Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных 121
∆3=
1 2 30 4
−1 2 10 4
0 1 3 1
1 1 10 1
то по формулам Крамера
= −12, ∆4=
1 2 3 30
−1 2 −3 10
0 1 −1 3
1 1 1 10
= −16,
x1=
∆
1
= 1, x2=
∆
∆
2
= 2, x3=
∆
∆
3
= 3, x1=
∆
∆
∆
4
= 4.
§ 15. Метод последовательного исключения
неизвестных
Самый распространенный метод решения любых систем линейных уравнений — метод последовательного исключения неизвестных
из системы — называется методом Гаусса, по имени великого немецкого математика. Преобразуя систему в процессе ее решения, мы
должны быть уверены, что каждое преобразование не искажает множества решений исходной системы, т. е. система, полученная после
применения очередного преобразования, имеет те и только те решения,
которые имеет исходная система. В этой связи необходимы определения.
Определение 4. Две системы линейных уравнений с одним и тем
же числом неизвестных называются эквивалентными, или равносильными, если они обе несовместны либо обладают одними и теми же
решениями, т. е. всякое решение одной системы является решением
другой и наоборот.
Применяя метод Гаусса, мы будем использовать четыре вида
преобразований линейных систем. Определим их и докажем, что
применение этих преобразований к любой линейной системе всегда
приводит к эквивалентной системе.
Определение 5. Следующие преобразования системы линейных
уравнений будем называть элементарными:
1) перемена местами (транспозиция) любых двух уравнений си-
стемы;
2) умножение обеих частей любого уравнения системы на число,
отличное от нуля;
3) прибавление к любому уравнению системы любого уравнения
этой системы, умноженного на число;
4) удаление из системы уравнений, у которых все коэффициенты
и свободный член равны нулю.
122 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Когда мы говорим о сложении двух уравнений системы, то имеем
в виду, что к каждой части одного уравнения прибавляется соответствующая часть другого.
Теорема 4.3. Применение любого элементарного преобразования
к системе линейных уравнений приводит к эквивалентной системе.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана система линейных уравнений
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= b2,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ai1x1+ ai2x2+ ···+ ainxn= bi,
(4.9)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
aj1x1+ aj2x2+ ···+ ajnxn= bj,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
am1x1+ am2x2+ ···+ amnxn= bm.
Переставим местами i-е и j-е уравнения
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= b2,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
aj1x1+ aj2x2+ ···+ ajnxn= bj,
(4.10)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
ai1x1+ ai2x2+ ···+ ainxn= bi,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
am1x1+ am2x2+ ···+ amnxn= bm.
Пусть (α1, α2, .. . , αn) — решение системы (4.9), т.е. после подстановки этих чисел вместо соответствующих неизвестных в систему (4.9) каждое уравнение системы обратится в верное числовое
равенство. Очевидно, то же самое произойдет и с системой (4.10)
после подстановки вместо ее неизвестных соответствующих чисел
(α1, α2, .. . , αn). Следовательно, эта числовая строка является решени-
ем системы (4.10). Обратные рассуждения проводятся аналогично.
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных 123
Умножим теперь i-е уравнение системы (4.9) на число k 6= 0 :
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= b2,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
kai1x1+ kai2x2+ ···+ kainxn= k bi,
(4.11)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
aj1x1+ aj2x2+ ···+ ajnxn= bj,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
am1x1+ am2x2+ ···+ amnxn= bm.
Если (α1, α2, .. . , αn) — решение системы (4.9), то очевидно, что
все уравнения системы (4.11), за исключением i-го, обратятся в верные числовые равенства после подстановки вместо их неизвестных
соответствующих чисел (α1, α2, .. . , αn). Докажем это и для i-го урав-
нения. Произведем такую подстановку в левую часть i-го уравнения
системы (4.11):
kai1α1+ kai2α2+ ···+ kainαn= k(ai1α1+ ai2α2+ ···+ ainαn).
Так как (α1, α2, .. . , αn) — это решение системы (4.9), то выражение
в скобках равно b
i
ai1α1+ ai2α2+ ···+ ainαn= bi,
а это означает, что после подстановки (α1, α2, .. . , αn) вместо соответствующих неизвестных в i-е уравнение системы (4.11) получим
тождество
bi= bi.
Пусть теперь (β1, β2, .. . , βn) — решение системы (4.11), докажем, что
эта числовая строка будет решением системы (4.9). Очевидно, что
проверять это следует только для i-го уравнения. Подставим (β1, β2, .. .
... , βn) в i-е уравнение системы (4.11):
kai1β1+ kai2β2+ ···+ kainβn= kbi,
k(ai1β1+ ai2β2+ ···+ ainβn) = kbi.
124 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Так как k 6= 0, то, умножив обе части полученного равенства на
1
k
получим требуемое тождество:
ai1β1+ ai2β2+ ···+ ainβn= bi.
Доказательство утверждения теоремы для третьего и четвертого преобразований проводится аналогично — оставляем их читателю
в качестве упражнения.
Пусть дана произвольная система линейных уравнений
a11x1+ a12x2+ a13x3+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ a23x3+ ···+ a2nxn= b2,
a31x1+ a32x2+ a33x3+ ···+ a3nxn= b3,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
(4.12)
am1x1+ am2x2+ am3x3+ ···+ amnxn= bm.
Мы считаем, что в системе n неизвестных, а потому для каждого
,
неизвестного в системе (4.12) имеется хотя бы один коэффициент,
отличный от нуля. Тогда, если надо, переставив уравнения в системе
и переобозначив соответствующим образом коэффициенты, добьемся,
чтобы a116= 0. Теперь исключим последовательно неизвестное x1из
всех уравнений системы (4.12), начиная со второго. Для этого сначала
a
обе части первого уравнения умножим на число
21
и вычтем из
a
11
соответствующих частей второго уравнения, затем обе части первого
a
уравнения, умноженные на
31
, вычтем из соответствующих частей
a
11
третьего уравнения и т. д.
В результате этих операций мы получим новую систему из m
уравнений с n неизвестными:
a11x1+ a12x2+ a13x3+ ···+ a1nxn= b1,
0
a
22
0
a
32
x2+ a
x2+ a
0
x3+ ···+ a
23
0
x3+ ···+ a
33
0
xn= b
2n
0
xn= b
3n
0
2
0
3
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
0
a
m2
x2+ a
0
x3+ ···+ a
m3
0
xn= b
mn
0
m
,
,
(4.13)
.
Здесь a
0
ij
0
и b
— получившиеся после описанных преобразований
k
новые коэффициенты и свободные члены. Так как все примененные
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных 125
преобразования являются элементарными, то (по теореме 4.3) системы
(4.12) и (4.13) эквивалентны.
В результате проведенных преобразований в системе (4.13) среди
уравнений, начиная со второго, могут получиться такие, в которых
все коэффициенты при неизвестных окажутся равными нулю. Если
при этом и свободные члены таких уравнений равны нулю, то эти
уравнения необходимо отбросить, учитывая, что применено одно из
элементарных преобразований системы. Если же получится уравнение,
в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член нулю не равен, то такое уравнение не может обращаться
в тождество ни при каких значениях неизвестных, поэтому система
(4.13), а значит и (4.12), решений не имеют, т.е. они обе несовместны.
В этом случае процесс закачивается.
Процесс завершится на этапе исключения x1также в том случае,
когда все коэффициенты a
0
и свободные члены b
ij
0
системы (4.13) ока-
k
жутся равными нулю. В этом случае система (4.12) будет эквивалентна своему первому уравнению. Ниже проанализируем все возможные
промежуточные состояния процесса последовательного исключения
неизвестных, а пока продолжим преобразование системы.
В силу сделанного выше замечания, можем считать, что среди
коэффициентов a
0
a
= 0 для всех i = 2, .. . , m. Тогда нужно изменить соответствующим
i2
0
имеются ненулевые; однако может случиться, что
ij
образом порядок следования неизвестных, мы можем без ограничения
общности считать, что a
0
22
6= 0.
Далее на этапе преобразования системы (4.12) первое уравнение
останется неизменным; неизвестное x2исключим из всех уравнений
эквивалентной системы (4.13), начиная с третьего. Для этого вычтем
из обеих частей третьего и каждого из следующих уравнений обе
части второго уравнения, умноженного соответственно на числа
0
a
32
0
a
22
0
a
42
,
a
0
22
, .. . ,
0
a
m2
.
0
a
22
По окончании этого этапа преобразования системы нужно сделать
такой же анализ, который был проведен после исключения x1. Отбрасывая те уравнения, в которых после выполненных преобразований
все коэффициенты левых частей и соответствующие свободные члены
126 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
равны нулю, получим
a11x1+ a12x2+ a13x3+ ···+ a1nxn= b1,
0
a
22
x2+ a
0
x3+ ···+ a
23
00
a
x3+ ···+ a
33
0
xn= b
2n
00
xn= b
3n
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
00
a
x3+ ···+ a
t3
00
xn= b
tn
0
,
2
00
,
3
00
.
t
(4.14)
Здесь t 6 m. Понятно, что число уравнений в системе могло
уменьшиться уже после исключения x1.
Затем в (4.14) будем исключать неизвестное x3из всех уравнений, начиная с третьего, и т. д. Проанализируем все возможности
завершения этого процесса.
Если мы придем к такой системе, в которой одно из уравнений
имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой
части равны нулю, то, как уже отмечалось выше, исходная система
(4.12) несовместна.
Если таких уравнений в преобразованной системе нет, то в результате получим систему уравнений, эквивалентную системе (4.12):
a11x1+ a12x2+ ···+ a
0
a
x2+ ···+ a
22
1,k−1
0
2,k−1
x
x
+ a1kxk+ ···+ a1nxn= b1,
k−1
k−1
+ a
0
xk+ ···+ a
2k
0
2n
xn= b
0
,
2
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
(k−2)
a
k−1,k−1
x
k−1
+ a
(k−2)
k−1,k
(k−1)
a
kk
xk+ ···+ a
xk+ ···+ a
(k−2)
k−1,n
(k−1)
kn
xn= b
xn= b
(k−2)
k−1
(k−1)
k
(4.15)
Здесь a
(k−1)
kk
6= 0.
Система (4.15) будет совместной; при этом, если k = n, она
будет определенной, а если k < n — неопределенной.
Действительно, пусть k = n. Тогда система (4.15) имеет вид
a11x1+ a12x2+ ···+ a
0
a
x2+ ···+ a
22
1n
0
2n
xn= b1,
xn= b
0
2
,
(4.16)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
(n−1)
a
nn
xn= b
(n−1)
n
.
,
.
Из последнего уравнения системы (4.16) находим вполне определенное значение неизвестного xn. Подставляя найденное значение для
неизвестного xnв предпоследнее уравнение системы (4.16), найдем
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных 127
вполне определенное значение неизвестного x
. Продолжая процесс
n−1
нахождения значений следующих неизвестных, мы найдем, что система (4.16), а поэтому и система (4.12) обладают единственным
решением, т.е. совместны и определенны.
Заметим, что если в результате применения метода Гаусса
система принимает вид (4.16), то говорят, что она приводится
к «треугольному» виду.
Пусть теперь k < n. Выделим k неизвестных x1, x2, ··· , xk, оставим слагаемые всех уравнений системы (4.15), содержащие эти неизвестные, в левых частях уравнений, а все остальные перенесем в правые части:
a11x1+ a12x2+ ···+ a
0
a
x2+ ···+ a
22
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
a
1k
0
2k
(k−1)
kk
xk= −a
xk= −a
xk= −a
1k+1xk+1
0
x
x
k+1
k+1
2k+1
(k−1)
k,k+1
− ···− a
− ···− a
− ···− a
1n
0
2n
(k−1)
kn
xn+ b1,
xn+ b
xn+ b
0
2
(k−1)
k
,
.
(4.17)
Относительно неизвестных x1, x2, .. . , xkсистема приняла «треугольный» вид. Из последнего уравнения найдем значение неизвестного xk, выраженное через свободные неизвестные x
k+1
, x
, .. . , xn.
k+2
Двигаясь по системе (4.17) снизу вверх, мы, как и в случае «треугольного» вида, найдем для неизвестных xk, x
выраженные через свободные неизвестные x
, .. . , x2, x1значения,
k−2
k+1
, x
, .. . , xn. Общее
k+2
решение системы (4.17), а значит и эквивалентной ей системы (4.12),
тогда будет иметь вид
(f1(x
где f1(x
, .. . , xn), f2(x
k+1
, .. . , xn), f2(x
k+1
, .. . , xn), .. .
k+1
, .. . , xn), .. . , fk(x
k+1
... , fk(x
, .. . , xn), x
k+1
k+1
, .. . , xn), (4.18)
k+1
, .. . , xn) — формулы, которые получены в результате описанной выше процедуры нахождения
значений для неизвестных x1, x2, .. . , xk. Эти формулы связывают между собой неизвестные x
k+1
, x
, .. . , xn.
k+2
Подставляя теперь в (4.18) вместо свободных неизвестных кон-
кретные числовые значения
x
k+1
= c
k+1
, x
k+2
= c
получим конкретные частные решения
(f1(c
, .. . , cn), f2(c
k+1
, .. . , cn), .. . , fk(c
k+1
, .. . , xn= cn,
k+2
, .. . , cn), c
k+1
, .. . , cn)
k+1
128 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
для системы (4.17) и, значит, для исходной (4.12). Так как значения
для свободных неизвестных можно выбрать бесконечным числом способов, то система (4.17) и эквивалентная ей (4.12) будут совместными,
но неопределенными. Очевидно, что выражение (4.18) содержит все
решения систем (4.17) и (4.12).
Заметим, если в результате применения метода Гаусса си-
стема принимает вид (4.17), то говорят, что она приводится
к «трапецеидальному» виду.
Обобщая все изложенное выше, приходим к следующему.
Утверждение. Применяя метод Гаусса к любой системе линей-
ных уравнений, можно получить лишь такие окончательные результаты:
1) по завершении всех преобразований система содержит такое
уравнение, в левой части которого все коэффициенты при неизвестных
равны нулю, а свободный член нулю не равен, — в этом случае
исходная система несовместна;
2) система преобразовалась к «треугольному» виду — тогда исходная система совместна и определенна, т. е. имеет единственное
решение;
3) система преобразовалась к «трапецеидальному» виду — в этом
случае исходная система также совместна, но неопределенна, т. е.
имеет бесчисленное множество решений.
Необходимо отдельно рассмотреть как формулируется это утверждение для однородных систем линейных уравнений, т. е. таких систем, в которых все свободные члены равны нулю. Поскольку однородные системы всегда совместны, то первый пункт утверждения
невозможен. Окончательно имеем следующее.
Утверждение0. Применяя метод Гаусса к любой однородной системе линейных уравнений, можно получить лишь такие окончательные результаты:
1) система преобразовалась к «треугольному» виду — тогда ис-
ходная система имеет только нулевое решение;
2) система преобразовалась к «трапецеидальному» виду — в этом
случае исходная система имеет, кроме нулевого, еще бесчисленное
множество ненулевых решений.
Если в однородной системе линейных уравнений число уравнений меньше числа ее неизвестных, то такая система с помощью метода
Гаусса может быть приведена к «трапецеидальному» виду, а тогда
последнее утверждение лучше сформулировать по-другому.
§ 15. Метод последовательного исключения неизвестных 129
Теорема 4.4. Если в однородной системе линейных уравнений
число уравнений меньше числа ее неизвестных, то такая система,
кроме нулевого, будет иметь бесчисленное множество ненулевых решений.
При практическом использовании метода Гаусса для решения
систем линейных уравнений удобно проводить элементарные преобразования для строк расширенной матрицы системы
1n
2n
.
.
.
mn
b
1
b
2
, (4.19)
.
.
.
b
m
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
которая получается приписыванием к основной матрице системы через черту столбца свободных членов. Покажем как с применением
расширенной матрицы выглядит схема элементарных преобразований
системы на первом этапе, т. е. при исключении неизвестного x1из всех
уравнений, начиная со второго:
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
mn
b
1
b
2
.
.
.
b
m
∼
a
11a12
0 a
.
.
.
0 a
0
22
.
.
.
0
m2
... a
... a
.
.
.
... a
1n
0
2n
.
.
.
0
mn
b
1
0
b
2
0
m
∼ ··· ,
.
.
.
b
где знак ∼ означает равносильность систем.
Процедура получения элементов a
0
ij
и b
0
приведена выше, при
k
изложении метода Гаусса.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
4x1+ x2− 2x3+ x4= 3,
x1− 2x2− x3+ 2x4= 2,
2x1+ 5x
3x1+ 3x2− x3− 3x4= 1.
2
− x4= −1,
Решение. Составим расширенную матрицу системы и проведем
элементарные преобразования: 1) меняем местами первую и вторую
строки; 2) умножаем первую строку на −4 и прибавляем полученную
строку ко второй; 3) умножаем первую строку на −2 и прибавляем
полученную строку к третьей; 4) умножаем первую строку на −3
и прибавляем полученную строку к четвертой; 5) умножаем вторую
строку последней полученной матрицы на −9 и прибавляем сначала
5 Б.К. Дураков
130 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
к третьей, а затем к четвертой; 6) третью строку последней матрицы
прибавляем к четвертой:
4 1 −2 1
1 −2 −1 2
2 5 0 −1
3 3 −1 −3
1 −2 −1 2
0 9 2 −7
∼
0 9 2 −5
0 9 2 −9
∼
−1
3
2
1
−5
−5
−5
2
∼
1 −2 −1 2
0 9 2 −7
0 0 0 2
0 0 0 0
1 −2 −1 2
4 1 −2 1
2 5 0 −1
3 3 −1 −3
1 −2 −1 2
0 9 2 −7
∼
0 0 0 −2
0 0 0 2
−5
2
0
0
−1
2
3
1
2
−5
0
0
∼
∼
.
Из последней матрицы запишем преобразованную систему
x1− 2x2− x3+ 2x4= 2,
9x2+ 2x3− 7x4= −5,
2x4= 0.
Из последнего уравнения ясно, что x4= 0. Учитывая это, перепишем
систему:
x1− 2x2− x3= 2,
9x2+ 2x3= −5.
Пусть x3будет свободным неизвестным; перенесем слагаемые, содержащие x3в правые части уравнений:
x1− 2x2= x3+ 2,
9x2= −2x3− 5.
−2x3− 5
Из последнего уравнения получаем: x2=
. Подставляем
9
найденное значение x2в первое уравнение последней системы и нахо-
5x3+ 8
дим значение последнего неизвестного x1=
. Таким образом,
9
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]