Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 13. Обратная матрица 111
Так как по условию теоремы матрица A невырожденная, то из (3.23)
и (3.24) получаем
A
1
∆
=
∗
A
1
∆
A
∗
A =
∆ 0 . .. 0
0 ∆ ... 0
1
.
∆
.
.
.
.
.
.
.
0 0 .. . ∆
1 0 ... 0
.
.
.
.
=
0 1 ... 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. (3.25)
.
.
.
0 0 ... 1
1
Из полученных равенств следует, что матрица B =
A∗по
∆
определению 15 будет одновременно правой и левой обратной для
матрицы A. Таким образом существование обратной матрицы для
всякой невырожденной матрицы доказано.
Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что
для матрицы A существуют две обратные: B и C, т. е. верны равенства
AB = BA = E,
AC = CA = E.
Тогда, используя ассоциативность произведения матриц, получаем
CAB = (CA)B = EB = B,
CAB = C(AB) = CE = C.
Поэтому C = B, и теорема доказана.
Для данной невырожденной матрицы A ее обратную будем обозначать A−1. Из доказательства теоремы 3.4 получаем ее вид:
A−1=
A
A
A
∆
∆
∆
.
.
.
1n
11
12
A
A
A
∆
∆
∆
.
.
.
21
22
2n
...
...
.
.
...
.
A
A
A
∆
∆
∆
n1
n2
.
.
.
nn
. (3.26)
Выше мы отмечали, что операция деления для матриц не определена, но в некоторых случаях имеет смысл говорить о делении матриц.
Например, если A и B — квадратные матрицы n-го порядка, причем
A — невырожденная, а B — произвольная, то можно выполнить правое
112 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
и левое деления B на A, т. е. решить матричные уравнения
AX = B, Y A = B. (3.27)
Умножим на A
−1
обе части первого уравнения слева, а второго — справа, воспользуемся ассоциативностью произведения матриц и
получим
(A−1A)X = A−1B, Y (AA−1) = BA−1.
Окончательно имеем
X = A−1B, Y = BA−1,
причем эти решения уравнений (3.27) будут ввиду некоммутативности
умножения матриц в общем случае различными.
Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы
3 2 2
A =
1 3 1
.
5 3 4
Решение. Вычислим определитель ∆ матрицы A:
3 2 2
∆ =
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A:
A11=
A21= −
A31=
3 1
3 4
2 2
3 4
2 2
3 1
= 9, A12= −
= −2, A22=
= −4, A32= −
1 3 1
5 3 4
= 27 + 2 −24 = 5.
3 2
5 4
1 1
= 1, A13=
5 4
= 2, A23= −
3 2
= −1, A33=
1 1
1 3
5 3
3 2
5 3
3 2
1 3
= −12,
= 7.
Построим присоединенную матрицу
9 −2 −4
A∗=
1 2 −1
.
−12 1 7
= 1,
Следовательно,
A−1=
Упражнения для самостоятельной работы
1. Перемножить матрицы:
3 −4 5
а)
2 −3 1
·
3 −5 −1
1 5 3
б)
−1 4 −2
·
2 −3 1
§ 13. Обратная матрица 113
9/5 −2/5 −4/5
1/5 2/5 −1/5
.
−12/5 1/5 7/5
3 29
2 18
;
0 −3
2 −3 5
.
3 −1 1
2. Выполнить действия:
3 0 2 0
0 1 2 1
2 3 0 0
1 −2 2
2 −1 1
·
−1 1 −2
+
−2 0 −3
0 6 −3
5 −2 8
2 2 −1
3. Вычислить:
2
1 2 2
2 1 −2
.
2 −2 1
4. Вычислить значение многочлена f (x) от матрицы A:
2 1 0
f(x) = x3− 2x2+ 1; A =
0 2 0
1 1 1
.
.
5. Решить матричные уравнения:
а)
1 3
1 2
−1 1
X =
1 1
1 1
=
;
−2 −1
б) X
3 −4
3 4
.
114 Глава 3. Матрицы и определители. Алгебра матриц
6. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей
7. Вычислить определители:
1 2 3
5 1 4
а)
3 2 5
1 2 3 4
−3 2 −5 13
г)
1 −2 10 4
−2 9 −8 25
27 44 40 55
20 64 21 40
е)
13 −20 −13 24
46 45 −55 84
; б)
−1 5 4
−1 3 6
; д)
7 −3
5 −2
3 −2 0
; ж)
.
; в)
a b c
b c a
c a b
1 −1 1 −2
1 3 −1 3
−1 −1 4 3
−3 0 −8 −13
;
1001 1002 1003 1004
1002 1003 1001 1002
1001 1001 1001 999
1001 1000 998 999
;
.
8. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:
5 2 1 3 2
4 0 7 0 0
2 3 7 5 3
а)
2 3 6 4 5
3 0 4 0 0
; б)
7 2 1 3 4
1 0 2 0 3
3 0 4 0 7
6 3 2 4 5
5 1 2 2 3
.
9. Найти обратные для следующих матриц:
а)
3 −4 5
2 −3 1
3 −5 −1
; б)
5 0 0
0 3 0
0 0 −2
; в)
2 7 3
3 9 4
1 5 3
6 0 0
г)
0 1 2
.
0 3 5
;
Г л а в а 4
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В этой главе будет построена теория систем линейных уравнений и рассмотрены наиболее применяемые методы нахождения их
решений. Для построения общей теории систем линейных уравнений
потребуется ввести новое понятие, представляющее собой большой
общематематический интерес, а именно понятие многомерного век-
торного пространства.
§ 14. Общие определения. Квадратные системы
Мы приступаем к изучению произвольных систем линейных
уравнений, т.е. систем уравнений следующего вида:
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= b2,
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
am1x1+ am2x2+ ···+ amnxn= bm.
Здесь x1, x2, .. . , xn— неизвестные, a11, a12, .. . , a1n— коэффициенты при неизвестных и b1, b2, .. . , bm— свободные члены системы.
Для системы уравнений важно отметить основную задачу: найти все такие наборы значений неизвестных, подставляя каждый из
которых во все уравнения, мы получим верные числовые равенства
(тождества).
Тем самым система уравнений отличается от совокупности уравнений, при которой уравнения заключаются не в фигурную, а в
квадратную скобку и для которой ставится задача: найти все наборы
значений неизвестных, подставляя каждый из которых хотя бы в одно
из указанных уравнений, оно обращается в верное числовое равенство
(тождество).
(4.1)
Вначале рассмотрим некоторый класс квадратных систем, т. е.
систем, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Затем перейдем к изучению произвольных систем линейных уравнений,
в которых число неизвестных и количество уравнений между собой не
связаны. Наконец, отдельно рассмотрим однородные системы, т. е.
116 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
такие системы, в которых все свободные члены равны нулю. Отличие однородных систем линейных уравнений от остальных состоит
в том, что любая однородная система всегда имеет по крайней мере
нулевое решение. Имеются и более существенные отличия, которые
будут подробно рассмотрены ниже.
Изучение систем линейных уравнений начнем с основополагающих определений.
Определение 1. Любой числовой набор (α1, α2, .. . , αn) называется решением системы (4.1), если после подстановки этих чисел в систему вместо соответствующих неизвестных все уравнения системы
обращаются в верные числовые равенства (тождества):
b1= b1, b2= b2, .. . , bm= bm.
Определение 2. Система линейных уравнений (4.1) называется
совместной, если существует хотя бы одно ее решение, в противном
случае система несовместна. Система называется определенной, если
она имеет только одно решение, и неопределенной, если ее решений
больше одного.
Определение 3. Решить систему линейных уравнений — это
значит найти все ее решения или доказать несовместность системы.
Часто бывает целесообразно заменить систему линейных уравнений эквивалентным матричным уравнением. Для этого следует ввести
матрицы:
A =
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
mn
, X =
x
1
x
2
, B =
.
.
.
x
n
b
1
b
2
,
.
.
.
b
m
где A — основная матрица системы, X — столбец неизвестных
и B — столбец свободных членов системы.
Запишем матричное уравнение:
a
11a12
a
21a22
.
.
.
a
m1am2
.
.
.
... a
... a
.
.
.
... a
1n
2n
.
.
.
mn
x
1
x
2
.
.
.
x
n
=
b
1
b
2
. (4.2)
.
.
.
b
m
Используя правила умножения и сравнения матриц, нетрудно
получить из матричного уравнения (4.2) систему линейных уравне-
§ 14. Общие определения. Квадратные системы 117
ний (4.1). Очевидно, что, решая матричное уравнение (4.2), мы тем
самым решаем систему (4.1).
Рассмотрим теперь квадратную систему линейных уравнений:
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= b1,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= b2,
(4.3)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
an1x1+ an2x2+ ···+ annxn= bn.
Заметим, что квадратные системы, в которых основная матрица
является невырожденной, играют особую роль в математике и потому
заслуживают отдельного внимания. Тем более, что для теоретических
исследований имеется эффективный метод решения квадратных систем с невырожденной основной матрицей.
Теорема 4.1 (Крамера). Если основная матрица квадратной
системы линейных уравнений невырожденная, то такая система имеет
единственное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A — основная матрица системы
(4.3), ∆ — ее определитель (главный определитель системы), X —
столбец из ее неизвестных и B — столбец свободных членов системы.
Тогда
AX = B (4.4)
— матричная запись системы (4.3). Так как по условию теоремы A –
невырожденная матрица, то она имеет обратную A−1. Умножим обе
части равенства (4.4) слева на A−1:
A−1(AX) = A−1B.
Используя ассоциативность умножения матриц, получаем
(A−1A)X = EX = X = A−1B.
Таким образом,
X = A−1B. (4.5)
Произведение, стоящее справа, будет матрицей из одного столбца. Ее j-й элемент равен сумме произведений j-й строки матрицы A
на соответствующие элементы матрицы B, т. е. равен числу
A
∆
1j
b1+
A
2j
b2+ ···+
∆
A
∆
nj
bn=
A1jb1+ A2jb2+ ···Anjb
∆
n
. (4.6)
−1
118 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Сумма, стоящая в числителе справа, является разложением по
j-му столбцу определителя ∆j, получающегося заменой j-го столбца
определителя ∆ столбцом B.
Остается показать, что полученные значения неизвестных действительно составляют решение системы (4.3). Для этого достаточно
правую часть выражения (4.5) подставить вместо X в матричное
уравнение (4.4), что очевидно приводит к тождеству B = B.
Единственность решения системы (4.3) следует из единственности обратной матрицы A
−1
и однозначности произведения матриц
A−1B. Теорема доказана.
Учитывая (4.6), запишем равенства соответствующих элементов
матриц-столбцов, расположенных в левой и правой частях матричного
равенства (4.5):
∆
xj=
j
, j = 1, 2, ... , n, (4.7)
∆
где ∆j— определители, получающиеся из ∆ заменой j-го столбца
определителя ∆ столбцом B.
Равенства (4.7) называются формулами Крамера решения квад-
ратных систем линейных уравнений, основная матрица которых невырожденная.
Если определитель основной матрицы квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то теорему Крамера для нахождения
решений системы применять нельзя. Такие системы будут рассмотрены в следующих параграфах настоящей главы.
Отдельно сделаем замечание по поводу квадратных однородных
систем:
a11x1+ a12x2+ ···+ a1nxn= 0,
a21x1+ a22x2+ ···+ a2nxn= 0,
(4.8)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
an1x1+ an2x2+ ···+ annxn= 0.
Поскольку такая система всегда имеет нулевое решение (x1= 0,
x2= 0, . .. xn= 0), то, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля, система, по теореме Крамера, имеет только нулевое
решение.
Теорема 4.2. Если квадратная однородная система линейных
уравнений имеет ненулевые решения, то определитель ее основной
матрицы необходимо равен нулю.
Здесь под ненулевыми решениями системы понимаются такие,
в которых хотя бы одно из значений неизвестных отлично от нуля.
§ 14. Общие определения. Квадратные системы 119
Далее покажем, что если определитель основной матрицы квадратной однородной системы линейных уравнений равен нулю, то такая
система будет иметь помимо нулевого еще и ненулевые решения.
В заключение отметим, что практическое применение метода
Крамера к нахождению решений квадратных систем связано с весьма
громоздкими вычислениями: в случае решения n линейных уравнений
с n неизвестными приходится вычислить (n + 1) определителей n-го
порядка. Метод последовательного исключения неизвестных, который
будет рассмотрен далее, является в этом отношении много более удобным, так как вычисления с применением этого метода равносильны
тем, которые применяются при вычислении одного определителя n-го
порядка.
Пример 1. Решить матричным способом систему линейных урав-
нений
2x + 3y + 2z = 9,
x + 2y − 3z = 14,
3x + 4y + z = 16.
Решение. Перепишем систему в виде AX = B, где
A =
2 3 2
1 2 −3
3 4 1
, X =
x
y
z
, B =
14
16
9
.
Поскольку система квадратная, то имеет смысл найти обратную матрицу для матрицы A, а для этого вычислим определитель этой матрицы:
∆ =
2 3 2
1 2 −3
3 4 1
= 28 − 30 −4 = −6 6= 0.
Следовательно, существует обратная матрица A−1, и тогда решение
матричного уравнения можно записать в виде: X = A−1B. Найдем обратную матрицу A−1, для этого вычислим алгебраические дополнения
ее элементов:
A11=
A21= −
A31=
2 −3
4 1
3 2
2 −3
3 2
4 1
= 14, A12= −
= 5, A22=
= −13, A32= −
1 −3
3 1
2 2
3 1
2 2
1 −3
= −10, A13=
= −4, A23= −
= 8, A33=
1 2
3 4
2 3
3 4
2 3
1 2
= −2,
= 1.
= 1,
120 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Построим присоединенную матрицу:
Следовательно,
Значит,
X = −
1
6
14 5 −13
−10 −4 8
−2 1 1
= −
A∗=
A−1= −
1
126 + 70 −208
−90 − 56 + 128
6
14 5 −13
−10 −4 8
−2 1 1
1
6
14 5 −13
−10 −4 8
−2 1 1
9
14
=
16
18 + 14 + 16
= −
.
1
6
.
−12
−18
12
=
−2
2
3
.
Таким образом, x = 2, y = 3, z = −2.
Пример 2. Решить систему линейных уравнений
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 30,
−x1+ 2x2− 3x3+ 4x4= 10,
x1+ x2+ x3+ x4= 10.
x2− x3+ x4= 3,
Решение. Вычислим определитель ∆ основной матрицы системы:
∆ =
1 2 3 4
−1 2 −3 4
0 1 −1 1
1 1 1 1
= −4 6= 0.
Далее решение будем искать с помощью формул Крамера. Поскольку
∆1=
30 2 3 4
10 2 −3 4
3 1 −1 1
10 1 1 1
= −4, ∆2=
1 30 3 4
−1 10 −3 4
0 3 −1 1
1 10 1 1
= −8,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]