Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 6. pejrppemŠmne (onqkednb`Šek|mne) rp`bmhb`mhe
A
A
i
j
Если свободные члены li признаются недопустимыми, то это не означает, что
грубую ошибку содержит i — ое измерение. Им может оказаться любое измерение, входящее в условие, образованное этим избыточным измерением. Поэтому
после учета всех измерений необходимо выполнить поиск ошибочных измерений.
Алгоритм поиска основан на формулах перехода от параметрического способа к
коррелатному (но без составления условных уравнений, а только с определением,
какие измерения в них входят). Для этого необходимо иметь матрицу
дел 5.2).Так как в процессе учета всех необходимых измерений получается матрица
Q A PA
T
()
1 111
1
−
QA P
= .
1
111
1=−
, то для ее вычисления целесообразно воспользоваться тождеством:
T
1−
(см. раз-
1
В разделе 7.6 мы рассмотрим более общий способ поиска грубых ошибок.
6.6. b{)hqkemhe nopedekhŠek“ l`Šph0{ nap`Šm{u beqnb mehgbeqŠm{u
Применяя рекуррентную процедуру вычислений, несложно вычислить определитель матрицы Q
литель
Q
i
Q
−−1
=
i
P
2
α
i
Для нивелирных сетей
необходимые измерения, то
При учете группы избыточных измерений
Q QP N
=
i ii i
−−1
Эта формула для одного измерения приобретает вид:
(подробно см. [11]. Так, для необходимых измерений опреде-
i
1
i
.
QQp
=
/
ii
Qp
=
∏
ii
i
1
/
. (6.24)
. Если нивелирная сеть содержит только
−1
n
=
11/
, а при p
= 1
i
Qi= 1
.
Q
i
pN
ii
Q
. (6.24а)
i=−11
Так, в примере раздела 6.1 по формуле (6.24а) находим определитель
1 05
Q
3
Q
N
3
Если матрица Q
лять по формуле (6.24), приняв
ния умножать
2
Q
i
.
15
,
= 10mE, то для всех измерений определитель следует вычис-
0
0 333= ==
,
.
Q01=
, и при учете каждого необходимого измере-
на 10m.
Cлед и определитель матрицы Q используют для вычисления обобщенных
средних квадратических ошибок положения пунктов по формулам
k
mQ
=μ
d
SQ
где
, где k — число неизвестных, а нормализованный определитель
k
QQ S
=
/
=
k
2
=
∑
j ij
i
=
1
,
∏
j
=
1
— также для оценки обусловленности матриц.
m Sp Qk
= ( )/
s
,
Таким образом, рекуррентный способ доставляет гибкий алгоритм для решения многих современных задач уравнительных вычислений.
111
cл="= 7
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
A
A
⎛
⎝
⎞
⎠
nanayemm{i qonqna rp`bmhb`mh“ h ecn
)`qŠm{e qkr)`h
7.1. `kceap`h)eqj`“ lndek| nanayemmncn qonqna`
В истории развития теории уравнительных вычислений построению наиболее общего способа уравнивания уделялось много внимания. Было показано, что
таким способом является коррелатный способ с неизвестными. Однако он сам
является частным случаем излагаемого ниже обобщенного параметрического
способа, из которого все известные и новые способы, как увидим ниже, можно
получить различной спецификацией матриц коэффициентов и матрицы весов измерений — «переключателем» способов».
Запишем матричную систему уравнений поправок в виде
V Ax L=+Δ
где векторы
V
V
=
⎜
V
разделены на блоки. Соответственно этому матрицы
A
⎛
=
⎜
B
⎝
Как видно, система (7.1) разделена на две системы, размеры которых устанавливаются из существа решаемой задачи.
Условие
или в подробной записи:
T T T TT
( )( )R B PB x A P B P x A PL B PL
+ + + ++=
T T T T TT
( )( )α β α αββ α β
PA PB x P P x PL PL+ + + ++=
где матрица
Введем вспомогательный вектор
ˆ ˆ
K PB x P x PL= ++
Тогда, допуская здесь существование матрицы
B x x PK LΔΔ+ − +=β
После подстановки выражения (7.4) в (7.3) и присоединения к результату урав-
112
нения (7.5) приходим к системе
, (7.1)
Δ
x
⎞
⎛
Δ
x
=
,
⎟
α
⎞
,
P
⎟
β
⎠
V PVT= min
ΔΔαβ 0
R A PA
=
ΔΔβ
ˆ ˆ
ˆ
,
⎜
⎟
Δ
x
P
=
⎜
ΔΔ 0
T
.
ˆˆ
ˆ
L
L
=
⎜
⎟
L
.
(7.2).
⎟
ˆ
P
приводит к системе нормальных уравнений
. (7.4)
. (7.5)
0
P
представим так:
и
Rx bΔ+
; (7.3)
,
−1
ˆ
, получим уравнение
P
= 0,
ck`b` 7. nanay�mm{i qonqna rp`bmhb`mh“ h ecn )`qŠm{e qkr)`h
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
V
⎛
⎝
⎞
⎠
α
β
ˆ ˆ
T
Δ
⎛
⎟
⎜
Δ
⎟
⎜
−
1
⎟
K
⎝
b
⎞
x
⎜
⎟
⎟
+
b
= 0
x
ˆ
⎜
⎟
⎜
⎠
L
, (7.6)
⎟⎟
⎟
RR B
⎜
TT
RR
α αα α
⎜
⎜
BP
β−
T
R AP
где матрицы:
=
,
αα
RP
αα
Так как квадратичная форма
(7.1) слева на вектор-строку
T
αα=
TT
(ˆ)LL P
T
=
; векторы
T TT
V PV V PL L P
b A PL
==
,
, получим после простых преобразований вы-
T
b PL
α=
α
.
, то умножив выражение
ражение:
TT T T
Φ ΔΔΔ= = ⋅+ + +V PV L PA x L PB x L P x
T TT
ˆ
βΔ
ˆ
+ ++LP x LPL LPL
ˆ ˆ ˆ
.
ˆ ˆ
ˆ
α
Но с учетом (7.4) оно преобразуется к виду:
TT TT
Φ ΔΔ=+++LPL b x b x LK
ˆ
ˆ
α
. (7.7)
Система уравнений (7.6) вместе с формулой (7.7) и выражает общую алгебраическую модель уравнивания.
Приняв матрицы α = 0, B = 0, β = 0 и вектор
ˆ
, будем иметь нормальную си-
L = 0
стему RΔx + b = 0 обычного параметрического способа уравнивания.
Если в системе (7.6) матрицы А = Е, α = 0, β = 0 и вектор L = 0, то получим систему
T
PB
⎜
BP
⎛
⎟
⎜
−
1
ˆ
⎝
−
(в этом случае вместо уравнения поправок
V = Δx). Исключение из системы (7.8) вектора
−1
ˆ
(
NP KL− +=
ˆ
)
ски переводит уравнение поправок
ˆ ˆ
V=B
, т. к. вектор поправок в безошибочные измерения
ΔxL+
0
⎛
V
K
0
⎞
⎞
+
⎟
⎜
⎠
L
⎝
(7.8)
=
0
⎟
ˆ
⎠
, где, как и ранее, матрица
ˆ ˆ
V Bx L=+Δ
V Ax x L= ++ΔΔα
V P BK
N BP B
при
ˆ
T=−1
T=−1
приводит к уравнению
. Условие
ˆ
WL=
в условное уравнение
получаем равенство
−1
ˆ
= 0 автоматиче-
P
ˆ
Поэтому при-
.V = 0
ходим к системе нормальных уравнений коррелатного способа NK + W = 0.
Так как параметрический и коррелатный способы подробно были изложены в
главах 4 и 5, то перейдем к другим частным способам уравнивания.
7.2. rp`bmhb`mhe hglepemhi q ank|xhlh beq`lh
Рассмотрим сущность способа обработки измерений с большими (резко выделяющимися) весами.
Если матрицы α = 0 и β = 0, то система (7.6) принимает вид
R x BK b
Bx PK LΔ− + =
T
Δ+ + =0
−
1
ˆ ˆ
Эта модель является новой. Ее целесообразно применить, когда часть измерений (с вектором поправок
трический способ уже оказывается неприемлемым, т. к. составление и обращение
матрицы
R A PA B PB
=+
; (7.9)
0
.
ˆ
) имеет большие веса. В этом случае обычный параме-
V
TT
ˆ
при
ˆ
{}
становится невозможным.
...P →∞ ∞ ∞
113
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
x
x
⎛
⎝
⎞
⎠
Поэтому для решения системы (7.9) целесообразен следующий алгоритм.
Пусть уравнения поправок
ˆ ˆ
V Bx L=+Δ
, (7.10)
V Ax L=+Δ
и получены уравненный вектор x
нений (7.10) выполняем по формуле (6.6) рекуррентного способа
− − −−1 1 11
Q R R B N BR
=−
где матрица
Матрицу Q можно определить даже в том случае, если матрица
−=1
ˆ
матрица
P
T
−−
11
ˆ
=+
N P BR B
0).
, (7.11)
T
.
решены отдельно от уравнений
−
, матрица
0
1
=
QR
0
= V PV
Φ
и
0
T
. Тогда учет урав-
ˆ
PE=∞
Для вычисления уравненных неизвестных применим формулу (6.20).
T
−−
11
x R BN L x x
=− =+
0
ˆ
Δ
. (7.12)
0
Квадратичная форма будет такой:
−01
ˆ ˆ
ΦΦ=+
LN L
.
Полученные результаты совпадут с результатами решения системы (7.9).
На основании формулы (7.7)) приходим к выражению:
TTTT
Φ=+=+
LPL LK LPL LN L
Но здесь
ˆ ˆ ˆ
TT
= =Φ
L PL V PV
−
1
, поэтому
0
.
ΦΦ=+
−01
T
ˆ ˆ
LN L
, что также совпадает с (6.21а).
(когда
7.3. o`p`leŠph)eqjhi qonqna q rqknbh“lh
−=1
Этот способ получим, приняв матрицы α = 0, β = 0 и
уравнений поправок
Bx LΔ+ =ˆ0
. (7.14)
ˆ ˆ
V Bx L=+Δ
будем иметь систему условных уравнений
ˆ
P
Этот случай уравнивания полностью совпадает с рассмотренным ранее способом рекуррентного учета уравнений поправок
ˆ
V Bx L=+Δ
только с тем различием, что теперь вместо матрицы
N BR B
, (7.15)
N P BR B
=+
T=−1
. (7.16)
В общем случае вектор x может иметь размер s × 1, где k < s ≤ n. Тогда матрица В условных уравнений имеет размер (s − k) × s, т. е. число условных уравнений
равно разности между числом параметров и числом необходимых неизвестных.
Матрица N имеет порядок s − k и будет невырожденной.
Условные уравнения (7.14) целесообразно учитывать по одному с обратными весами
−
1
Rb
=−
0
10/ˆp
i
ΦΦ
=
и
01
( , ...i i sk== −
=
, вычисления выполняем по формулам (6.6), (6.15) и (6.20а).
12
()
. Тогда, начиная с матрицы
Применение рекуррентного алгоритма в параметрическом способе с условиями намного эффективнее, чем решение системы уравнений
⎛
RB
⎜
B
⎝
T
Δ
⎞
⎛
⎜
⎟
K
⎝
0
⎠
b
x
⎞
⎟
⎠
, (7.17)
+
⎜
⎟
ˆ
L
, т. е. вместо системы
0
−−
11
ˆ
T
имеем мат рицу
QR
=
0
−
1
, вектора
114
как с точки зрения простоты алгоритма, так и с целью контроля грубых ошибок.
ck`b` 7. nanay�mm{i qonqna rp`bmhb`mh“ h ecn )`qŠm{e qkr)`h
A
⎝
⎠
⎝
⎠
x
⎛
⎝
⎞
⎠
′
Например, при уравнивании трех углов, измеренных в треугольнике, приняв в
качестве параметров все три угла, получим матрицы
E=, RE=
,
111
B =
()
. Тогда
получим вектор
TT T
Z QB R B
== =
−01
111,
()
T
величину g = 3 и вырожденную матрицу обратных весов уравненных углов (частный случай (6.19)
1
⎞
⎛
1
⎜
⎟
QE=−
11111
()
⎜
⎟
3
Если вектор X
(0)
= y, то, очевидно, векторы L = 0, b = ATL = 0. Тогда вектор L = W
211
−−
⎛
1
⎜
12 1
=
−−
⎜
3
112
−−
⎞
⎟
.
⎟
совпадает с вектором невязок. В нашей задаче
1
11
() ()
00
X
=− =−
т. е. поправка в измеренный угол
ΦΦ=+
0
T
ˆ
ZL X w
N
2
w
i
;
N
i
⎜
1
⎜
3
1
⎟
;
⎟
uw
=− / 3
i
. Квадратичная форма
причем здесь невязки условных уравнений вычисляют по последовательно уравниваемым неизвестным. Контроль грубых ошибок осуществляется по n − s свободным членам уравнений поправок V = AΔx + L избыточных измерений и по s − k
условным уравнениям (7.14).
Общая формула для вычисления квадратичной формы на основании выражения (7.7) приобретает вид
T TT
ΦΔ= ++LPV b x LK
Оценка точности функции
×
ss T
=
Q fQ f
ˆ
F
где матрица
;
=∂ ∂
(/ )
f FX
.
F Fx= ()
. Справедлив также алгоритм Гаусса:
Xx
=
выполняется по формуле
12
;
ff f f
= == = =
,
s s sk sk+ + − −+
1 2 2 21
0...
. В заключение заме-
T
−−11
=− −
Δx R BK R b
, а
/ [ ( )]P f sk
=− ⋅ −
12
sk
21
F
f Fx
=∂ ∂/
где
ii
−+
( , ,...,ii s==
()
тим, что для решения системы (7.17) иногда применяют способ Бесселя. В этом
случае из первого уравнения системы (7.17) находим вектор
после этого составляем уравнение
T−−
11
BR B K W BR b
Далее находят вектор коррелат
−)1
BR b−
Вектор Δx можно представить в виде
− −−
=− =−
R BK R BN W
−+ =
N BR B
TT1 11
T=−1
.
.
0
.
− −−1 11
K N W N BR b=−
ΔΔ Δxx x=′+
или
KNW=
′
, где
−1
, где
Δ′=−
x Rb
WW=−(
−
1
,
Δ′′=x
Типичным примером применения такого способа может служить уравнивание
геодезических сетей с определением поправок в приращения координат сторон
вместо поправок координат. При этом приращения координат связаны полигон-
115
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
K
⎝
⎠
i
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
⎛
⎞
ными условными уравнениями. Можно также определить поправки в дирекционные углы сторон при измеренных направлениях, учитывая базисные, полюсные,
координатные и другие условные уравнения.
7.4. jnppek`Šm{i qonqna q dnonkmhŠek|m{lh mehgbeqŠm{lh. qonqna
thjŠhbm{u hglepemhi
Приняв в (7.1) матрицы А = Е, α = 0 и вектор L = 0, получим систему уравнений
поправок
Vx=Δ
ˆ
V BV x L=++βΔ
и систему уравнений
⎜
⎜
⎜
Роль дополнительных неизвестных играет вектор
Исключая вектор
NK x L
β
справедливую при
Необходимую для вычисления вектора коррелат матрицу Q — верхний левый
блок обратной матрицы
N
системы уравнений (7.18) — можно получить по рекуррентной формуле, начиная
с матрицы N
Для оценки точности неизвестных обратим матрицу
⎜
⎜
⎜
Применяя формулы блочного обращения, в результате получим правый нижний
блок обратной матрицы, равный
⎛
⎜
Для его обращения переставим местами неизвестные
шем его в виде
Вновь применяя блочное обращение, получим нижний правый блок
T
( ).
=
ββ
N
N
116
;
ˆ
PB
00
BP
T
K = 0
−
1
β
PB
000β
B
0
β
11
−−
−
1
β
T
0
β−
rs
×
+ +=
βΔ
Δ
⎛
⎟
T
⎜
Δ
β
⎟
⎜
1
−
⎟
ˆ
K
⎝
ˆ
ˆ
,
−
N
⎛
=
⎜
β
0
β
T
⎞
β
⎟
0
1
β
⎞
T
⎟
0
−1
и учитывая строки матрицы βT с весами
T
T
⎟
.
⎟
⎟
0
⎛
⎞
−
PB
−
⎜
⎟
B
⎝
⎠
N
=
β
Тогда обратная матрица
−− −−
11 1 1
−+
N N QN N Q
=
⎜
⎝
sim Q
ˆ
x
0
⎞
⎜
⎟
⎟
ˆ
x
+
=
00
⎜
⎟
⎜
⎠
V x PB
;
0
−1
ˆ
P
= 0.
1
0
()
.
⎟
⎟
ˆ
L
= =−
Δ
⎛
0
T
=
⎜
β
s×1
Δˆx
1/ˆp
.
= 0.
T
−
1
ˆ
(вектор х = у), получим систему
1
−
T
⎞
β
.
⎟
N
−
Δˆx
N
β
−
⎛
⎜
ββ β
⎞
.
T
⎟
0
β
T
x
.
T
x
=
Q
⎟
⎛
⎠
x
⎜
⎝
.
K
⎞
⎟
⎠
x
(7.18)
и К. Тогда перепи-
11
−−
T
()0
+
ββ
N
ck`b` 7. nanay�mm{i qonqna rp`bmhb`mh“ h ecn )`qŠm{e qkr)`h
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎝
⎞
⎠
Окончательный результат блочного обращения исходной матрицы получим,
вновь поменяв местами неизвестные в последнем выражении, по формулам:
−−
Q P P BQ
=+
y
T
00() ,
⎛
⎜
⎝
x
⎞
⎟
⎠
K
−11 1
P
⎜
⎟
B
⎝
⎠
или
−− − − − −11 1 1 1 1
=− −
Q P P B N N Q N BP
y
В частном случае при коррелатном уравнивании матрица β = 0, и получаем уже известную формулу
T
()ββ
− − −−1 1 11
=−
Q P P B N BP
y
T
x
T
. (7.18, а)
.
Наконец, блок обратной матрицы
Q P B Q P BN Q
yx
,
−
T
() .=− =−
0 β
x
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
K
T
−−1 11
x
Таким образом, матрица
11
T
−
y
−−
Q
Q P BN Q
=
y
⎛
⎞
⎜
sim Q
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
x
Матрицу обратных весов вектора-функции
Q f fQ
=
()
F
y
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎝
⎝
⎠
x
β
ˆ
x
(7.19)
.
⎟
⎠
ˆ
x
T
f
.
T
⎟
f
⎠
F Fyx= (, )
получим по формуле
Здесь
F
∂
f
=
i
⎜
Y
∂
⎝
i
F
∂
f
=
i
⎜
ˆ
X
∂
⎝
⎟
⎠
i
yy
⎟
⎠
Xx
=
ii
ˆ
=
ii
in= 12, , ..., ,
,
is= 12, ,..., .
,
ˆ
Обратный вес функции можно получить также в виде алгоритма Гаусса
=⋅π
1/ []p ff t
F
[]
π
⎛
⎜
[]
π
⎜
[]
π
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
[]
π
Матрица
, где t = r + 2s. При этом в схему Гаусса добавляют столбец
af
⎞
⎟
bf
⎟
gf
⎟
⎟
f
1
⎟
N
⎞
⎛
⎟
f
⎟
f
2
⎟
⎟
.
⎟
.
⎟⎟
⎟
.
⎟
f
⎟
s
⎟
⎠
ff
⎟
⎜
τ
f
=
⎟
⎜
⎟
⎜
N
⎠
⎝
ff
N BP f
=
f
−1
T
,
N fP f
−1
=
ff
T
.
Справедлива также формула
Q N Nf
=−
F
TT
()
ff f
QQ
⎛
K Kx
⎜
QQ
⎝
,
xK x
N
⎞
f
,
⎟
−
⎠
.
⎜
⎟
f
117
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
T
Квадратичная форма на основании формулы (7.7) примет вид
w
t +=1
0
.
при
ˆ
Φ= = ⋅
[]LK w t
+
t 1
Рассматриваемый способ применяется в том случае, когда введение неизвестных упрощает вид условных уравнений. Например, введение дирекционных углов
на узлах и координат узловых точек упрощает составление условных уравнений в
сети полигонометрии. При этом число условий увеличивается на число неизвестных s. Таким образом, система (7.18) содержит t = r + 2s уравнений.
7.5. jnmŠpnk| cpra{u nxhanj b qonqnae rqknbhi q mehgbeqŠm{lh
По сравнению с коррелатным способом к недостаткам способа с введением
дополнительных неизвестных до сих пор относили невозможность выполнения
контроля грубых ошибок по невязкам условных уравнений. Действительно, в этом
случае вектор невязок
W yX=ϕ(, )
()0
, (7.20)
,
как видно, является функцией приближенных значений вектора дополнительных
неизвестных. Его математическое ожидание
Mw Y X[ ] (, )
=≠φ
()
0
, хотя, как и ра-
0
нее, корреляционная матрица
−
K BP B N
2102
==
σσ
0
W
Из-за этого не удается построить доверительный интервал для
τ
.
и на его осно-
[]
Mw
i
ве выполнить контроль грубых ошибок.
Однако, если вектор X
ет рассматривать случайным. Тогда математическое ожидание
(0)
получают по результатам измерений, то его следу-
()0
MX X[]
MW Y X[ ] (, )==ϕ 0
Найдем матрицу обратных весов вектора невязок W. Пусть вектор
ˆ
ся функцией общего вида
()()0
X fy
=
вектора измерений у. Тогда, составив вектор
ратных весов
Q
=
Z
(7.21)
y
, найдем матрицу его об-
⎟
()0
ˆ
⎠
X
E
⎜
γ
−
PE
⎟
γτ1()
,
Z
=
⎜
⎝
или
−−
=
Q
Z
⎜
11
PP
−−
11
γ γγ
PP
τ
γ
, (7.22)
τ
⎟
где матрица
∂
fY
()
⎛
γ=
⎞
⎜
⎝
∂
Y
. (7.22, a)
⎟
⎠
≡
Yy
Далее получаем матрицу перехода от вектора Z к вектору невязок W (7.20),
равную
TB= ()β
. Матрицы В и β очевидно совпадают с этими же матрицами в вы-
ражении (7.2). Поэтому искомая матрица
τ
B
γ
ττ
⎟
⎜
Т
,
⎟
QB
=
W
118
или окончательно
−−
11
PP
β
()
−−
11
⎜
PP
γ γγ β
=
)X0
являет-
и
ck`b` 7. nanay�mm{i qonqna rp`bmhb`mh“ h ecn )`qŠm{e qkr)`h
γ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
⎛
⎝
⎞
⎠
0
⎛
⎞
Q N MPB BPM MPM
=+ + +
W
где матрица
Корреляционная матрица
Представим теперь матрицы B и β в блочном виде:
B
1
B
=
⎜
B
⎝
2
где матрицы B
ниям, выделенным для определения вектора X
−− −11 1ττ τ
M =β
,
⎟
⎠
.
KQ
WW
β
⎞
⎛
1
β
1
,
=
⎟
⎜
β
⎠
⎝
2
и β1 составлены из строк матриц B и β, соответствующих уравне-
, (7.23)
2
=σ
и
W tQ
0
i
доп
=±σ
(0)
(они в нашем выводе являются
.
W
0
первыми), Тогда матрицу N представим в виде:
TT
−−
BP B BP B
111112
=
N
−−
⎜
BP B BP B
⎝
211212
TT
⎛
=
⎜
⎟
NN
⎝
⎠
NN
11 12
21 22
⎞
⎟⎟
⎠
.
Матрицу γ можно представить в виде
−11
γβ=−
т. к. вектор Δx определяется из первого условного уравнения
вектором W
MB
где
ε ββ=
B ,
(7.24)
1
= 0. Поэтому матрица
1
β
⎞
⎛
1
−
βγ
⎜
β
⎝
2
−211
.
=−
β
1111
⎟
⎠
BV x W
11 1
E
⎛
⎞
B= =−
,
⎜
⎝
⎟
ε
⎠
Учитывая это, составляем матрицы:
1
MP B
=−
⎜
εε
1
BP B B
1
⎟
E
T TT−−
()
1 2 11 12
=−
E
NN
()
⎜
⎟
.
Последним слагаемым в (7.22) будет матрица
MP M
=
⎜
⎝
BP B E
111
⎟
ε
⎠
()
E
⎞
⎛
T TT
−−
1
=
ε
⎜
⎝
NN
11 11
NN
ε εε
11 11
T
ε
.
T
⎟
⎠
Суммируя слагаемые в выражении (7.23), окончательно получим матрицу
с
0+ +=βΔ
00
NN=
⎜
NN N N N
=− − +
, где матрица
⎟
0
ε εεε.
22 12 21 11
TT
Наличие нулевого диагонального блока в матрице означает, что матрица обрат-
Q
ных весов вектора невязок
делен по первым условным уравнениям, невязки которых теперь все нулевые.
0=
, что и должно быть, поскольку вектор X
W
1
Как видно, решение задачи теперь сводится к решению условных уравнений с
матрицей обратных весов, определяемой выражением (7.22), т. е. к коррелатному
уравниванию зависимых уравнений.
Решая систему нормальных уравнений
T
−−
V
⎞
⎛
⎟
⎜
x
Δ
⎠
⎝
11
⎛
PP
=
−−
11
⎜
γ γγ
PP
⎝
T
⎞
B
γ
2
K
,
T
T
⎜
⎟
⎟
β
⎠
⎝
⎠
2
NK W+=
, находим вектор поправок:
или
T TT
−1
VPB K
=+
()γβ
22
T TT
−
1
=+
γ γβ
Δx PB K
( ).
22
,
(0)
опре-
119
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
x
⎛
⎞
⎛
⎞
Матрицу M запишем в виде:
M
M
⎛
=
⎜
M
⎝
βγ
⎞
1
⎟
⎠
2
⎞
⎛
1
=
⎟
⎜
βγ
⎠
⎝
2
и введем матрицу
SB M=+
.
22
Тогда векторы:
V P SK
Δx P SK
Уравненные векторы
T=−1
,
T=−γ1
.
(7.25)
y yV=+
,
()0
Xx=+
Δ
.
Оценка точности. Применяя общую формулу коррелатного уравнивания
для вычисления обратной матрицы весов уравненных измерений:
−1
=−
Q Q Q B N BQ
y yy
T
,
y
для нашей задачи будем иметь матрицу:
QB
=
−−
11
⎛
PP
−−
⎜
γ γγ
PP
⎝
γ
11
T
T
⎞
B PB P
2
=
T
T
⎜
⎟
⎟
β
⎠
⎝
⎠
2
T TT
−−
1
+
2
11
TT
−
⎜
BP
+
2
γβ
γ
P
⎝
1
γβ
−
2
.
1
⎟
⎠
2
Учитывая введенные выше обозначения, получим искомые матрицы:
−− −11 1
Q P P S NSP
=−
y
Q P P S NSP
=−
γγ( ),
x
QQ
yx y
,
T
−− −
11 1
T
.=γ
(7.25, а)
,
TT
Квадратичная форма:
TT
Φ= =−V PV K W
.
2
Рассмотрим задачу эталонирования светодальномера с целью определения
постоянной систематической ошибки измерением отрезков по створу линии
во всех комбинациях (рис. 7.1) (измеренные длины отрезков нам понадобятся
позже). При числе отрезков n в створе возникает
r nn=−( )/12
условных урав-
нений.
Обозначим через С искомую систематическую ошибку и составим первую исходную систему связи в виде:
4
299.978
12 3
100.003 99.983
200.017
5
Y CY CY CY C
123 4
0++ ++ +− −=,
199.922
6
Рис. 7.1
99.958
или
120
YYYY C
1234
20++−+ =
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]