Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 44. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве 361
ния второго порядка надо найти каноническую систему кординат, в
которой уравнение будет иметь вполне характерный вид, позволяющий
определить тип кривой или поверхности, а также расположение в первоначальной системе координат. Далее рассмотрим отдельно преобразования систем координат на плоскости и в трехмерном пространстве.
1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на
плоскости. Рассмотрим на плоскости две декартовы прямоугольные
системы координат OXY и O0X0Y0. Пусть M — точка, которая в
первой системе координат имеет координаты (x, y), а во второй —
(x0, y0). Выясним связь между координатами точки M в разных систе-
мах координат.
Обозначим (x0, y0) — координаты начала O0в системе координат
OXY. В каждой системе координат выберем ортонормированные базисы ij и i0j0, причем направления векторов i и i0пусть совпадают с
направлениями соответствующих осей абсцисс, а направления векторов j и j0— с направлениями соответствующих осей ординат.
Запишем вектор OM в базисе ij:
вектор O0M в базисе i0j0:
и вектор OO0в базе ij:
Из §23 главы 5 (5.8) следует, что базы ij и i0j0связаны матрицей
перехода
или
OM = xi + yj, (10.1)
O0M = x0i0+ y0j
0
(10.2)
OO0= x0i + y0j. (10.3)
τ11τ
T =
τ21τ
12
, (10.4)
22
i0= τ11i + τ12j,
(10.5)
j0= τ21i + τ22j.
Используя (10.3) и (10.5), запишем вектор O0M в базисе ij:
O0M = x0i0+ y0j0= x0(τ11i + τ12j) + y0(τ21i + τ22j) =
= (x0τ11+ y0τ21)i + (x0τ12+ y0τ22)j. (10.6)
362 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
По правилу треугольника сложения векторов имеем
OM = OO0+ O0M. (10.7)
Подставляя в (10.7) соответствующие правые части равенств (10.1),
(10.3) и (10.6), получим
xi + yj = x0i + y0j + ((x0τ11+ y0τ21)i + (x0τ12+ y0τ22)j) =
= (x0+ (x0τ11+ y0τ21))i + (y0+ (x0τ12+ y0τ22))j. (10.8)
Сравнивая координаты левой и правой частей равенства (10.8), окончательно получим искомую связь между координатами точки M в
разных системах координат
x = x0+ (x0τ11+ y0τ21),
(10.9)
y = y0+ (x0τ12+ y0τ22).
Следует отдельно рассмотреть преобразование, когда соответствующие
координатные оси систем координат OXY и O0X0Y0параллельны и
одинаково направлены. В этом случае базисы ij и i0j0совпадают,
матрица T будет единичной, и равенства (10.9) принимают вид:
x = x0+ x0,
(10.10)
y = y0+ y0.
Равенства (10.10) означают параллельный перенос декартовой прямоугольной системы координат в новое начало O0(x0, y0).
Если начало O0декартовой прямоугольной системы координат
O0X0Y0совпадает с началом системы координат OXY , то x0= 0 и
y0= 0, и преобразование системы координат запишется в виде
x = x0τ11+ y0τ
21
(10.11)
y = x0τ12+ y0τ22.
Так как матрица T является матрицей перехода от ортонормированной
базы к ортонормированной базе, то по теореме 6.11 T — ортогональная матрица, а по теореме 6.14 преобразование (10.11) будет
ортогональным. Тогда из теорем 6.15 и 6.16 следует, что декартова
прямоугольная система координат OX0Y0получена либо поворотом
системы координат OXY вокруг начала O на некоторый угол, либо
поворотом OXY и последующим отражением относительно одной из
новых осей координат.
§ 44. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве 363
Итак, геометрически преобразование (10.9) системы координат
OXY — это последовательное выполнение двух действий: параллельного переноса системы координат в другое начало, а затем поворота
вокруг нового начала или поворота и отражения относительно одной
из новых осей координат. Часто эти действия выполняют в другой
последовательности: сначала производят поворот (с отражением или
без), а затем выполняют параллельный перенос системы координат.
2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в
трехмерном пространстве. Рассмотрим в пространстве две декартовы
прямоугольные системы координат OXY Z и O0X0Y0Z0. Пусть M —
точка, которая в первой системе координат имеет координаты (x, y, z),
а во второй — (x0, y0, z0). Установим связь между координатами точки
M в разных системах координат.
Обозначим (x0, y0, z0) — координаты начала O0в системе координат OXY Z. В каждой системе координат выберем ортонормированные
базисы ijk и i0j0k0, причем направления векторов i и i0пусть совпадают с направлениями соответствующих осей абсцисс, направления
векторов j и j0— с направлениями соответствующих осей ординат и
направления векторов k и k0с направлениями соответствующих осей
аппликат.
Запишем вектор OM в базисе ijk:
OM = xi + yj + zk, (10.12)
вектор O0M в базисе i0j0k0:
O0M = x0i0+ y0j0+ z0k
0
(10.13)
и вектор OO0в базе ijk:
OO0= x0i + y0j + z0k. (10.14)
Из §23 главы 5 (5.8) следует, что базы ijk и i0j0k0связаны
матрицей перехода
T =
τ11τ12τ
τ21τ22τ
τ31τ32τ
13
, (10.15)
23
33
или
i0= τ11i + τ12j + τ13k,
j0= τ21i + τ22j + τ23k,
k0= τ31i + τ32j + τ33k.
(10.16)
364 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Используя (10.14) и (10.16), запишем вектор O0M в базисе ijk:
O0M = x0i0+ y0j0+ z0k0= x0(τ11i + τ12j + τ13k) + y0(τ21i + τ22j +
+ τ23k) + z0(τ31i + τ32j + τ33k) = (x0τ11+ y0τ21+ z0τ31)i +
+ (x0τ12+ y0τ22+ z0τ32)j + (x0τ13+ y0τ23+ z0τ33)k. (10.17)
По правилу треугольника сложения векторов имеем
OM = OO0+ O0M. (10.18)
Подставляя в (10.18) соответствующие правые части равенств (10.12),
(10.14) и (10.17), получим
xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + ((x0τ11+ y0τ21+ z0τ31)i + (x0τ12+ y0τ22+
+ z0τ32)j + (x0τ13+ y0τ23+ z0τ33)k) = (x0+ (x0τ11+ y0τ21+ z0τ31))i +
+ (y0+ (x0τ12+ y0τ22+ z0τ32))j + (z0+ (x0τ13+ y0τ23+ z0τ33))k. (10.19)
Сравнивая координаты левой и правой частей равенства (10.19), окончательно получим искомую связь между координатами точки M в
разных системах координат
x = x0+ (x0τ11+ y0τ21+ z0τ31),
y = y0+ (x0τ12+ y0τ22+ z0τ32),
z = z0+ (x0τ13+ y0τ23+ z0τ33).
(10.20)
Отдельно рассмотрим преобразование, когда соответствующие координатные оси систем координат OXY Z и O0X0Y0Z0параллельны и
одинаково направлены. В этом случае базисы ijk и i0j0k0совпадают,
матрица T будет единичной и равенства (10.9) принимают вид
x = x0+ x0,
y = y0+ y0,
z = z0+ z0.
(10.21)
Равенства (10.21) означают параллельный перенос декартовой прямоугольной системы координат в новое начало O0(x0, y0, z0).
Если начало O0декартовой прямоугольной системы координат
O0X0Y0Z0совпадает с началом системы координат OXY , то x0= 0,
§ 45. Кривые второго порядка 365
y0= 0, z0= 0, и преобразование системы координат запишется в виде
x = x0τ11+ y0τ21+ z0τ31,
y = x0τ12+ y0τ22+ z0τ32,
z = x0τ13+ y0τ23+ z0τ33.
(10.22)
Так как матрица T есть матрица перехода от ортонормированной базы
к ортонормированной базе, то по теореме 6.11 T — ортогональная
матрица, а по теореме 6.14 преобразование (10.22) является ортогональным. Тогда из §2 [8] получаем, что преобразование (10.22) геометрически будет результатом поворотов системы координат OXY Z на
так называемые углы Эйлера. Читатель может подробно ознакомиться
с этим материалом в [8].
§ 45. Кривые второго порядка
Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат OXY. Рассмотрим общее уравнение второй степени
a11x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a1x + 2a2y + a = 0. (10.23)
Выполняя преобразования системы координат, покажем, что существует (кроме вырожденных случаев) лишь три типа канонических
уравнений, к которым будет приводиться уравнение (10.23). Каждый
тип из этих уравнений определяет семейство однотипных кривых:
эллипсы, гиперболы и параболы. Эти кривые называются кривыми
второго порядка на плоскости. Таким образом, будет показано, что
уравнение (10.23) определяет на плоскости одну из кривых второго
порядка (за исключением некоторых вырожденных случаев, они ниже
будут описаны). Уравнение (10.23) называется общим уравнением
кривой второго порядка на плоскости. Все слагаемые в левой части
уравнения (10.23) разбиваются на две группы:
квадратичную
a11x2+ 2a12xy + a22y
2
(10.24)
и линейную
2a1x + 2a2y + a. (10.25)
366 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Применяя теорему 6.21, найдем ортогональное преобразование
неизвестных, которое квадратичную форму (10.24) приводит к каноническому виду
λ1x
2
0
+ λ2y
2
0
, (10.26)
где λ1и λ2— характеристические корни матрицы квадратичной формы
(10.24). Применим это ортогональное преобразование ко всей левой
части уравнения (10.23). Поскольку любое ортогональное преобразование евклидова пространства является линейным (см. определение
13 §29), то линейная часть (10.25) преобразуется в линейную. В
результате получим уравнение
λ1x
2
0
+ λ2y
2
0
+ 2b1x0+ 2b2y0+ b = 0. (10.27)
Таким образом мы построили другую прямоугольную декартову
систему координат OX0Y0, которая, как было показано в предыдущем
параграфе, получена либо поворотом системы координат OXY на
некоторый угол вокруг ее начала, либо поворотом и последующим
отражением относительно одной из получившихся после поворота осей
координат.
Заметим, что одновременно коэффициенты λ1и λ2в уравнении
(10.27) не могут равняться нулю, иначе уравнение (10.27) будет уравнением первой степени и на плоскости определит прямую, а прямые
были исследованы в предыдущей главе.
Рассмотрим два случая.
I. λ1λ26= 0. Тогда в левой части уравнения (10.27) можно выде-
лить два полных квадрата
λ
+ 2
b
λ
1
x0+
1
2
0
x
1
λ
2
b
1
2
1
+ λ
+ 2
b
λ
2
y0+
2
2
0
y
2
λ
b
2
2
+
2
2
b −
2
b
1
−
λ
1
2
b
2
λ
= 0,
2
или
λ
x0+
1
λ
2
b
1
+ λ
1
y0+
2
λ
2
b
2
+ c = 0,
2
где
2
b
2
.
λ
2
c =b −
2
b
1
−
λ
1
§ 45. Кривые второго порядка 367
Сделаем параллельный перенос
x00= x0+
y00= y0+
λ
λ
b
1
,
1
b
2
2
(10.28)
системы координат OX0Y0в другую O0X00Y00с началом в точке O0,
координаты которой в системе координат OX0Y0равны
λ
b
b
1
2
,
1
λ
. В
2
результате уравнение (10.27) в новой системе координат O0X00Y00будет
иметь вид
λ1x
2
00
+ λ2y
2
00
+ c = 0. (10.29)
Дальнейшее исследование уравнения (10.29) разделится на две
части: c = 0 и c 6= 0.
1) Пусть c 6= 0. Тогда можно считать, что c < 0 (в противном случае обе части уравнения (10.29) можно умножить на −1). Рассмотрим
все возможности знаков коэффициентов λ1и λ2;
а) λ1> 0 и λ2> 0. Перепишем уравнение (10.29):
00
x
−c
λ
2
1
+
00
y
−c
λ
2
= 1.
2
Заметим, что −c > 0, поэтому последнее уравнение запишем в виде
2
00
x
2
a
+
2
00
y
= 1, (10.30)
2
b
где
a2=
−c
λ
, b2=
1
−c
λ
.
2
Уравнение (10.30) в системе координат O0X00Y00является канониче-
ским уравнением эллипса с полуосями: a > 0, b > 0 (см. рис. 10.1).
Если a = b = r, то получаем
2
00
x
+ y
2
00
= r
2
— уравнение окружности радиуса r с центром в точке O0. Таким
образом, окружность — это частный случай эллипса.
Уравнение (10.30) показывает, что начало координат будет
центром симметрии, а оси координат — осями симметрии эллипса.
368 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
00
y
y
b
0
0
a
0
y
00
x
0
0
x
Рис. 10.1
x
Из этого же уравнения следует, что
x
00
a
2
2
6 1 и
2
00
y
6 1.
2
b
Эти неравенства эквивалентны другим неравенствам:
|x00| 6 a , |y00| 6 b,
задающим на плоскости в системе координат O0X00Y00прямоугольник
с центром в начале координат и со сторонами 2a и 2b. Таким образом,
весь эллипс с каноническим уравнением (10.30) находится в этом
прямоугольнике. Очевидно, что эллипс с уравнением (10.30) пересе-
кает ось абсцисс в двух точках x00= ±a и ось ординат также в двух
точках y00= ±b, которые называются вершинами эллипса.
б) λ1и λ2имеют разные знаки, например λ1> 0, а λ2< 0. Так
же как и в а) уравнение (10.29) можно привести к виду
00
x
−c
λ
2
1
+
00
y
−c
λ
2
= 1.
2
В отличие от а), здесь
−c
λ
> 0, а
1
−c
λ
2
< 0.
Поэтому
−c
λ
1
= a2, а
−c
λ
2
= b2,
§ 45. Кривые второго порядка 369
и уравнение принимает вид
2
00
x
2
a
−
2
00
y
= 1. (10.31)
2
b
Уравнение (10.31) в системе координат O0X00Y00является каноническим уравнением гиперболы с полуосями a > 0, b > 0.
Из уравнения (10.31) следует, что оси координат есть оси
симметрии, а начало координат — центр симметрии гиперболы.
Далее, гипербола (10.31) не пересекает ось ординат, а ось абсцисс пересекает в двух точках x00= ±a, которые называются вершинами
гиперболы.
Нетрудно убедиться, что на плоскости в полосе −a < x00< a
точек гиперболы (10.31) нет.
Если λ1< 0 а λ2> 0, то получим уравнение
−
2
00
x
2
a
+
2
00
y
= 1 (10.32)
2
b
гиперболы, сопряженной к гиперболе (10.31) с теми же полуосями.
Гиперболы с уравнениями (10.31) и (10.32) называются взаимно
сопряженными (см. рис. 10.2).
00
y
b
0
Рис. 10.2
a
00
x
в) λ1< 0 и λ2< 0. Преобразования, такие же как в а) или в б),
приводят к уравнению
2
00
x
2
a
+
2
00
y
= −1. (10.33)
2
b
Данное уравнение не имеет действительных решений, поэтому нет ни
одной точки плоскости, координаты которой удовлетворяли бы ему.
Это первый из вырожденных случаев исследования уравнения (10.23).
370 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Тем не менее уравнение (10.33) называется уравнением мнимого эл-
липса.
2) Пусть теперь c = 0. Тогда уравнение (10.29) будет иметь вид
λ1x
2
00
+ λ2y
00
2
= 0,
или
λ2y
2
00
= −λ1x
2
00
.
Из последнего уравнения получаем
r
−λ
y00= ±
λ
1
x00.
2
Если λ1и λ2имеют разные знаки, то получим уравнение
y00= ±kx
00
пары пересекающихся действительных прямых, где k = +
Если λ1и λ2имеют одинаковые знаки, то получим уравнение
y00= ±ikx
00
r
−λ
(10.34)
1
.
λ
2
(10.35)
пары мнимых пересекающихся прямых. Этому уравнению удовлетворяют только координаты одной точки плоскости — начала координат.
Последние два уравнения также являются вырожденными случаями.
II. Один из коэффициентов λ1или λ2равен нулю. Пусть, например, λ1= 0, а λ26= 0. В этом случае в левой части уравнения (10.27)
можно выделить только один полный квадрат
λ
+ 2
λ
b
2
y0+
2
2
0
y
2
λ
2
b
2
+ 2b1x0+b −
2
2
2
b
2
λ
= 0,
2
или
λ
y0+
2
λ
2
b
2
+ 2b1x0+b −
2
2
b
2
λ
= 0. (10.36)
2
1) Если b16= 0, то уравнение (10.36) можно записать следующим
образом:
λ
y0+
2
λ
2
b
2
+ 2b
2
b
x0+
1
2b
−
2λ2b
1
2
b
2
= 0. (10.37)
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]