Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 46. Поверхности второго порядка 381
Если λ1< 0, λ2> 0, λ3< 0, то получим уравнение
−
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
−
2
00
z
= 1.
2
c
Эти уравнения также являются каноническими уравнениями двуполостных гиперболоидов. Все они будут по-разному расположены в
системе координат O0X00Y00Z00.
г) λ1< 0, λ2< 0, λ3< 0. Преобразования, такие же, как в а) или
в б), приводят к уравнению
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= −1. (10.54)
2
c
Данное уравнение не имеет действительных решений, поэтому нет ни
одной точки в пространстве, координаты которой удовлетворяли бы
ему. Это первый из вырожденных случаев исследования уравнения
(10.43). Тем не менее уравнение (10.54) называется уравнением мни-
мого эллипсоида.
2) Пусть теперь d = 0. Тогда уравнение (10.49) будет иметь вид
λ1x
2
00
+ λ2y
2
00
+ λ2z
00
2
= 0.
а) Если коэффициенты λ1, λ2, λ3имеют разные знаки, то это уравнение можно привести к одному из следующих:
−
2
00
x
2
a
2
00
x
2
a
2
00
x
2
a
+
−
+
2
00
y
2
b
2
00
y
2
b
2
00
y
2
b
−
+
+
2
00
z
= 0, (10.55)
2
c
2
00
z
= 0, (10.56)
2
c
2
00
z
= 0. (10.57)
2
c
Все три — это уравнения конических поверхностей, различным образом расположенных в системе координат O0X00Y00Z00.
б) Если все коэффициенты λ1, λ2, λ3имеют одинаковые знаки,
то получим уравнение
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= 0. (10.58)
2
c
382 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Этому уравнению удовлетворяют только координаты одной точки пространства — начала координат. Уравнение (10.58) называется канони-
ческим уравнением мнимого конуса.
II. Пусть теперь один из коэффициентов λ1, λ2или λ3уравнения
(10.47) равен нулю, например λ16= 0, λ26= 0, а λ3= 0. В этом случае в
левой части уравнения (10.47) можно выделить два полных квадрата
λ
b
+ 2
λ
1
x0+
1
2
0
x
1
λ
2
b
1
2
1
+ 2b3z0+b −
или
λ
x0+
1
λ
2
b
1
+ λ
1
y0+
2
λ
b
2
2
1) Если b36= 0, то уравнение (10.59) можно записать следующим
образом:
λ
x0+
1
λ
2
b
1
+ λ
1
y0+
2
λ
b
2
2
Сделаем параллельный перенос
x00= x0+
y00= y0+
z00= z0−
+ λ
2
2
0
y
2
2
b
1
−
λ
1
+ 2b3z0+b −
b
1
,
λ
1
b
2
,
λ
2
b
1
2λ1b
z0−
3
2
−
3
2
+ 2b
+ 2
2
b
2
λ
2
2λ1b
b
2
2λ2b
λ
2
b
2
+
2
2
b
λ
2
y0+
2
= 0,
2
b
1
−
λ
1
2
b
1
−
3
2
b
2
λ
2
b
2
2λ2b
= 0. (10.59)
2
+ b = 0.
3
(10.60)
(10.61)
2
3
системы координат OX0Y0Z0в другую O0X00Y00Z00с началом в точке
O0, координаты которой в системе координат OX0Y0Z0равны
λ
b
b
1
2
,
, −
λ
1
2
b
1
2λ1b
2
−
2λ2b
3
2
b
2
.
3
В результате уравнение (10.60) в новой системе координат O0X00Y00Z
будет иметь вид
λ1x
2
00
+ λ2y
2
00
+ 2b3z00+ b = 0. (10.62)
00
Здесь возможны два случая.
1) b36= 0.
а) Если λ1и λ2имеют одинаковые знаки, то уравнение (10.62)
приводится к виду
§ 46. Поверхности второго порядка 383
2
00
x
2
α
+
2
00
y
= 2pz00. (10.63)
2
β
Это каноническое уравнение эллиптического параболоида.
б) Если λ1и λ2имеют разные знаки, то уравнение (10.62)
приводится к виду
2
00
x
2
α
−
2
00
y
= 2qz00. (10.64)
2
β
Это каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2) b3= 0.
а) b 6= 0. В этом случае получается три типа уравнений:
2
00
x
2
α
2
00
x
+
2
α
+
2
00
y
= 1, (10.65)
2
β
2
00
y
= −1, (10.66)
2
β
или
−
2
00
x
2
α
2
00
x
2
α
−
+
2
00
y
= 1, (10.67)
2
β
2
00
y
= 1. (10.68)
2
β
Это канонические уравнения цилиндрических поверхностей:
(10.65) — эллиптического цилиндра, (10.67) и (10.68) — гиперболических цилиндров. Уравнение (10.66) не имеет действительных
решений, оно носит название мнимого эллиптического цилиндра.
2
00
y
= 2px00, (10.69)
b
где p = −
λ
1
2
6= 0.
б) b = 0. Запишем в этих условиях (10.62)
x
2
00
+ λ2y
00
2
= 0.
384 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Такое уравнение было исследовано в предыдущем параграфе и
показано, что здесь получаются два канонических уравнения:
y00= ±kx
00
(10.70)
пары пересекающихся действительных плоскостей, где
r
−λ
k = +
λ
1
2
(если λ1и λ2имеют разные знаки).
Если λ1и λ2имеют одинаковые знаки, то получим уравнение
y00= ±ikx
00
(10.71)
пары мнимых пересекающихся по действительной прямой плоскостей.
Если другой из коэффициентов уравнения (10.47) λ1или λ
равен нулю и при этом два других нулю не равны, то получим аналогичные канонические уравнения тем, которые были получены при
λ3= 0. Читатель легко может в этом убедиться самостоятельно.
III. Пусть теперь два из коэффициентов λ1, λ2или λ3уравнения
2
(10.47) равны нулю, например λ16= 0, λ2= 0, и λ3= 0. В этом случае
в левой части уравнения (10.47) можно выделить только один полный
квадрат
λ
+ 2
λ
b
1
1
x0+
2
0
x
1
λ
2
b
1
+ 2b2y0+ 2b3z0+b −
2
1
2
b
1
λ
= 0,
1
или
λ
x0+
1
λ
2
b
1
+ 2b2y0+ 2b3z0+b −
1
2
b
1
λ
= 0.
1
Сделаем параллельный перенос
x00= x0+
λ
b
1
,
1
(10.72)
y00= y0,
z00= z
0
и получим уравнение
λ1x
2
00
+ 2b2y00+ 2b3z00+ d = 0, (10.73)
§ 46. Поверхности второго порядка 385
2
b
d =b −
λ
1
.
1
1) Если b2= b3= 0, то легко можно получить либо уравнение
x00= ±k (10.74)
пары действительных параллельных или совпадающих плоскостей,
либо уравнение
x00= ±ik (10.75)
— пары мнимых параллельных плоскостей.
2) Пусть хотя бы один из коэффициентов b2или b3нулю не
равен.
Запишем преобразование координат
000
b
2
000
b
2
000
+ b3z
2
+ b
− b2z
2
+ b
000
2
3
000
.
2
3
y00=
z00=
x00= x
b2y
p
b3y
p
Данное преобразование будет ортогональным, так как его матрица
1 0 0
T =
b
p
0
p
0
2
2
b
2
b
2
b
2
+ b
3
+ b
2
3
2
3
p
p
b
b
2
2
−b
2
2
b
3
+ b
2
+ b
2
3
(10.76)
2
3
ортогональна, и поэтому записанное преобразование прямоугольную
декартову систему координат O0X00Y00Z00переводит в прямоугольную
декартову систему коодинат O0X
000Y000Z000
.
В результате уравнение (10.73) преобразуется в
Так какpb
13 Б.К. Дураков
λ1x
2
2
+ b
2
6= 0, то уравнение (10.77) легко пребразуется в
3
+ 2qb
2
000
2
2
2
0000
x
= 2py
+ b
2
000
y
3
+ d = 0. (10.77)
0000
. (10.78)
386 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Это каноническое уравнение параболического цилиндра.
Подведем итог этого параграфа формулировкой теоремы, доказательство которой мы здесь подробно привели.
Теорема 10.2. Общее уравнение второй степени (10.43) преобразованиями прямоугольной декартовой системы координат в пространстве можно привести к одному из следующих канонических
уравнений геометрических объектов (действительных или мнимых):
эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, мнимого эллипсоида, конуса, мнимого конуса, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида, эллиптического цилиндра,
мнимого эллиптического цилиндра, гиперболического цилиндра, пары
действительных пересекающихся плоскостей, пары мнимых пересекающихся плоскостей, пары действительных параллельных плоскостей,
пары мнимых параллельных плоскостей, параболического цилиндра.
Следствие. Общее уравнение второй степени (10.43), кроме
нескольких вырожденных случаев, определяет в пространстве такие
семейства поверхностей второго порядка: эллипсоиды, однополостные
гиперболоиды, двуполостные гиперболоиды, конусы, эллиптические,
гиперболические и параболические цилиндры, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид.
§ 47. Исследование формы поверхностей второго
порядка методом параллельных сечений
Поскольку приведение уравнения поверхности второго порядка к
каноническому виду не влияет на геометрические формы поверхности,
исследование этой формы мы будем проводить с использованием их
канонических уравнений.
1. Эллипсоид. Пусть в прямоугольной декартовой системе коор-
динат OXY Z записано каноническое уравнение эллипсоида
2
x
2
a
+
2
y
2
b
+
2
z
= 1. (10.79)
2
c
При выводе канонического уравнения эллипсоида было отмечено,
что начало координат является центром симметрии, а оси координат —
осями симметрии эллипсоида. Там же было показано, что эллипсоид
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 387
полностью находится в параллелепипеде
|x00| 6 a , |y00| 6 b , |z00| 6 c.
Далее, эллипсоид с уравнением (10.79) пересекает ось абсцисс в двух
точках x = ±a, ось ординат также в двух точках y = ±b и ось аппликат
в двух точках z = ±c, которые называются вершинами эллипсоида.
Для выяснения геометрической формы эллипсоида рассмотрим
формы линий пересечения его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Для начала рассмотрим сечения — параллельные
плоскости OXY , т.е. плоскостями πhс уравнениями
πh: z = h, − c 6 h 6 c. (10.80)
После подстановки в уравнение (10.79) получим
Lh:
2
x
2
a
+
2
y
2
b
= 1 −
h
2
2
c
– уравнение линии сечения.
В силу неравенств (10.80) правая часть полученного уравнения неотрицательна. При h = ±c правая часть будет равна нулю, и
уравнение имеет два решения: (0,0,−c), (0, 0, c), которые являются
координатами двух вершин эллипсоида, расположенных на оси OZ.
Если −c < h < c, то правая часть последнего уравнения положительна. После деления обеих частей уравнения на правую часть,
уравнения линий Lhможно записать следующим образом:
Lh:
2
x
2
a
h
+
2
y
= 1, (10.81)
2
b
h
где
2
a
h
= a
2
1 −
h
2
2
c
и b
2
h
= b
2
1 −
2
h
. (10.82)
2
c
Семейство линий Lhявляется семейством эллипсов с полуосями ah> 0
и bh> 0. Максимальная длина полуосей ah= a > 0 и bh= b > 0 полу-
чается при h = 0, т. е. в результате сечения эллипсоида координатной
плоскостью OXY. При стремлении |h| к числу c длина полуосей ah> 0
и bh> 0 эллипсов Lhуменьшается до нуля и равной нулю будет при
h = ±c, т. е. в вершинах по оси OZ.
При сечении эллипсоида плоскостями, параллельными другим
координатным плоскостям, также будут получаться два семейства
13*
388 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
эллипсов. В сечениях плоскостями πt:
πt: x = t, − a 6 t 6 a,
параллельными плоскости OY Z, получится семейство эллипсов
Lt:
2
y
2
b
t
+
2
z
= 1, (10.83)
2
c
t
где
2
= b
2
1 −
b
t
2
t
2
a
и c
2
t
= c
2
1 −
2
t
. (10.84)
2
a
Здесь −a < t < a. Максимальная длина полуосей bt= b > 0 и ch=
= c > 0 получается при t = 0, т.е. в результате сечения эллипсоида
координатной плоскостью OY Z. При стремлении |t| к числу a длина
полуосей bh> 0 и ch> 0 эллипсов Ltуменьшается до нуля, а равной
нулю будет при t = ±a, т. е. в вершинах по оси OX.
И в сечениях плоскостями
πs: y = s, −b 6 s 6 b,
параллельными плоскости OXZ, получится семейство
Ls:
2
x
2
a
s
+
2
z
= 1, (10.85)
2
c
s
где
2
a
s
= a
2
1 −
2
s
2
b
и c
2
s
= c
2
1 −
2
s
. (10.86)
2
b
Здесь −b < s < b. Максимальная длина полуосей as= b > 0 и cs=
= c > 0 получается при s = 0, т.е. в результате сечения эллипсоида
координатной плоскостью OXZ. При стремлении |s| к числу b длина
полуосей as> 0 и cs> 0 эллипсов Lsуменьшается до нуля, а равной
нулю будет при s = ±b, т. е. в вершинах по оси OY.
На основании проведенного анализа можно изобразить эллипсоид (рис. 10.5).
2. Однополостной гиперболоид. Рассмотрим в прямоугольной
декартовой системе координат OXY Z каноническое уравнение однополостного гиперболоида
2
x
2
a
+
2
y
2
b
−
2
z
= 1. (10.87)
2
c
§ 47. Исследование формы поверхностей второго порядка методом параллельных сечений 389
x
y
z
0
a
b
c
s
Рис. 10.5
При выводе канонического уравнения однополостного гиперболоида было отмечено, что начало координат является центром симметрии, а оси координат — его осями симметрии.
Для выяснения геометрической формы однополостного гиперболоида рассмотрим формы линий пересечения его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Для начала рассмотрим сечения,
параллельные плоскости OXY , т. е. плоскостями πhс уравнениями
πh: z = h, − ∞ < h < +∞. (10.88)
После подстановки в уравнение (10.87) получим
Lh:
2
x
2
a
+
2
y
2
b
= 1 +
h
2
2
c
– уравнение линии сечения.
В силу неравенства (10.80) правая часть полученного уравнения
положительна при любых h. При h = 0 правая часть будет равна
единице:
2
x
2
a
+
2
y
= 1.
2
b
Это уравнение так называемого горлового эллипса, расположенного
в плоскости OXY. Теперь очевидно, что однополостной гипербоид
(10.87) пересекает ось OX в двух точках x = ±a, ось OY в двух
точках y = ±b, а точек пересечения с осю OZ нет.
После деления обеих частей уравнения линий Lhна правую
часть получим
2
Lh:
x
2
a
h
+
2
y
= 1, (10.89)
2
b
h
390 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
где
2
a
h
= a
2
1 +
h
2
2
c
и b
2
h
= b
2
1 +
2
h
. (10.90)
2
c
Семейство линий Lhявляется семейством эллипсов с полуосями ah>
> 0 и bh> 0. Минимальная длина полуосей ah= a > 0 и bh= b >
> 0, как уже было отмечено, получается при h = 0, т. е. в результате
сечения эллипсоида координатной плоскостью OXY. Максимальная
длина этих полуосей неограничена и стремится к +∞ при стремлении
h → ±∞.
Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (10.87) плоскостями, параллельными другим координатным плоскостям. Если рассекать плоскостями πtс уравнениями
πt: x = t, − ∞ < t < +∞.
параллельными плоскости OY Z, то после соответствующей подстановки в уравнение (10.87) получим
Если |t| < a, то1 −
2
b
= b
t
2
Lt:
2
t
2
a
2
1 −
y
2
b
> 0 и можно ввести обозначения
2
t
2
a
−
и c
2
z
2
c
= 1 −
2
= c
t
2
t
.
2
a
2
1 −
2
t
, (10.91)
2
a
и уравнения линий Ltбудут иметь вид
Lt:
2
y
2
b
t
−
2
z
= 1. (10.92)
2
c
t
Это уравнение двух семейств гипербол, каждое из которых расположено в плоскостях π−tи π+tсоответственно. В данных семействах
гипербол ветви будут сближаться при t → ±a.
При t = ±a в каждой из плоскостей π−aи π+aполучим две пары
пересекающихся прямых, заданных уравнениями:
r
2
y = ±
b
z.
2
c
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]