Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов

ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi

⎝

⎠

Приведем блок обратной матрицы Q = R−1 только для определяемых пунктов 3 и 4:

2 7650 0 0412 0 9209 2 2516

,,, ,

⎛

Q =

⎜ ⎜ ⎜

2 4440 0 8662 2 0782

,, ,

2 7620 0 4822

,,

⎜

−

⎞ ⎟

⎟

−

88 5077,

.

⎟ ⎟

Так как число избыточных измерений r = n − k = 11 − 8 = 3 мало, то по форму-

σσ

ле

σσ

j jj

σσ

0 017 0 030==,, ,.

xy

44

(при σ0 = 0,01) определяем СКО координат:

Q=

0

0 017 0 016==,, ,,

xy

33

Выполним теперь окончательное уравнивание измерений.

Приведем таблицу 12.1, а измеренных направлений:

Таблица 12.1, а

Номера

измерений

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11

Между

пунктами

1 −2

−3

−4

2 −1

−3

−4

3 −1

−2 4 −1

−2

−3

Результаты измерений Свободные члены l

00 60 00 00,34 30 00 01,43

−0,34

−1,43

00

300 00 01,86

24000 01,90

−1,86

−1,90

00 60 00 01,11

−1,11

00 30 00 01,05

−1,05

329 59 56,95 3,05

В ней свободные члены уравнений поправок вычислены по истинным коорди-

натам пунктов и ориентирующим углам, приведенным в таблице 12.1, б

Таблица 12.1,б

Пункты s =

X Y

α

1234

0,000 866,0254 0 866,0254 0,000 500,000 1000,000 1500,000

210 00 00 30 00 00 90 00 00 90 00 00

Ниже приведены векторы свободных членов нормальных уравнений:

T

2 416 0 944 0 002 10= −−

,,, ,b

b

()

1

T

b

7 702 0 118 0 0012 10=− −

,, , ,b

()

3

−

T

10 189 5 934 0 004 10=−

,, , ,

()

2

3

−

T

4 903 5 109 0 0022 10=− −

, ,, .

()

4

3

−

3

−

Поправки координат пунктов при принятых безошибочными исходных пунктов 1 и 2

0 0017 0 0058 0 0104 0 0197, , , ,.

Δ= − − − −

()

T

Вектор поправок к ориентирующим углам (в секундах) получен таким:

=− −

Δ

0 50 0 14 0 22 0 82, , , ,.

()

α

T

Квадратичная форма

вектор поправок к измеренным направлениям:

p vv

= 0 000038,.

[]

Наконец,

191

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

l

t

l

VT= − − −−

0 50 0 52 1 02 0 14 0 52 0 38 0 13 0 13 0 92 0 27 0 65,, ,, ,,, , ,,,.

( )

Как легко видеть, на каждом пункте суммы поправок равны нулю. Если теперь вычислить вектор



по уравненным неизвестным, то он совпадет с вектором по-

L

правок V.

При рекуррентном уравнивании плановых сетей исключение поправок ориентирующих углов не позволяет контролировать грубые ошибки. Поэтому уравнивать целесообразно также без их исключения, рассматривая окончательное уравнивание как продолжение уравнивания предварительного. При предварительном уравнивании были учтены уравнения поправок (11.12) — (11.14), когда этот процесс рассматривался как самостоятельный. Однако при окончательном уравнивании поправки дирекционных углов сторон необходимо выразить через поправки координат. Следовательно, учтенные ранее уравнения поправок, в которые входят поправки δα

, необходимо учесть повторно, что приведет к наруше-

st

нию строгости уравнивания. Поэтому при предварительном уравнивании, если оно является частью общего уравнивания, следует учитывать только уравнения поправок:

−

υ δα δα

=−+

st t s st

υ δα

st s st

l=− +

; (12.15)

l

.

Продолжение этого вычислительного процесса включает в себя учет следующих уравнений поправок: (12.15);

++

υ δα δα

=− − + − +22ΔΔ

st s t st s st t st

A Al

, (12.16)

и уравнений: для односторонних направлений —

υ δα

st s st s st t st

AAl=− + − +ΔΔ

; (12.17)

для измеренных дирекционных углов и длин сторон —

AAl

= −+ΔΔ

υ

αα

st s st t

st st

υ

CCl=− + +ΔΔ

s st s st t s

st st

; (12.18)

. (12.19)

Остановимся на проблеме вычисления свободного члена в уравнении (12.16). Можно написать формулы:

()

0

= −−()

αα

st st s st

()

0

= −−()

αα

ts ts t ts



N

;



N

;

где знаком «~» над буквой помечены результаты предварительного уравнивания.



α

st ts



N+

отличаются друг от друга на 180°. На эту же величину

()0

α

и

st

. Поэтому

ts

=

st ts

l

и

α

st s

.

l+= 2

Величины

α

s st

и



N+

отличаются между собой

Если же ориентирующие углы в процессе уравнивания получают поправки

δα

и δαt, то тогда

s

+

l

=++2 δα δα

st st s t

. (12.20)

Поэтому при рекуррентном уравнивании поправки δα при учете каждого нового измерения следует накапливать в специальном массиве, а исправлять ими ориентирующие углы в самом конце счета.

Формула (12.20) верна при любых значениях приближенных координат, по

192

которым вычисляется свободный член l

.

st

ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi

l

i

j

Таким образом, предварительное уравнивание направлений позволяет сразу определять свободный член

+

на точке s, не обращаясь к обратному направлению

st

на точке t, что облегчает реализацию алгоритма на ЭВМ.

В заключение отметим, что изложенный алгоритм применим не только для уравнивания сетей триангуляции и трилатерации, но и для сетей полигонометрии с определением координат и оценкой точности всех пунктов.

12.2. rp`bmhb`mhe h n0emj` Šn)mnqŠh onkhcnmnleŠph)ejncn und`

В настоящее время, когда на производстве имеется широкий парк компьютеров и геодезических программ, полигонометрический ход целесообразно уравнивать с оценкой точности всех его пунктов традиционным или рекуррентным параметрическим способом, составляя уравнения поправок для измеренных длин сторон и направлений, как и в любой линейно-угловой сети. Однако при отсутствии надлежащего программного обеспечения, в учебных целях и отдавая должное классическому подходу, обратимся к коррелатному способу с некоторыми новыми выводами.

Рассмотрим сначала случай 1, когда в ходе отсутствует последний угол β или когда ход в угловом отношении привязан только в его начале (рис. 12.2).

n’= n+1

n+1

,

нач

α

β

1

β

2

1

2

Рис. 12.2. Ход с угловой привязкой только в его начале

β

3

2

β

i

3

i

3

n

β

n

Тогда в ходе возникают только два исходных уравнения связи уравнения

n

ΔXXX

ϕβ

s(, )=

x

ϕβ

s(, )=

y

∑ ∑

+− =

i

1

n

+− =

ΔYYY

i

1

0,

n=′

0

n=′

(12.22)

(12.23)

относительно истинных значений координат и их приращений, которые являются

s

функциями от истинных значений измеряемых величин — длин сторон по ходу углов а приращения координат функции сначала по ний B = (B

B

=

s

β

. Учитывая, что дирекционные углы

ΔXs

s

и

), в которой матрица

sBβ

cos cos . . . cos

αα α

⎛

12

⎜

sin sin . . . sin

αα α

⎝

12

ii i

β

, находим матрицу коэффициентов условных уравне-

= cos α, ΔYs

⎞

n

.

⎟

⎠

n

= sin α

ii i

α α ββ β

=+

i нач. i

12

, дифференцируя исходные

и левых

180

k+ ++ +... ,

Для получения матрицы Bβ находим частные производные:

ϕβ

s

(,)

∂

x

(

β

∂

i

n

∑

ji

y

Δ

и

=

)

=−

0

(,)

∂

ϕβ

s

y

(

∂

β

i

n

=

)

Δ

x

∑

0

=

ji

(символами без черты или малыми буквами обозначаем измеренные или вычисленные по ним величины). Поэтому соответствующую матрицу коэффициентов запишем в виде:

193

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

A

yy yy yy

−− −− −−

( ) ( )... ( )

⎛

n n nn

′′ ′

B

=

β

⎜

( ) ( ) ... (

⎝

12

xx xx xx

−− −

nn n

′′ ′

12 nn

⎞

. (12.24)

⎟

)

⎠

Выразим далее приращения координат через так называемые центральные координаты точек хода

xx=−

ξ

i iF

η

и

yy=−

i iF

(разности координат не изменяют-

ся от параллельного переноса осей координат), где

+

1

n

x

∑

i

=

1

i

=

F

,

n

1

+

1

n

y

∑

i

=

1

i

y

=

F

—

1

n

+

координаты центра тяжести хода. Как уклонения от арифметической средины центральные координаты обладают свойством

ξη

[]=[]

Теперь матрицу B

B

β

= 0.

запишем в виде:

β

ηη ηη ηη

−− −− −−

( ) ( )... ( )

⎛

n n nn

′′ ′

=

⎜

( ) ( ) ... (

⎝

12

ξξ ξξ ξξ

−− −

nn n

′′ ′

12 nn

⎞

. (12.25)

⎟

)

⎠

Теперь можно записать условные уравнения такого хода:

n

cos ( ) ,α

∑∑

i

=

n

∑∑

i

=

v vw

11

sn

sin ( )α

v vw

sn

n

1

ρ

1

ρ

′′

i

=

n

i

=

ηη

− +=

ix

′

ξξ

′

βi

i

− +=

iy

βi

i

−

+

0

(12.26)

(12.27)

0

(в предположении, что поправки углов выражены уже не в радианах, а в секундах). Невязки w зультатам измерений.

Матрицу коэффициентов N = B P ний коррелат NK+W=0, приняв матрицы обратных весов длин сторон светодальномерами) и P pE

лучим такой:

AC

N

=

⎜

CB

и wy — значения функций (12.22) и (12.23), вычисленные по ре-

x

11

−1BT

=

BP B BP B

sTss

−

=11/ , где при

ββ

.

(12.28)

⎟

T−−

+

ββ β

PE

σσ

0=s

нормальных уравне-

1

−

=

(при измерении

s

,

//p

σσ

=

1

β

Ее элементы

n

=+

B

=+′′−

C

=−′′−−

2

cos ( ) ,

∑∑

i

=

11

i

n

∑∑

=

11

i

n

∑∑

11

=

i

ρ

2

sin ( ) ,

α

i

cos sin ( )( ).αα

ii

n

1

2

′′

ρ

p

β

1

2

=

i

n

p

=

i

β

ηη

1

2

p

ρ

2

−

′

n

i

ξξ

β

2

′

n

i

n

η ηξ ξ

′′

n in i

=

i

Матрица обратных весов невязок wx и wy будет также равна N, и можно получить их допустимые значения (см. раздел 5.4).

Для получения уравненных значений длин сторон и углов необходимо вычислить векторы поправок:

1

T

BK

,

β

p

ρ

”

β

194

T

V BK

=

ss

V

=

;

β

22

, по-

s

β

ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi

⎛ ⎝

⎞ ⎠

x

w

где вектор коррелат K

1×2

= −N−1W; вектор невязок

W

x

=

.

⎜

⎟

w

y

Так как матрица частных производных, вычисленных по результатам измерений координат конечной точки хода,

n

Xx

=+

′

ni

Δ, yY y

∑

1

=

i

1

′

ni

=+

∑

1

i

n

Δ

=

1

совпадает с матрицей

B = (B

то матрица обратных весов этих координат совпадает с матрицей (12.28). Поэтому дисперсии дет такой:

2 22

σ σσ

n xy

+

или

22

σσ

+′

n s ni

2

где

D

ni′ ,

);

s Bβ

22

=

σσ

xs

nA′

=+

1

nn

′′

2

σ

nD

=+

1

β

ρ

′′

и

σσ

,

n

∑

2

1

=

i

22

ys

nB′

2

,

. Дисперсия положения конечного пункта n + 1 бу-

=

, (12.29)

— квадрат расстояния от конечной точки хода до точки с номером i.

Несложно убедиться в справедливости тождеств:

n

− = ++

( ) ()ηη η η

′

ni i

=

i

1

n

( ) ()ξξ η ξ

− = ++

′

ni i

1

n

( )( ) ( )ξ ξ η η ξη ξ η

− − = ++

∑∑

=

i

11

i n i ii

′

n

1

+

n

22

∑∑

1

+

n

22

∑∑

1

′

n

1

n

+

1

i

=

2

1

;

′

n

2

1

;

′

n

nn

′′

.

n

1

Тогда

2

σ

22

σσ

n+=+

1

ns

β

, (12.30)

Σ

2

D

ρ

′′

где величина

+

n

1

Σ

2

D

а величины

22

D nD

∑

=′

,,

Fi Fn

=

i

1

2

D

теперь — квадраты расстояний от точки i до центра тяжести хода.

Fi,

1= ++

()

, (12.31)

Для абсолютно вытянутого хода с равными длинами сторон справедливы формулы:

ξ

xi n= −−Δ ( /)12

i

и

η

yi n= −−Δ ( /)12

i

где

Δxs= cos α

n

1

+

2

ξ

∑

i

1

=

где величина

,

2

x

=Δ Σ

Σ=

Δys= sin α

n

1

+

2

η

=Δ Σ

,

∑

i

1

=

++nn n( )( )

12

. Тогда

2

y

;

.

Так, например, для хода, направленного вдоль оси y, по формуле (12.31) найдем, учитывая что Δx = 0 и Δy = s в формуле (12.30), величину

195

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

A

x f

⎛

⎞

A

ΣΣ

2

s

=+

2

D

+(()

4

snn n

)

=

12 1

( )( )++

6

. (12.32)

2

nn

1

Величины

Bn

==Σ2,.

D

(12.33)

Обратимся теперь к задаче оценки точности уравненных координат. Так как для пункта с номером t координаты

t

1

−

∑

i

и

Δ

yY y

1

=

ti

Xx

=+

ti

1

t

=+

∑

1

i

1

−

,

Δ

1

=

то матрицы частных производных этих функций по длинам сторон и углам примут вид:

cos cos . . . cos

⎛

=

f

s

⎜

sin sin . . . sin

⎝

−− −− −−

⎛

f

=

β

⎜

⎝

и матрица

Матрица N

=+

ff i

B

=+′′−

∑∑

ff i

C

=+′′−−

ff i i

αα α

12 1

αα α

12 1

ηη ηη ηη

( ) ( )... ( )

t t tt

12 1

ξξ ξξ ξξ

−− −

( ) ( ) ... ( )

t t tt

12 1

ff

=

()

−

1

t

cos ( ) ,

∑∑

=

1

i

−

1

t

2

sin ( ) ,

=

1

i

1

−

t

cos sin ( )( )αα

∑∑

1

=

i

s

β

= fP−1fT =

ff

2

ρ

′′

α

ρ

.

AC

ff ff

⎜

CB

⎝

ff ff

−

1

t

1

2

p

β

1

2

p

=

1

i

−

t

=

i

β

1

ρ

−

ηη

t

1

ξξ

t

1

t

2

p

i

β

00 0

..

−

t

00 0

−

t

будет иметь элементы:

⎟

⎠

2

i

2

(12.34)

i

1

−

ξ ξη η

t

1

=

it i

⎞

,

⎟⎟

..

⎠

000

...

−

00

...

−

.

⎞ ⎟

⎠

Опустив несложные алгебраические выводы, приведем формулы для вычисления второго слагаемого в (12.34), приняв временно длины сторон s =1:

c

()ηη η η η η

∑ ∑∑

i

= ==

1

c

( )( ) ,ξ ξ η η ξη ξ η η ξ ξη

∑ ∑ ∑∑

i

= = ==

1 1 11

2

c− =− +

ti

− −= − − +

t it i

t ti

c

2

i

c

tt t i

c

2

()ξξ ξ ξ ξ ξ

;

∑ ∑∑

i

1

i

= ==

1

c

ti

i

2

ti

c

i

t

2

c− =− +

2

t ti

i

t

c

1

2

;

i

1

где с = t − 1, а t — номер оцениваемой точки (t = 1, 2, … n).

Далее получим:

c

η

cc n= −−

( )/ ,12

i

c ct n

η

cc c cn

12 1

++++

( )( ) ( )

2

η

=

i

2

η

=

i

6

nn n

12

++( )( )

24

2

t

12= −−( / ),

2

nc

( ).

4

2

− + 2

tn=

2

cn= / 2

,

:

;

196

∑

i

=

1

ηttn=−−12/,

c

∑

i

=

1

В частном случае при четном числе сторон n в ходе

c

∑

i

=

1

ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi

i

A

c

ηt= 0

,

∑

При n — нечетном

∑

i

η

c

=

1

t

2

η

=

i

=−05,

n

()

24

,

nn12

η

−

c

=−

i

1

η21=

t

+()

.

8

+1

ct

tn=

2

n

22

()

++

{}

c

η

=−

,

∑

i

=

1

=−=−1

,

2

,

nn

13

( )( )

−+

8

n

2

.

1

и

Итак, при четном n

c

() ,ηη η

−=

∑∑

ti

i

==

1

c

2

i

1

а при нечетном n

24

2

−

1

.ηη η

c

− =−

()

∑∑

ti

i

==

1

При любой длине стороны в правых частях формул для вычисления величин

2

и

следует приписать сомножитель s или s2. Для хода, направленного вдоль оси х,

η

i

n n nn

−+

12

( )( ) ( )

2

8

c

2

+=

i

1

величины η следует заменить на ξ.

Для оценки точности функций по формуле

−1

Q N NN N

=−

f ff f

необходимо еще составить матрицу

T

(12.35)

f

−1

=

N BP f

f

T

.

Учитывая выражения матриц B и f, найдем ее элементы

−

t

1

2

=+′′−−

∑∑

fi

t

B

=+

∑∑

fi

i

C

=−′′−−

f ii

α

cos ( )( )

=

i

1

−

1

sin ( )( )

=

1

−

t

sin cos ( )( ).αα

∑∑

1

=

i

ρ

1

2

p

ρ

′′

1

−

t

1

"

2

t

i

β

η ηη η

p

1

=

i

β

−

1

−−

ξ ξξ ξ

′

n it

=

1

2

p

ρ

β

n it

i

1

−

t

η ηξ ξ

′

n it

1

=

i

;

i

;

i

При этом справедлива формула

−

t

1

− − =− − + +

( )( ) ( ) ( )ηηηη ηηηη η η

∑∑

′

n it

=

i

1

и аналогичные ей для Bf и C

t

1

i nt n t i

′′

f.

t

1

tt−∑1

2

i

=

i

=

1

Так, например, для вытянутого с равными длинами сторон хода для его сред-

ней точки будем иметь следующие элементы матрицы N и N

++1 12 1

nn n

2

p

′′

β

2

p

ρ

′′

2

p

ρ

′′

( )( )

6

++1 12

nn n

( )( )

β

24

++1 25 2

nn n

( )( )

48

=

ρ

=

ff

=

f

B = n, C = 0;

,

= n/2, Cff = 0;

B

,

ff

.

ff:

η

197

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

⎛

⎞

Множитель s2 в матрицах A временно опущен. В результате вычислений по-

лучим матрицу

2

A AA

−

Q

x

()

y

ff f

=

⎜

04

⎝

t

Приняв, например, n = 6, S = 300 м, при

По формуле (12.36) получим

=, , , ( ).

Случай 2. Рассмотрим теперь ход (рис12.3) с измеренным углом

нач

α

β

1

β

1

(нач)

2

0

/

⎟

/

n

⎠

m0 01 0 521 0 007

Обратный вес

2

.

(12.36)

4 15==/ ,

i

0 01==s,, σβ3=

2

и

σ

y

4

′′

q

=

и

p

β

Величина

0 01 1 5 0 012==,, ,

ββ

nn1

β

n+1

n

β

n

σσ

0

14 32 91 0 521

=− =( /) , .

Qq

x

4

Qn

y

4

β

3

β

i

3

Рис. 12.3

2

S

ρ

=

′+

=

2

′′

кон

α

n+1

(кон)

0 190.

,

σ

м.

.

=

x

4

Тогда возникает дополнительное исходное условие связи:

n

′

ϕβ α β α

() ,

= + −− =

β

∑

.

=0 G i

i

=

1

n

180 0

′

k

(12.37)

где k — постоянный для данного хода коэффициент. При этом получим условное уравнение дирекционных углов

+

n

1

vw

+=

∑

ββ

i

=

i

1

где невязка w

(12.38)

0,

— значение функции в (12.37), вычисленное по измеренным

β

углам.

Выполним преобразование вторых сумм в условных уравнениях координат сле-

дующим образом. Раскрыв скобки, получим что

n

v vw

Из уравнения (12.38) найдем, что

n

ηη η η

− =− + − =−

v vw v v

∑∑

β ββ β β

i

in i i

=

i

1 11

() (

ni

′

n

i

==

=− −

∑

β ββ

in

=

i

1

nn

+

∑

i

′

+1ηβ)

n

′

w

n

() .ηη η η

−= −

v vv

nn

i

β ββ′′

ii i i

и, с учетом этого,

. Поэтому условное уравнение

n

∑∑∑

===

i

111

η

(12.26) теперь будет таким:

n

cos .α

∑∑

i

==

v vw

11

n

+

1

+

si

ρ

′′

η

+=

x

βi

i

0

Аналогично вместо второго условного уравнения (12.27) получим:

n

+

1

−

si

ρ

′′

ξ

+=

y

βi

п

i

0

198

n

sin .α

∑∑

i

==

v vw

11

n

i

n

−

v

∑

β′

n

i

=

i

1

ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi

′

⎝

⎞

⎠

A

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Величины

ww

=−

y y кон

1

ρ

′

— вторичные поправки в углы. Невязки

v

β

i

, совпадают с координатными невязками, вычисленными по ис-

ξ

*

правленным первичными поправками

ww

=+

x x кон.

w

=−

n

β

+1

углам.

′

v

β

i

1

η

и

*

ρ

Покажем теперь, что введение центральных координат в рассматриваемом ходе по сравнению с ходом без угловой привязки на конце приобретает более глубокий смысл как решение задачи уравнивания зависимых измерений.

Рассматривая предварительно уравненные углы как зависимые измерения с матрицей обратных весов

n

−− −

⎛ ⎜

⎜

1

Q

=

β

⎜

n

+

1

⎜ ⎜

11 1

n

−− −

11 1

. . . ... .

−−−

111

(см. раздел 5.6.1), выполним перемножение матриц

−− −− −−

( ) ( )... ( )

yy yy yy

⎛

n n nn

′ ′ ′′

=

B

β

⎜

( ) ( ) ... (

⎝

12

−− −

xx xx x

nn n

′′ ′

12

Умножая первую строку матрицы (12.16) на первый столбец матрицы Q дем иметь результат:

1

ynynyn y y y

− + + − +−

(,

1 11

nn i

n

+

++

1

...

..

1

n

+

∑

2

i

=

⎟ ⎟

;

⎟ ⎟

n

⎟

11

⎞ ⎟

xx

)

⎠

n′

yn y

()

1

или

BQ B

=

ββ β

, где матрица

. (12.39)

n

1

+

1

+−

∑

i

1

yy

=−=

n

1

+

11

.

η

F

, бу-

β

Аналогичным образом получим все элементы матрицы

ηη η

⎛

B

12 1

=

β

⎜

ξξ ξ

−− −

⎝

12 1

Матрица обратных весов уравненных измерений обладает свойством Q

Q

. Матрица коэффициентов нормальных уравнений

β

...

⎞

n

+

.

(12.40)

⎟

⎠

n

+

N BQQB BB

==

ββββ ββ

TT

βQβ

теперь

=

состоит из элементов:

+

n

=+

C

=−

2

cos

∑∑

i

=

1

i

n

∑∑

11

==

i

ρ

cos sin .αα

ii

1

n

1

η

2

p

′′

1

β

1

2

ρ

′′

n

2

B

=+

,

i

+

n

p

i

β

2

sin

α

∑∑

==

i

1

ηξ

ii

i

1

ρ

(12.42)

Решая нормальные уравнения, находим векторы коррелат

w

вектор невязок

=

V BK

ss

W

"

T

V

β

Для рассмотренных ранее функций найдем теперь матрицу мую для составления матрицы

x

′′

1

⎜

p

w

y

BK

β

⎟

β

и поправок

T

. (12.43)

=

ρ

N fQ f

ff

T

=

.

β

+

1

n

1

2

′′

2

ξ

, (12.41)

i

p

1

i

β

x12 1=−−

K NW

f fQ

, необходи-

=

ββ

, где

199

)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi

A

Опустив выводы, представим матрицу так:

c c cc c

ηη η

++ +

⎛

f

11 2 1 11 2 2

=

β

⎜

d d dd

ξξ ξ

−+ −+ − +

⎝

11 2 1 11 2

... ...

... ...dd

t

−

t

−

⎞

;

⎟

⎠

2

где величины:

t

1

+ +−

ηη()

∑

=

i

=−

c

1

t

∑

=

i

1

=

d

1

nt

i

1

+

n

1

+ +−

ξξ()

nt

i

1

+

n

t

1

,

t

,

d

c

Несложно убедится, что суммы всех элементов по строкам матриц

t

−+

∑

=

i

1

=

n

t

−+

∑

=

i

1

=−

n

ηη

t

i

t

=+

1

+

ξξ

t

i

t

=+

1

+

η ,

c

t2

1

ξ .

d

t2

1

B

ны 0, что и должно быть при двухгрупповом преобразовании.

Матрица N

−

t

=+′′+ + −+

∑ ∑∑

ff i

=

i

−

t

B

=+′′− + −+

∑ ∑∑

ff i

=

i

t

C

=+

∑∑

ff i i

i

Элементы матрицы

−

t

=+′′−

∑ ∑∑

fi

=

i

−

t

B

=+′′−

∑ ∑∑

fi

=

i

t

−

C

=+

∑ ∑∑

f ii

1

будет содержать элементы:

ff

1

2

cos ( ( )

1

sin ( ( )

1

−

1

ρ

2

ρ

cos sin (αα

=

1

2

α

cos ( ),

1

sin ( ),

1

ρ

2

α

ρ

cos sin ( ).αα

−−

1

t

1

2

p

1

2

p

β

1

2

p

β

1

2

p

β

2

ηη

i

=

1

i

β

−−

1

t

2

21α

ξξ

i

=

1

i

t

1

−+ −

2

p

ρ

′′

N fB

t

i

t

i

1

2

ρ

′′

=

i

β

TT

=

f

ββ

−

1

2

ηη η

i

=

1

−

1

2

i

=

1

t

−

−+

p

i

=

β

1

t

21α

c ct c

1

t

d dt d

1

−

ηξ η ξ

ii

1

2

1

i

2

1

i

1

−

t

dc

11

1

будут такими:

−

1

t

=

1

i

1

ii

1

t

−

ti

1

i

=

ti

−

t

ti

=

i

1

ηξ η ξ

1

2

2( )),nt+−

22

2

2( )),nt+−

22

1

−

t

+ −+ +−

cd t c d n t( ) ( ))

∑∑∑

ii

=

i

11 2 2

1

12

Если имеем вытянутый, направленный для определенности по оси х ход с равными длинами S сторон, то, опуская выводы, полагая S = 1, получим следующие формулы:

,

∑

i

.

nn

n

21

()

+1

tn=

2

t

2

η

=

i

=

1

2

++()

.

. Тогда

2 12 1 3 22

t t n tn

+ +− + −( )( ) ( )( )

t

ηη

∑∑

==

i

11

12

t

−

1

, т. к.

i

η

t

=

i

= 0.

tn=

.

и

∑

i

t

η

=−

i

=

1

+ 2

2

t

∑

i

=

1

Для средней точки при четном n величина

t

2

η

=

∑

i

=

1

Заметим, что в этом случае

Величины

При n нечетном

200

tt n

η

−−

=

i

nn n

12

++( )( )

24

cc

==

12

12()

f

и

рав-

β

nn

()

+

8

.

2

,