Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi
⎛
⎞
ss s ss
++
2
RR b
R Rb
ΔΔ
где
Решаем систему (12.74) и находим векторы
12 1 12
⋅ ⋅+ ⋅ + ⋅=
10 10 10 0
α αα α
10 10 0
ααΔ ΔΔ
s
10
αα
ΔΔ
ss
12
ΔΔ⋅ ⋅ + ⋅ +⋅ =
1
ΔΔ=⋅10
⋅
;
Δ
−
s
2
.
,
(12.74)
;
Δ
Δ
и
. Дальнейшее решение сво-
α
дится к отдельному уравниванию каждого хода, что уже было рассмотрено выше.
Среднюю квадратическую ошибку единицы веса вычисляют по формуле:
T TT
2
+ +++
[ ][ ]
pl L PL b b
μαα=
где Φ
1
— сумма квадратов невязок на пунктах, на которых приняты безошибочны-
0
ми по два дирекционных угла; r
ΔΔΦ
3
−+
()
lm r
0
0
0
Δ
;
— число этих пунктов.
Если сеть уравнивается с учетом ошибок исходных данных, то матрица R составляется для всех пунктов (узловых и исходных), а в соответствующие ее блоки
прибавляется матрица P
исх
.
В сети можно выполнить предварительное уравнивание углов. Для этого сле-
Rb
+=Δ 0
дует составить и решить систему нормальных уравнений
′
αα α
. Это делается так же, как и при уравнивании нивелирных сетей. Первичные поправки в углы
найдем по формуле:
1
=
′
β
pn
β
i
−
()
′
s tj
j
l
+υ δα δα
′
.
При уравнивании с учетом систематической ошибки линейных измерений
будем иметь систему нормальных уравнений:
RR R
αα α
T
⎜
R RR
α
ΔΔΔ
⎜
T
⎜
RRR c
⎝
c
cTss c
α
Δ
Матрица R
21×
( ) ()R PA
ков
=±
∑
cs j c j
Δ
js
∈
Δ
⎛
c
⎟
⎜
c
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
состоит из блоков
αc
ставят по тем же правилам, что и при составлении матрицы R
l
111×
b A PL
=∑()
c cjTjj
=
j
.
b
⎛
⎞
ααΔ
⎜
⎟
b
Δ
+
Δ
⎜
⎟
b
⎠
⎝⎝
; матрица
⎞
⎟
= 0
.
⎟
⎠
( ) ()R PA
cs jTj cj
α
R A PA
=∑() ()
ss c jTj cj
11×
α
=
∑
∈
js
; матрица RΔc — из бло-
. Знаки «плюс» и «минус»
. Свободный член
αΔ
12.4. pejrppemŠmne rp`bmhb`mhe onkhcnmnleŠph)eqjhu qeŠei
При рекуррентном уравнивании полигонометрических сетей необходимо
учитывать уравнение поправок
υ δα δα
i s ti
с обратным весом
ратных весов
При учете уравнения (12.75) также несложно выполнить последовательное
формирование матрицы Q по необходимым ходам.
l=− + +
1//p np
−1
P
(12.58).
i
(12.75)
i=ββ
и группу из двух уравнений (12.56) с матрицей об-
211
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
A
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
В этом случае матрица коэффициентов уравнений поправок (12.58) при опре-
деляемой узловой точке t в формуле (6.12) имеет вид
α
×22
E=
i
. Поэтому формула
упрощается и приобретает вид:
Q QA
−−−−1111
Q
i
где матрицы
деленных неизвестных — координатах пункта s имеет ненулевую колонку, рав-
−
ную
α
s
i ii
=
τ
⎜
AQ N
−
⎝
ii i
ττ
=
Z QA
i ii
×E22
, и два ненулевых столбца, равных
η
−
⎛
⎞
1
=−
s
;
⎜
⎟
ξ
ρ
⎝
⎠
s
−
,
−1
1
α
=
i
ρ
τ
QZ
ii
=
⎟
⎜
ZN
−
⎠
⎝
−1 τ
=+
N P AZ
i i ii
η
⎛
⎞
i
;
⎜
⎟
ξ
−
⎝
⎠
t
относящихся к дирекционным углам на пунктах s и t.
Нетрудно понять, что вычисление матрицы
τ
−
, (12.76)
⎟
ii
⎠
. Матрица A коэффициентов при уже опре-
τ
при учете уравнений поправок
Z
i
(12.56) необходимых или избыточных ходов можно выполнить по одной и той же
формуле, если при учете необходимого хода матрицу
Q
ˆ
Q
=
ii−
1
⎜
Тогда блок α
вать в вычислении матрицы
наличия нулей в матрице
0
−
1
00
= E коэффициентов при поправках координат также будет участво-
i
×
22
.
⎟
ττ
=
Z QA
i ii
ˆ
Q
.
i −1
, но не окажет влияния на результат из-за
−1
Q
записать в виде:
i −1
Таким образом, различие в учете необходимых и избыточных ходов будет
лишь в том, что в последнем случае применяется формула (12.52) с вычислением
обратной матрицы N
в два столбца, относящихся к пункту t, а матрица
блоком (Q
матрицы Qi.
i)tt
, а в первом случае она не обращается. Матрица Z вносится
i
22×
становится диагональным
N
t
При учете избыточных ходов удается выполнить контроль грубых ошибок.
В качестве примера рекуррентного уравнивания вновь обратимся к ходу
(рис. 12.8).
Выполнив рекуррентное уравнивание сначала только угловых измерений,
т. е. учитывая уравнения поправок (12.55) — необходимое для хода 1 и затем избыточное для хода 2, получим матрицу
157000 0 0
⎜
Q
=
1
⎜
⎟
00
⎟
.
0
Ее нулевые блоки относятся к координатам узловой точки. После этого учитываем уравнения (12.56) для хода 1 с матрицей коэффициентов
228 276 0
−
1 454 10 1 0
,
=
⎜
Матрица N будет такой:
(12.76) приводит к матрице
157000 228 276 0
⎛
⎜
Q
=
1
⎜
212
3
×
0 01
−
⎟
,
,.
1 038 0
и вычисляем матрицу
=+ =
⎜
T
−1
N P AZ
⎞
⎟
⎟
3
TT
Z QA
==
α
1 038 0
,
03
Применение формулы
.
⎟
,
⎜
00
⎜
00
⎟
.
⎟
ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi
A
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛
⎝
⎞
⎠
T
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
Остается только учесть уравнения (12.56) избыточного хода 2 с матрицей ко-
−
3
0 01
⎟
⎞
⎟
⎟
. В результате получим вектор
эффициентов
TT
Z QA
==
1
1 454 10 1 0
,
−×
=
⎜
−
456 554 0
,
⎛
⎜
1 370 0
,,
⎜
03
матрицу
N P AZ
⎢
06
⎣
⎥
⎦
2 740 0
,
T
−1
=+ =
(ее элементы необходимы для контроля грубых ошибок) и обратную матрицу
0 365 0
,
−
1
=
N
⎜
0 0 1667
Наконец, по формуле
.
⎟
,
Q Q ZN Z
=−
21
−
1
находим искомую матрицу
81340 0 856 0
⎛
⎜
=
Q
2
⎜
,
−
,
0 354 0
,
15
⎞
⎟
⎟
(такой же результат с точностью до погрешностей вычислений был получен ранее).
Выполним также вычисления в иной форме.
Для необходимого хода 1 применим формулу (6.12), которая с учетом того, что
пункт 1 безошибочный, примет вид
αα
1
1=−−
. (12.78)
QN
T
Матрица
1 00
−
⎜
1 454 10 1 0
,
α= ×
⎜
3
⎟
,
⎟
0 01
−13
а диагональная матрица
NP== ×
315 10 0 706 3,
{}
. Обращая матрицу α, полу-
чим результат:
1 00
−
1
=
α
⎜
0 0015 1 0
,.
⎜
⎟
⎟
0 01
В результате перемножения матриц в (12,78) найдем матрицу:
315 10 472 5 0
×−
⎜
=
Q
1
⎜
⎜
,,
472 5 1 416 0
−
0 03
3
,
⎟
.
⎟
⎟
Далее, учитывая по рекуррентной формуле для избыточных измерений
три уравнения поправок хода 2 с матрицами коэффициентов: 1.
2.
a =− ×
1 454 10 1 0
,
()
−
3
,
a =
001
()
, и опуская промежуточные вычисления
a =
100
()
,
213
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎝
⎠
⎛
⎞
N NN
(приведем только величины
630000 2 787 6= ==,,,,
1 23
которые необходимы
для контроля грубых ошибок свободных членов уравнений поправок), получим
окончательный результат
79831 1 8 0
⎛
⎜
==
QQ
2
⎜
Заметим, что если принять вес p
к некоторому нарушению строгости решения задачи (хотя и незначительному).
,
−
,
0 354 0
15
⎞
⎟
.
⎟
,
Q
= 1, то получим, что
4
x
4
0 475= ,,
что приводит
В книге [2] приведены формулы для оценки точности координат пунктов моделей
полигонометрических сетей, состоящих из вытянутых с равными длинами сторон
ходов и для оценки точности всех элементов отдельных ходов.
Координаты пункта t при учете необходимого хода вычисляются по координатам пункта s и суммам приращений координат, вычисленных по измеренным
углам и суммам сторон. Ясно, что все свободные члены l
, lx и ly такого хода равны
1
нулю.
Если уравнивание выполняется с определением систематической ошибки, то
учитываются уравнения поправок (12.65).
Недостатком способа узлов уравнивания полигонометрических сетей является то, что координаты внутренних пунктов ходов остаются без оценки точности.
Конечно, любой из таких пунктов можно сделать узловым, но это приведет к увеличению требуемой памяти ЭВМ.
Рекуррентный способ уравнивания позволяет эффективно решить и эту задачу следующим образом (см. раздел 6.3).
После того как сеть уже уравнена, из матрицы Q выделим блоки, относящиеся
к узловым пунктам s и t хода
QQ
ss st
ˆ
Q
=
⎜
QQ
⎝
ts tt
. (12.77)
⎟
⎠
is∈
, t, и составим из них матрицу
Для нивелирных сетей ее порядок равен 2, а для полигонометрических сетей — 6. Далее по рекуррентной формуле удаляем измерения, относящиеся к
i-му ходу, т. е. учитываем уравнения поправок (12.75) с обратным весом
−
1
−
уравнения поправок (12.56) с матрицей обратных весов
Q
матрицу
для двух узлов, которая имела бы место при уравнивании сети без этого
P
. В результате получим
i
хода. Теперь несложно получить матрицу для всех внутренних точек и узловых
пунктов s и t, учитывая по рекуррентной формуле все измеренные длины сторон,
направлений на узловых и углы на внутренних точках. Вычисления значительно
упрощаются из-за того, что все измерения, кроме трех последних, будут необходимыми. В результате вычислений матрица Q для узловых точек совпадает с матрицей (12.77).
В работе [11] приведены на языке БЭЙСИК программа уравнивания полигонометрических сетей по способу узлов и по рекуррентному алгоритму и пример
уравнивания.
В качестве примера рекуррентного уравнивания вновь обратимся к ходу (рис.
12.8) и выполним его в следующей форме.
Для необходимого хода 1 применим формулу (6.12), которая с учетом того, что
пункт 1 безошибочный, примет вид:
T
1=−−
214
QN
αα
1
. (12.78)
1
−
n
и
β
p
β
ck`b` 12. rp`bmhb`mhe Šp`dh0hnmm{u cendegh)eqjhu onqŠpnemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎞
⎠
Матрица
1 00
−
⎜
,
1 454 10 1 0
α= ×
⎜
3
⎟
,
⎟
0 01
−13
а диагональная матрица
NP== ×
315 10 0 706 3,
{}
. Обращая матрицу α, полу-
чим результат:
1 00
−
1
=
α
⎜
0 0015 1 0
,.
⎜
⎟
⎟
0 01
В результате перемножения матриц в (12,78) найдем матрицу:
315 10 472 5 0
×−
⎜
=
Q
1
⎜
⎜
,,
472 5 1 416 0
−
0 03
3
,
⎟
.
⎟
⎟
Далее, учитывая по рекуррентной формуле для избыточных измерений
a =
три уравнения поправок хода 2 с матрицами коэффициентов:
−
1 454 10 1 0
,
a =− ×
()
3
ведем только величины
;
a =
001
()
N
1
, и опуская промежуточные вычисления (при-
630000=
,
N22 787= ,
,
N36=
, которые необходимы для
100
()
контроля грубых ошибок свободных членов уравнений поправок получим окончательный результат
;
,
−
,
0 354 0
15
⎟
,
⎟
,
==
QQ
2
79831 1 8 0
⎛
⎜
⎜
практически такой же, какой мы получили в предыдущем разделе.
В заключение отметим, что рекуррентный способ узлов (см. раздел 6.3) позволяет также оценить точность всех неузловых точек полигонометрических сетей.
12.5. rp`bmhb`mhe qeŠei cenleŠph)eqjncn h ŠphcnmnleŠph)eqjncn
mhbekhpnb`mh“
Уравнивание сетей геометрического нивелирования как наиболее простая задача было подробно рассмотрено нами в разделе 4.4.
Тригонометрическим (геодезическим) нивелированием называется метод
определения разностей нормальных высот пунктов путем измерения вертикальных углов ν (зенитных расстояний) между ними При этом предполагается, что необходимые для вычисления превышений высоты приборов i и объектов визирования η известны с пренебрегаемыми ошибками.
В основу уравнивания положим формулу для вычисления превышений между
пунктами:
h = stgν + i − v + f. (12.79)
Здесь рассмотрим только приближенное решение задачи, полагая рефракцию f
известной и безошибочной (строгое решение задачи рассмотрено, например, в [13]).
215
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
Уравнения поправок для измеренного превышения между пунктами s, b, t, как
и в геометрическом нивелировании, составим в виде
vl
=− + +δδ
i s ti
.
Для установления весов превышений найдем их дисперсии.
По формуле оценки точности функций некоррелированных измерений установим, что
2
cos
S
422
υ
.
(12.80)
υσρ
2 22
σσ
tg
=+
υ
hs
Пренебрегая первым слагаемым в (12.80), будем иметь:
2
s
2
σ
=
h
cos
422
υσρ
υ
.
(12.81)
В качестве дисперсии единицы веса примем величину:
2
σ
2
υ
σ
= .
0
2
ρ
Тогда вес
= 12/.
ps
ii
(12.82)
Далее следует выполнить уравнивание сети геометрического нивелирование
с весами превышений (12.82).
cл="= 13
⎛
⎝
⎞
⎠
nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“
h `m`khg` detnpl`0hi
13.1. nanayemm{i pejrppemŠm{i `kcnphŠl rp`bmhb`mh“ qbnandm{u
h meqbnandm{u cendegh)eqjhu qeŠei q knj`khg`0hei cpra{u
nxhanj
Общая структура алгоритма
Его вычислительная процедура состоит из следующих двух основных блоков:
1. Уравнивание геодезической сети как свободной с временной фиксацией минимального числа координат исходных пунктов (см. раздел 10.2). Рекуррентный
алгоритм позволяет при таком подходе выполнить контроль грубых ошибок
результатов измерений при наличии избыточных измерений. В результате
уравнивания получим вектор координат всех пунктов и их ковариационную
матрицу, в том числе и псевдообратную. Точно такая же процедура выполняется и при уравнивании GPS-измерений (дифференциальный метод, см. раздел 13.4).
2. Вставка результатов уравнивания в блоке 1 в систему координат исходных
пунктов с контролем возможных их грубых ошибок и с определением 4 или 7
параметров преобразования из одной системы координат в другую.
Фиксация минимального числа неизвестных
Прежде всего, необходимо установить дефект ранга d матрицы коэффициен-
тов уравнений поправок A∆x + L = V.
В плановых сетях d = 2, если измерены хотя бы один дирекционный угол сто-
роны и хотя бы одна длина стороны (сеть ориентирована и масштабирована, тогда
переменные fα = 1, fm = 1); d = 3, если измерен хотя бы один дирекционный угол
(fα = 1, fm = 0) или хотя бы одна длина стороны (fα = 0, fm = 1); d = 4, если такие измерения отсутствуют (fα = fm = 0). Соответственно этому будем иметь (x, y); (x, y, m)
или (x, y, α); (x, y, α, m)-свободную сеть:
Применяя способ временной фиксации неизвестных, при любых значениях
d в сети необходимо зафиксировать произвольно координаты x
где-то в середине сети пункта 1 и приписать этим координатам матрицу обратных
весов, равную:
10
Q
=
1
⎜
При d = 2 по измеренным дирекционному углу α
вычислить координаты x
. (13.1)
⎟
01
и стороне S12 необходимо
и y2 пункта 2 и назначить пункту 2 матрицу
2
12
, y1, выбираемого
1
217
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
m
10 0
Q
=
2
⎜
0 10
,
m
⎟
где m — достаточно большое число, например, m = 6 (см. раздел 6.2).
При d = 3 и fα = 0, fm = 1 необходимо произвольно задать дирекционный угол
α
и по измеренной длине стороны S12 вычислить координаты x2, y2 пункта 2.
12
Матрица Q
QQ
22
при sinα
При d = 3 и fα = 1, fm = 0 по измеренному значению α
длине стороны S
матрицу обратных весов Q
в этом случае должна быть задана в одной из двух форм
2
10
⎛
=
12
m
⎜
0 10
⎝
> 0,7 или sinα
⎞
,
⎟
⎠
необходимо вычислить координаты пункта 2 и приписать им
12
m
10 0
=
⎜
01
≤ 0,7 соответственно.
12
(13.2)
⎟
из (13 2) при sinα
2
12
< 0,7 или sinα ≥ 0,7 соответственно.
12
и заданной произвольно
При d = 4 координаты пункта 2 могут быть приняты произвольно, но, конечно,
не равные координатам пункта 1. Матрица обратных весов Q
впадает с матрицей Q
(13.2).
1
в этом случае со-
2
Виды уравнений поправок, возникающие в плановых сетях и сетях GPS, рас-
смотрены в разделе (4.4).
Если в сети имеются пункты, координаты которых не могут быть вычислены
из-за недостатка измерений (например, только одностороннее направление), то
их не следует включать в уравнивание, даже если они являются исходными. Но
если такие пункты служат для передачи исходных дирекционных углов, например, для угловой привязки полигонометрических ходов), то тогда определяемые
по ним дирекционные углы следует передать на сторону хода с помощью измеренного направления, исключив его из уравнивания. Точность переданного дирекционного угла, рассматриваемого далее как непосредственно измеренным,
будет определятся точностью измеренного направления и точностью исходных
координат. При этом точность этого дирекционного угла будет определяться формулой:
2 2 44
σσ
=+×fK f
αβ
где матрица
ходных координат пунктов угловой привязки.
T
,
исх
sin cos sin cosα α αα
f = −−
()
,
а K
— ковариационная матрица ис-
исх
Любая полигонометрическая сеть всегда будет рассматриваться как сеть только с координатной привязкой
Вопросы контроля и поиска грубых ошибок рассмотрены в разделах 6.5 и 7.5.
Уравнивание свободной сети
В этом случае составляется содержащая d строк матрица С
ограничениях C
T
∆x = 0 с целью устранения дефекта ранга. При этом под вектором
T
в дополнительных
х имеется в виду только уравненный на предыдущем этапе вектор координат, т. к.
ориентирующие углы являлись вспомогательными неизвестными. Относящийся
к вектору х блок матрицы обратных весов обозначим теперь через Q
через х = х
Φ.
, а вектор х
Φ
Напомним (см. раздел 10.1), что матрица С в плановых сетях при d = 4 состоит
из полос, составляемых для каждого пункта i:
218
10
C
=
i
⎜
01
⎝
yx
ii
xy
−
ii
.
⎟
⎠
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
T
T
x
x
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
При d = 2 в ней будут присутствовать только два первых столбца при d = 3 и
fm = 0 два первых и четвертый если fα = 0 — три первых столбца.
Далее реализуем еще одно достоинство рекуррентного уравнивания — возможность учета условных уравнений как уравнений поправок с обратными весами 1/p
= 0.
i
В нашей задаче уравнения ограничений можно написать в виде C
T
∆x = v = 0 и
считать их именно такими уравнениями поправок. Тогда, учитывая d таких уравнений со строками a
получим новую матрицу
=
и li = 0, по формулам (6.6) и (6.14), начиная с матрицы QΦ,
C
i
i
Q
.
Вспомним, что мы выполнили временную фиксацию d неизвестных. Теперь
ее следует удалить, учитывая d уравнений поправок вида v
рентной формуле с обратными весами 1/p
= −1 начиная вычисления с матрицы
i
В результате получим искомую главную псевдообратную матрицу R
можно принять равным x
Изменяя матрицу C
R~.Так, если матрицу С
C
порядка d, то в результате получим такую же матрицу Q, как и при фиксации d
1
+
= xΦ.
T
, можно получать различные псевдообратные матрицы
T
принять равной блочной матрице СT =
= δxi также по рекур-
i
+
. Вектор x+
T
()C
0
c матрицей
1
Q
неизвестных безошибочными. Процесс удаления фиксации при этом не нужен.
Широко распространено ошибочное утверждение, что матрица обратных
весов уравненного вектора x
~
или x+ совпадает с матрицей R~ или R+. Можно доказать [13], что это будет верным только в том случае, когда в параметрическом
способе вектор приближенных значений неизвестных некоррелирован с результатами измерений. Но во всех нелинейных задачах и при рекуррентном уравнивании его вычисляют по результатам необходимых измерений, начиная с пунктов
фиксации. Тогда матрица обратных весов уравненного вектора будет равна матрице Q
.
Φ
.
Уравнивание несвободной сети
Для этой цели применим алгебраическую модель Гаусса−Гельмерта (способ
условий с дополнительными неизвестными)
BV + β∆
+ W = 0 (13.3)
Однако в этом случае невозможно выполнить контроль грубых ошибок по невязкам уловных уравнений, т. к. они являются функцией приближенных значений дополнительных неизвестных — вектора
тические ожидания. Но если его выразить как функцию результатов измерений
(0)
x
= f(y), то составив вектор
z yx=
()0
()
, найдем матрицу его обратных весов (раз-
()0
и имеют неравные нулю матема-
дел 7.5):
PP
Q
=
z
⎜
PP
γ γγ
где матрица
−−
11
−−
11
γ=
T
γ
,
(13.4)
⎟
∂
fY
()
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
Y
=
Yy
, P
−1 —
матрица обратных весов измерений, Y — вектор
их истинных значений. Учитывая, что матрица перехода от вектора z к вектору
невязок W имеет вид T = −(Bβ), выполнив перемножений TQ
TT, окончательно по-
z
лучим матрицу обратных весов
−− −11 1
Q N MPB BPM MPM
=+ + + =
W
где M = βγ, а Q
TT T
совпадает с матрицей нормальных уравнений коррелат.
w
00
⎜
0
,
⎟
N
219
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
x
x
A
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
x
⎛⎞
x
x
Теперь можно написать систему условных уравнений:
+ +=β 0,
BV V W
которая представляет собой ту же систему (13.3), но с удаленными из нее r
нениями, где r
выполненные измерения. Систему (13.5) следует решать теперь под условием
V QV
Q
= min .,
zTz
.
W
Применим изложенный алгоритм к нашей основной цели, предварительно
x
x
где вектор
(13.5)
— число неизвестных x, рассматриваемых как непосредственно
VV
= ()Δ
zx
T
, при этом матрица
N
совпадает с матри цей
урав-
x
вспомнив формулы преобразования координат на плоскости:
=+ + −
′
α ϕβ ϕ= −=mmcos ; sin ;1
где
ординат a
xa x y
αβ,
x
, ay — координаты начала системы x,y в системе
x
=+ + +y ya x y
′
m, φ — масштабный фактор и угол поворота осей ко-
перь уравненные с временной фиксацией d неизвестных (вектор x
и вектор x
в системе координат преобразования непосредственно измеренными
исх
величинами с известными матрицами обратных весов Q
y
βα,
y,.
′′
Рассматривая те-
) координаты
Φ
и Qin для общих (иден-
Φ
тичных) пунктов, составляем условные уравнения (13.3), которые в линейном виде
для каждого пункта i будут такими:
V
− AV
Φ
где векторы V
Матрица
⎛
=
⎜
− G∆x + W = 0, (13.6)
исх.
=
Φ
αβ
−
⎞
.
⎟
βα
δδ δδxyV xy
()
T
=
,.
()
in
Φ
T
in
Вектор ∆x содержит поправки к приближенным значениям параметров преобразования a
10
⎛
=
G
i
⎜
01
⎝
вектор невязок
α
, ay,
x
xy
ii
yx
ii
=
W
Вектор приближенных значений параметров несложно найти по двум пунктам по формуле
будет иметь все нулевые блоки, кроме G
ров пунктов, участвующих в вычислении параметров. По формуле (13.4) затем получаем матрицу Q, которая приобретает вид:
QQ
⎜⎟
=
Q QQ
⎜⎟
sim Q
⎝⎠
0
ΦΦ
исх исх x
.
Затем, учитывая по рекуррентным формулам каждое из условных уравнений
BV AV GV W
− − +=
ΦΔ
.0исх x
дой из осей координат и выполняя контроль грубых ошибок в координатах исходных пунктов, в результате получим уравненные векторы
раметров преобразования координат и квадратичную форму. Останется только,
используя уравненные параметры выполнить преобразование вектора координат
220
и его матрицы обратных весов в систему координат исходных пунктов. При
Φ
β. Составляемая из элеметнов вектора хф матрица
,
−
⎞
,
⎟
⎠
Φ
x
⎜
y
⎝
Gx x
=−
x
−
⎟
⎜
⎠
⎝
Φ
−1
()
Φ
x
.
,
x
Gx
−
⎟
y
⎠
in
Далее нужно сформировать матрицу γ, которая
in
()
0
.
i
−1
, расположенных в ней согласно номе-
, которые все являются избыточными, отдельно для каж-
,
x
Φ
исх.
, вектор па-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]