемы систем (4.49) и (4.50). Тогда системы (4.49) и (4.51)
эквивалентны между собой, то же самое верно и для систем (4.50)
и (4.52). Если система (4.49) линейно выражается через систему
(4.50), то и система (4.51) линейно выражается через систему (4.50),
а значит, и через эквивалентную ей систему (4.52). Так как система
(4.51) линейно независима, то из теоремы 4.7 получаем, что r 6 l.
Второе утверждение теоремы легко вытекает из первого.
§ 17. Линейная зависимость векторов 149
Пусть имеется система векторов
a1= (α11, α12, .. . , α1n),
a2= (α21, α22, .. . , α2n),
(4.53)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ak= (αk1, αk2, .. . , αkn)
пространства An. Если 1 < s < n, то, отбрасывая в каждом
векторе ровно (n − s) последних компонент, получим систему из k
векторов пространства As:
a1= (α11, α12, .. . , α1s),
a2= (α21, α22, .. . , α2s),
(4.54)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ak= (αk1, αk2, .. . , αks).
Справедливо утверждение 3.
Утверждение 3. Если система (4.53) векторов пространства A
линейно зависима, то и система (4.54) векторов пространства Asтакже
будет линейно зависимой. Если же система векторов (4.54) линейно
независима, то, приписывая к каждому вектору этой системы (n −s)
любых чисел в качестве дополнительных компонент, всегда получим
линейно независимую систему векторов пространства An.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать первую часть утверждения, поскольку вторая является следствием первой. Пусть система
векторов (4.53) линейно зависима, т. е. существуют коэффициенты
γ1, γ2, .. . , γkне все равные нулю, и верно равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o.
Получим соответствующие равенства для компонент векторов:
α11γ1+ α21γ2+ ···+ αk1γk= 0,
α12γ1+ α22γ2+ ···+ αk2γk= 0,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1sγ1+ α2sγ2+ ···+ αksγk= 0,
α
1,s+1γ1
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1nγ1+ α2nγ2+ ···+ αknγk= 0.
+ α
2,s+1γ2
+ ···+ α
k,s+1γk
= 0,
n
150 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Первые s равенств этой системы
α11γ1+ α21γ2+ ···+ αk1γk= 0,
α12γ1+ α22γ2+ ···+ αk2γk= 0,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
α1sγ1+ α2sγ2+ ···+ αksγk= 0.
показывают, что выполняется равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o,
где не все коэффициенты γ1, γ2, .. . , γkравны нулю. Значит, векторы
a1, a2, .. . , a
k
линейно зависимы.
Из доказательства этого утверждения получаем следующий
факт.
Следствие. Если система (4.53) векторов пространства Anли-
нейно зависима и верно равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o,
где не все коэффициенты γ1, γ2, .. . , γkравны нулю, то будет верно
равенство
γ1a1+ γ2a2+ ···+ γkak= o
с теми же коэффициентами для системы векторов (4.54).
Очевидно, утверждение и следствие из него остаются справедливыми, если в системе векторов (4.53) отбрасывать не последние
(n − s) компонент, а произвольные компоненты векторов этой системы,
расположенные на одинаковых местах всех числовых строк.
Пример 1. Найти линейную комбинацию векторов 3a1+ 5a2−a3:
a1= (4, 1, 3, −2), a2= (1, 2, −3, 2), a3= (16, 9, 1, −3).
Решение. Подставим координатные строки
3(4, 1, 3, −2) + 5(1, 2, −3, 2) − (16, 9, 1, −3) =
= (12, 3, 9, −6) + (5, 10, −15, 10) −(16, 9, 1, −3) =
= (12 + 5 −16, 3 + 10 − 9, 9 − 15 − 1, −6 + 10 + 3) = (1, 4, −7, 7).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]