Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 10. dnonkmhŠek|m{e bnopnq{ rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
A
⎛
⎝
⎞
⎠
l
l
l
y
у
−1
δδ
x
T
R AP=
. (10.23)
Х = 2500,000
у = 4330,127
S2
90°
Х = 0
= 0
S1
Х = 0
у = 4330,127
Рис. 10.3
S3
Х = 0
Y = 8660,254
Так, например, в построении сети трилатерации (рис. 10.3), если пункт 1 определяют только по длинам сторон S
=
⎜
01
10
−
⎟
T
==
R AA E
,
и S2, то матрицы
1
×22
(матрица Р = Е) и вектор грубых ошибок
δ
⎛
δ
x
01
⎛
=
⎜
10
−
⎝
δ
+
⎛
⎞
⎟
⎜
δ
⎠
⎝
δ
⎛
⎞
1
⎟
⎠
2
⎞
2
=
⎜
⎟
−
δ
⎝
⎠
1
⎞
x
1
=
.
⎜
⎟
δ
⎝
⎠
y
1
Пусть теперь в сеть включается новое (i-ое) избыточное измерение. Тогда
xy
=−
свободные члены
такой
ll x y=−ˆ(ˆ)
l i i i ii i
i
ϕ ()
i ii i
=−δϕ ϕ
−
1
ˆ
xy−+
−−11ii
ному виду, получим выражение
=−
ϕ (ˆ)
и
i ii i
()
. После приведения функции к
lx=+δϕ ϕ δax
() (
ˆ
xy
−
1
i ii i ii i
−−
11
=−
φ (ˆ)
i ii i
ˆ
−−)(
xx
ˆ
xy
−−
11ii
. Их разность будет
−
1
−
)
или с учетом
ϕ(ˆ)x
формулы (10.23)
a x aQ A P== −
δ δ δδ
l i i ii iTii i
i
где
QR
ii−−
11
− − −− −1 1 11 1
−
1
.
=
Так, в данном примере при включении стороны S
−
δ
a
01=−
()
3
роне S
, совсем не оказывает влияние на свободный член l3.
2
и
δ
l
2
=−
()
⎛
01
⎜
⎝
δ
1
, (10.24)
при δ3 = 0 имеем матрицу
3
⎞
2
δ
=−
. Как видно, грубая ошибка, допущенная в сто-
1
⎟
⎠
Заметим, что этот вывод приближенный, т. к. в нем было допущено, что элементы матрицы A
определяются по вектору
4330,107 м и S2 = 2500 м, получаем в формуле (8.2) вектор
величину
g aZ
3 33
вычислены по вектору измерений у, хотя практически они
i−1
T
12=+ =
ˆ
. Полагая, что безошибочные длины сторон S1 = S3 =
TT
Z Qa a
3 23 3
(при весе P
= 1 и при t = 3) σ0 = 0,05 м допустимое значе-
3
линей-
T
01= == −
()
,
161
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
A
⎝
⎠
y
V
i
ˆ
ние
() , ,l
0 05 2 0 212==
доп.3
м. Приняв длину стороны
S
=2530 м (δ2 = 30 м), получим в
2
процессе уравнивания свободный член l3 = 0,207 м, что практически подтверждает
формулу (10.2). Если грубая ошибка допущена только в одном j-ом измерении (j =
1, 2, … i = 1, то ее влияние на свободный член li будет таким:
δδ
paQ a=
l ii i jTj
i
. (10.24)
−1
Формула (10.24) позволяет также оценить, какой величины может быть выявлена грубая ошибка одного измерения при учете i-го избыточного измерения. Из
выражения (10.24) следует, что
tg
σ
δ
j
i
p
i
aQ a≥
ii j
−01
T
(j = 1, 2, … i = 1)
,
и
δσ
tg≥
i ii
Так, для рассматриваемого примера получаем, что
δ2=∞
, поскольку
. (10.25)
aQ a
iT3 120−
δσ12≥ t
.
=
,
δσ32> t
Для примера, приведенного в разд. (8.1) (угломерный ход), до учета последнего
избыточного угла имеем матрицу
11 1
...
QQ
==
in−−
11
⎜
22
⎜
⎜
...
... .
⎜
⎟
⎟
.
⎟
⎟
n
−
1
,
Так как матрица
== −
aa
in
00 1...
()
aQ n
=− −
, то
ii−
12 1...
()
1
. Далее находим
матрицы
nn
−−
11
−
11
()()
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
T
−
1
δσ
j
aQ A
ii i
−−
11
T
=−
11 1...
()
.
и
, поэтому можно выявить грубую ошибку,
(j = 1, 2, … n − 1). Такое же минимальное значе-
tn=
.
y
n
1
⎛
⎜
−
11
⎜
=
i
−
1
....
⎜
⎜
= + =+ −=
1 11
/
Величина
g p aQ a n n
i i ii i
превышающую величину
ние получим и для грубой ошибки угла
Найдем теперь разность уравненного и истинного векторов измерений
yY yVY Y VY
−=+−=++−=+ΔΔ
. Но с учетом (4.35) по-
лучим
TT
−−
y Y AR A P E AR A P
−=+ − =
Δ ΔΔ()
11
. (10.26)
Полагая, что в выводе вектор Δ = δ представляет собой только грубые ошибки и
что грубая ошибка содержится только в одном i-м измерении при диагональной
−1
T
матрице весов Р, получаем, что
−=
yYˆpa R a
i i iiTi
полностью войдет в уравненное измерение тогда, когда
T−
. (10.27)
paR a
ii i
=11
. Очевидно, что грубая ошибка б,
δ
ˆ
yY
−==δδ
i i iiTi
pa
С учетом выражения (10.27) величина
1
162
=−−1
r paR a
i ii i
T
ˆ
и Y.
или при
ck`b` 10. dnonkmhŠek|m{e bnopnq{ rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
A
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
A
⎛
⎝
⎞
⎠
c
есть мера избыточности i-го измерения. Таким образом, если диагональный элемент матрицы
Q P E AR A P
=−
V
−1
T
равен 0, то грубая ошибка не обнаруживается.
Так, в рассматриваемом примере (см. рис. 10.3) для построения имеем матрицы
01
⎜
=−
⎜
01
⎟
10
⎟
−
QR==
;
10
−1
⎜
02
=
⎟
10
⎜
0 05,
⎟
и матрицу
05 0 05
,,
QAτ=
⎜
⎜
⎟
00
⎟
05
,
.
Вновь приходим к выводу, что грубая ошибка во втором измерении (стороне
S
) в процессе уравнивания в пределах, практически не изменяющих матрицу А,
2
не может быть обнаружена контрольными мерами. В таких случаях необходимы
дополнительные измерения.
Способность реагировать на наличие дополнительных факторов (грубых, систематических и ошибок исходных данных), которые вместо исходной модели V =
= AΔx + l приводят к расширенной модели V = AΔx + BΔz + l (Δz — вектор искажающих факторов) называют надежностью геодезической сети. Под внутренней
надежностью понимают способность с помощью статистического теста выявить
помехи в измерительной информации. В качестве меры внутренней надежности
принимают максимальное значение одной грубой ошибки, которая еще может
быть обнаружена в сети. Под внешней надежностью понимают влияние необнаруженных с помощью статистических тестов дополнительных факторов на результаты уравнивания. В качестве одной из мер внешней надежности используется
максимальное значение искажения неизвестного x
грубой ошибкой δ
i-го измерения. Эти меры частично были рассмотрены выше.
i
, вызванное необнаруженной
i
10.4. rp`bmhb`mhe oph m`kh)hh qhqŠel`Šh)eqjhu nxhanj
Проблема заключается в выявлении в процессе уравнивания части систематических ошибок, которые не удалось определить в специальных, предшествующих измерениям исследованиях (например, при эталонировании приборов), или
в случаях, когда эти исследования не выполнялись. Естественно полагать также,
что дисперсии измерений в геодезических сетях, выполняемые эталонированными приборами, уже включают в себя дисперсии исключенных систематических
ошибок.
Обозначим, как и ранее, вектор остаточных систематических ошибок через
c. Очевидно, что полученные в предыдущем разделе формулы будут справедливы,
если вектор грубых ошибок δ заменить вектором c. Тогда из формулы (10.1) сразу
следует, что влияние систематических ошибок на уравненный вектор параметров
х будет таким:
−1
R AP
=
T
,
163
δ
x
и, следовательно, систематические ошибки полностью исключаются при уравнивании (не влияют на вектор х), когда осуществляется условие
T
Pc = 0. (10.28)
A
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
A
i
i
c
y
Оно всегда будет выполняться, если вектор
−1BT
c = P
где В — матрица коэффициентов условных уравнений:
ный вектор. Действительно, подставив выражение (10.9) в (10.8), получим
τ ττ
Pc A PP B d
==
d, (10.29)
r=×1
dd
−1
в силу свойства BA = 0. Формула (10.29) позволяет также
0
— произволь-
прийти к выводу: систематические ошибки исключаются при уравнивании, если
вектор с пропорционален хотя бы одному из столбцов матрицы P
−1BT
(или Bτ при
равноточных и независимых измерениях). Это становится очевидным, если вектор d принят равным одному из столбцов произвольной диагональной матрицы
=
D dd d
{}
12
...
.
r
Приведем несколько примеров, когда систематические ошибки исключаются
при уравнивании. Если принять, что измеренные в сети триангуляции углы в каждом треугольнике имеют одинаковую систематическую ошибку, то на основании
выражения (10.9) она не исказит результаты уравнивания.
В полигонометрическом ходе произвольной формы при постоянном СКО измерения длин сторон σ
выражения для исключающихся в процессе уравнивания
s
систематических ошибок углов и длин сторон в силу (10.29) будут иметь вид:
d
11
1
c
i
ppdp
ββ
=+
cd d
p
где
cos sinαα
s ii
23
i
22
σσ=
/
sββ
η
−
23
iiβ
ρ
′′
i
ρ
′′
;
η
ξ
;
,
— центральные координаты точек хода. Пользуясь произволь-
ностью выбора di, примем
d
i
ηη=
c
β
i
ρ
p
′′
ββ
−=
d
()
ii
2
d
p
;
ξ=+
d
η
i
d d const
=−
32
ξ
i
i
;
(вытянутый ход). Тогда получим:
η
cd
=+
(cos sin )α
si
2
i
i
ξ
i
.
α
i
Отсюда следует:
1. В вытянутом уравненном ходе совместно исключаются любые, но одинако-
вые для всех углов и сторон систематические ошибки c
и cs.
β
2. В ходе произвольной формы уравненные углы не будут искажены система-
тическими ошибками углов, если стороны не содержат систематических ошибок.
3. Если
σσ
si
i
S=
, то имеют место сделанные выше выводы, но с той лишь
0
разницей, что систематические ошибки должны быть пропорциональны длинам
сторон.
Из равенства (10.26) как частный случай следует формула
y AR A P
T=−1
, (10.30)
устанавливающая влияние систематических ошибок на уравненный вектор измерений в модели параметрического способа. При коррелатном уравнивании вектор
будет таким:
δ
δy E Uc=−()
, (10.31)
где матрица
164
U P BN B
T=−−11
. (10.32)
ck`b` 10. dnonkmhŠek|m{e bnopnq{ rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
y
y
y
y
i
⎛
⎞
Нетрудно заметить, что при условии (10.8) или (10.9) вектор
от систематических ошибок. Иными словами, векторы х и
будет свободным
оказываются неиска-
женными. Если же выполняется равенство
, (10.33)
Uc = 0
то, как видно из выражения (10.31), систематические ошибки полностью входят
в уравненный вектор
. Равенство (10.33) означает также, что в этом случае не-
вязки условных уравнений полностью свободны от систематических ошибок.
Действительно, из выражения B(−Δ) + W = 0 (если вектор Δ = с), следует, что W =
BC. Записав условие (10.13) с учетом (10.30) в виде P
это равенство BС = W = 0. Мы приходим к выводу о том, что когда систематические
ошибки максимально искажают уравненные векторы х и
−1BTN−1
BC = 0, получаем именно
, оценка
2
дисперсии
μ
единицы веса наоборот, свободна от влияния систематических ошибок. Это относится и к поправкам
υ
.
На основании формулы (10.24) запишем выражение
c
i
−
l ii iTi
i
−
1
−
1
=
()
c aR A P
1
−
1
, (10.34)
⎜
⎟
c
⎝
⎠
i
позволяющее определить влияние систематических ошибок на свободный член
уравнения поправок i-го избыточного измерения при рекуррентном уравнивании.
В разделе 7.5 приведен пример определения постоянной систематической
ошибки линейных измерений.
cл="= 11
A
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
,
⎝
⎠
opedb`phŠek|mne rp`bmhb`mhe
m`op`bkemhi. b{)hqkemhe ophakhfemm{u
jnnpdhm`Š
11.1. rp`bmhb`mhe rcknb{u hglepemhi m` qŠ`m0hh
Рассмотрим сначала наиболее часто применяемый способ круговых приемов.
В качестве параметров при параметрическом способе уравнивания выберем
угол α между нулевым диаметром лимба теодолита и первым направлением и углы
между i-ым и первым направлением β
Тогда для каждого измеренного направления N
ставить уравнения поправок
v
01=δα
Vv
=+
ii0
δ
αβ
−
и
,
1
или в матричной форме
v
,
1=δα
=+δ
VA E
21
Δ
αβ
;
или V = AΔ, где матрицы
=
⎜
AE
⎝
10
1
T
,
A
11 1=
... .
⎟
⎠
()
Поскольку в рассматриваемой задаче нет избыточных измерений, то все свободные члены
уравнений поправок можно принять равными
нулю и, следовательно, возникает только задача
оценки точности.
Матрицу коэффициентов нормальных уравнений, полагая матрицу весов измерений P = E, представим в виде
T
R AA
==
где матрицы
AA A
+
11 1
⎜
AE
⎝
1
Rn
R
=
,
11
1
11 1=
()
=
⎟
⎠
nA
⎜
AE
⎝
1
...
TT T
По формуле блочного обращения матриц найдем матрицу обратных весов
Q R RRR
уравненного вектора углов
1
−
R
Так как матрица
11
= ,
β
1
то
n
=−
β
RRR
21 11112
166
= Ni − N1 (рис. 1.1).
i−1
×−
()
n111
RR
⎛
1
=
⎜
⎟
RR
⎝
⎠
n1211
×−
()
( ).
22 21 11112
−
1
=
n
⎞
11 12
T
⎟⎟
⎠
12 22
,
RE
=
22
−−
1
11 1
⎛
⎜
11 1
⎜
. .....
⎜
⎜
11 1
в каждом приеме можно со-
i
°
х
О
β
i–1
i
Рис. 11.1
0
α
β
1
β
2
. (11.1)
nn
11
−× −()()
.
nn
1
( )( 11)
...
...
⎞
⎟
⎟
−−
.
⎟
...
⎟
1
2
ck`b` 11. opedb`phŠek|mne rp`bmhb`mhe m`op`bkemhi. b{)hqkemhe ophakhf�mm{u jnnpdhm`Š
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
11 1
Тогда
⎧
⎪
1
⎪
−
1
Q
β
nE
=−
⎨
n
⎪
⎪
⎩
11 1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
...
11 1
...
. .....
11 1
...
⎫
⎞
⎪
⎟
⎪
⎟
⎬
⎟
⎪
⎟
⎪
⎠
⎭⎭
n
−− −
⎛
⎜
11 1
−− −
1
⎜
=
. . ... .
n
⎜
⎜
11 1
−− −
⎝
...
n
...
⎞
⎟
⎟
.
(11.2)
⎟
⎟
...
n
⎠
Искомую матрицу, обратив (11.2) алгебраически, получим такой:
21 1
...
⎜
12 1
⎜
Q
=
β
⎜
⎜
...
. . ... .
11 2
...
Далее находим матрицу
Q R R R QR R
−− −
=+ =
11111112 21 11
α
β
Таким образом, искомая матрица уравненных неизвестных:
11
−− −
⎛
⎜
21 1
⎜
Q
=
α
⎛
⎞
. . . ... .
⎜
⎜
⎟
β
⎝
⎠
⎜
⎟
⎟
.
(11.3)
⎟
⎟
Q R RQ
1
...
11
αβ β
1.
...
−111
=− =−
⎞
×
nn
12
⎟
⎟
. (11.4)
⎟
⎟
2
11 1...
()
, и, наконец, матрицу
Обычно на каждой станции вычисляют так называемые приведенные к нулю
направления N
ние. Тогда всегда N
, вычитая из каждого направления первое (начальное) направле-
0,i
= 0. Возникает вопрос, какой будет после этого матрица об-
0,i
ратных весов приведенных направлений? Для ответа на него составим функции
β
= N
− N
i−1
0,i
0,1
,
матрица обратных весов которых совпадает с (11.3).
Матрица частных производных углов по направлениям N
110 0
−
⎛
⎜
101 0
−
⎜
T =
. . .....
⎜
⎜
100 1
−
...
....
⎞
⎟
⎟
.
⎟
⎟
0,1
и N
будет такой:
0,i
Примем теперь, что приведенные направления, также как и неприведенные,
остались равноточными и некоррелированными с весами p (это необоснованно
оспаривается в некоторых работах из-за того, что из каждого направления вычитается одна и та же случайная величина N
). Если это так, то мы должны получить
1
матрицу
1
Q TQ T
==
β
TT
N
0
TT
p
,
поскольку мы полагаем, что матрица обратных весов приведенных направлений
1
Q
именно матрицу
N
0
E
= .
Приняв вес p = 1 и выполнив перемножение матриц T × T
p
Q
(11.3). Заметим, что матрица
β
при двух направлениях ее можно принять равной
чить, что
= 2.
Q
Тем не менее приходим к выводу, что приведенные направления
β
Q
не единственная, например,
N
0
,
N
0
=
⎜
15 3
2 15
,
Q
T
и также полу-
⎟
, получим
167
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎝
⎠
⎝
⎠
A
⎛
⎝
⎞
⎠
можно рассматривать как непосредственно измеренные с диагональной матрицей весов P = E.
То, что вычисление приведенных направлений не порождает их корреляцию,
легко доказать и иным путем. Для этого напишем уравнение поправок измеренного направления, возникающего на одном и том же пункте триангуляции, в виде
v Al
=− + +δ
ii
v Al
=− + +δ
ii
Δ .
α
α
Результаты уравнивания не изменятся, если его переписать так:
δδ
Δ ,
где
= + =+cl l c
αα
,,
ii
с — постоянная на данном пункте вели-
чина; иными словами, если изменить приближенное значение ориентирующего
угла. В качестве с можно принять любую величину, в том числе первое измерен-
l NN
ное направление (т. е. c = N
). Тогда получим свободный член
1
(αst — дирекционный угол стороны между пунктами s и t), или
N NN
=−
ii
— приведенные к нулю направления. Если принять, что αs = αst, то, оче-
1
=−+ −αα()
i st s i
lN
= −−αα ,
i st s i
1
где
видно, что свободный член для уравнения поправок первого (нулевого) направления, т. е. при
=
,
st
1
li==10
.
NN
Итак, вычисление приведенных направлений есть ни что иное, как изменение значения ориентирующего угла на пункте, что не нарушает строгости окончательного уравнивания сети и приводит к малым значениям свободных членов.
При уравнивании угловых сетей по направлениям (в отличие от уравнивания
по углам) направления имеют смысл измеренных величин только в том случае, если
они одинаково ориентированы. Для этого при параметрическом способе необходимо ввести дополнительный параметр — дирекционный угол α первого (нулевого) направления (ориентирующий угол, его традиционно называют недостаточно
обоснованно дирекционным углом нулевого диаметра лимба) с определением из
уравнивания поправки δα.
Рассмотрим дополнительно случай, когда выполняют замыкание горизонта
(повторное наблюдение направления N
).
1
В этом случае, т. к. все направления не коррелированы, дело сводится к
осреднению измеренных направлений N1, в результате чего вес первого направления становится равным двум (p1 = 2). и матрица R12 = n + 1. Вместо матрицы (11.2), проделав вывод, аналогичный вышеизложенному, получим матрицу:
()
n
−
××−
()
n
1
n
⎛
⎜
11
−−
1
−
1
Q
==
β
⎜
. . ... .
1
n
+
⎜
⎜
11
−−
...
−−11
...
n
...
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
n
n
=
n
+
rr
1
⎛
⎜
⎜
1
⎜
⎜
...
rn r
...
. . ... .
rr
...
⎞
⎟
n
×
⎟
=
⎟
⎟
1
ss
A
+
n
1
Для обращения этой матрицы A алгебраически, применим известную формулу:
br r
...
⎜
rb r
1
−
1
⎜
=
D
⎜
⎜
...
. . ... .
bb r
...
⎟
⎟
,
⎟
⎟
,
где
D rs r b r s= −+
{}
Обращая матрицу при s = n −1, находим
168
и затем искомую матрицу
− = −−( ) ( ), ( )11 1 2 1
.
rn=−1/
,
D nn=− +21
( )/
2
,
b
n
,
n=−+151
ck`b` 11. opedb`phŠek|mne rp`bmhb`mhe m`op`bkemhi. b{)hqkemhe ophakhf�mm{u jnnpdhm`Š
⎛
⎝
⎞
⎠
A
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
31 1
...
⎜
13 1
1
Q
⎜
=
β
2
⎜
⎜
...
. . ... .
11 3
...
⎟
⎟
.
⎟
⎟
Полагая матрицу обратных весов направлений равной теперь
... ,
1
}
по формуле
Q TQ T
=
β
T
получаем матрицу обратных весов углов, со-
N
0
Q
05 1={,
N
0
впадающую с (11.3)
Вновь приходим к выводу, что приведенные направления можно рассматри-
вать как непосредственно измеренные и некоррелированные с матрицей весов
21 1=
P
{}
N
0
... ,
но обычно принимают ей равной P = E, как и при измерениях
без замыкания горизонта, что приводит, строго говоря, к приближенному способу
уравнивания.
Выше мы рассмотрели случай измерения направления только одним приемом.
Но т. к. в различных приемах результаты измерений независимы, то уравнивание
приемов сводится к осреднению значений направлений. Поэтому матрицы обратных весов углов или направлений следует просто умножить на величину 1/m, где
m — число приемов, а весовые матрицы — на величину равную m.
Рассмотрим теперь способ измерения углов во всех комбинациях. Он заключается в измерении отдельных углов между двумя любыми направлениями, число
которых, как и в способе круговых приемов, обозначим через n. Очевидно, что
число таких углов, имеющих левой (начальной) стороной первое направление, будет равно n − 1, второе — n − 2 и т. д. Всего будет n − 1 + n − 2 +. + 1 =
( )! .nC
−=1
В качестве параметров выберем дирекционные углы направлений
in( , ,..., )=12
δδ=−+
vl
i ts
. Тогда уравнения поправок измеренных углов можно записать в виде
, где s и t — номера конечной и начальной стороны угла
iβ αα
(, )st i∈
2
n
α
. При
i
нумерации измеренных углов (рис. 11.2), которой мы будем придерживаться, например, при n = 4, матрица коэффициентов уравнений поправок будет такой:
,
11 00
−
⎛
⎜
10 10
−
⎜
10 01
−
⎜
=
⎜
0 11 0
−
⎜
0 101
−
⎜
⎜
0 0 11
Ее первый столбец относится к дирекционному
углу, принимаемому безошибочным.
Приняв вес измеренного угла равным p
⎞
⎟
⎟
⎟
.
⎟
⎟
⎟
⎟
−
α
,
β
α
1
1
α
2
2
3
4
α
3
5
4
6
получим матрицу коэффициентов нормальных
уравнений RΔα + b = 0 и обратную к ней матрицу
в виде:
()
nn
−× −
11
n
−− −
11 1
⎛
⎜
⎜
Rp
=
β
. . ... .
⎜
⎜
...
n
−−
11
...
n
−
()
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
1
−
1
RQ
==
;
1
α
np
Рис. 11.2
21 1
⎜
⎜
⎜
β
...
...
21
......
⎜
⎟
⎟
.
⎟
⎟
2
169
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
j
⎛
⎝
⎞
⎠
j
211
1
Q
Например, при четырех направлениях и весе pβ = 1 матрица
=
α
В качестве приближенных параметров удобно принять значения
⎜
121
⎜
4
112
()0
α
i
0=
⎟
.
⎟
, что
можно сделать, т. к. все исходные уравнения связи линейные. В этом случае все
свободные члены уравнений поправок, очевидно, будут равны измеренным углам,
= βi. Вектор свободных членов уравнения поправок будет при этом иметь
т. е. l
i
элементы, которые мы запишем в виде (при pβ = 1)
=±
b
ji
. Здесь запись
β
∑
ij
∈
ij∈
означает, что суммируются те углы, которые имеют одну из сторон, совпадающую
со стороной j, а знаки «+» или «−» cтавятся, если эта сторона является конечной
(правой) или начальной (левой) соответственно.
Элементы искомого вектора поправок Δα, совпадающие в нашем случае с
∑
Jn1
α
−
1
β
=
уравненными значениями
1
α
()Σ
jj
n
в которой величина
, (11.5)
b=+
Σ=
−1
, удобно вычислять по формуле
Rb=−
i
. Изложенный способ уравнивания является новым и
весьма удобным для вычислений
Приведем пример уравнивания углов при числе направлений n = 4 и весе
p
= 1.
β
Измеренные углы (в мере DMS) приведены в таблице 11.1.
Вектор свободных членов имеет элементы l
71 458616
−−
⎛
14 5
⎜
b =−
Величина
+−
βββ
246
⎜
++
βββ
⎝
356
Σ=
Дирекционный угол α
⎞
⎟
⎟
⎠
′ ′′
,
−ββ β
⎛
⎜
113 041250
,
=
⎜
18
33 959993,
⎝
,,
=225 32 33 5 225 5426389
= 0, а остальные урав-
1
⎞
⎟
.
⎟
⎠
.
ненные углы, вычисленные по формуле (11.5),
представлены в виде вектора
°
38 31 15 61
⎜
α=
84 38 45 48
⎜
⎜
102 22 32 35
,
′ ′′
",
′
',
′ ′′
⎟
.
⎟
⎟
= βi, а в градусной мере вектор
i
Таблица 11.1
Номера
Углов
Измеренные
углы
1 38 31 15,5
2 84 38 45,0
3 102 22 33,0
4 46 07 30,0
5 63 51 16,5
6 17 43 46,5
Конечно, при всех вычислениях углы следует выражать в градусах или в ра-
дианной мере.
Для вычисления квадратичной формы находим поправки углов по формуле
vl
ii t s i
Квадратичная форма [vv] = 0,854. Число избыточных измерений
== − −
ααβ
T
V
= −−
0 11 0 50 0 61 0 14 0 25 0 36,, , , , ,
()
, которые в секундах представлены в векторе
.
rnn= −+! 1
.
Выше мы рассмотрели обработку только одного приема, Если каждый угол
измерялся m
числить средние значения углов
170
ционных углов будет тогда такой:
приемами, то, как и в способе круговых приемов, необходимо вы-
1
. Матрица обратных весов уравненных дирек-
α
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]