Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

cл="= 6

pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe

6.1. r)eŠ hga{Šn)m{u h menaundhl{u hglepemhi

В последние два десятилетия широкое применение получает так называемое рекуррентное, или последовательное, уравнивание, которое позволяет без составления нормальных уравнений сразу получать матрицу обратных весов неизвестных по мере включения в сеть новых измерений, эффективно выполнять контроль и поиск возможных грубых ошибок измерений и исходных данных, не прибегая к коррелатному способу. Он дает новые возможности для решения широкого круга задач уравнительных вычислений.

Изложим теорию этого перспективного способа уравнивания, развитого автором в работах [3], [11], [14] и ряде других.

Пусть геодезическая сеть, содержащая i−1 измерений, была уже уравнена и получены вектор неизвестных x и квадратичная форма Φ

После этого выполнены новая i-я группа измерений.

i−1.

Если она содержит только избыточные измерения, то уравнения поправок для этой группы запишем в виде

V Ax L

=+Δ

i ii i

. (6.1)

Если же эти измерения необходимы, т. е. включат в сеть новые неизвестные (вектор

), то уравнения поправок будут такими:

= ++ΔΔα

V Ax x L

i ii i i

. (6.2)

Ясно, что матрица коэффициентов при новых неизвестных α ной.

Задача теперь заключается в получении новых алгебраических объектов x и Φ

без повторного уравнивания всей сети. Ее решение зависит от вида уравнений

поправок (6.1) или (6.2).

Так как в первом случае матрицу коэффициентов нормальных уравнений можно представить в виде

, матрица обратных весов неизвестных Q

i−1

будет квадрат-

, Qi

i−1

= R

−1

где матрица

V Ax L

i ii i− −− −

R APA

1 11 1

, (6.3)

iTii

iiTii− −− −

1 11 1

составлена для уравнений поправок

, (6.4)

возникающих в уравненной ранее сети, то применяя известную лемму об обращении матриц

101

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎛

⎞

T TT

() ( )S T PT S S T P TS T TS

+ =− +

справедливую для невырожденных матриц S и T, для матрицы Q

− − − − − −−1 1 1 1 1 11

, (6.5)

= R

−1

согласно

(6.5) получим выражение:

=−

Q Q ZN Z

ii iTii

−−1

, (6.6)

где матрицы

Z QA

=+ =+

NPAQAPAZ

i i ii iTi ii

(6.7)

−1

−

−−11

. (6.8)

Следует заметить, что в общем случае формулы (6.5) или (6.6) не применяются для практических вычислений, т. к. их объем может оказаться большим, чем непосредственное обращение матрицы R

, и тем больше, чем больше порядок матри-

цы P.

Обратимся теперь к необходимым измерениям, Легко понять, что в этом случае уже известная ранее матрица Q

не изменится, и обратная матрица Qi примет

i−1

вид

−1

⎜

(6.9)

⎟

где матрицы X и Y пока еще не определены. Определим эти матрицы. Для этого напишем матрицу коэффициентов нормальных уравнений, соответствующих случаю включения в сеть только необходимых измерений с уравнением поправок (6.2):

R APA AP

−1

iiTii iTii

⎜

α αα

PA P

⎝

iTii iTii

Применяя свойство обратной матрицы R

. (6.10)

⎟ ⎠

= E и умножив вторую строку ма-

iQi

трицы (6.10) на первый столбец матрицы (6.9), получим уравнение:

α αα

PAQ P X

iTiii iTii

−

Умножив его слева на матрицу

− −−

()αα

iTi ii

, в результате получим уравне-

ние:

+ αiXT = 0

iQi−1

и затем искомую матрицу

X AQ Z

i ii i i

−

=− =−

αα

−

;

или

, (6. 11)

=−−α

Умножив теперь вторую строку матрицы (6.10) на второй столбец матрицы (6.9), получим уравнение

α αα

PAX P Y E+=

iTii iTii

или

X YP

αα

ii i

−−

Далее, учитывая (6.11) и (6. 8), окончательно найдем, что

−−

i ii

102

αα

ck`b` 6. pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe

⎛

⎞

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Таким образом, в случае учета необходимых измерений матрица обратных весов

−

TiT

−

. (6.12)

⎟ ⎠

где

αα

−

− −−

⎜

α αα

−

⎝

i i i ii

T−−

= ()

6.2. b{anp hqundmni l`Šph0{ nap`Šm{u beqnb mehgbeqŠm{u

Если уравнивание начинается с i = 1, то возникает задача выбора исходной матрицы Q весов P практически можно принять матрицу Q ло, заменяющее при вычислениях ∞, например, m = 8 при вычислениях с двойной точностью (подробнее см. [11]).

Например, определяя от безошибочного репера конечную точку висячего нивелирного хода с весом превышения p = 1 и приняв матрицу уравнения поправок a = 1, находим матрицу Z матрицу

= Q0 для всех еще неопределенных неизвестных, т. е. имеющих матрицу

i−1

= 0 и, следовательно, матрицу Q0 = ∞Е, где Е — единичная матрица. Однако

1 10

0 999990 1=−

=≈,

= 10mЕ, где m — достаточно большое чис-

= 105, N = 1 + 105 и по формуле (6.6)

10=

с матрицей

Такой способ выбора исходной матрицы Q

не вносит заметных искажений

в результаты уравнивания, особенно если учесть, что веса измерений никогда не бывают точными. Можно доказать, что погрешности вычисления элементов матрицы Q не превосходят элементов матрицы

ΔQQ

m=−102

В тех случаях, когда учитывать необходимые измерения по формуле (6.12) затруднительно, например, в сетях триангуляции или трилатерации из-за того, что для определения одного и того же пункта необходимы измерения с разных пунктов, целесообразно принять матрицу Q

= 10m Е и, как и для избыточных измере-

ний, применять формулу (6.6), но вычисляя при этом только те ее столбцы, которые относятся к новым неизвестным.

В связи с этим такой способ выбора исходной матрицы назовем универсальным, а с применением формулы (6.12) — ее последовательным формированием.

При рекуррентном уравнивании для уменьшения объема вычислений при учете избыточных измерений целесообразна специальная нумерация пунктов, такая, чтобы на каждом пункте s = 1,2,…k последовательно нумеровались все пункты, связанные с ним измерениями, а на пункте s учитывались все эти измерения.

Для того чтобы различать необходимые измерения от избыточных, достаточно организовать вектор-счетчик числа обращений к пункту t. Так, например, если в нивелирной сети число таких обращений больше 1, то такой ход будет избыточным.

Если часть неизвестных уже была определены ранее из уравнивания другой сети и получена матрица

, то при уравнивании новой сети с включением этих

исх.

неизвестных в качестве исходных данных (рис. 6.1) неопределенные еще элементы матрицы Q

следует заменить элементами матрицы

исх.

Так, при уравнивании нивелирного хода с учетом ошибок исходных отметок первого и последнего пункта, имеющих матрицу обратных весов

исх.

⎜

⎟

103

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎛

⎝

⎞

⎠

⎛

⎞

⎛

⎝

⎞

⎠

⎛

⎝

⎞

⎠

исходная для уравнивания матрица обратных весов будет такой:

...

⎜

. ... .

⎜

...

⎟

(6.13)

⎟

Все ее диагональные элементы, кроме первого и последнего, можно принять равными 10

, а все остальные, кроме С, равными нулю.

Рис. 6.1

n+1

Таким образом, уравнивание с учетом ошибок исходных данных достаточно просто выполняется с применением рекуррентного алгоритма.

Если i-ая группа состоит только из одного некоррелированного с другими измерения с уравнением поправок v

= ai∆xi + li, то формулы (6.7) и (6. 8) приобретают

более простой и удобный для вычислений вид:

Z Q a N p aZ N N

= =+ =

iiTi i iiTii

−−1

11,/ , /

Кроме того, матрицы A

или ai содержат лишь небольшое число ненулевых

. (6.14)

элементов, а матрица Q симметричная, что уменьшает объем вычислений.

В случае уравнивания нивелирных сетей и предварительного уравнивания направлений с пункта s на t матрица A женном в стобце s, а матрица α

= ai = (0 0 …0−1 0…0) с элементом −1, располо-

= 1. Тогда матрица Qi приобретает совсем простой

вид

−−

i is

⎜

sim p Q

⎝

где (Q цы Q

и (Q

i−1)s

. Полученный таким образом новый столбец имеет номер t = s + 1. Иными

i−1

словами, следует s-ый столбец матрицы Q

()

/ ()

i i ss

— соответственно s-ый столбец и диагональный элемент матри-

i−1)ss

, (6.15)

⎟

⎠

−

просто записать в столбец t, а к диаго-

i−1

нальному элементу с индексом tхt прибавить обратный вес i-го измерения.

Для иллюстрации сказанного приведем пример.

Пусть имеем нивелирный ход, проложенный между двумя безошибочными не нумеруемыми реперами (рис. 6.2), состоящий из n + 1 секций с весами превышений p

= 1.

Тогда будем иметь последовательность симметричных матриц для секций (необходимых измерений) 1, 2…n

⎛

= 1,

⎜

⎝

104

Рис. 6.2

111

⎞ ⎟

⎠

⎜

⎟

11 1

...

⎜

⎜ ⎜ ⎜

...

......

n+1

⎟ ⎟

. (6.16)

⎟ ⎟ ⎟

ck`b` 6. pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe

⎝

⎞⎞

⎠

⎛

⎝

⎞

⎠

Последняя (n + 1)-ая секция является избыточным измерением. Поэтому, при-

=−

меняя формулы (6.7) и (6.8) и учитывая, что матрица

=−

матрицу

том (6.14) матрицу Q

12...

()

= Q, равную

n+1

, величину N

n+1

= n + 1 и далее согласно (6.6) с уче-

01... ,

()

получаем

nn n

⎛ ⎜

⎜

. . . ....

⎜

12 1

−−

2 12 2 2

( ) ( )...

−−

32 3

( )...

−

...

⎟ ⎟ ⎟

, (6.17)

⎟ ⎟

элементы которой можно вычислять по формулам:

(),()

ij ij,,

+−

in j

jn i

+−

(6.17а)

соответственно при i ≤ j или j ≤ i.

Например, при n = 4 будем иметь матрицу

4321

Q =

⎜

3642

⎜

2463

⎜ ⎜

1234

⎟ ⎟

. (6.18)

⎟ ⎟

Суммы ее элементов по столбцам j = 1,2, … n и всех элементов соответственно

Jn j nn n

равны

+−

ΣΣ

ji j

≤

+ +−

jj n j

( )( )

(( )

++(),( )( )1

12 12

; а суммы в каждом столбце до строки i = j

Такой же вид будет иметь матрица обратных весов, уравненных в угломерном ходе дирекционных n сторон с исходными (безошибочными) дирекционными углами на концах.

Так как уравнения поправок для измеренных углов, как и нивелирном ходе, имеют вид

=− + +δα δα

i s ti

, то выражение Q

в (6.16) есть матрица не уравненных,

а (6.17) — уравненных дирекционных углов n сторон.

6.3. dnonkmhŠek|m{e bnglnfmnqŠh pejrppemŠmncn rp`bmhb`mh“

Рекуррентный способ позволяет также удалять избыточные измерения. Для этого их необходимо учитывать по формулам (6.6)−(6. 8), но с обратным весом или матрицей обратных весов со знаком минус. Так, например, удаляя избыточную (n + 1)-ую секцию в в рассмотренном выше нивелирном ходе с 1/p = −1, получим матрицу Q = Q

Эта возможность позволяет после учета избыточных измерений очень просто заменить измерение с весом p димо учесть уравнение поправок этого измерения с весов p = −p мер, если вместо веса p = 1,5, то вычисляем вес р = −1 + 1,5 = 0,5 и с полученным ранее вектором Z находим

в выражениях (6.16).

на это же измерение с весом p2. Для этого необхо-

= 1 последняя (пятая) секция хода (рис. 6. 3) имеет вес p2

+ p2. Так, напри-

105

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎛

⎝

⎞⎞

⎠

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎛

⎝

⎞

⎠

⎛

⎝

⎞

⎠

величину N = 1/p + 0,8 = 2,8. Теперь по формуле (6.6) определяем новую матрицу (вместо 6.18)

0 785 0 571 0 357 0142

,,, ,

Q =

⎜ ⎜ ⎜

1142 0 714 0 285

,,,

1071 0 428

⎜

0 571

⎟ ⎟

Рис. 6.3

Другим полезным применением удаления измерений является возможность оценки точности неузловых точек геодезической сети.

Так например, если в нивелирном ходе (рис. 6.3) вместо секций 2, 3 и 4 (при n = 4) в уравнивание включена эквивалентная им секция между реперами 1−4 с об-

1111 3

ратным весом

Q =

//// ,pppp=++=

⎟

⎜

234

то получим матрицу:

Удаляя теперь эту секцию с обратным весом p = −3 при матрицах

−

⎞

⎛

aZ N

=−

()

Q =+

,, ,

⎜

⎟

451

−

⎞

⎛

−

()

⎜

⎟

⎛ ⎜

659

=− + =−11

⎞

⎟

получаем матрицу

Далее составляем матрицу

1000

⎜

0000

⎜

Q =

0000

⎜ ⎜

0001

⎟ ⎟

Учет необходимых секций 2 и 3 по формуле (6.15) и затем избыточной секции 4 приводит в результате к матрице (6.18).

Рекуррентное уравнивание позволяет легко преобразовать любое неизвестное в исходное (при условии его некоррелированности с другими неизвестными). Для этого необходимо учесть уравнение поправок

v xl=+δ

с заданным обратным

весом (например, 1/p = 0, если неизвестное принимается безошибочным). Так, если конечная точка хода (рис. 6.2) не является исходной, то учитывая секцию n + 1 как необходимое измерение, получим матрицу

11 1

...

⎜

106

⎜ ⎜

...

..... .

⎟ ⎟

⎟ ⎟ ⎟

ck`b` 6. pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe

⎛

⎝

⎞

⎠

⎛

⎞

Для того чтобы превратить отметку репера n + 1 в безошибочную, по формуле (6.6) при матрице уравнения поправок вектор

Zn=+

12 1... ,

()

величину N = n + 1 и затем матрицу Q, совпадающую

0 01...

a =

()

и при 1/p = 0 находим

с (6.18) при n = 5, но окаймленную дополнительным нулевым столбцом.

Относительно применения формулы (6.15) важно отметить дополнительно, что если столбец s имеет ненулевые элементы, номера строк которых h > s, то они переносятся в строку t и столбец h, т. е. в этом случае

( ) ( ).QQ

i th i hs=−1

Для иллюстра-

ции сказанного получим матрицу обратных весов отметок при уравнивании нивелирного хода из n секций и n + 1 реперов (включая конечные, рис. 6.1) с учетом ошибок исходных данных с матрицей обратных весов Q (6.13). Применяя формулу (6.15), после учета n − 1 (необходимых) секций будем иметь симметричную матрицу:

AA A A C

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

. . . ... . .

n−

⎜ ⎜

⎜

где величины

A A AC

ππ π

++ +

11 1

ππ ππ

++ ++

12 12

p= 1/.

Для последней (избыточной) секции n по формуле (6 7) по-

...

A AC

...

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

∑

−

⎟ ⎟

⎟

лучаем вектор

⎜ ⎜ ⎜

⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜

⎝

где обозначено

AB C

+−2 .

⎟

−

−−

−

⎟

ππ

⎟

∑

−

⎟

⎟ ⎟

⎠

D CA

=−

D BC

. Величина

−

N DD

=−++=+

π ππ

nAB h

∑∑

По формуле (6. 6) далее несложно получить все элементы матрицы обратных весов уравненных реперов, Приведем только диагональные элементы этой матрицы:

=−

QAND

−

A11

= +− −

ππ

∑∑

jj h

−

()

, (j = 2,3,…,n),

QBND

nn B++

=−

Легко убедиться, что при безошибочных исходных реперах (A = C = B = 0) и при

весах p

Например, для репера 2 получим

нумерации реперов),

= 1 будем иметь для реперов j те же результаты, что и по формулам (6.18).

=− =

−

nnn

65=− =

=/ (/)

−

, (или 4/5 при n = 5 при принятой

и т. д.

Рекуррентный способ позволяет учитывать не только уравнения поправок,

составляемых в параметрическом способе уравнивания, но и условные уравнения

107

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎝

⎠

⎛

⎞

⎛

⎞

коррелатного способа. В самом деле, условные уравнения можно записать в виде фиктивных уравнений поправок

V BV W= +=0

, т. е. как уравнения поправок к

некоторым фиктивным безошибочным измерениям с весами p = ∞, или 1/p = 0. В качестве исходной матрицы Q рений P

−1

. Так, например, для рассмотренного выше хода приняв матрицу P−1 = Е

и учитывая условное уравнение

по формулам (6.6)−(6. 8) находим вектор Z

следует принять матрицу обратных весов изме-

∑

in=

, т. к. матрица B = A

= P−1aT = aT, величину N =0 + ZTZ = n + 1

1×(n+1)

= (1 1 ... 1), то

и затем матрицу обратных весов уравненных превышений

11 1

−− −

⎛ ⎜

11 1

−− −

⎜

.......

⎜

111

−−−

⎜

...

⎞ ⎟

⎟

. (6.19)

⎟ ⎟

⎟

Такой же будет матрица обратных весов уравненных углов в угломерном ходе

с n +1 измеренными углами. Вектор поправок

Квадратичная форма

lNw

Φ= =

(см. следующий раздел).

ΔxV

= =−

или

=−+1.

Конечно, такой способ уравнивания целесообразно применять только в том

случае, когда условные уравнения имеют простой вид и порядок матрицы P

−1

невелик. Такой типичной задачей является уравнивание координат одних и тех же пунктов, но полученных из разных сетей с различными матрицами обратных весов Q

и Q2. Тогда искомая матрица будет иметь вид

ния — вид

− +=

j ji12

. В условные уравнения могут входить еще параметры

⎜

⎝

а условные уравне-

⎟

⎠

преобразования координат, если неизвестные получены в различных системах координат.

6.4. b{)hqkemhe mehgbeqŠm{u h jb`dp`Šh)mni tnpl{

Получим теперь формулу для вычисления вектора неизвестных xi. Для этого воспользуемся общей формулой параметрического способа, ко-

торая в нашем случае примет вид

ний поправок представим в виде

== +

b APL A P L APL

iTii iTii

−−−11 1

. Но т. к. при рекуррентном уравнивании сеть с i−1

Δx Qb

=−

=−()

измерениями уже уравнена, то вектор L

Z ZA N P

то с учетом формулы

−= = − = − −

Δx Q A PL Q Z N Z A PL Z PL Z N N

i iiTii i iTiiiTii iTii

= =−

iTiiTi ii

−−

() (

−

Поэтому окончательно будем иметь

−1

=−

Δx ZN L

108

iiTii

(6.20)

Матрицу коэффициентов уравне-

iTi

= V

i−1

−1

получим

, а вектор

и по лемме Гаусса

i−1

⎜

⎝

PP PL

i ii

−1

. Тогда вектор

⎟

⎠

−1

)

iTii−− −

11 1

ck`b` 6. pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe

Уравненный вектор после учета каждой i-ой группы измерений будет таким

=+−1Δ .

ii i

Таким образом, после учета каждого измерения мы получаем уравненные на данном этапе неизвестные, что также является одним из достоинств рекуррентного способа.

L xy

=−

Для вычисления свободных членов иногда вместо формулы можно воспользоваться иным способом. Допустим, что перед началам вычислений уже получен вектор

() ()

L xy

()

=−ϕ

, как и в традиционном параметрическом

ϕ ()

i ii i

−

способе уравнивания. Но при рекуррентном уравнивании необходим вектор

−

()

L xy

=−

ϕ ()

i ii i

−

. Но т. к.

−

∑

,Δ

то приводя функцию

x()

к линейно-

−1

му виду, получим:

−

()0

LL x

ii h

что и решает поставленную задачу. Очевидно, что вектор поправок

Проделав аналогичный вывод для квадратичной формы

∑

VL x

Φ= +L PL b L

()0

∑

, найдем,

что

ΦΦ

ii iTii

LN L=+

−−1

Для случая одного i-го измерения вектор

Δx Zl N

=− /, ΦΦ

iiTii

i i ii

Но ясно, что при учете необходимых измерений

lN=+

−1

. (6.20, а)

ΦΦ

ii=−1

, а новые неизвестные можно вычислить по необходимым измерениям по известным из геодезии формулам, например, отметка X неизвестных при исходнлй матрице Q

= Xs + yi. Но имея какие-то приближенные значения

= 10mE, также можно применить формулу

(6.20). Одно из достоинств рекуррентного уравнивания по этой причине заключается в более точном вычислении приближенных значений неизвестных, т. к. при учете измерений каждый раз выполняется уравнивание сети.

6.5. jnmŠpnk| cpra{u nxhanj hglepemhi h hqundm{u d`mm{u

В отличие от традиционного параметрического способа рекуррентное уравнивание позволяет выполнить контроль грубых ошибок в результатах измерений и исходных данных по свободным членам уравнений поправок избыточных измерений.

Получим необходимые для этого формулы.

Так как вектор свободных членов i-ой группы избыточных измерений

L xy

=−

ϕ ()

i ii i

−

то его математическое ожидание основании свойств математического ожидания с учетом (4.6):

ϕϕ( ()10

M Mx Y X Y

i i ii i

Поэтому можно построить доверительные интервалы для составляющих вектора

для чего необходимо найти матрицу его обратных весов.

, (6.21)

−= −=

[]

−

M M x My

ϕ ()

[]

ii i

−

, или приближенно на

[]

109

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎛

⎞

Так как матрица обратных весов векторов x и y имеет вид

−

⎜

⎝

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

−

⎟

=±σ

⎠

−−1

i ii iTi

по x

, совпадающую с (6.8). Отсюда следует, что допус-

и yi имеет вид F = (Ai − E), то

i−1

можно вычислить по формуле

, (6.22)

⎞

⎛

⎟

⎜

⎠

⎝

а матрица частных производных вектора L на основании обобщенной теоремы оценки точности функций найдем матрицу

Q FQ F P A Q A N

= =+ =

тимое значение любого j-го составляющего вектора L

() ( )

L tN

i j 4 >? i j j

а для случая одного измерения

i 4 >? i,.

=±σ

. (6.23)

Важно отметить что свободные члены уравнений поправок представляют собой не что иное как преобразованные по схеме Гаусса решения систем нормальных уравнений невязки условных уравнений, которые образуются каждым избыточным измерением. Величины N

совпадают с преобразованными диагональными

элементами матрицы коэффициентов нормальных уравнений коррелат. Так, например, мы уже получили выше, что для последней секции нивелирного хода величина N

= N

= n + 1. Нормальное уравнение коррелат будет (n + 1)k + w = 0.

n+1

Пусть имеем модель нивелирной сети (рис. 5.2) с весами ходов p

= 1. При

уравнивании рекуррентным способом нивелирного построения, приведенного в разделе 5.3, получаем высоту узловой точки по необходимому ходу 1

N p aQa

как свободный член 100,005. Учитывая ход 3, находим

трицу

0()

Xi==

2 2 2 12

100,030 и матрицу Q1 = 1. Для избыточного хода 2 находим величину

1=+/

Q QQ

= 1+1=2 и матрицу

()

=−

(70+29,980) =0,050, то

Z QQ

0 5 0 333== − =

. Свободный член l

Q Q N ZZ

2 1 2 22

ττ

= =− ,

3 23

1=− ⋅/

, величину N

= 50 − (100,005 − 50,010) = 0,005.

= 0,5 (вектор

= 100,030−

i=2

/ N Zl

×=

= 1 + 0,5 = 1,5 и ма-

2 22

Уравненное значение высоты

151,

x3==

100,005 −

Квадратичная форма

(0,005) =100,007.

[] / /pvv l N l N=+

222323

= 0,00127. Таким образом, получены те

же результаты, что и разделе 5.3.

Как видно, рекуррентное уравнивание обладает как достоинством параметрического, так и коррелатного способа, но позволяет избежать сложную процедуру составления условных уравнений и оценки точности неизвестных.

Вместе с тем вычисление матрицы Q для избыточных измерений по формуле (6. 6) требует большого объема вычислений. Поэтому целесообразно по рекуррентной формуле учитывать только необходимые измерения, что выполняется просто и быстро, и вычислять для избыточных измерений только свободные члены и их допустимые значения.

В этом случае свободные члены уравнений поправок представляют собой непреобразованные, т.е до решения системы нормальных уравнений невязки условных уравнений. Величины N

совпадают также с непреобразованными диагональ-

ными элементами матрицы коэффициентов нормальных уравнений коррелат. Контроль грубых ошибок выполняется по тем же формулам. Само же уравнивание после исключения грубых измерений быстрее выполнить традиционным па-

110

раметрическим способом.

). Так

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]