Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов

ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi

Если μ = m1м, то

В данных вычислениях за измерение с весом мерение линии S

PS

= 1 .

S

i

=l м.

0

i

P

1=

принято фиктивное из-

S

0

2. Измерено несколько углов одним и тем же прибором числом приемов n

каждый. Найти веса средних значений каждого угла.

Решение.

Обозначив СКО измерения угла одним приемом через m

= ;

i

ср

22

==μ

2

i21

2

μ

.

2

ср

mn

1

i

m mn

Pm

ii

, имеем

1

Полагая μ = m1, получим Pi = ni.

За измерение с весом P

3. Одним и тем же прибором «измерена» сумма углов n

найдена сумма углов в треугольнике (n

Решение. Обозначив СКО через n

суммы углов представим в виде

Если μ = m

, то Pi = 1/ni. За единичный принят вес одного измеренного угла.

1

= 1 принято измерение угла одним приемом.

i

0

m mn

=

ii

= 3). Найти вес суммы.

i

измерения одного угла в ni-угольнике, СКО

1

,

1

а вес —

P

i

-угольника, например,

i

2

μ

=

2

mn

i

1

.

i

Если имеется функция

вес функции P

PP

=

()

u

определяют по формуле:

u

2

1

=

P

1

.

u xP= ,

где х — результат измерения, а P — его вес, то

Следовательно, при умножении результата измерения на корень квадратный из его веса вес произведения будет равен единице. По этому принципу и осуществляется приведение неравноточных измерений к равноточным. Учитывая формулы (1.14) и (1.15) легко определить обратный вес функции независимых аргументов y = f(x

, x2, … , xn).

1

Действительно, разделив в выражении (1.14) левые и правые части на σ

2

, мож-

0

но вычислить обратный вес функции

n

11

=

∑

P

i

=

1

y

2

⎛

⎞

∂

f

⎜

⎟

∂

x

⎝

⎠

i

(3.5)

.

P

x

0

i

Здесь и далее нижний индекс 0 у производных означает, что последние вычислены по приближенным значениям аргументов.

Примеры.

1. В треугольнике измерены три угла β

ками одного измерения и числом приемов, соответственно равными m

m

= 4" и n2 = 9, m3 = 5", n3 = 12. Найти веса среднего значения каждого угла и вес

2

невязки, приняв за ошибку единицы веса ошибку m

Решение. Веса средних значений углов определим по формуле

Mm n

=

iii

, причем μ = m

. Имеем:

1

со средними квадратическими ошиб-

i

.

1

= 3", m = 4,

1

μ

P

=

i

2

M

i

,

где

31

2

x

m

1

P

1

P

Вес невязки найдем по формуле (3.5), где

1 1 1 1 0 25 0 20 0 23 0 68

n

4==;

1

2

m

1

2

m

1

2

m

2

m

1

3

m

3

9

n

2

n

3

2

9 51= = ⋅=,;

16

9

12 4 3= = ⋅=,.

25

u

P PPP

=++=++=,,, ,.

123

u

n



=−

180

∑

i=1

β ,

)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj

а именно:

i

2. Найти вес приращения координат Δx = Scosα, приняв m

за ошибку единицы

s

веса μ.

Решение. Имеем

22

Pm

Веса

==μ

SS

11 1

PPSP

1

При этом ошибку m

xSΔ

,

2 22

=+cos sin .αα

P mm

α

22

αα=

S

.

следует выразить в радианах, т. е. mα / ρ.

α

3. Найти вес функции

n

xP

∑

ii

i

=

1

=

— результаты измерения, a Pi — их веса.

где x

i

Решение. Известно, что

11

=

P

x

∑

i

∑

i

,

(3.6)

n

P

i

=

1

∂

∑

i

2

⎞ ⎟

P

i

⎟

n

P

⎟

P

i

⎟

⎠

1

=

⎛

n

⎜ ⎜

1

=

⎜ ⎜

⎝

n

P

∑

i

1

=

n

⎛

i

P

∑

i

⎜

⎝

i

1

=

P

x

i

∑

in1

∑

in=

=

1

Поэтому

.

P

i

и

PP

xi

PP

i

n

=

(3.7)

.

i

=∑1

=

x

i

=

2

⎞ ⎟

⎠

Пусть требуется определить среднее весовое значение отметки репера, полученной из геометрического и тригонометрического нивелирования, выполненных при одной постановке прибора на базисе В.

Для упрощения ситуации можно принять, что угол наклона υ = 0°.

Пусть m метрического нивелирования, m

= 5'', а средняя квадратическая ошибка отметки, полученная из гео-

υ

= 5 мм.

Г

Данную задачу можно решить с использованием формул (1.15). С учетом того, что υ = 0°, среднюю квадратическую ошибку m

2

m

∂

⎛

=

⎜

T

⎝

∂

ν

⎞ ⎟

⎠

==

22

ρν

2

Hm B

cos

m

B

ν

m

ρρ

,

(3.8)

ν

можно выразить в виде:

Т

32

где H

= H

T

+ Btgν.

исх

ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi

T

x

⎡⎣⎤

Отсюда

2

mmm

P

== =

T

2

222

mB B

ν

T

2

ρρ

.

2

(3.9)

По формуле (3.8) и из геометрического нивелирования получены средние квадратические ошибки отметок точек, являющихся однородными величинами. При μ = m

веса РГ = 1 и являются безразмерными величинами.

Г

Далее для определения среднего весового значения отметки можно воспользоваться формулой (3.6).

Эту же задачу можно решить с использованием формулы (3.5), для чего необходимо установить веса измерений, являющихся неоднородными. Так,

2

Р

= 1;

Г

P

ν

m

2222

m

ν

S

22

ρρ= ==

S

ρ

.

Далее

1 11

=

B

P

H

P

совпадает с (3.9).

и

H

2

H

∂

⎞

⎛

⎟

⎜

⎠

⎝

ν

P

∂

Тот же самый результат можно получить, если назначить вес соотношения m

T

2

BB

==

4222

νρ ρ

cos

ν

,

P

, исходя из

H

и mυ, которые с базисом B образуют прямоугольный треуголь-

ник:

m

ν

B

=

T

ρ

и

P

T

2

m

==

22

mB B

ν

2

ρ

2

ρ

.

(3.10)

2

В этом случае вес будет приближенным, поскольку в отличие от предыдущих способов остается неучтенным значение угла υ. Результаты совпали только благодаря тому, что был угол наклона υ, равный нулю. На практике результаты, полученные с помощью формулы (3.10), считаются удовлетворительными.

Необходимо отметить, что при уравнивании линейно-угловых построений вес

2

m

угла обычно вычисляют по формуле

S

P

β

. Это не противоречит приведенным

=

2

m

β

рассуждениям, т. к. при уравнивании величина ρ входит в коэффициенты уравнений поправок и свободный член l.

3.3. nap`anŠj` p“d` mep`bmnŠn)m{u hglepemhi

Если имеется ряд независимых измерений (x1, x2, …, xn) с весами, соответственно равными (P го ожидания М (Х), а при отсутствии систематических ошибок для X является так называемая общая арифметическая средина (весовая средняя)

P

[]

=

[]

для дисперсии единицы веса — квадрат средней квадратической ошибки

2

=

μ

, P2, …, Pn), то в этом случае наилучшей оценкой для математическо-

1

x

(3.11)

;

P

2

υ

⎦

(3.12)

1

−Pn

33

)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj

(формула Бесселя для неравноточных измерений). При этом, как и ранее,

отклонения от общей арифметической средины обладают свойствами:

xx=−

i

[Pυ] = 0; [Pυ

2

] = min.

Это можно доказать, использовав метод максимального правдоподобия. Так

подчиняются нормальному распределению, то функция правдоподобия име-

как x

i

ет вид

n

=

L Lxx x aa Lxaa

где a1 = M(X), a2 = σ

, ,..., , , , , ,

(

1 2 12 12

ni

2

0

L можно определить по формуле:

Lx aa e

,,

(

i

12

1

=

)

2

πσ

Или учитывая, что

Lx aa

(

,,

i

12

=

)

2

π

откуда

PP P

12

L

=

2

()

−

n

2

ae

2

n

π

n

...

Логарифм выражения (3.13) определяют по формуле

...

PP P

n

ln ln

12

=

n

2

π

()

=

)

()

∏

=

i

1

, xi — значение i-го измерения с весом

2

xa

−

()

i

1

−

2

σ

i

.

i

202

σσ

ii

P

i

e

a

2

n

Px a

−−

()

ii

∑

i

1

=

2

n

ln .L

−−

22

P

=

−

a

2

a

,

2

xa P

−

()

ii

1

a

2

,

2

1

.

(3.13)

n

Px a

−−

()

∑

ii

1

=

i

2

1

a

2

(3.14)

2

σ

0

P

. Следовательно,

=

i

2

σ

i

Для определения максимума данной функции необходимо составить и решить два уравнения:

=

υ

i

=

0

1

=−

1

=− +

2

;

∑

i

2

∂

n

=

1

n

a

или

∂

ln L

∂

ln L

∂

ln.L

∂

a

Из уравнения (3.15) следует, что

ского ожидания будет

34

ln L

=

0

a

2

∗

−

Px a

()

ii

∗

2

1

; (3.15)

=

a

∑

i

∗

2

n

1

=

0

2

∗

−

Px a

()

2

∗

a

2

∗

a

=

1

=

Px

[]

=

p

[]

ii

(3.16)

0

n

Px a P

∑∑

ii

=

i

1

.

x

n

∗

=

. Тогда оценкой математиче-

i

1

i

=

1

ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi

⎡⎣⎤

x

⎡⎣⎤

x

2

υ

P

Из уравнения (3.16) можно найти оценку дисперсии единицы веса

υ

xx=−

где

ii

.

∗

a

=

2

⎦

n

В разделе (2.3.2) было показано, что в случае равноточных измерений оценки

n

−∗1

∗

a

и

1

чая неравноточных измерений, следовательно, несмещенной оценкой величина μ

a

являются доброкачественными.

2

n

Аналогично можно доказать справедливость данного утверждения и для слу-

2

, определяемая по формуле Бесселя:

2

⎡⎣⎤

⎦

μυ=

.

1

−Pn

∗

a

является

2

Из уравнения (3.15) следует, что [Pυ] = 0.

Максимум функции L достигается при выполнении условия метода наименьших квадратов [Pυ

2

] = min. Следовательно, оценки, получаемые методом макси-

мального правдоподобия и наименьших квадратов в случае ряда измерений, подчиняющихся нормальному распределению, совпадают.

Величина

mM P

==

x

определяется с ошибкой

μ

[]

,

а при наличии систематических ошибок

m

M

равной

x

μ

P

[]

2

C=

+

. Для определения средних

квадратических ошибок самих ошибок используют формулы:

,

mm P

mn

μ=−

μ

21

;

()

M

=

μ

.

[]

Доверительные интервалы для истинного значения X и дисперсии единицы веса строят так же, как и при обработке равноточных измерений. Они имеют вид:

tm X x tm

− < <+

xx

αα

2202222

≤≤

γμ σ γμ

1

σ

Для

γμ σ γμ

1 02

γ σγ

mm

12

σ

и

доверительные интервалы будут следующими:

0

x

≤≤

xx x

;

Если известны истинные ошибки измерений Δ

;

.

= xi − X, то задача сводится к

i

оценке точности измерений по формуле Гаусса:

2

PnΔ

2

μ

=

⎦

.

Вычисления при обработке ряда неравноточных измерений выполняют в следующем порядке.

1. Вместо выражения (3.11) применяют формулу

xP P=+

' ε

[ ][ ]

x xx x=− =', ' min

ε

где

ii i

,

.

35

2. Определяют уклонения υi и выполняют контроль [Pυ] = −Δ

x

=

]

'

округления при вычислении

3. Вычисляют [Pυ

22

⎡⎣⎤

P P PPυ εε

⎡⎣⎤

=

⎦

ошибки μ, M, m

2

] с контролем

2

−

[ ][]

⎦

, mM или строят доверительные интервалы.

μ

будет

Δ

, (3.17)

Результат записывают в виде выражения x

xx=−

окр окр

.

± M или доверительного интер-

0

вала.

Докажем контрольные равенства для [Pυ] и [Pυ

2

].

При вычислениях используют округленное значение

xx

− −Δ

i окр

.

Таким образом,

)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj

[P], где ошибка

окр

, поэтому

окр

υ

i

=

P Px P x P

υ

[]=[]−[]

−

Δ

окр

,

[]

т. к.

υ

PP

, то

Px P x

[]=[]

[]=−[

Если образовать разность

Δ

.

окр

υε

− = − − + =−

ii i i

xxxx

ε

P

[]

, то

P

[]

ευ

=+

ii

P

[]

P

[]

После возведения левой и правой части данных равенств в квадрат, умножения на P

и сложения их по i можно получить

i

22

⎡⎣⎤

PP P

ευ υ

=

⎦

+

⎦

[]

2

[]

P

εε

P

[]

P

+

[]

⎛ ⎜

⎝

2

⎞

P

[]

.

⎟

P

⎠

[]

Так как [Pυ] = 0, то

2

P

ε

22

⎡⎣⎤

PP

⎡⎣⎤

υε

=

⎦

[]

−

⎦

P

[]

.

Примеры.

1.Произвести математическую обработку средних значений одного угла (x измеренного разным числом приемов n лесообразно применять формулу P

(табл. 3.2). Для удобства вычислений це-

i

= ni / 3. Вычисления располагаем в этой же

i

таблице.

Таблица 3.2

Номер

измерения

1 2 3 4 5 6

x' = 89°41'16''

x

i

89°41'16''

10 23

n

P

i

6

2

9

18

6

3

1

15

5

6

2

8

12

4

ε

+3

+4 +7 +2

Pε

+20 +18

0

+20 +14

+8

i

+10

Σ = 20 Σ = 80 Σ = 448 Σ

Pε

200

54

80 98 16

2

υ

+6

−1

0

−4

+6

−8

Pυ

+12

−6

−4

0

+6

−8

= −18

−

Σ

= 18

+

Σ = 0

Решение.

ε

.

Σ = 128

Pυ

72

16

18 16

),

i

2

6

0

ε

P

[]

==40

,

P

[]

36

x

89 47 10 0



' , '

; Δ

окр

= 0

ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi

x

128

μ= =

5

μ

=

m

μ

n

21

()

51, ''

==

−

51

;

M ==

11,, ''

20

51

16,, ''

;

10

;

m

=

M

=μ0 36, ''

P

[]

Таким образом, получен результат 89°47'10,0'' + 1,1''. Доверительный интервал при α = 0,95 имеет вид: 89°47'06,9'' < X < 89°47'13,1'' Коэффициент t

выбираем из таблиц распределения Стьюдента по β = 0,95 и

α

числу степеней свободы r = 6 − 1 = 5. Для построения доверительного интервала для

σ

по таблицам распределения χ2 по числу степеней свободы r = n − 1 и вероятности

x

β = 0,95 находим γ

= 0,624, γ1 = 2,45. Тогда 3,18'' < σ

1

Далее строим доверительные интервалы 1,8'' < σ

2

< 12,45''.

0

< 3,5'' и 0,40'' < σ

0

−

< 0,78''.

x

3.4. n0emj` Šn)mnqŠh on p`gmnqŠ“l dbnim{u hglepemhi

На практике часто производят так называемые двойные измерения, когда каждую из однородных величин измеряют дважды. При этом оценку их точности осуществляют по разностям измеренных значений одной и той же величины.

Пусть некоторые однородные величины X лучены результаты:

первого измерения — x

второго измерения — x

, x2, …, xn;

1

′, x2′, …, xn′.

1

При отсутствии систематических ошибок вычисленные разности двойных измерений

, X2, …, Xn измерены дважды и по-

1

dxx

=−'

i ii

(3.18)

можно рассматривать как истинные ошибки величин, истинное значение которых равно нулю. Для оценки точности d

можно использовать формулу Гаусса. Для

i

равноточных измерений

2

⎡⎣⎤

d

m

=

d

а с учетом формулы (3.18)

⎦

, (3.19)

n

22

mm

dx

. Следовательно, среднюю квадратическую

2=

ошибку одного измерения можно выразить в виде:

d

2

d

[]

. (3.20)

2

n

m

==

x

2

При двойных равноточных измерениях в дальнейшую обработку включают

xx

+ '

среднее по двум наблюдениям

i

ср

=

ii

, средняя квадратическая ошибка ко-

2

торого

37

)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj

i

2

⎡⎣⎤

m

===

x

ср

2

d

x

212

Если в измерениях x

Md MX MX X C X C C C

()=()−()

i i i i ii ii

Математическое ожидание разностей d

d

⎦

. (3.21)

n

присутствуют постоянные систематические ошибки, то

i

= +− − = −' ''

. (3.22)

равно разности систематических

i

ошибок в двойных измерениях, эту остаточную часть можно исключить. Для ее определения используют критерий (2.19), подставив вместо истинных ошибок Δ значения разностей d

d dn

≤⎡⎣⎤

25,

[]

⎦

:

i

. (3.23)

Если данное неравенство выполняется, то остаточная составляющая систематической ошибки отсутствует, и оценку точности выполняют по формулам (3.19), (3.20), (3.21).

Если условие (2.19) не выполняется, то следует исключить систематическую составляющую из разностей d

При этом ε

= di − θ, где θ = [d]/n, можно трактовать как уклонение от средне-

i

.

i

го арифметического и, следовательно, для оценки точности применить формулу Бесселя:

2

ε

⎡⎣⎤

m

d

Формулы для

m

x

m

x

ср

⎦

=

==

===

. (3.24)

1

n

−

m

x

2

ε

m

2

m

⎡⎣⎤

d

n

−

21

()

m

d

x

2121

2

m

и

⎦

аналогичны выражениям (3.20) и (3.21):

x

i

ср

; (3.25)

2

ε

⎡⎣⎤

⎦

. (3.26)

n

−

Должны выполняться и контрольные равенства:

i

=−n

ε

[]

(3.27)

Δ

окр:

и

2

d

22

⎡⎣⎤

ε

=

⎦

Δ

= θ

окр

[]

⎡⎣⎤

d

−

⎦

− θ. (3.28)

окр

;

n

Формулу (3.27) при ручных вычислениях обычно не используют, поскольку величины d

незначительны по величине. Но на ПК определение [ε2] и [d2] можно

i

проводить параллельно с вычислением [d], что несколько упрощает программу.

Иногда вместо неравенства (3.23) используют более жесткий критерий :

dd

<⎡⎣⎤

0 25,

[]

.

⎦

Пример.

Даны результаты нивелирования между точками при двух положениях нивелира (табл. 3.4). Вычислить средние квадратические ошибки одного измерения и

38

среднего из двойных.

ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi

м

Таблица 3.4

Номер

превышения

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

1-е положение

xi, м

+1,273 +0,987 +1,069 +0,542 +0,768 +0,895 +1,166 +1,304 +1,198 +0,484

2-е положение

xi', м

+1,270 +0,988 +1,065 +0,542 +0,766 +0,891 +1,167 +1,302 +1,194 +0,481

Σ

=22

+

Σ

=−2

−

Σ=20

x

, мм

i

+3

−1

−4

+2 +4

−1 +2 +4 +3

ε

+1

−3 +3

0

−2

0

+2

−3

0

+2 +1

Σ

=8

−

Σ

=−8

+

Σε

2

Σε =0

[|d|]=24

Решение.

Используем критерий (3.23). Имеем

20 2 5 24 10 19 0≥⋅ ≈,,

.

Следовательно, неравенство (3.23) не выполняется. Поэтому для вычислений применяем формулы (3.24), (3.25).

d

Определим

θ=

[]

=+ =

n

20 10 2 0,

мм и m

по формуле (3.24).

d

Средняя квадратическая ошибка превышения при одном положении нивелира будет следующей:

1 9 4 4 0 4 9 0 4 1

=36

2

ε

2

⎡⎣⎤

m

==

x

d

2

ε

⎦

==

n

−

213618

()

,

1 41

мм.

Средняя квадратическая ошибка превышения, полученного как среднее из результатов нивелирования при двух положениях прибора, составит

m

==1 41 2 1 00,,

x

ср

мм.

Наиболее часто встречающимися на практике являются неравноточные измерения, когда величины x Таким образом, можно говорить о том, что величины x вес P

.

i

и xj при i ≠ j неравноточны, а xi и xi′ равноточны.

i

и xi′ имеют один и тот же

i

Очевидно, вес разности будет

1 11 2

=+=

P PPP

d

ii i

i

Отсюда

P

d

i

P

=

2

.

i

.

Поэтому при отсутствии систематических ошибок среднюю квадратическую ошибку измерения, вес которого равен единице, можно представить в виде

22

Pd

[]

μ=

d

n

Pd

[]

=

n

2

. (3.29)

39

)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj

x

⎡

⎣

i

Тогда средняя квадратическая ошибка i-го измерения будет вычисляться по формуле

mP

=μ

x

i

а средние квадратические ошибки средних значений

mP

x

ii ср

т. к. вес

PP

x

i

=μ 2

= 2

iiср

,

xx

+ '

ii

=

i

ср

2

, (3.30)

.

В случае, когда разности d

содержат систематические ошибки и θ = [Pd] / [P]

i

заметно отличается от нуля, имеем

2

⎡⎣⎤

P

με=

⎦

21

()

. (3.31)

n

−

Критерием наличия постоянной систематической ошибки будет невыполнение неравенства

Pd Pd P

[]≤[ ][]

25,

d dd

, (3.32)

аналогичного (3.23). Неравенство (3.32) можно переписать, подставив вместо P вес P

/ 2. При этом

i

Pd Pd P

≤⎡⎣⎤

[]

35,

⎦

.

[]

Контроль вычислений осуществляют по формулам

2

Pd

PP

ε

[]=−[]

где Δ

— ошибка округления.

окр

Формулы для

Δ

и

окр

m

x

Пример. Даны разности d

22

⎤

P Pd

и

⎡⎣⎤

ε

=

⎦

применимы и при наличии систематических ошибок.

m

x

i ср

[]

−

⎦

двойных измерений и их веса (табл. 3.5). Требуется

i

P

[]

,

выполнить оценку точности.

Таблица 3.5

Σ

+

Σ

−

d

+2,4

−6,2

−2,2 +1,3

−0,6 +2,1

−4,0 +1,4 +7,5

−1,3

= 14,7 = −14,3

2

P

i

= P

x

i

1,11 0,28 0,62 0,32 0,27 0,71 0,43 0,45 0,48 0,53

d

5,8

38,4

4,8 1,7 0,4 4,4

16,0

2,0

56,2

1,7

Σ = 5,20 Σ = 131,4 Σ = 59,4

Pd

6,4

10,7

3,0 0,5 0,1 3,1 6,9 0,9

26,9

0,9

2

m

x

iср

1,1 2,3 1,5 2,1 2,3 1,4 1,8 1,8 1,7 1,7

Σ = 0,4

di

Решение.

Так как [Pd] / [P] ≈ 0, то принимаем гипотезу об отсутствии систематических

40

ошибок. Поэтому средняя квадратическая ошибка единицы веса