Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Краткий курс высшей алгебры и аналитической геометрии. Учебник
.pdf
§ 45. Кривые второго порядка 371
Сделаем параллельный перенос
x00= x0+
b
−
2b
1
y00= y0+
2
b
2
2λ2b
λ
1
b
2
2
(10.38)
системы координат OX0Y0в другую O0X00Y00с началом в точке O0, координаты которой в системе координат OX0Y0равны
2b
b
−
1
b
2
2λ2b
2
b
2
,
1
. В результате уравнение (10.27) в новой системе
λ
2
координат O0X00Y00будет иметь вид
2
00
λ2y
+ 2b1x00= 0,
или
2
00
y
= 2px00, (10.39)
b
где p = −
λ
1
2
6= 0.
Уравнение (10.39) является каноническим уравнением параболы
в прямоугольной декартовой системе координат O0X00Y00.
Если параметр p > 0, то, очевидно, вся парабола расположена в
правой полуплоскости системы координат O0X00Y00, если p < 0, — то в
левой (рис. 10.3).
00
y
0
0
00
x
p > 0p < 0
Рис. 10.3
Если λ16= 0, а λ2= 0, то, проводя аналогичные преобразования,
получим уравнение
2
00
x
= 2qy00.
372 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Это тоже каноническое уравнение параболы, которая при q > 0 находится в верхней полуплоскости, а при q < 0 — в нижней (рис. 10.4).
00
y
a > 0
2) Пусть b1= 0, тогда уравнение (10.36) можно записать следу-
ющим образом:
b
λ
y0+
2
λ
или
λ
b
2
2
y0+
После параллельного переноса
0
0
Рис. 10.4
2
2
+b −
2
2
= −
a < 0
λ
00
x
2
b
2
λ
b
−
2
= 0,
2
2
b
2
.
2
λ
2
получаем либо
либо
где
d =
x00= x0,
y00= y0+
λ
b
2
2
(10.40)
y00= ±d, (10.41)
y00= ±id, (10.42)
s
−
λ
b
−
λ
2
2
b
2
.
2
2
§ 45. Кривые второго порядка 373
Уравнение (10.41) определяет на плоскости пару параллельных (или
совпадающих при d = 0) прямых, а уравнение (10.42) называется
уравнением пары мнимых параллельных прямых. Оба последних
случая являются вырожденными.
Подведем итог формулировкой теоремы, доказательство которой
мы подробно привели в этом параграфе.
Теорема 10.1. Общее уравнение второй степени (10.23) преобра-
зованиями прямоугольной декартовой системы координат на плоскости
можно привести к одному из следующих канонических уравнений
геометрических объектов (действительных или мнимых): эллипса,
гиперболы, мнимого эллипса, пары действительных пересекающихся прямых, пары мнимых пересекающихся прямых, параболы, пары
действительных параллельных прямых, пары мнимых параллельных
прямых.
Следствие. Общее уравнение второй степени (10.23), кроме
нескольких вырожденных случаев, определяет на плоскости три семейства кривых второго порядка: эллипса, гиперболы и параболы.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение
5x2+ 4xy + 8y2+ 8x + 14y + 5 = 0.
Решение. Приведем квадратичную часть f = 5x2+ 4xy + 8x2к
каноническому виду. Составим матрицу квадратичной формы
5 2
A =
2 8
и найдем ее характеристические корни
|A − λE| =
5 − λ 2
2 8 − λ
= (5 − λ)(8 −λ) − 4 = λ2− 13λ + 36 = 0,
λ1= 4, λ2= 9.
Для того чтобы установить связь между старыми и новыми неизвестными, следует найти собственные векторы симметрического преобразования ϕ пространства E2с матрицей A в некотором базисе E2.
Решаем матричное уравнение
5 2
(x1, x2)
= 4(x1, x2)
2 8
374 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
или
x1+ 2x2= 0.
Теперь если положить x2= 1, то x1= −2. Итак, b1= (−2, 1) — один из
собственных векторов преобразования ϕ, относящихся к собственному
значению λ1= 4. Далее,
5 2
(x1, x2)
= 9(x1, x2),
2 8
или
−2x1+ x2= 0.
Теперь если положить x2= 2, то x1= 1. Поэтому, b2= (1, 2) — один из
собственных векторов преобразования ϕ, относящихся к собственному
значению λ2= 9. Векторы b1= (−2, 1) и b2= (1, 2) образуют ортогональный базис пространства E2. Нормируем эти векторы и получаем
ортормированный базис
e1= (−
2
√
1
√
,
), e2= (
5
5
√
1
2
√
,
5
).
5
Отсюда получаем связь между старыми и новыми неизвестными квадратичной формы f:
x = −
y =
√
2
√
x0+
5
1
x0+
5
√
√
1
y0,
5
2
y0.
5
Теперь нетрудно получить канонический вид квадратичной формы f:
f = 4x
2
0
+ 9y
2
0
.
Заданное уравнение в новой прямоугольной системе координат OX0Y
преобразуется в следующее:
4x
2
0
+ 9y
2
0
+ 8(−
√
2
x0+
5
1
√
y0) + 14(
5
√
1
5
x0+
2
√
y0) + 5 = 0.
5
0
Группируем слагаемые и выделяем полные квадраты:
4(x
−
1
x0) + 9(y
2
0
2
0
2√5
+
4
√
y0) = −5,
5
§ 45. Кривые второго порядка 375
4(x
0
2
− 2
1
x0+
4√5
4(x0−
1
4√5
1
) + 9(y
80
)2+ 9(y0+
0
2
+ 2
2
√
√
5
2
y0+
5
)2−
1
20
4
5
−
) −
36
20
5
1
−
= −5,
36
= −5,
5
окончательно
4(x0−
1
)2+ 9(y0+
4√5
√
2
5
)2=
9
.
4
Переходим к следующей прямоугольной системе координат O0X00Y00с
помощью замены:
x00= x0−
1
,
4√5
y00= y0+
√
2
.
5
В этой системе координат с началом O0(
1
4√5
; −
2
√
) заданное уравне-
5
ние принимает вид:
4x
00
2
+ 9y
00
9
2
=
,
4
или
002
x
9/16
+
002
y
1/4
= 1.
В прямоугольной декартовой системе координат O0X00Y00— это урав-
3
1
и
нение эллипса с полуосями
4
.
2
Пример 2. Найти значение числа k, при котором уравнение
x2+ 6xy + y2+ 6x + 2y + k = 0
будет задавать на плоскости пару пересекающихся прямых.
Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде:
y2+ (6x + 2)y + (x2+ 6x + k) = 0.
376 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Полученное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно неизвестной y. Тогда
y
1,2
=
2
=
−(6x + 2) ±p32x2− 4(1 −k)
−(6x + 2) ±p(6x − 2)2− 4(x2+ 6x + k)
=
.
2
При k = 1
−(6x + 2) ±4x√2
y
1,2
=
2
,
получаем уравнения двух прямых:
y = (2√2 − 3)x − 1 и y = −(2√2 + 3)x − 1,
которые пересекаются в точке M (0; −1).
§ 46. Поверхности второго порядка
Выберем в трехмерном пространстве прямоугольную декартову
систему координат OXY Z. Рассмотрим общее уравнение второй степени
a11x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a13xz + 2a23yz + a33z2+
+ 2a1x + 2a2y + 2a3z + a = 0. (10.43)
Выполняя преобразования системы координат, получим несколько разных типов канонических уравнений геометрических объектов,
расположенных в трехмерном пространстве. Каждому из этих типов
уравнений будет дано название соответсвующего геометрического объекта. В данном параграфе мы этим ограничимся, а в дальнейшем
исследуем формы всех реальных поверхностей, уравнения которых будут здесь получены. Уравнение (10.43) называется общим уравнением
поверхности второго порядка.
Все слагаемые в левой части уравнения (10.43) разбивают на две
группы: квадратичную
x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a13xz + 2a23yz + a33z
2
(10.44)
и линейную
2a1x + 2a2y + 2a3z + a. (10.45)
§ 46. Поверхности второго порядка 377
Применяя теорему 6.21, найдем ортогональное преобразование
неизвестных, которое квадратичную форму (10.44) приводит к каноническому виду
λ1x
2
0
+ λ2y
2
0
+ λ3z
2
0
, (10.46)
где λ1, λ2и λ3— характеристические корни матрицы квадратичной
формы (10.44). Применим это ортогональное преобразование ко всей
левой части уравнения (10.43). Поскольку любое ортогональное преобразование евклидова пространства линейно (см. определение 13 §29),
то линейная часть (10.45) преобразуется в линейную. В результате
получим уравнение
λ1x
2
0
+ λ2y
2
0
+ λ3z
2
0
+ 2b1x0+ 2b2y0+ 2b3z0+ b = 0. (10.47)
То есть мы построили другую прямоугольную декартову систему
координат OX0Y0Z0, которая, как было показано в предыдущем параграфе, получена последовательными поворотами системы координат
OXY Z на так называемые углы Эйлера вокруг ее начала.
Заметим, что одновременно коэффициенты λ1, λ2и λ3в уравнении (10.47) не могут равняться нулю, иначе уравнение (10.47) будет
уравнением первой степени и в пространстве оно определит плоскость,
а плоскости были рассмотрены в предыдущей главе.
Рассмотрим три случая.
I. λ1λ2λ36= 0. Тогда в левой части уравнения (10.47), точно также
как в предыдущем параграфе, можно выделить три полных квадрата
λ
x0+
1
λ
2
b
1
+ λ
1
y0+
2
λ
2
b
2
+ λ
2
z0+
3
λ
2
b
3
+ d = 0,
3
где
2
b
3
.
λ
3
d =b −
2
b
1
λ
1
−
2
b
2
−
λ
2
Сделаем параллельный перенос
b
λ
λ
1
,
1
b
λ
2
,
2
b
3
3
(10.48)
x00= x0+
y00= y0+
z00= z0+
378 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
системы координат OX0Y0Z0в другую O0X00Y00Z00с началом в точке
O0, координаты которой в системе координат OX0Y0Z0равны
λ
b
b
1
2
,
λ
1
b
3
,
2
λ
.
3
В результате уравнение (10.47) в новой системе координат O0X00Y00Z
будет иметь вид
λ1x
2
00
+ λ2y
2
00
+ λ3z
2
00
+ d = 0. (10.49)
Дальнейшее исследование уравнения (10.49) разделится на две части:
d = 0 и d 6= 0.
1) Пусть d 6= 0. Тогда можно считать, что d < 0 (в противном
случае обе части уравнения (10.49) можно умножить на −1). Рассмотрим все возможности знаков коэффициентов λ1, λ2и λ3.
а) λ1> 0, λ2> 0, λ3> 0. Перепишем уравнение (10.49):
00
x
−d
2
+
00
y
−d
2
+
2
00
z
= 1.
−d
00
λ
1
λ
2
λ
3
Заметим, что −d > 0, поэтому последнее уравнение можно записать в
виде
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= 1, (10.50)
2
c
где
a2=
−d
λ
1
, b2=
−d
λ
2
, c2=
−d
λ
3
.
Уравнение (10.50) в системе координат O0X00Y00Z00называется каноническим уравнением эллипсоида с полуосями: a > 0, b > 0, c > 0. Если
a = b = c = r, то получаем
2
00
x
+ y
2
00
+ z
2
00
= r
2
— уравнение сферы радиуса r с центром в точке O0. Таким образом,
сфера — это частный случай эллипсоида.
Уравнение (10.50) показывает, что начало координат является
центром симметрии, а оси координат — осями симметрии эллип-
§ 46. Поверхности второго порядка 379
соида. Из этого же уравнения следует, что
2
00
x
6 1 ,
2
a
2
00
y
6 1 ,
2
b
2
00
z
6 1.
2
c
Эти неравенства эквивалентны неравенствам
|x00| 6 a , |y00| 6 b , |z00| 6 c,
задающим на плоскости в системе координат O0X00Y00Z00параллелепипед с центром в начале координат и с ребрами 2a, 2b, 2b. Таким образом весь эллипсоид с каноническим уравнением (10.50) находится
в этом параллелепипеде. Очевидно, что эллипсоид с уравнением
(10.50) пересекает ось абсцисс в двух точках x00= ±a, ось ординат
также в двух точках y00= ±b и ось аппликат в двух точках z00= ±c,
которые называются вершинами эллипсоида.
б) Среди коэффициентов λ1, λ2и λ3два положительных и один
отрицательный. Пусть, для определенности, λ1> 0, λ2> 0 и λ3< 0.
Так же как и а), уравнение (10.49) можно привести к виду
00
x
−c
2
+
00
y
−c
2
+
2
00
z
= 1.
−d
λ
1
λ
2
λ
3
В отличие от а), здесь
−d
λ
> 0,
1
−d
λ
> 0, а
2
−d
λ
< 0.
3
Поэтому
−d
λ
1
= a2,
−d
λ
= b2, а
2
−d
λ
3
= c2,
и уравнение принимает вид
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
−
2
00
z
= 1. (10.51)
2
c
Уравнение (10.51) в системе координат O0X00Y00Z00есть каноническое
уравнение однополостного гиперболоида.
Из уравнения (10.51) следует, что оси координат являются
осями симметрии, а начало координат — центром симметрии
однополостного гиперболоида. Далее, гиперболоид (10.51) не имеет
общих точек с осью аппликат.
380 Глава 10. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка
Если λ1> 0, λ2< 0, λ3> 0, то получим уравнение
2
00
x
2
a
−
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= 1, (10.52)
2
c
Если λ1< 0, λ2> 0, λ3> 0, то получим уравнение
−
2
00
x
2
a
+
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= 1. (10.53)
2
c
Уравнения (10.52) и (10.53) также являются каноническими уравнениями однополостных гиперболоидов. Все они будут по разному
расположены в системе координат O0X00Y00Z00.
в) Среди коэффициентов λ1, λ2и λ3один положительный и два
отрицательных. Пусть, для определенности, λ1> 0, λ2< 0, и λ3< 0.
Так же как и в а), уравнение (10.49) можно привести к виду
00
x
−c
λ
2
1
+
00
y
−c
λ
2
+
2
00
z
= 1.
−d
2
λ
3
В отличие от а) и б), здесь
−d
λ
1
> 0,
−d
λ
2
< 0, и
−d
λ
3
< 0.
Поэтому
−d
λ
1
= a2,
−d
λ
2
= b2, и
−d
λ
3
= c2,
и уравнение принимает вид
2
00
x
2
a
−
2
00
y
2
b
−
2
00
z
= 1.
2
c
Это уравнение в системе координат O0X00Y00Z00есть каноническое
уравнение двуполостного гиперболоида.
Из последнего уравнения ясно, что оси координат будут осями
симметрии, а начало координат — центром симметрии двуполостного гиперболоида.
Если λ1< 0, λ2< 0, λ3> 0, то получим уравнение
−
2
00
x
2
a
−
2
00
y
2
b
+
2
00
z
= 1,
2
c
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]