Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка 411
Рассмотрим теперь гиперболический параболоид, заданный каноническим уравнением
Рис. 10.14
2
x
2
a
−
2
y
2
b
= 2pz.
Применяя те же рассуждения (как и в исследовании однополостного
гиперболоида) убеждаемся, что поверхность гиперболического параболоида состоит из двух семейств прямых, заданных следующими
системами уравнений первого порядка
x
и
y
+
−
+
−
= 2pkz,
b
y
=
b
y
=
b
y
= 2ptz,
b
1
(10.127)
k
1
,
t
(10.128)
a
x
a
x
a
x
a
где k и t — произвольные числа.
Через любую точку, расположенную на гиперболическом параболоиде, проходит по одной прямой из каждого семейства (10.127) и
(10.128). Таким образом, гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.
Наличие прямолинейных образующих у этих поверхностей часто используется в строительстве. Известно много примеров мачт,
башен и опор, выполненных в виде однополостных гиперболоидов.
Линейчатость гиперболического параболоида чаще всего используют
для сооружения оригинальных и прочных крыш зданий, стадионов и
других строительных объектов.
412 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение
x2+ 2xy + 2yz + z2= 0,
установить связь между первоначальной и последней системами координат и определить вид поверхности.
Решение. В данном уравнении отсутствует линейная часть. Приведем квадратичную форму f = x2+ 2xy + 2yz + z2к каноническому
виду. Составим матрицу квадратичной формы
1 1 0
A =
1 0 1
0 1 1
и найдем ее характеристические корни:
|A − λE| =
(1 − λ) 1 0
1 −λ 1
0 1 (1 − λ)
= (1 − λ)(λ2− λ −2) − 4 = 0,
λ1= 1, λ2= 2, λ3= −1.
Для того чтобы установить связь между старыми и новыми неизвестными, необходимо найти собственные векторы симметрического
преобразования ϕ пространства E3с матрицей A в некотором базисе
E3. Решаем матричное уравнение
1 1 0
(x1, x2, x3)
1 0 1
= (x1, x2, x3),
0 1 1
или
x1+ x
2
= x1,
x1+ x3= x2,
x2+ x3= x3.
Отсюда x2= 0 и x − 1 = −x3. Поэтому можно взять собственный
вектор b1= (1, 0, −1), относящийся к собственному значению λ1= 1.
Далее,
1 1 0
(x1, x2, x3)
1 0 1
= 2(x1, x2, x3),
0 1 1
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка 413
или
x1+ x
2
= 2x1,
x1+ x3= 2x2,
x2+ x3= 2x3,
−x1+ x
2
x1− 2x2+ x3= 0,
x1− x3= 0.
= 0,
Таким образом, x1= x2= x3и, в качестве собственного вектора,
относящегося к собственному значению λ2= 2, можно взять вектор
b2= (1, 1, 1). И, наконец, решаем последнее уравнение:
1 1 0
(x1, x2, x3)
1 0 1
= −(x1, x2, x3),
0 1 1
или
x1+ x
2
= −x1,
x1+ x3= −x2,
x2+ x3= −x3,
2x1+ x
2
x1+ x2+ x3= 0,
x2+ x3= 0.
= 0,
Если положить x2= 2, то x1= x3= −1. Тогда для собственного
значения λ3= −1 можно взять вектор b3= (−1, 2, −1).
Векторы b1= (1, 0, −1), b2= (1, 1, 1) и b3= (−1, 2, −1) образуют ортогональный базис пространства E3. Нормируем эти векторы и
получаем ортонормированный базис
e1=
√
1
, 0, −
2
√
1
2
, e2=
√
1
1
√
,
3
1
√
,
3
, e3=−
3
√
1
2
√
,
6
, −
6
1
√
6
Отсюда получаем связь между старыми и новыми неизвестными квадратичной формы f:
x =
y =
z = −
√
√
1
1
2
2
x0+
x0+
√
√
√
1
y0−
3
1
y0+
3
1
y0+
3
√
√
√
1
z0,
6
2
z0,
6
1
z0.
6
.
Теперь нетрудно получить канонический вид квадратичной формы f и
заданного уравнения
x
2
0
+ 2y
0
2
− z
2
0
= 0.
414 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
В прямоугольной декартовой системе координат OX0Y0Z0это уравнение конической поверхности.
Пример 2. Написать уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса
2
x
2
a
+
2
z
= 1, y = 0
2
c
вокруг оси OX, вокруг оси OZ и определить их вид.
Решение. В первом случае заменяем z на ±py2+ z2:
2
x
a
x
a
2
2
2
+
+
y2+ z
2
y
2
c
c
+
2
= 1,
2
2
z
= 1.
2
c
При вращении вокруг оси OZ заменяем x на ±px2+ y2:
x2+ y
2
a
2
x
+
2
a
2
2
y
2
a
+
+
z
c
z
c
2
2
2
2
= 1,
= 1.
Это уравнения эллипсоидов вращения.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Определить λ так, чтобы уравнение
x2+ 2λxy + 4y2+ 2x + λy = 0
задавало на плоскости две прямые и найти их.
2. Показать, что уравнение
3x2+ 8xy − 3y2− 14x −2y + 8 = 0
задает на плоскости две прямые.
3. Доказать, что каждое из следующих уравнений:
а) 25x2+ 10xy + y2− 1 = 0,
б) 8x2− 18xy + 9y2+ 2x − 1 = 0 определяет на плоскости пару
прямых и найти уравнения этих прямых.
§ 50. Линейчатые поверхности второго порядка 415
4. Привести к каноническому виду уравнения следующих кривых:
а) 14x2+ 24xy + 21y2− 4x + 18y − 139 = 0,
б) 9x2− 24xy + 16y2− 20x −110y − 50 = 0.
5. Найти геометрическое место точек трехмерного пространства, координаты которых удовлетворяют следующему уравнению:
x2+ y2+ z2− yz −xz − xy = 0.
6. Какая поверхность определяется следующим уравнением
4x2+ 9y2+ 36z2− 8x −18y − 72z + 13 = 0.
7. Привести к каноническому виду уравнения поверхностей:
а) 7x2+ 6y2+ 5z2− 4xy − 4yz − 6x −24y + 18z + 30 = 0,
б) x2+ 2√2 xy + z2− 3 = 0.
8. Найти уравнение поверхности, полученной при вращении прямой
x − 2y = 3, z = 0 вокруг оси OX.
Послесловие
Рукопись настоящего учебника изучали и редактировали в
Научно-методическом совете по математике Министерства образования и науки Российской Федерации (председатель Совета — академик
РАН Станислав Васильевич Емельянов). В заключении Совета, в
частности, дается рекомендация студентам высших учебных заведений
России, обучающихся по направлениям подготовки, перечисленным
выше, использовать данный учебник для изучения курса высшей алгебры и аналитической геометрии.
В аннотации указано, что предлагаемый учебник в первую очередь предназначен для студентов укрупненной группы направлений
подготовки 11.00.00 «Электроника, радиотехника и системы связи»,
11.03.01 «Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств», 11.05.11 «Радиоэлектронные системы и комплексы»,
12.00.00 «Фотоника, приборостроение, оптические и биотехнические
системы и технологии», 12.03.01 «Приборостроение» по дисциплине
«Высшая алгебра и аналитическая геометрия» Института физики и
радиоэлектроники Сибирского федерального университета. Поскольку
рабочая программа курса высшей алгебры и аналитической геометрии
для этих направлений является наиболее содержательной, то данный
учебник можно использовать студентам любых технических направлений и специальностей Сибирского федерального университета при
изучении этого курса.
Выражаю глубокую благодарность заместителю председателя отделения учебников и учебных пособий НМС по математике Александру Борисовичу Будаку за его ценные советы и замечания, которые
возникали при внимательном изучении рукописи.
Предметный указатель
алгебраические структуры
— n-арная, 277
— алгебра, 277
— ассоциативная бинарная операция,
279
— делитель нуля в кольце, 285
— группа, 281
— группоид, 278
— кольцо, 285
— кольцо с единицей, 285
— коммутативная бинарная операция,
279
— коммутативный группоид, 279
— коммутативное кольцо, 285
— мультипликативная группа кольца,
287
— нейтральный элемент группоида, 279
— область целостности, 286
— обратимый элемент кольца, 285
— обратный элемент элемента группои-
да, 280
— подгруппа, 281
— подгруппоид, 279
— подкольцо, 292
— подполе, 292
— поле, 288
— поле Галуа, 291
— полугруппа, 281
— таблица Кэли, 278
— тело, 288
— замкнутая операция, 279
арифметическое пространство An, 133
— n-мерный вектор, 132
— базис, 146
— базис подпространства, 167
— эквивалентные системы векторов,
144
— линейная оболочка векторов, 167
— линейно независимые системы векто-
ров, 138
— линейно зависимые системы векто-
ров, 136
— подпространство, 166
— ранг системы векторов, 148
— размерность подпространства, 167
действительная квадратичная форма,
264
— канонический вид, 267
— матрица квадратичной формы, 265
— невырожденная квадратичная форма,
265
евклидово пространство, 233
— длина вектора, 234
— изоморфизм, 241
— неравенство Коши–Буняковского,
234
— неравенство треугольника, 235
— нормированный вектор, 239
— одноименные ортонормированные ба-
зисы, 252
— ортогональная система векторов, 237
— ортогональные подпространства, 260
— ортогональные векторы, 236
— ортогональное дополнение, 261
— ортогональное преобразование, 246
— ортонормированная база, 240
— симметрическое преобразование, 253
— скалярное произведение, 233
— теорема Пифагора, 236
— угол между векторами, 235
интеполяционная формула Лагранжа,
60
комплексное число, 10, 15
— алгебраическая форма записи, 16
— аргумент, 19
— формула Муавра, 27
— модуль, 19
— сопряженные числа, 24
— тригонометрическая форма записи,
18
14 Б.К. Дураков
418 Предметный указатель
лемма о модуле старшего члена много-
члена, 79
линейная комбинация числовых строк,
105
линейное пространство, 182
— базы, базисы, 188
— дефект линейного преобразования,
217
— характеристические корни линейного
преобразования, 222
— характеристический многочлен ли-
нейного преобразования, 222
— изоморфизм, 185
— конечномерное пространство, 188
— координаты элементов пространства,
190
— линейное преобразование простран-
ства, 198
— матрица линейного преобразования,
203
— матрица перехода между базами, 192
— невырожденное линейное преобразо-
вание, 218
— область значений линейного преобра-
зования, 216
— пересечение подпространств, 211
— подпространства линейных про-
странств, 209
— преобразование линейного простран-
ства, 198
— произведение линейных преобразова-
ний, 206
— произведение линейного преобразо-
вания на число, 206
— простой спектр линейного преобразо-
вания, 227
— прямая сумма подпространств, 213,
215
— ранг линейного преобразования, 216
— размерность пространства, 190
— собственный вектор линейного пре-
образования, 222
— собственное значение линейного пре-
образования, 222
— спектр линейного преобразования,
222
— сумма линейных преобразований,
205
— сумма подпространств, 211, 214
— ядро линейного преобразования, 216
матрица, 88
— диагональная, 89
— единичная, 89
— элементарные преобразования матри-
цы, 156
— горизонтальный ранг, 154
— характеристическая матрица, 221
— характеристические корни матрицы,
221
— характеристический многочлен мат-
рицы, 221
— квадратная, 89
— минор k-го порядка, 100
— минор элемента матрицы, 97
— невырожденная, 109
— обратная, 109
— ортогональная матрица, 245
— подобные матрицы, 204
— произведение матриц, 92
— произведение матрицы на число, 91
— ранг, 155
— равенство матриц, 89
— разность матриц, 92
— симметрическая матрица, 253
— скалярная, 89
— сумма матриц, 90
— теорема о ранге, 155
— транспонирование матрицы, 94
— вертикальный ранг, 154
многочлен от одного неизвестного, 35
— алгоритм Евклида, 45
— корень многочлена, 52
— кратные корни, 54
— метод Горнера деления многочленов,
53
— наибольший общий делитель двух
многочленов, 44
— приводимые и неприводимые много-
члены, 62
— производная многочлена, 55
— система Штурма для многочлена, 82
— степень многочлена, 35
— теорема Штурма, 83
— взаимно простые многочлены, 47
неравенства треугольника, 23
определитель, 97
Предметный указатель 419
— алгебраическое дополнение минора
k-го порядка, 100, 101
— минор k-го порядка, 100
— правило треугольника, 99
— теорема Лапласа, 101
основная теорема алгебры комплексных
чисел, 56
плоскость, 343
— нормальный вектор плоскости, 343
— нормальное уравнение плоскости,
346
— общее уравнение плоскости, 343
— пучок плоскостей, 349
— расстояние от точки до плоскости,
347, 348
— угол между плоскостями, 355
— уравнение плоскости, проходящей че-
рез три точки, 349
— уравнение пучка плоскостей, 349
— условие параллельности плоскостей,
355
— условие перпендикулярности плоско-
стей, 355
поверхности второго порядка, 376
— канонические уравнения цилиндри-
ческих поверхностей, 383, 386, 403
— канонические уравнения гиперболои-
дов вращения, 406
— каноническое уравнение двуполост-
ного гиперболоида, 381, 393
— каноническое уравнение эллипсоида,
378, 386
— каноническое уравнение эллипсоида
вращения, 406
— каноническое уравнение эллиптиче-
ского параболоида, 383, 398
— каноническое уравнение гиперболи-
ческого параболоида, 383, 401
— каноническое уравнение конической
поверхности, 381, 395
— каноническое уравнение кругового
цилиндра, 407
— каноническое уравнение кругового
конуса, 407
— каноническое уравнение мнимого эл-
липсоида, 381
— каноническое уравнение мнимого ко-
нуса, 382
— каноническое уравнение однополост-
ного гиперболоида, 379, 389
— каноническое уравнение поверхности
вращения, 405
— линейчатые поверхности, 409
— общее уравнение, 376
прямая на плоскости
— каноническое уравнение прямой, 329
— направляющий вектор прямой, 329
— нормальный вектор прямой, 327
— нормальное уравнение прямой, 332
— общее уравнение прямой, 327
— параметрические уравнения прямой,
331
— расстояние от точки до прямой, 333,
335
— угол между двумя прямыми, 338
— уравнение пучка прямых, 335
— условие параллельности двух пря-
мых, 338, 340
— условие перпендикулярности двух
прямых, 338, 340
— векторное уравнение прямой, 330
прямая в пространстве, 349
— каноническое уравнение, 350
— направляющий вектор прямой, 350
— общее уравнение, 352
— параметрические уравнения прямой,
352
— угол между прямыми, 356
— условие параллельности прямых, 357
— условие пересечения или совпадения
прямых, 356
— условие перпендикулярности прямых,
356
— векторное уравнение прямой, 351
рациональные дроби, 68, 69
— несократимые, 69
— правильные, 70
— простейшие, 71
— разложение правильной рациональ-
ной дроби в сумму простейших, 76
системы линейных однородных уравне-
ний, 169
— фундаментальная система решений,
171
системы линейных уравнений, 115
— эквивалентные системы, 121
14*
420 Предметный указатель
— элементарные преобразования систе-
мы, 121
— формулы Крамера, 118
— квадратная система, 117
— метод Гаусса решения систем, 121
— неопределенная система, 116
— однородные системы, 128
— определенная система, 116
— равносильные системы, 121
— решение системы линейных уравне-
ний, 116
— совместная система, 116
— теорема Крамера, 117
— теорема Кронекера - Капелли, 163
сравнимость двух целых чисел по моду-
лю n, 289
угол между прямой и плоскостью, 357
уравнение множества точек, 326
условие параллельности плоскости и
прямой, 358
условие перпендикулярности плоскости
и прямой, 358
условие принадлежности прямой к
плоскости, 358
вектор-отрезок, 294
— коллинеарные векторы, 295
— компланарные векторы, 301
— линейно независимые векторы, 299
— линейно зависимые векторы, 299
— направляющие косинусы, 305
— ортогональные векторы, 296
— параллельные векторы, 295
— перпендикулярные векторы, 296
— правая (левая) тройка векторов, 312
— проекция вектора на ось, 303
— проекция вектора на плоскость, 315
— пропорциональные векторы, 296, 299
— равные векторы, 296
— скалярное произведение векторов,
308, 309
— смешанное произведение векторов,
320
— угол между вектором и осью, 303
— упорядоченная тройка векторов, 312
— векторное произведение векторов,
313
— величина угла, 303
— величина вектора на оси, 303
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]