Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
END
600 REM ВВОД МАТРИЦЫ Q, НО БЕЗ НУЛЕЙ
Z = Z + 1
H = K * (K + 1) / 2: DIM Q (H), Z (K), X (K): DET = 1
Z (1) = 0: FOR I = 1 TO K – 1: Z (I + 1) = Z (I) + I: NEXT
H = 0: FOR J = 1 TO K: H1 = J – Z + 1
IF J <= Z THEN
FOR I = 1 TO J
H = H + 1
611 PRINT A$; I; "."; J; ") =";: INPUT Q$
IF VAL (Q$) = 0 AND MID$ (Q$, 1, 1) <> "0" THEN BEEP: GOTO
611
Q (H) = VAL (Q$)
NEXT I
END IF
IF J > Z THEN
H = J * (J – 1) / 2 + H1–1
FOR I = H1 TO J
H = H + 1
PRINT A$; I; "."; J; ") =";: INPUT Q$
IF VAL (Q$) = 0 AND MID$ (Q$, 1, 1) <> "0" THEN BEEP: GOTO
611
Q (H) = VAL (Q$)
NEXT I
END IF
PRINT: NEXT J
CLS: LOCATE 4, 20:
INPUT "ЕСТЬ ЛИ ОШИБКИ ПРИ ВВОДЕ МАТРИЦЫ (Y/N) "; A$: A$ =
UCASE$ (A$)
IF A$ = "N" THEN RETURN
618 PRINT "Введите номер строки I ";: INPUT I: SLEEP 1
PRINT "Введите номер столбца J ";: INPUT J
H = I + J * (J – 1) / 2
PRINT A$; I; "."; J; ") =";: INPUT Q (H)
CLS: LOCATE 4, 30: INPUT "ЕСТЬ ЛИ ЕЩЕ ОШИБКИ "; A$: A$ =
UCASE$ (A$)
IF A$ = "Y" THEN 618
617 RETURN
REM $STATIC
DEFDBL C, E-G, K-P, R-S, U, Y-Z
SUB PAUSE
PRINT: PRINT "Для продолжения нажмите любую клавишу"
DO WHILE INKEY$ = ""
LOOP
CLS
PRINT: 'PRINT "THANK YOU"
END SUB
cл="= 5
jnppek`Šm{i qonqna rp`bmhb`mh“
5.1. nanqmnb`mhe leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb q ongh0hi
jnppek`Šmncn qonqna`. qŠ`ŠhqŠh)eqjhe qbniqŠb` pegrk|Š`Šnb
rp`bmhb`mh“
Несмотря на то, что в настоящее время коррелатный способ (или условий)
практически не применяется из-за сложности составления условных уравнений и
оценки точности функций на ЭВМ, его теория представляет значительный интерес, расширяет понимание многих процессов и облегчает выводы ряда фундаментальных формул. В качестве иллюстрации приведем теорию коррелатного способа вместе с новым обоснованием МНК.
Наличие в сети r избыточных измерений приводит к образованию r точных
математических зависимостей вида φ
чения измеряемых величин, или в матричной форме в виде вектор-функции
φ(Y) = 0. (5.1)
, Y2 … Yn) = 0, j = 1, 2 … r, Yi — истинные зна-
j(Y1
Эти уравнения называют исходными уравнениями связи.
После приведения вектор-функции φ(Y) к линейному виду вместо (5.1) получим матричную систему
B(Y − y) + φ
(в качестве приближенного вектора Y
Элементами матрицы B
B
=
ji
(y) = 0 (5.2)
j
(0)
принят вектор результатов измерений y).
ϕ ()
∂
⎛
⎜
⎝
r×n
являются производные
Y
⎞
j
Y
∂
i
⎟
⎠
Yy
=
ii
.
Так как вектор истинных ошибок Δ = y − Y, выражение (5.2) можно переписать
в виде
B(−Δ) + W = 0, (5.3)
причем вектор W = φ(y) называют вектором невязок. Точно также, как и вектор
(0)
X
, если он получен по результатам измерений, W является случайным векто-
ром.
Так как в системе (5.3) уравнений меньше, чем неизвестных, можно подобрать
бесчисленное множество удовлетворяющих ей векторов Δ.
Но выделить из них единственный вектор, соответствующий измеренному y,
невозможно из-за недостатка информации. При этом из всех решений системы
можно выбрать наилучшее. Математически такая задача может быть поставлена
82
так.
ck`b` 5. jnppek`Šm{i qonqna rp`bmhb`mh“
⎛
⎞
F
Пусть имеется совокупность некоторых функций Fs = Fs(Y1, Y2 … Yn), s = 1, 2 …
m или вектор-функция
F = F(Y). (5.4)
Линеаризация ее при Y
F Fy f=−() Δ
, (5.5)
(0)
= y приводит к выражению
F fY y Fy= −+( ) ()
или
где элементами матрицы f размера m × n являются частные производные
F
∂
f
si
s
=
⎜
Y
∂
⎝
i
⎟
⎠
Yy
=
ii
.
Выражение (5.5) можно переписать следующим образом:
*
()= = +Δ
F Fy F f
*
и принять F
в качестве оценки для F.
Недостатком оценки F
(5.6)
*
является неоднозначность ее значений, т. к. она зависит от тех измерений, по которым выполнены вычисления, и не учитывает избыточную информацию.
Иными словами, F
*
можно назвать оценкой до уравнивания, матрицей обрат-
ных весов которой будет
T
Q fP f
−1
*
F
.=
(5.7)
Избыточная информация (вектор невязок W) должна улучшить оценку F
вектор-функции F
*
. Это можно сделать, введя в F* вектор поправок VF в виде ли-
нейной комбинации вектора невязок W:
**
ˆ
FF V F W
=+=+ρ
F
T
, (5.8)
Учитывая выражения (5.3) и (5.6), можно найти оценку
ˆ
=+ + =++ΔΔ Δρρ
и матрицу ее обратных весов
QNN NN
ˆ
F
где матрицы
TT
TT
ff f
N BP B=
()=+ + +ρρ ρ
−1 τ
()FFf B F f B
Q f BP f B
ˆ
F
, (5.9)
f
,
N BP f
=
f
−
1
TT
( )( )=+ +
ρρ
−1
T
, N
= f P−1fT.
ff
или
Если обозначить
NNC
ρ+ =
, (5.10)
ff
где С, так же как и ρ — произвольная матрица, то
−−
11
NC NN
ρ= −
ff
. (5.11)
Подстановка формулы (5.11) в выражение (5.9) приводит к выражению
Q N NN N CN C
=− +
ˆ
F
ff f
T
ffTf
. (5.12)
−−11
Вектор оценок при этом будет иметь вид
T
ˆ
=− +
() .F Fy NNW CNW
−−11
f
Если матрица C
T
−
=−
() ,
F Fy N N W
=−Q N NN N
ff f
F
1
f
T
−1
T
f
= 0, то оценка
t
(5.13)
ˆ
становится следующей:
(5.14)
.
(5.15)
f
*
83
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
f
F
F
f
W
f
y
T
T
Так как матрицу N предполагаем невырожденной, то матрица
−1
жительно определена, поэтому
Q
и определитель |
F
2
σ
Q
| является обобщенной дисперсией вектора функции
|
0
F
≤
что
()Q
Sp
22
σσ
F
Sp
F
≤
. (5.16)
ˆ
F
Q
| удовлетворяют неравенствам:
F
Q
()
, а также и то, что
ˆ
F
Q Q CN C
ˆ
F
T
f
F
.−= ≥
0
Это означает, что матрица
f
Q QQ Q
≤≤
F
ˆ ˆ
F
CN C
f
,.
F
. Можно доказать,
Величина
F
Таким образом, оценка функции будет наиболее точной при определении ма-
трицы ρ из решения системы
−1
поло-
ρ+ =0
NN
Такое уравнивание назовем строгим, а уравнивание с матрицей
. (5.17)
f
C
≠ 0
— при-
f
ближенным. Им соответствуют оценки (5.14) и (5.13) с матрицами обратных весов
(5.15) и (5.12). Математическое ожидание вектора
MF F f BM
[ˆ] ( ) []= + +ρ Δ
T
.
Если измерения не содержат систематических ошибок, то
ˆ
будет
M[]Δ=0
и
MFF[ˆ] =
т. е. процедура уравнивания, как строгого, так и приближенного, не вносит смещений в результаты, и корреляционная матрица
ненных функций относительно их истинных значений (с точностью до остатка
характеризует точность урав-
K
ˆ
F
разложения в ряд исходных функций), что приводит к методу наименьших квадратов.
Действительно, если вектор-функция F = Y, т. е. оценке подлежат сами изме-
YYE
=∂ ∂ =
ряемые величины, то матрица f преобразуется в единичную
трицы
или
NP
F y y P BN W
==−
y yV=+
Частным случаем выражения (5.15) при
Q P P BN P
y
для матрицы обратных весов уравненного вектора
−1
N BP
=
ff
, где
− − −−1 1 11
=−
=
;
f
T
−−11
V P BK=
T
−1
; вектор оценок —
, (5.18)
−1 τ
KN
;
=−
−1
.
является формула
E=
(5.19)
.
/
nn
×
; ма-
Такой же результат можно получить, если вектор −Δ заменить вектором V, ко-
торый называют вектором поправок, удовлетворяющим условию
τ
Ф V PV==
. (5.20)
min
,
Для определения условного минимума (5.20) при условии
BV W+=0
составляют функцию Лагранжа
(5.21)
TT
Φ= + +V PV BV W
λ ()
где
λ λ λ λ= ; ; ;
,
( )
12
...
—
r
вектор вспомогательных множителей. Для удобства выводов следует ввести обозначение λ = −2K (К — вектор коррелат).
Из равенства частной производной нулю,
∂
Φ
∂
V
следует, что
TT
=−=
VP KB
22 0
TT=−1
V K BP
,
и
V P BK
T=−1
, что следует также из (5.18).
Подстановка вектора V в систему условных уравнений (5.21) приводит к си-
84
стеме нормальных уравнений коррелат
ck`b` 5. jnppek`Šm{i qonqna rp`bmhb`mh“
W
f
NK W+=0
, (5.22)
где N—матрица, как и ранее, равная
−1BT
N=BP
. (5.23)
Таким образом, алгебраическое условие метода наименьших квадратов (5.20)
приобретает более богатый вероятностный смысл, заключенный в доказанной
выше обобщенной на совокупность функций теореме Гаусса—Маркова. При этом
сама теорема Гаусса—Маркова становится частным случаем. Действительно, из
выражения (4.8)
YX A=+φ()
следует, что вектор истинных поправок определяется выражением
−−1 10
R APY R AP X
=−
преобразуется к виду (здесь для простоты вектор X
ным)
Рассмотрим теперь случай, когда приближенное уравнивание выпол-
()0
ΔΧ
TT
=∂ ∂ =
( )/
f FY Y R A P
()
ϕ()
, а
T
−
1
()
0
X X FY= +=
и вектор поправок
ΔΧ
. Поэтому матрица f размера m × n
()
(0)
рассматривается неслучай-
Δx R A PL
T=−−1
.
ΔX =
няется заменой матрицы Р на S. Тогда вместо условия (5.20) следует поставить условие
уравнение коррелат
правок
y Y S BN W Y S BN B
=+− =+−
V S BK=
Δ ΔΔ
Φ= =V SVτmin
NK W+=0
−1 τ
. Вектор
TT
−− −−
11 11
. В результате получим матричное нормальное
с матрицей
y yV=+
будет несмещенным. Так как вектор
, или
N BS B=
y Y E S BN B Y U
=+ − =+
−1 τ
. Тогда вектор по-
T
−−
11
()
ΔΔ
, то
матрица его обратных весов
−1
T
Q UP U
=
y
,
(5.24)
T
где матрица
U E S BN B
=−
Опуская несложные преобразования, после прибавления и вычитания в правой части матрицы
Q P P B N BP C N C
− − −− −1 1 11 1
=− +
y
−−11
T− −−1 11
P B N BP
TT
.
получим выражение:
, (5.25)
где матрица
C BP NN BS=−
Условие С = 0 (строгое уравнивание) выполняется всегда, когда матрица
N Nd
ным
Так как
няться условие
− −−1 11
rr=×
, где d — произвольная невырожденная матрица. Вектор
T
V V CN
=+
−1
BV W+=0
BC
. (5.26)
.
, то
T
= 0
BV BC N W
. Действительно, при матрице С, определенной согласно
T
+=
−1
и, следовательно, должно выпол-
0
V
получим рав-
(9.26);
TT
BC BP B BS N N N NN N
− −− −1 11 1
= − =− =
0
.
Для оценки точности функции при приближенном уравнивании можно применять формулу (5.12) с матрицей
C Cf N NN N
Тогда
T
= =−
f
ff
Q Q CN C
=+
F
Но, как видно, для этого необходимо иметь матрицу N
−1
−1
T
f
F
.
−1
. Однако является
справедливой формула [21]
85
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
f
=
i
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
QNN C
=+ +ρρ
F
где матрицы
TT
ff f
ρ=−−NN
Так, если на станции измерены три угла y
, (5.28)
f
1
,
f
N BS f
−1
T
=
f
.
способом круговых приемов (рис. 5.1)
i
(фактически они вычислены по направлениям), то матрица их обратных весов
−
1 05 0
,
−
1 05
,
⎞
⎟
. (5.29)
⎟
Q =
⎛
⎜
⎜
1
(при весе уравненного на станции направления p
= 2).
N
При приближенном уравнивании углов с заменой
матрицы Q на S
υυυ
α
I
α
1
y
1
А
y
2
α
y
3
2
α
II
123
трицу
N BQB
и
N BS B BB
T
==
−1
= ==
Для функции
T
==05,
N BQf
f
= − ⋅=0 5 1 3 1 0 167,/ ,
N NNN CNN
− + =+ =
ff f f f
−1
= E составляем условное уравнение
(матрица
0++=
()
TT
Fy=+=αα
,
Nf= 1
−−11 2
T
B =
111
()
1 05 0
⎛
⎜
05 1 05
−−
⎜
0 05 1
.
3
,
−
,,
,
−
11 1
. Поэтому по формуле (5.27)
. Матрица
Nff= 1
0 75 0 167 0 778,, ,
f
. Далее находим ма-
1
⎞
⎛
⎞
⎟
⎜
⎟
=111
111
⎟
⎜
⎟
, матрицы
и
Q Q CNC
=+ =
F
F
=
100
()
и
C
=
f
−
1
τ
f
f
.
Если вычисления выполнить по формуле (5.28), то ма-
трица
Рис. 5.1
−
1
ρ= =−
NN
f
13/
и
QF=+ − − ⋅ =1 05 1 3
1
0 167 0 778,( /) , ,
3
.
Часто допускают ошибку, применяя для оценки точности функций, полученных при приближенном уравнивании как в параметрическом, так и в коррелатном
способах формулы, справедливые только для строгого уравнивания. Например,
при коррелатном способе для оценки точности функции справедлива формула ее
1/[]p ff r
обратного веса
заменяя веса
p
F
=⋅π
, где
на приближенные значения (в рассматриваемом примере, равные
1), получим неверный результат
1 0 67/,p
p= 1/
π
ii
f
. Но при приближенном уравнивании,
.
=
Как и для параметрического способа, приведем матрицу обратных весов векторов у,
и V. Поскольку для строгого уравнивания вектор
y
Δ
Y
⎜
⎟
ZyyV=
⎜
⎟
где матрица
+
⎛
⎜
()
Y E PM
+−
=
⎜
−
1
Δ
PM
T=−1
M BN B
⎞
−
1
⎟
Δ
;
⎟
, то матрица
E
Y
∂
T
=
=− +
∂
Δ
86
Тогда на основании формулы
−−
⎜
⎜
11
E P M CN B
−−
11
P M CN B
+
τ
τ
⎟
.
⎟
ck`b` 5. jnppek`Šm{i qonqna rp`bmhb`mh“
y
y
⎛
⎞
−1
Q TP T
=
Z
T
составим таблицу для блоков матрицы QZ (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Вектор
Вектор
Y
V
y
−1
P
−1
P
−1
P
− P−1MP
− P−1MP
V
−1
−1
P−1MP
0
−1MP−1
P
Для квадратичной формы справедливы такие выражения:
−
KW W N W K NK w r
Φ=− = = =− ⋅
TT
[]
r11
.
+
Последний алгоритм получается в столбце невязок в результате преобразова-
w
ния его по схеме Гаусса или Холесского. Величина
r +=1
0
.
5.2. qb“g| o`p`leŠph)eqjncn h jnppek`Šmncn qonqnanb
Приведем ряд формул, связывающих параметрический и коррелатный способы.
Систему уравнений поправок
V Ax L
=+Δ
11 1
;
V Ax L=+Δ
разделим на две группы:
−1
=+Δ
V AxL
22 2
таким образом, что матрица A
матрица
A
1
. (5.30)
— квадратная порядка k, и существует обратная
1−
т. е. в первую группу отнесены все необходимые измерения. Более
1
общий случай, когда в первую группу отнесена и часть избыточных измерений,
изложен в разделе 7.6.
Тогда вектор Δx можно выразить через вектор V
Δx AV AL=−
−−
111111
. (5.31)
следующим образом:
1
Подставив это выражение во второе уравнение (5.30), получим систему
V AA V L AA L
2 2111 2 2111
или, с обозначением
G AA=
, (5.32)
−
1
=+
21
,
V GV W
21
, где вектор
W L GL=−
21
.
−−
= +−
Уравнение поправок (5.32) можно переписать в виде условного уравнения
BV W+=0
BG E
При некоррелированных векторах y
N GE
где матрица
с блочной матрицей
rk
×
=−
()
=−
()
.
1
−
P
1
⎜
0
⎝
T
R A PA
=
1 1 11
и y2 матрица
1
T
⎞
⎛
0
G
1
−
⎟
⎜
P
E
−
⎝
⎠
2
1
−−
=+
P AR A
2
⎟
⎠
T
, (5.33)
2112
.
Умножив матрицу В на А, получим:
87
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
A
−
1
()AA E
21
−
1
=−=
⎜
⎟
A
⎝
⎠
2
AA
22
0
,
что доказывает важное свойство:
ВА = 0. (5.34)
Оценим теперь точность уравненного вектора Δx. Поскольку в задаче
−− −
F AV AL A X y= − =− −
111111111
0
()
(( )
φ
, т. к. вектор V
1
при включении в сеть только не-
1
обходимых измерений равен нулю, то матрица
FyF
∂∂∂
f
⎜
y
∂
⎝
12
−
1
=
A=
0()
.
1
⎟
⎠
Поэтому матрица
−
N fP f A
==
ff
где матрица
−−
T
R A PA
1 1 11
1
0
()
1
T
=
.
⎜
⎝
1
P
0
1
P
0
−
1
⎞
⎛
A
1
−
1
⎟
⎜
0
⎝
⎠
2
−1
1
R
=
;
1
⎟
⎠
Матрица
−
1
P
−
N BP f G E
= =−
f
T
(напомним, что
()
TT
A A
= ( ))
11
1
⎜
0
⎝
1−−
0
P
2
.
С учетом этих выражений получим матрицу
−− − −
=−
Q R R A N AR
11112
x
чаем связь между матрицами
1
T
1
. Но, с другой стороны,
21
−1
R
T
−
⎞
⎛
A
−
1
⎟
⎟
⎜
0
⎠
⎝
⎠
−1
N
и
:
−− −1
AA P A A
==
211111
T
= == −
Q Q Q N NN N
F
Q RR R
=+ =
()
x
−
1
R
.
221
x x ff f
−−
11
12
T
. Поэтому полу-
−
1
или
f
1
=−
R R R A N AR
11112
Опуская выводы, приведем также формулу
T− −− − −
1
1
. (5.35)
21
1
R R M M R A NN A R
1
= −− +
1
TT−− − −−
112
аналогичную (5.35), но для случая приближенного уравнивания с матрицей весов
. Здесь матрицы
SP≠
T=− −−
1
M R A N AR
112
T
R A SA
=
1 11
.
Можно показать, что если векторы y
21
1
;
и y2 коррелированы и имеют матрицу
1
обратных весов
QQ
Q
11 12
=
⎜
QQ
⎝
21 22
,
⎟
⎠
то в этом случае
1
1
ˆ
=− − −
R R R A A Q N AR Q A
1
1
−−
ˆ
=
R A QA
где
1
1111
TT−− − − − −
ˆ
(
1121112
T
.
)(
1
ˆ
21121 1
)
,
Исходя из коррелатного уравнивания, вновь получим формулу (4.25), которую
следует переписать в виде
− −−1 11
Q R A SP SAR
88
x
T
=
. (5.36)
1
21
1
,
ck`b` 5. jnppek`Šm{i qonqna rp`bmhb`mh“
f
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
Так, если
T
F x X R A SL
== −
−01
, то матрица
T=−1
R AS
, т. к.
L Xy=−φ()
0
, а
f x y.=∂ ∂/
В этом случае в формуле (5.12) матрицы
N R A SP SAR
N BP SAR
C NN N BP SAR NN BS SAR
Но т. к. BA = 0, то
CNC RASPBNBPSAR NNN
QQN
и
F
− −−1 11τ
=
ff
−−11
=
f
=− = −
ff
T
f
==
− −− −−−1 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1ττ
− − − −− − −
==
f
x ff
, что совпадает с (5.36).
;
=
TT
− − − −− −
,
1 1 1 11 1
NNN RASPBNBPSAR
τ
f
f
.
C BP SAR
=
f
T
−−11
. Поэтому в формуле (5.12)
ff
,
, и
5.3. jnmŠpnk| cpra{u nxhanj h qpedm““ jb`dp`Šh)eqj`“ nxhaj`
edhmh0{ beq`
Одним из достоинств коррелатного способа является возможность выполнять
контроль грубых ошибок по невязкам условных уравнений. Действительно, в
условиях отсутствия в измерениях систематических ошибок (M[Δ] = 0) случайный
вектор невязок
W = BΔ (5.37)
имеет математическое ожидание М[W] = 0. Поэтому можно написать формулу
()Wt
Найдем СКО невязки W
имеет корреляционную матрицу
K BK B BP B N
поэтому
ных уравнений N. Таким образом, допустимое значение невязки
()w tN
Для равноточных измерений
()w tN
Эта формула предполагает, что точно известны веса измерений или СКО
одного измерения. В противном случае вместо σ
оценками μ или т, а вместо t — коэффициентом Стьюдента.
Однако эти формулы применяются все реже из-за сложности составления
условных уравнений на ЭВМ. Можно доказать (см. раздел 6.5), что их эквивалентом являются формулы контроля грубых ошибок при рекуррентном уравнивании.
Пример. Пусть имеем модель нивелирной сети (рис. 5.2) с весами ходов p
Имеем матрицу коэффициентов условных уравнений
B =
составленную для полигонов I и II. Вектор невязок
W =
=±σ
j доп w
== =
W
σσ
W jj
j
=±σ
j доп jj
=±σ
j доп jj
110
⎛
⎜
011
0 050
⎜
0 030,,
.
j
. Из выражения (5.37) следует, что вектор невязок W
j
TT
Δ
2
N=
0
0
−
2102
σσ
0
, где Njj — j-й диагональный элемент коэффициентов нормаль-
. (5.39)
. (5.39, а)
−
⎞
,
⎟
−−
.
⎟
, (5.38)
или σ следует пользоваться их
0
= 1.
i
89
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Рис. 5.2. Нивелирная сеть
с одним узлом
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
Нормальные уравнения будут такими:
⎛
⎞
⎞
⎟
⎠
⎛
0 050
⎜
0 030
⎝
⎞
,
,
.
=
0
⎟
⎠
K
1
+
⎜
⎟
K
⎝
⎠
2
⎛
21
⎜
12
⎝
Решим эту систему по схеме Гаусса (табл. 5.2).
Квадратичная форма [VV] = 0,00127. Вектор
поправок
TT
V BK
==
⎛
−
⎜
⎜
⎜
⎝
0 023
,
0 027
,
0 003
,
⎞
⎟
.
⎟
⎟
⎠
Таблица 5.2
k
1
2
k
2
1
−0,5
W
0,050
−0,0250
1,5 0,005
−0,0033
0,0234
−0,0033 −[W
·2] = = [VV] = 0,00127
3
Уравненное значение высоты узловой точки х=50+ (50,030−0,023) =100,007.
Величины
NN
2 1 15=⋅
[]
11 22
. Далее следует выполнить вычисления по форму-
=,,
ле (5.39).
Оценим точность отметки репера 1
XXy
=+.
A11
Согласно с формулой (5.15) находим матрицы:
f N ff N Bf
100 1
=
()
,, .
T
== = =
ff
f
1
T
⎜
⎟
0
Тогда матрица обратных весов будет такой:
21
−
⎞
⎛
Q
=−
F
1
3
⎛
10
()
⎜
1210
−
⎞
=1
0 333,
⎟
⎜
⎟
.
5.4. mejnŠnp{e bhd{ rqknbm{u rp`bmemhi
Излагая теорию коррелатного уравнивания, мы не будем подробно рассматривать виды условных уравнений, учитывая, что в настоящее время этот способ
применяется редко ввиду сложной логики программирования на ПК. Даже его
преимущество перед параметрическим способом — возможность контроля грубых ошибок — теряет свое значение, т. к. эта задача решается значительно проще
при помощи рекуррентного уравнивания (см. раздел 6).
Тем не менее приведем некоторые виды условных уравнений.
Как и в параметрическом способе, они делятся на два вида: линейные и нелинейные.
К первым и самым простым относятся условия фигур, например суммы углов
в треугольнике или многоугольнике, условия дирекционных углов в сети триангуляции или полигонометрии, условия горизонта, полигонные условия в нивелирных сетях и др.
Среди нелинейных в качестве примера приведем так называемое базисное
90
условие.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]