Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 171
Если γ — любое действительное число, то аналогичным образом
нетрудно проверить, что произведение
(γβ1, γβ2, .. . , γβn)
числа γ на любое решение (β1, β2, .. . , βn) системы (4.66) также будет
ее решением, т. е.
(γβ1, γβ2, .. . , γβn) ∈ W.
Полученные свойства решений, по определению, и означают, что
W — подпространство пространства An. Теорема доказана.
Легко проверяется, что решения неоднородных систем линей-
ных уравнений такими свойствами не обладают.
Определение 27. Любой базис подпространства решений данной
системы однородных линейных уравнений называется ее фундаментальной системой решений.
Общее решение данной системы однородных линейных уравнений всегда можно выразить через некоторую ее фундаментальную
систему решений. Действительно, пусть u1, u2, .. . , uk— какая-то фундаментальная система решений однородной системы (4.66). Тогда векторы u1, u2, .. . , ukобразуют базис подпространства W всех решений
этой системы. Если v — любое решение системы (4.66), то v ∈ W
и тогда решение v однозначно разлагается в базисе u1, u2, .. . , uk:
v = γ1u1+ γ2u2+ ···+ γkuk,
для подходящих γ1, γ2, .. . , γk. Таким образом, если определена фундаментальная система решений u1, u2, .. . , ukоднородной системы линейных уравнений (4.66), то общее решение этой системы можно
представить в виде
hγ1u1+ γ2u2+ ···+ γkuk| γi∈ R, i = 1, 2, .. . , ki.
Понятно, что однородная система линейных уравнений (4.66)
будет иметь фундаментальную систему решений лишь в том случае,
если система (4.66) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг
ее основной матрицы меньше числа неизвестных. При этом для системы (4.66) можно будет найти много различных ее фундаментальных
систем решений. Из определения 27 и утверждения 2 в § 9 следует,
что все фундаментальные системы решений данной системы одно-
родных линейных уравнений всегда состоят из одного и того же
числа решений.
172 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Справедлива теорема 4.19.
Теорема 4.19. Если ранг r основной матрицы системы однород-
ных линейных уравнений (4.66) меньше числа n ее неизвестных, то
всякая фундаментальная система решений системы (4.66) состоит из
(n − r) решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг системы однородных линейных
уравнений (4.66) равен r. Тогда число свободных неизвестных этой
системы равно (n − r). Без ограничения общности будем считать,
что свободными неизвестными являются x
r+1
, x
, .. . , xn. Рассмотрим
r+2
произвольный, отличный от нуля, определитель ∆ порядка (n − r),
который запишем так:
∆ =
δ
1,r+1
δ
2,r+1
.
.
.
δ
n−r,r+1δn−r,r+2
δ
1,r+2
δ
2,r+2
.
.
.
... δ
... δ
.
.
.
... δ
1n
2n
.
.
.
n−r,n
.
Взяв элементы i-й строки этого определителя, i = 1, 2, .. . , n − r,
в качестве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, вычислим однозначно определенные значения δi1, δi2, .. . , δirдля
неизвестных x1, x2, .. . , xr, т. е. получим вполне определенное частное
решение системы уравнений (4.66). Запишем все такие решения в виде
системы векторов (*):
u1= (δ11, δ12, .. . , δ1r, δ
u2= (δ21, δ22, .. . , δ2r, δ
1,r+1
2,r+1
, δ
, δ
1,r+2
2,r+2
, .. . , δ1n),
, .. . , δ2n),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
u
n−r
= (δ
n−r,r+1
, δ
n−r,r+2
, .. . , δ
n−r,r
, δ
n−r,r+1
, δ
n−r,r+2
, .. . , δ
n−r,n
).
Полученная система векторов (*) является для системы уравнений (4.66) фундаментальной системой решений. Действительно, эта
система векторов линейно независима, поскольку матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля минор
∆ порядка (n − r). Пусть теперь
v = (β1, β2, .. . , βr, β
r+1
, β
, .. . , βn)
r+2
— произвольное решение системы уравнений (4.66). Докажем, что
вектор v линейно выражается через векторы u1, u2, .. . , u
0
Пусть u
1
, u
0
, .. . , u
2
0
— все строки определителя ∆, рассматри-
n−r
n−r
.
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 173
ваемые как (n − r)-мерные векторы, и пусть
Векторы u
0
1
, u
0
, .. . .u
2
v0= (β
0
линейно независимы, так как ∆ 6= 0. Однако
n−r
r+1
, β
, .. . , βn).
r+2
система (n − r)-мерных векторов
0
0
u
, u
, .. . , u
1
2
0
n−r
, v
0
линейно зависима, поскольку в ней число векторов больше их размерности. Значит, существуют такие коэффициенты γ1, γ2, .. . , γ
n−r
, что
выполняется равенство
v0= γ1u
0
+ γ2u
1
0
+ ···+ γ
2
n−r
0
u
. (4.67)
n−r
Рассмотрим теперь n-мерный вектор
w = γ1u1+ γ2u2+ ···+ γ
n−run−r
− v.
Так как w является линейной комбинацией решений системы однородных линейных уравнений (4.66), то этот вектор сам будет решением
этой системы. Из (4.67) следует, что в решении w значения для
всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное
решение системы уравнений (4.66), которое получается при равных
нулю значениях для свободных неизвестных, будет нулевым решением.
Таким образом, w = o, т. е.
v = γ1u1+ γ2u2+ ···+ γ
n−run−r
.
Теорема доказана.
На практике чаще всего определитель ∆ выбирают таким:
1 0 .. . 0
0 1 .. . 0
∆ =
.
.
.
.
0 0 .. . 1
.
.
.
Тогда фундаментальная система решений u1, u2, .. . , u
.
.
.
.
.
.
для системы
n−r
уравнений (4.66), рассмотренная в доказательстве последней теоремы,
174 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
принимает вид
u1= (δ11, δ12, .. . , δ1r, 1, 0, .. . , 0),
u2= (δ21, δ22, .. . , δ2r, 0, 1, .. . , 0),
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
u
n−r
= (δ
n−r,r+1
, δ
n−r,r+2
, .. . , δ
, 0, 0, .. . , 1).
n−r,r
И вообще, приведенное выше доказательство позволяет утверждать, что, выбирая в качестве ∆ всевозможные отличные от нуля
определители порядка (n − r), получим все фундаментальные системы
решений системы однородных линейных уравнений (4.66).
В заключение рассмотрим связь, существующую между решениями неоднородных и однородных систем линейных уравнений. Пусть
дана система линейных неоднородных уравнений
α11x1+ α12x2+ ···+ α1nxn= β1,
α21x1+ α22x2+ ···+ α2nxn= β2,
(4.68)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αm1x1+ αm2x2+ ···+ αmnxn= βm.
Система:
α11x1+ α12x2+ ···+ α1nxn= 0,
α21x1+ α22x2+ ···+ α2nxn= 0,
(4.69)
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
αm1x1+ αm2x2+ ···+ αmnxn= 0,
полученная из системы (4.68) заменой свободных членов нулями,
называется соответствующей однородной системой для системы
(4.68). Между решениями систем (4.68) и (4.69) существует тесная
связь, которая будет отмечена в виде следующих двух теорем.
Теорема 4.20. Сумма любого решения неоднородной системы
(4.68) с любым решением соответствующей однородной системы (4.69)
снова будет решением неоднородной системы (4.68).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть (γ1, γ2, .. . , γn) — решение неоднородной системы линейных уравнений (4.68) и (µ1, µ2, .. .
... , µn) — решение соответствующей однородной системы (4.69). Выберем любое из уравнений системы (4.68), например k-е, и подставим
в правую часть этого уравнения вместо неизвестных соответствующие
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 175
компоненты вектора
Получим
(γ1+ µ1, γ2+ µ2, .. . , γn+ µn).
n
X
αkj(γj+ µj) =
j=1
n
X
j=1
αkjγj+
n
X
αkjµj= βk+ 0 = βk.
j=1
Теорема 4.21. Разность любых двух решений неоднородной системы (4.68) будет решением соответствующей однородной системы
(4.69).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (γ1, γ2, .. . , γn) и (γ
1
, γ
0
, .. . , γ
2
0
) — два
n
0
решения неоднородной системы (4.68). Подставим в любое уравнение
соответствующей однородной системы (4.69), например в k-е, компоненты вектора
(γ1− γ
0
, γ2− γ
1
0
, .. . , γn− γ
2
0
)
n
вместо соответствующих неизвестных. В результате получим
n
X
αkj(γj− γ
j=1
0
) =
j
n
X
j=1
αkjγj−
n
X
j=1
αkjγ
0
= βk− βk= 0.
j
Пусть v
линейных уравнений (4.68) и u
— некоторое частное решение неоднородной системы
ч.н.
— общее решение соответствующей
о.о.
однородной системы (4.69). Тогда из последних двух теорем вытекает,
что для общего решения w
неоднородной системы линейных
о.н.
уравнений (4.68) справедливо
w
о.н.
= u
о.о.
+ v
. (4.70)
ч.н.
Пример. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений:
3x1+ x2− 8x3+ 2x4+ x5= 0,
2x1− 2x2− 3x3− 7x4+ 2x5= 0,
x1+ 11x2− 12x3+ 34x4− 5x5= 0,
x1− 5x2+ 2x3− 16x4+ 3x5= 0.
176 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
Решение. Составим основную матрицу системы и проведем элементарные преобразования:
3 1 −8 2 1
2 −2 −3 −7 2
1 11 −12 34 −5
1 −5 2 −16 3
1 −5 2 −16 3
0 16 −14 50 −8
∼
0 16 −14 50 −8
0 8 −7 25 −4
∼
1 −5 2 −16 3
1 11 −12 34 −5
3 1 −8 2 1
2 −2 −3 −7 2
1 −5 2 −16 3
0 8 −7 25 −4
∼
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
∼
.
Ранг системы r = 2, число неизвестных n = 5, поэтому пространство
решений данной системы линейных однородных уравнений имеет размерность n − r = 3. Из последней матрицы запишем преобразованную
систему:
x1−5x2+ 2x3− 16x4+ 3x5= 0,
8x2− 7x3+ 25x4− 4x5= 0 .
Пусть свободными неизвестными будут x3, x4, x5, тогда
x1−5x2= −2x3+ 16x4− 3x5,
8x2= 7x3− 25x4+ 4x5.
Отсюда
x2=
7x3− 25x4+ 4x
5
,
8
подставляем в первое уравнение и получаем
x1=
19x3+ 3x4− 4x
5
.
8
Если заменить свободные неизвестные произвольными действительными числами: x3= α, x4= β, x5= γ, где α, β, γ — произвольные
действительные числа, то общее решение системы можно записать
в виде вектора
19α + 3β − 4γ
8
7α − 25β + 4γ
,
8
, α, β, γ.
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 177
В качестве фундаментальной системы решений можно, например,
взять следующие три вектора:
19
8
7
,
, 1, 0, 0,
8
3
8
, −
25
, 0, 1, 0,
8
−
4
4
,
, 0, 0, 1,
8
8
или
(19, 7, 8, 0, 0), (3, −25, 0, 8, 0), (−4, 4, 0, 0, 8),
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить матричным способом систему линейных уравнений
2x+ y + z = 3,
x + 2y + z = 0,
x+ y + 2z = 0.
2. С помощью формул Крамера решить системы уравнений:
x + y + z = 6,
−x + y + z = 0,
а)
x − y + z = 2;
б)
2x + 3y + 5z = 10,
3x + 7y + 4z = 3,
x + 2y + 2z = 3.
3. Найти общее решение и одно частное решение системы линейных
уравнений, используя метод Гаусса:
5x1+ 3x2+ 5x3+ 12x4= 10,
2x1+ 2x2+ 3x3+ 5x4= 4,
а)
x1+ 7x2+ 9x3+ 4x4= 2;
−9x1+ 10x2+ 3x3+ 7x4= 7,
−4x1+ 7x2+ x3+ 3x4= 5,
б)
7x1+ 5x2− 4x3− 6x4= 3;
8x1+ 6x2+ 5x3+ 2x4= 21,
3x1+ 3x2+ 2x3+ x4= 10,
в)
4x1+ 4x2+ 3x3+ x4= 8,
3x1+ 2x2+ x3+ x4= 15,
7x1+ 4x2+ 5x3+ 2x4= 18.
4. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от
значения параметра λ:
178 Глава 4. Системы линейных уравнений. Линейная алгебра
8x1+ 6x2+ 3x3+ 2x4= 5,
−12x1− 3x2− 3x3+ 3x4= −6,
а)
4x1+ 5x2+ 2x3+ 3x4= 3,
λx1+ 4x2+ x3+ 4x4= 2;
−6x1+ 8x2− 5x3− x4= 9,
−2x1+ 4x2+ 7x3+ 3x4= 1,
б)
−3x1+ 5x2+ 4x3+ 2x4= 3,
−3x1+ 7x2+17x3+ 7x4= λ.
5. Найти вектор x из уравнения
3a1+ 2a2+ 3a3+ 4x = o,
где
a1= (5, −8, 1, 2), a2= (1, −1, 4, −3), a3= (−3, 2, −5, 4).
6. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
a1= (4, −5, 2, 6),
a2= (2, −2, 1, 3),
а)
a3= (6, −3, 3, 9),
a4= (4, −1, 5, 6);
a1= (1, 0, 0, 2. 5),
a2= (0, 1, 0, 3, 4),
б)
a3= (0, 0, 1, 4, 7),
a4= (2, −3, 4, 11, 12).
7. Вычислить ранг матрицы A:
а) A =
1 7 7 9
7 5 1 −1
4 2 1 −3
−1 1 3 5
, б) A =
4 1 7 −5 1
0 −7 1 −3 −5
3 4 5 −3 2
2 5 3 −1 3
в) A =
8 −4 5 5 9
1 −3 −5 0 −7
7 −5 1 4 1
, г) A =
−6 4 8 −1 6
−5 2 4 1 3
7 2 4 1 3
2 4 8 −7 6
3 −1 3 2 5
3 2 4 −5 3
8. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра λ:
3 4 2 2
A =
3 17 7 1
1 10 4 λ
.
4 1 1 3
,
,
9. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
систем уравнений:
§ 21. Системы линейных однородных уравнений 179
x1+ 2x2+ 4x3− 3x4= 0,
3x1+ 5x2+ 6x3− 4x4= 0,
а)
4x1+ 5x2− 2x3+ 3x4= 0,
3x1+ 8x2+ 24x3− 19x4= 0;
3x1+ 2x2+ x3+ 3x4+ 5x5= 0,
6x1+ 4x2+ 3x3+ 5x4+ 7x5= 0,
в)
9x1+ 6x2+ 5x3+ 7x4+ 9x5= 0,
3x1+ 2x
2
+ 4x4+ 8x5= 0;
2x1− 4x2+ 5x3+ 3x4= 0,
3x1− 6x2+ 4x3+ 2x4= 0,
б)
4x1− 8x2+ 17x3+ 11x4= 0;
3x1+ 5x2+ 2x3= 0,
4x1+ 7x2+ 5x3= 0,
г)
x1+ x2− 4x3= 0,
2x1+ 9x2+ 6x3= 0.
Г л а в а 5
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
При построении An(в предыдущей главе) за основу взяли числовые строки длины три (координаты векторов-отрезков в некоторой
декартовой системе координат) с операциями над ними, при этом
качественно не изменили операции сложения и умножения на число строк длины n. Теперь целесообразно рассмотреть возможность
обобщения пространства векторов-отрезков, отвлекаясь от природы элементов основного множества, выбора операций сложения
элементов и умножения их на действительные числа, требуя при
этом выполнения замкнутости и «основных» свойств операций.
§ 22. Определение линейного пространства.
Изоморфизм
Рассмотрим пример. Пусть V — это множество всех многочленов,
степень которых не превышает натурального числа n:
V =anxn+ a
Под суммой двух многочленов
и
из V , как известно, понимают многочлен
h = f + g = (an+ bn)xn+ (a
Здесь многочлены f и g реально могут иметь степени меньше
n, тогда недостающие коэффициенты этих многочленов принимаются
n−1
n−1
x
+ ···+ a1x + a0| ai∈ R,i = 0, 1, 2, . .. , n.
f = anxn+ a
g = bnxn+ b
n−1
n−1
n−1
+ b
x
x
n−1
+ ···+ a1x + a
n−1
+ ···+ b1x + b
n−1
n−1
)x
+ ··· + (a1+ b1)x + (a0+ b0).
0
0
равными нулю. Под произведением многочлена f из V на число γ
понимают многочлен
d = γf = (γan)xn+ (γa
n−1
)x
n−1
+ ···+ (γa1)x + (γa0).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]