Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 2. }kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
n
x
⎡
⎤
Отсюда, приравняв к нулю и заменив точный параметр a1 на его оценку a
можно получить уравнение для оценки a
n
∑
i
1
=
Так как σ
n
∑
=
i
1
n
∑
=
i
1
*
ax x
1
∗
()
xa
−
i
1
0
.
=
2
σ
2
≠ 0, то
∗
()xa
−=
1
∑
0
∗
0
1
n
/==
i
i
i
−=
x na
i
;
;
. (2.9)
*
:
1
1
Величину xˉ называют простой арифметической срединой. Из данных уравне-
ний следует:
n
()xx
−=
0
∑
i
=
1
n
( ) minxx
∑
1
i
=
i
2
−=
i
,
,
(2.10)
(2.11)
что обеспечивает максимальное значение функции правдоподобия.
Оценки можно находить и под условием метода наименьших квадратов (2.11),
которое следует из максимума функции правдоподобия L, и наоборот. Таким образом, для случайных величин, подчиняющихся нормальному распределению, оценки, полученные с помощью методов максимального правдоподобия и наименьших
квадратов, совпадают.
Приравнивая производную по а
n
a xx n
=−
( )/
∑
2
1∗=
i
2
i
.
Можно показать, что оценка
к нулю, будем иметь:
2
*
a x xn
1
∑
n
i
является доброкачественной
/==
i
оценкой математического ожидания. Действительно, ее состоятельность вытекает из теоремы Чебышева. Так как все значения x
имеют одно и то же математиче-
i
ское ожидание
*
,
M(x
) = М(Х),
i
то
M([x]/n) = 1/n (M([x])) = M(X).
Таким образом, оценка х является несмещенной.
Для доказательства эффективности требуется показать, что
имеет минимальную дисперсию из всех возможных оценок математического ожидания.
С этой целью необходимо воспользоваться неравенством Рао-Крамера., которое
определяет нижнюю границу дисперсий всех возможных оценок:
2
L
∂
M
ln
i
⎢
⎣
.
⎥
2
a
∂
i
⎦
21
D
1
=−
∗
a
i
/
n
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
x
⎛
⎞
⎛
⎞
В данном случае min D(a1*) = −1/M (d2 lnL / da
2
) = σ2 / n.
1
Теперь определим дисперсию оценки
*
a x xn
1
∑
n
/==
i
i
Это можно сделать по формуле для оценки точности функции некоррелиро-
ванных аргументов:
n
2
σ σσ
dx
==
( ) ()
X
i
22 22
0
dx n
i
n
1
∑∑
xx
ii
==
11
i
.
Так как измерения равноточные, то
= σx2 = … = σxn = σ,
σ
x1
и
2
σ
= σ2/n,
x
что совпадает с нижней границей в неравенстве Рао-Крамера. Следовательно,
оценка
является эффективной и доброкачественной.
Свойства оценки
n
()
∑
*
i
1
=
a
=
2
2
xx
−
i
n
исследуется аналогично. Можно показать,
что эта оценка состоятельна и эффективна, но смещена.
2
*
), т. е.
2
Для доказательства данного свойства требуется найти М (а
n
( ) ( ( ))
∑∑
⎜
*
Ma M
()
2
22 2
=−=− =
σσ σ
xx x
i
==
1
⎜
=
⎜
⎜
⎝
2
xx
−
i
n
2
σ
n
x
n
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−
n
Следовательно, оценка
1
n
⎜
i
⎜
=
M
⎜
⎜
⎝
22
≠
σσ
xx
n
∑
*
i
=
a
=
2
−
x MX
i
1
n
.
2
xx
()
−
i
1
n
2
⎟
⎟
( ( ))
−− =
Mx MX
⎟
⎟
⎠⎠
смещена.
Несмещенной оценкой является
m
n
()
n
2
=
−
n
∑
*
i
1
=
=
a
2
11
−
xx
i
−
n
2
. (2.12)
Выражение (2.12) носит название формулы Бесселя. Она позволяет вычислить
среднюю квадратическую ошибку одного измерения по уклонениям измерений
от их среднего значения.
Возможен случай, когда параметр a
дача оценки только a
. Например, в треугольнике сумма углов заранее известна
2
, равный М(Х), известен, и возникает за-
1
и равна 180°, тогда разность между суммой измеренных углов и 180° — истинная
ошибка. Если в измерениях отсутствует систематическая составляющая, то оценка, полученная по формуле Гаусса, является несмещенной.
22
am
n
xa
−
()
∑∑
2
*
2
i
i
1
==
nn
n
2
1
=
2
Δ
()
i
i
1
.==
ck`b` 2. }kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
⎛
⎝
⎞
⎠
x
2.3.3. d%"е!,2ель…%е %це…,"=…,е
В предыдущих разделах были рассмотрены вопросы определения оценок для
математического ожидания и дисперсии измеряемой величины. Такие оценки
называются точечными. Интересным представляется вопрос определения расхождений с вероятностной точки зрения между оценками и оцениваемыми величинами.
Пусть оценивается некоторый параметр a. Необходимо определить довери-
тельную вероятность
При этом
Paa P aa Pa a a−<
Интервал
крывает точное значение параметра а, являющееся неизвестным. Такой способ
оценивания параметра a называется доверительным оцениванием. Доверительный
интервал может быть как симметричным, так и несимметричным, в зависимости
от распределения случайной величины, вида оцениваемого параметра и других
причин.
На практике значение доверительной вероятности выбирают таким образом,
чтобы событие, заключающееся в том, что доверительный интервал накроет истинное значение параметра, было практически достоверным. В теории математической обработки геодезических измерений значение доверительной вероятности
определяют, исходя из правил 2σ и 3σ, т. е. β = 0,954 или β = 0,997. В математической
статистике выбирают интервалы с вероятностями 0,9; 0,99; 0,999.
Рассмотрим доверительный интервал для параметра а = М(Х), если
x
[]
=
n
нормальной совокупности с известной теоретической средней квадратической
ошибкой m. При этом средняя квадратическая ошибка среднего значения также
известна:
смысла интеграла вероятностей:
∗ ∗ ∗∗
()
— несмещенная оценка, и значения xi являются элементами выборки из
εε ε ε ε.
aa
()
m
=
x
Pa a−<
()
= − < − <+
()
∗∗
−+
εε,
m
, и доверительный интервал строят, исходя из вероятностного
n
называется доверительным, если с вероятностью β на-
=∗εβ.
= −< < +
()
ax
∗
==
Φ t
=
⎜
⎜
m
Значение t можно определить по таблицам интеграла вероятностей и доверительный интервал представить в виде:
tm X x tm
− < <+
xx
Но обычно известна только оценка средней квадратической ошибки m
лученная по формулам Гаусса или Бесселя. Случайная величина
t
=
1
n
Px X
= −<
{}
⎟
⎟
x
y
2
x
∑
i
i
=εεβ.
. (2.13)
*
, по-
23
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
⎛
⎝
⎞
⎠
x
подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы n, если y, xi независимы, нормально распределены с математическим ожиданием, равным нулю,
и имеют одно и то же СКО.
Таким образом, случайная величина
xx
−
T
=
∗
m
x
будет иметь распределение Стьюдента, т. к. x и
m
независимы.
x
Если известен закон распределения Т, то можно вычислить вероятность того,
что она не превзойдет по абсолютному значению какого-либо числа:
PT t<
()
=ββ
или
−
Xx
⎜
P
⎜
m
x
⎟
= − < <+
<
t P x tm X x tm
()
ββ β
⎟
xx
.
=
β
Отсюда доверительный интервал
tm X x tm
− < <+
ββ
xx
(2.14)
с вероятностью α накрывает истинное значение величины X. Значение коэффициента Стьюдента выбирают из таблиц по заданной вероятности α и числу степеней
свободы r = n − 1. Если среднюю квадратическую ошибку m вычисляют по формуле
Гаусса, то t
Величина
выбирают по числу степеней свободы r = n.
β
n
()
∑
1
i
=
Z
=
xx
−
i
2
m
2
имеет
2
χ
— распределение с n−1 числом степеней
n−1
свободы. Зная закон распределения случайной величины Z, можно построить для
нее доверительный интервал с доверительной вероятностью β (рис. 2.3), представляющий собой заштрихованную область под кривой плотности распределения,
где
2
PZχ χβ
<< =
()
2
2
.
1
ϕ(χ2)
2
χ
1
2
χ
и
1
2
χ
2
χ
выбирают таким об-
2
Распределение
разом, чтобы
2
0
χ
2
Рис. 2.3. Доверительный интервал для Z
2
χ
несимметрично, поэтому точки
−χβ
−χβ
1
24
PZ<
2
()
=
1
PZ>
2
()
и
1
2
=
1
.
2
ck`b` 2. }kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
⎡
⎤
2
χχ
,
В этом случае вероятность того, что интервал
⎣
накроет истинное значение Z,
221
⎦
равна β.
Действительно;
2
P Z F F PZ P Zχ χ χχ χ χ
()
2
1
1
=−−−
2
=
1
αα
1
−
2
2
2
()−()
1
==−+ =11ββ
2
2
.
1<<
=− > − <
2
()
1
Таким образом, доверительный интервал для Z имеет вид:
n
()
2
χχ
2
∑
<=
Z
1
i
=
−
xx
i
2
m
2
2
или
<
1
∗
2
mn
2
χχ
2
1<−
()
2
m
2
<
1
,
что соответствует интервалу
∗∗
nm
()
2
11
<<
2
χχ
1
nm−
()
2
m
2
−
(2.15)
2
2
или
∗∗
mm m
<<
γγ
12
,
2
=()
2
(2.16)
где коэффициенты
γ
1
1=−n
γ
,
2
2
χ
1
1=−n
выбирают по таблицам по числу степе-
2
χ
2
ней свободы n−1 и вероятностям
1
+
1
−β
PP
P
=
1
и
2
Доверительный интервал для m является несимметричным относительно m
β
1=
2
=−
21
.
*
.
Если измерения независимы и известны истинные значения ошибок измерений Δ
∗
m
=
, то доверительный интервал для оценивания m имеет вид (2.16), где
i
2
⎡⎣⎤
Δ
⎦
, a
n
n
γ
=
1
,
2
χ
1
n
γ
=
1
определяют по таблицам по числу степеней свобо-
2
χ
2
ды n в отличие от предыдущего случая. Символ [ ] означает суммирование по всем
значениям i.
При построении доверительного интервала для средней квадратической
ошибки среднего арифметического
n
xx
−
()
∑
i
i
=
nm
−
()
Z
=
m
2
n
()
∗
1
x
=
2
x
1
−
1
nn
−
()
2
mn
откуда вытекает, что доверительный интервал для
же, как и для m. При этом в неравенствах заменяют только точечную оценку m
∗
m
на
, т. е.
x
∗ ∗
γγ
mm m
<<
12
xx x
(2.17)
2
m
необходимо учесть, что
x
2
n
()
∑
1
i
1
=
=
xx
−
i
2
m
2
,
2
m
следует строить точно так
x
Доверительные интервалы можно использовать для проверки статистических
гипотез. Например, если имеется ряд истинных ошибок Δ
, измерений одной ве-
i
*
25
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
ν=⎡⎣⎤
⎡⎣⎤
личины, то для математического ожидания M(Δ) можно построить доверительный
интервал
Δ ΔΔ
−≤
ββ
ΔΔ
n
∑
i
i
=
1
где
ΔΔ=
m mn
;
n
Δ
≤+tm M tm
()
=
,
.
Если гипотеза M(Δ) =0 справедлива, то, очевидно, с вероятностью β должны
выполняться неравенства:
ΔΔ−≤tmβ0; ΔΔ+≥tmβ0
.
Объединением этих неравенств будет
ΔΔ−≤tmβ0
,
откуда следует критерий
ΔΔ≤ tm
(2.18)
β
обнаружения систематических ошибок. Если неравенство (2.18) выполняется, то
гипотеза об отсутствии систематических ошибок принимается.
m
При большом n для упрощения вычислений можно принять
— средняя ошибка. Тогда вместо неравенства (2.18) будет применяться
Δ n
⎦
=1 25, ν
Δ
, где
критерий
⎡⎣⎤
ΔΔ≤
1 25, t
β
nn
⎦
или
Δ
[]
≤
n
1 25,
t
β
Δ
⎦
nn
.
Следовательно,
При t
= 2, что соответствует вероятности β = 0,95 и n > 30,
β
ΔΔ
≤⎡⎣⎤
25, n
[]
ΔΔ
≤⎡⎣⎤
1 25, tn
[]
⎦
β
. (2.19)
.
⎦
cл="= 3
x
nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
3.1. nap`anŠj` p“d` p`bmnŠn)m{u hglepemhi
В геодезии часто обрабатывают измерения одной и той же величины X, результатами измерений которой являются x
В предыдущем разделе было показано, что наилучшей оценкой для математического ожидания является так называемая простая арифметическая средина
x
[]
x
=
,
n
а для дисперсии одного измерения — квадрат средней квадратической ошибки
(формула Бесселя)
22
⎡⎣⎤
mn
υ ,
υ
где
свойствами: [υ]=0, [υ
а совместное влияние случайных и постоянной систематической ошибок может
быть выражено формулой
где С — систематическая ошибка. Поэтому постоянное увеличение числа измере-
ний не ведет к беспредельному повышению точности
должно выполняться неравенство
при достаточно большом n характеризуется величиной
углы на различных пунктах, то среднюю квадратическую ошибку вычисляют по
формуле
xx=−
ii
Средняя квадратическая ошибка
m Mmn
== ,
x
m
M
Средняя квадратическая ошибка
mn=
mm n
Если выполняют измерения S однородных величин n
n
⎡⎣⎤
υ
≈−
m
1=
−
()
⎦
— отклонения от простой арифметической средины, обладающие
2
C=+
2
()
⎦
21.
(3.1)
2
]=min.
(3.2)
2
,
C
−
1
()
, x2, …, xn.
1
m
величины x имеет вид
x
m
.
n<5
. При этом полагают, что
раз каждую, например
i
27
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
⎡⎣⎤
x
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
υ
S
nS
∑
i
1
=
⎦
i
,
−
i
на каждом
где [υ
2
m
=
2
]i — сумма квадратов отклонений результатов измерений от
пункте.
Порядок вычислений при обработке ряда равноточных измерений следующий.
1. Вместо формулы
ε
xn=+' ,
x
[]
применяют более удобную
=
n
где x’ — приближенное значение для
.
xx=−'
ε
ii
. Обычно это минимальное значение xi, а
2. Вычисляют отклонения
xx=−
υ
i i окр
и выполняют контроль
=−n
υ
[]
где Δ
окр
десятичных знаков
результате округления
3. Далее вычисляют [υ
⎡⎣⎤
υε
и ошибки m, M,
Δ ,
окр
— ошибка округления при вычислении x,т. е.
на один больше, чем в измеренных xi, т. к.
окр
и
содержит на один знак меньше, чем x.
окр
2
] с контролем
21
()
mMn
и
= 2 .
M
⎡⎣⎤
⎦
[]
−
22
=
⎦
mm n
2
ε
n
≈−
m
Δ xx=−
4. Строят доверительные интервалы:
tm X x tm
− < <+
αα
xx
γ σγ
mm≤≤ ;
12
γ σγ
mm
≤≤ .
12
xx x
Докажем справедливость контрольных равенств. Так как
ставим в формулу вместо
υ
Получим
xx= − −Δ .
ii
величину
окр
окр
+Δ
окр
.
Сложим данные n равенств:
υ
[]=[]
но
x nx
[]
Получим разность
−=0
−−x nx nΔ ,
окр
. Следовательно,
υε
−
ii
:
=−nΔ .
υ
[]
окр
окр окр
. Обычно число
получают в
окр
x= +Δ ,
окр окр
под-
υε
ii
откуда
−
xxxx x
= −− −′=−′−+′=− ,
ii
ε
[]
ευ
=+
.
i
n
εε
n
[][]
x
n
Возведем левую и правую части в квадрат и просуммируем все n равенств.
28
Получим
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
⎝
⎠
i
x
⎡
⎣
x
x
m
m
2
⎞
⎛
22
⎡⎣⎤
⎡⎣⎤
ευ υ
=
⎦
⎦
+
2
[]
[]
εε
n
[]
n
+
.
⎜
⎟
n
Так как [υ] = 0, то
2
ε
⎡⎣⎤
⎦
[]
−
.
n
22
⎡⎣⎤
υε
=
⎦
Пример.
Измерены 12 значений одного угла и проведено уравнивание данного ряда измерений (табл. 3.1). Все измерения выполнены наблюдателем в одинаковых условиях,
одним прибором, одинаковым числом приемов, т. е. с одной и той же средней квадратической ошибкой. Требуется произвести обработку ряда равноточных измерений.
Таблица 3.1
Измеренные и уравненные значения угла
Номер
измерения
1 57°23'44''
2 40
3 43
4 45 0,3 0,09 5 25
5 46 1,3 1,69 6 36
6 43
7 48 3,3 10,9 8 64
8 45 0,3 0,09 5 25
9 48 3,3 10,9 8 64
10 46 1,3 1,69 6 36
11 47 2,3 5,29 7 49
12 41
x' = 57°23'40''
= 57°23'44,7''
окр
= 57°23'44,67''
Результат
измерения
−0,7
−4,7
−1,7
−1,7
−3,7
Σ
=−1,25
−
Σ
=+12,1
+
Σ=−0,4
υ
i
2
υ
i
ε
0,49 4 16
2
ε
i
Δ
= 57°23'44,7'' −
Контроль
=
окр
окр
− x =
− 57°23'44,67''
22,1 0 0
Δ
окр
= 0,03''
2,89 3 9
= 0,03'' ×
−nΔ
окр
× 12 = −0,4''
2,89 3 9
2
ε
⎡⎣⎤
56
12
⎦
2
[]
−
n
72=−=
=
22
⎤
υε
=
⎦
334
13,7 1 1
Σ=72,9 Σ=56 Σ=334
ε
∑
=n4 67, '' ;
==72 9 11 2 57,,'';
= 0 55, '';
M ==2 57 12 0 74,,'';
= 0 16, ''
m
M
.
29
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
3.2. mep`bmnŠn)m{e hglepemh“. onm“Šhe beq`
Неравноточными называются измерения, дисперсии которых не равны между собой. К ним следует отнести измерения, выполненные приборами различной
точности или в существенно различных условиях. В то же время выбор модели
равноточных или неравноточных измерений прежде всего определяется общими
соображениями и основан на накопленном опыте. Например, величины углов, измеренных разными наблюдателями, но теодолитами одинаковой точности, считают равноточными.
Неравноточные измерения характеризуются, кроме средних квадратических
ошибок, весами, которые являются относительной мерой точности. Их определяют как отношение квадратов средних квадратических ошибок измерения, принятого для всего ряда за эталон, и измерения, вес которого вычисляют, т. е.
2
2
σ
μ
0
P
==
i
2
m
ii
При этом m
ния; P
— вес этого измерения; μ = σ0 — средняя квадратическая ошибка эталонно-
i
го измерения. Таким образом, вес определяет соотношение точностей эталонного и i-гo измерений. При равенстве средних квадратических ошибок эталонного
и i-го измерений P
измерения, вес которого равен единице (сокращенно — средняя квадратическая
ошибка единицы веса).
Если теоретические значения средних квадратических ошибок неизвестны,
используют эмпирические и тогда
2
∗
μ
∗
P
=
i
∗
m
i
Вес, определенный по формуле (3.4), является приближенным.
Необходимо отметить, что эталонное измерение с весом, равным единице, может быть как реально выполненным, так и фиктивным.
Выбор эталонного измерения произволен и осуществляется для облегчения
вычислений.
Часто, пользуясь свободой выбора μ и (μ
не зная m
или m
i
При вычислении весов достаточно учитывать две-три значащие цифры.
Важно отметить, что веса измерений как однородных, так и неоднородных измерений являются безразмерными величинами. Но при их назначении показатели точности следует выражать в той же мере, что и измеренные величины.
(3.3)
.
2
σ
— средняя квадратическая ошибка (теоретическая) i-го измере-
i
= 1. Следовательно, μ — это средняя квадратическая ошибка
i
(3.4)
.
2
*
*
.
i
), веса измерений можно установить,
Примеры.
1. Пусть одним и тем же прибором измерено n линий длиной S
веса измерений.
Решение.
Полагая известным коэффициент m
m mS
= ,
S
i
тогда
P
=
S
30
i
2
м i21
2
μ
2
mS
1
м i
. Определить
i
случайного влияния, можно написать
1м
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]