Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
Учебное пособие
для вузов
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
Московский государственный университет
геодезии и картографии
~.h. l=!*3ƒе
b.b. c%л3Kе"
ТЕОРИЯ
ОБРАБОТКИ
ИЗМЕРЕНИЙ
Допущено УМО вузов РФ в области геодезии и картографии
в качестве учебного пособия для направления «Геодезия»
и специальностей «Прикладная геодезия», «Астрономогеодезия»,
«Космическая геодезия», «Исследование природных ресурсов
авиакосмическими средствами», «Аэрофотогеодезия»,
«Городской кадастр», «Картография»
«Академический
проект»
Москва, 2020
УДК 528
ББК 26.1
М27
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
доктор технических наук, профессор С.И. Матвеев;
кандидат технических наук, профессор С.Ф. Федоров
Под общей редакцией доктора технических наук,
профессора Ю.И. Маркузе
Маркузе Ю.И., Голубев В.В.
М27
Теория математической обработки геодезических измерений: Учеб. по-
собие для вузов / Под общ. ред. Ю.И. Маркузе. — М.: Академиче ский Проект,
2020. — 247 с. — (Cерия «Фундаментальный учебник»).
ISBN 978-5-8291-2981-1
В первой части учебного пособия излагаются основные понятия теории ошибок применительно к специфике геодезических измерений, в частности обработка рядов равноточных и
неравноточных измерений, оценка точности функций и другие вопросы.
Во второй части изложены традиционные вопросы метода наименьших квадратов с его новым обоснованием, а также алгоритм обобщенного способа уравнивания. Впервые в учебной
литературе рассмотрены вопросы рекуррентного уравнивания, критерии надежности сетей,
уравнивание с учетом ошибок исходных данных и систематических ошибок, уравнивание свободных геодезических построений; приводятся алгоритмы для вычисления координат пунктов
в различных засечках и т. д. Особое внимание уделяется контролю грубых ошибок измерений
и их поиску.
Пособие предназначено для студентов геодезических специальностей, изучающих курс
«Теория математической обработки геодезических измерений», аспирантов и специалистов в
области геодезии.
© Маркузе Ю.И., Голубев В.В., 2008
ISBN 978-5-8291-2981-1
Академический Проект, 2020
УДК 528
ББК 26.1
opedhqknbhe
Учебное пособие «Теория математической обработки геодезических измерений» (ТМОГИ) представляет собой продолжение учебника проф. П.Н. Кузнецова
«Геодезия», часть 1 (М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 2002) для студентов 1 курса
обучения и предназначено для студентов 2 и 3 курсов, а также для студентов 4 и 5
курсов, изучающих дисциплину «Основы уравнительных вычислений».
Первые три главы, написанные проф. В.В. Голубевым и проф. Ю.И. Маркузе,
содержат основные понятия теории ошибок, элементы математической статистики, обработки и оценки точности измерений, включая корреляционную зависимость. Элементы теории вероятностей не излагаются — этот курс в настоящее
время преподается на кафедре высшей математики МИИГАиК.
Все последующие главы данного учебного пособия написаны проф. Ю.И. Марку зе и посвящены основам метода наименьших квадратов и уравнительных вычислений. В них излагаются как традиционные вопросы, так и впервые приведенные
в учебной литературе новые разделы: уравнивания геодезических сетей с учетом
ошибок исходных данных, рекуррентное уравнивание с контролем грубых ошибок измерений и исходных данных, уравнивание свободных геодезических сетей,
критерии их надежности, уравнивание с учетом систематических ошибок и ряд
других вопросов. Оригинальным является и построение теории обобщенного способа уравнивания, из которого следуют все известные ранее и новые способы.
В отличие от опубликованных учебников по ТМОГИ в настоящем труде изложены современные алгоритмы уравнивания геодезических построений. Доста точно полно рассмотрен вопрос уравнивания и оценки точности координат
пунктов полигонометрических ходов как с угловой, так и без угловой привязки,
строгое уравнивание полигонометрических сетей по способу узлов, уравнивание угловых измерений на станции.
Значительное внимание уделено также вычислению приближенных координат пунктов во многих видах геодезических построений, в том числе в специальных засечках.
Рассмотрен алгоритм объединения спутниковых и наземных сетей и алгоритм
анализа плановых и высотных деформаций.
Общая редакция учебного пособия осуществлялась проф. Ю.И. Маркузе.
Авторы надеются, что учебное пособие будет полезно для студентов всех курсов, изучающих математическую обработку геодезических измерений, дипломникам, бакалаврам, магистрам, а также аспирантам и соискателям для выполнения
научно-исследовательских работ.
Для всех рассмотренных алгоритмов составлены компьютерные программы,
используемые при выполнении лабораторных работ. Заинтересованные читатели
могут приобрести эти программы, обратившись к автору второй части книги.
3
opedhqknbhe
Авторы выражают благодарность рецензентам рукописи профессору кафедры «Геодезия» МИИГАиК С.Ф. Федорову и зав. кафедрой «Геодезия, геоинформатика и навигация» МИИТ профессору С.И. Матвееву.
Особую благодарность авторы приносят Президенту университета, профессору, заслуженному деятелю науки и техники Виктору Петровичу Савиных и ректору МИИГАиК, профессору, доктору технических наук Василию Александровичу
Малинникову, а также декану ГФ профессору Василию Викторовичу Шлапаку, по
инициативе и при содействии которых был создан этот труд.
)`qŠ| I
nqmnb{ Šenphh nxhanj
cл="= 1
nqmnbm{e onm“Šh“
1.1. qkr)`im{e h qhqŠel`Šh)eqjhe nxhajh
На практике не удается полностью избежать ошибок измерений независимо
от степени совершенства приборов и применяемой методики. Ошибки измерений представляют собой отклонения измеренных величин от их точных значений.
Различают грубые, систематические и случайные ошибки.
Теория ошибок наблюдений занимается исследованием поведения случайных
и систематических ошибок при массовых измерениях с помощью методов теории
вероятностей и математической статистики. Необходимо отметить, что многие
положения, входящие ныне в теорию вероятностей и математическую статистику, впервые были разработаны в рамках теории ошибок и наблюдений.
Грубые ошибки являются следствием каких-либо просчетов наблюдателя, неисправностей приборов, их смещений в момент измерений, неверной методики,
резкого ухудшения внешних условий и других причин. Изучением самих грубых
ошибок наблюдений теория ошибок не занимается. Но с этим вопросом тесно связана одна из задач теории ошибок — отбраковка измерений, содержащих грубые
ошибки.
Случайные и систематические ошибки измерений состоят из элементарных
ошибок, к которым относятся: приборные, вызываемые неточностью при изготовлении и сборке деталей приборов; ошибки внешних условий. Последние возникают вследствие рефракции, действия ветра, конвекционных воздушных потоков и
иных воздействий. Личные ошибки присущи конкретному наблюдателю и зависят, например, от остроты его зрения и других факторов.
Случайные ошибки имеют математическое ожидание, равное нулю, а систематические — отличное от нуля.
По характеру действия различают постоянные систематические ошибки,
которые сохраняют знак и величину; односторонне действующие, меняющиеся
по величине, но сохраняющие знак; функциональные, изменяющиеся по какомулибо закону. Систематические ошибки обусловлены также условиями измерений.
Величина систематических ошибок в значительной мере зависит от применяемой
методики. Для уменьшения влияния систематических ошибок на точность измерений необходимо исследовать природу их возникновения. Так, если они вызваны
личными ошибками, то при проведении наблюдений следует чередовать наблюдателей; если эти ошибки изменяются в зависимости от типа используемого прибора, то измерения следует производить сериями различными приборами и т. п.
Случайные ошибки по величине чаще всего больше систематических, однако
за счет взаимных компенсаций их влияние на окончательные результаты может
быть слабее. Особенно это заметно при высокоточных измерениях. Очень важно
при измерениях по возможности уменьшать влияние систематических ошибок
7
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
для получения окончательных результатов с заданной точностью, что выражается определенными числовыми критериями, устанавливаемыми на основе законов
теории вероятностей и характеризующими отклонения полученных результатов
измерений и их функций от истинных значений данных величин.
Основными задачами теории ошибок измерений являются определение указанных критериев их оценки; изучение законов возникновения и распределения
ошибок измерений и вычислений, установление допусков (критериев, указывающих на наличие грубых ошибок); вычисление наиболее точных по вероятности
значений измеряемых величин и их функций; предвычисление ожидаемой точности и оценка точности полученных результатов.
Важное значение в вопросах математической обработки измерений имеют
понятия необходимых и избыточных измеренных величин.
Минимальное число измеренных величин, с помощью которых можно определить все недостающие, называется числом необходимых неизвестных. Сами измерения, входящие в это число, называются необходимыми, все остальные — из-
быточными. Они играют очень важную роль и в геодезических измерениях обязательны, т. к. позволяют обнаружить грубые ошибки в измерениях и вычислениях,
произвести оценку точности всех измеренных и вычисленных по ним величин и
повысить точность их определения.
Случайную ошибку измерений определяют по формуле:
θ
= xi − M(X),
i
— i-й результат измерения величины Х, математическое ожидание которой
где x
i
равно М(Х).
Важнейшим понятием теории ошибок измерений является истинное значение измеряемой величины X, а величина
∆
= xi − X (1.1)
i
называется истинной ошибкой измерения. Ее можно выразить через случайную θ
и систематическую С ошибки измерений, т. е.
= xi − M(X) + M(X) − X = θi + C,
∆
i
где
C = M(X) − X.
В классической теории ошибок полагают, что M(Х) = X, т. е. систематические
ошибки в измерениях отсутствуют или скомпенсированы благодаря специальной
методике измерений. В этом случае
i
= θ
∆
i
и
M(∆i) = M(Xi) − M(X) =0.
1.2. p`qopedekemhe qkr)`im{u nxhanj
Случайные ошибки измерений состоят из целого ряда элементарных с примерно одинаковыми дисперсиями. Поэтому их можно рассматривать как суммарную
случайную величину, для которой справедлива теорема Ляпунова. Следовательно,
случайные ошибки измерений подчиняются нормальному распределению, что
8
подтверждается многочисленными экспериментальными данными.
i
ck`b` 1. nqmnbm{e onm“Šh“
Учитывая, что M(∆) = 0, плотность распределения ошибок измерений имеет
вид
2
−
1
2
σ
ϕ
()ΔΔ=
2
e
2
, (1.2)
πσ
где σ — СКО ошибок измерений.
С понятием СКО тесно связано понятие средней квадратической ошибки измерений. Средняя квадратическая ошибка т в классическом определении является вторым начальным моментом истинной ошибки M(Δ
2
). Но поскольку M(Δ) = 0,
то понятия m и σ совпадают, и формула (1.2) принимает вид:
2
Δ
−
ϕ
()Δ
1
==
2
2
2
m
e
ππ
m
22
h
h
Δ
−
e
. (1.3)
Данное равенство носит название уравнения кривой Гаусса (кривой ошибок
измерений) (рис. 1.1), величину h называют мерой точности:
1
hm=
.
2
ϕ(Δ)
–3m –2m m 0 m 2m 3m
Рис. 1.1. Кривая Гаусса
Δ
Свойства кривой Гаусса:
1. Кривая симметрична относительно оси ординат.
2. Кривая Гаусса лежит выше оси абсцисс, что обусловлено свойствами плотности ее распределения.
3. Кривая Гаусса имеет максимум в точке ∆ = 0:
ϕπ()0
1
2=m
.
4. Кривая асимптотически приближается к оси ∆, имеет две точки перегиба —
одну справа, другую слева от оси φ(0), причем абсциссы точек перегиба равны
∆ = ±m.
Точка перегиба — это точка, в которой вогнутость меняется на выпуклость,
следовательно, вторая производная в ней равна нулю.
Свойства случайных ошибок массовых наблюдений.
1. Случайные ошибки ∆ по абсолютной величине с заданной вероятностью Р не
превосходят определенного предела. Например, с вероятностью Р = 0,67 ∆ не
превзойдет предел, равный m, а с вероятностью Р = 0,95 − 2m.
9
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
ν
2. Положительные и отрицательные случайные ошибки, равные по абсолютной
величине, равновозможны, т. е.
Р{∆ > 0} = Р{∆ < 0} = 0,5.
3. Среднее арифметическое случайной ошибки при неограниченном возрастании числа наблюдений стремится к нулю, т. е.
[]
вер
. lim
n
→∞
. (1.4)
=Δ0
n
4. Малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем
большие.
1.3. jphŠephh n0emjh Šn)mnqŠh hglepemhi
Основным критерием точности измерений является средняя квадратическая
ошибка. Как отмечалось выше, в классической теории ошибок под средней квадратической ошибкой понимается второй начальный момент истинной ошибки
измерений m
дает с понятием дисперсии. (Поэтому в современных изданиях часто используют
только дисперсию, а под средней квадратической ошибкой понимают приближенное значение среднего квадратического отклонения, полученного по результатам
измерений. Более подробно об этом сказано в разделе оценка параметров распределения). С учетом систематической составляющей она имеет вид:
2
m
= M(∆2) = M(θ + C)2 = M(θ2 + C2 + 2θС) = M(θ)2 + M(C2) + 2M(θ)M(C).
2
= M(∆2), который при отсутствии систематических ошибок совпа-
Так как M(θ) = 0, то
2
= M(θ)2 + M(C2) (1.5)
m
или
2
= M(θ2) + C2.
m
В дальнейшем m будет обозначать среднюю квадратическую ошибку измере-
ний при отсутствии систематических ошибок. Случаи, когда необходим учет систематических ошибок, будут рассмотрены специально.
Кроме средней квадратической ошибки в качестве критериев точности из-
мерений используют также среднюю, вероятную, предельную и относительную
ошибки.
Средней ошибкой ν называется математическое ожидание абсолютного значе-
ния истинной ошибки:
ν = Μ(|∆|). (1.6)
Установим связь между средней и средней квадратической ошибками изме-
рений при нормальном законе распределения:
1
π=⋅
m
2
⋅ Δ⋅ dΔ
∫
−∞
2
2
m
e
. (1.7)
2
−Δ
∞
При замене переменной t на ∆/m
10
|∆| = |t| m;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]