Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 1. nqmnbm{e onm“Šh“
ν
ν
d∆ = m dt.
С учетом симметричности подынтегральной функции выражение (1.7) при-
мет вид:
2
m
= =− =− =− − =
2
2 22
−−→∞−
tttt
2 22
te dt m de m e m m
π
∞∞
22 2
∫∫
π π ππ
000
lim | ( )
t
0
01
2
,
откуда
2
=≈
m =≈
0 80mm,
π
π
νν
1 25,
2
. (1.9)
; (1.8)
Вероятной ошибкой (отклонением) r называется величина, численно равная
половине длины отрезка, симметричного относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна 1/2.
Аналитически эта величина определяется из формулы для интеграла вероят-
ностей Ф(t):
Ф(t = r/m) = Р{|Х − M(Х)| < г} = Р{|Х − М(X)| > г} = 0,5.
Например, из таблиц по значению Ф(t) = 0,5 определяют t = 0,6745. Таким об-
разом,
r ≈ 0,67; m ≈ 1,48. (1.10)
В качестве предельных ошибок измерений ∆
на практике выбирают величи-
пр
ны, определяемые по правилу «2m» и «3m». При этом случайная ошибка не превышает по абсолютному значению пределов, равных 2m и 3m, с вероятностями
соответственно 0,954 и 0,997. Это означает, что в среднем при большом числе испытаний только четыре ошибки из каждой сотни измерений превышают значения
2m и три из каждой 1000−3m. Правила «2m» и «3m» играют очень важную роль,
поскольку позволяют устанавливать допуски в измерениях.
Среднюю квадратическую m, среднюю ν, вероятную r, истинную ∆ и предель-
ную ∆
ошибки называют абсолютными. Под относительной ошибкой понимают
пр
отношение одной из перечисленных выше абсолютных к значению измеренной
величины X; относительную ошибку обычно выражают в виде дроби с числителем, равным единице. Так как на практике истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, его заменяют результатом измерения х.
Знаменатель относительной ошибки и значения абсолютных ошибок целе-
сообразно округлять до двух-трех значащих цифр.
1.4. trmj0hh qkr)`im{u bekh)hm
Пусть имеется произвольная функция
=
Y fXX X
, ,...
()
12
аргументами которой являются случайные величины X
называют «почти линейной», если во всем диапазоне практически возможных
значений аргументов она может быть линеаризована с достаточной для практики
точностью.
Это означает, что
, (1.11)
n
, X2, … , Xn. Эту функцию
1
11
n
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
x
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
f
fX X X fMX MX MX
, ,... , ,...
()
∂
где
f
⎜
∂
X
⎝
чению Х
≈
() () ( )
()
nn
f
∂
=
⎟
⎜
⎟
X
∂
ii
⎠
⎝
⎠
0
, совпадающему с его математическим ожиданием.
i
XiMX
— значение частной производной, вычисленной по зна-
=
()
i
Если математические ожидания M(Х
пользовать приближенные значения
()0
, близкие к M(Хi), например значениям хi,
i
∂
+
⎜
∑
∂
1
i
=
) неизвестны, то вместо них можно ис-
i
X
−−
()
⎟
X
i12 1 2
i
0
полученные в результате измерений.
Математическое ожидание почти линейной функции Y = f(X
числяют по формуле:
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
MXi,
(1.12)
()
1
, X2, … , Xn) вы-
MY fMX MX MX
()=() () ( )
()
, ,...
12
. (1.13)
n
Следует отметить, что формулы (1.12), (1.13) будут совершенно точными, если
функция Y линейна. Для нелинейных функций они являются приближенными.
Используя свойства дисперсии, из (1.12) легко получить формулу для диспер-
сии функции (1.11) при независимых аргументах:
2
⎛
⎞
f
∂
DX
. (1.14)
X
⎟
i
0
()
i
⎜
∂
DY
()
n
=
i
=∑1
Или, заменяя, дисперсии на квадраты средних квадратических ошибок, по-
лучим:
n
2
m
=
∑
yx
1
i
=
2
⎛
∂
⎜
∂
2
⎞
f
x
i
(1.15)
m
.
⎟
i
0
Примеры.
1. Найти средние квадратические ошибки приращений координат, вычисляе-
мых по формулам Δx = S cosα; Δy = S sinα, если длина линии S = 127,00 м, дирекцион-
ный угол α = 32°00’, а ошибки m
Решение. По формуле (1.15), выразив m
= 0,03 м, mα = 1,5’.
S
в радианной мере, выполняем сле-
α
дующие вычисления:
2
2 2 2 22
m mS
=+cos sin ;αα
xSΔ
2 42 6 4
m
0 719 9 10 161 10 0 281 0 19 10 6 5 10 8 6 10= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
, ,, , ,
xΔ
= 0 04,
m
xΔ
− − −−
м.
m
α
2
p
444
15 1 10=⋅
−
,;
2. Угол и вычислен как среднее из n его значений. Найти среднюю квадра-
тическую ошибку m
равна m.
Решение. Так как функция имеет вид
12
∂
⎜
∂
xn
2
m
u
m
u
1
u
=
⎟
i
0
n
1
==
∑
n
i
1
=
m
= .
n
;
m
2
полученного значения угла, если ошибка одного измерения
u
n
u xn
=
i
2
m
2
; (1.16)
n
, то
i
=∑1
ck`b` 1. nqmnbm{e onm“Šh“
⎝
⎠
При решении обратной задачи оценки точности функций — расчете точно-
сти измерений аргументов при заданной средней квадратической ошибке функции — применяют так называемый принцип равных влияний, т. е. требуют, чтобы влияние ошибок измерений на m
было одинаковым. Тогда из формул (1.15) и
u
(1.16) следует:
2
⎛
⎞
∂
u
⎜
m
⎟
∂
x
i
0
2
m
2
u
=
i
,
n
или
m
u
m
=
i
⎛
⎞
u
∂
⎜
⎟
x
∂
i
⎝
⎠
(1.16, а)
.
n
0
3. Горизонтальное положение S определено по формуле S = Dcosν. С какой точ-
ностью должны быть измерены наклонное расстояние D и угол наклона ν, если D ≈
210 м, ν ≈ 10°, a S должно быть получено со средней квадратической ошибкой m
s
0,10 м?
Решение. По формуле (1.15) получим:
2
2 2 2 22
m mD
=+cos sin .νν
SD
m
ν
2
ρ
Применим принцип равных влияний, т. е. потребуем, чтобы влияние ошибок
измерений расстояния D и угла наклона ν на среднюю квадратическую ошибку m
было одного порядка. При этом должно выполняться соотношение:
2
22 2
cos sin ,
m
==
νν
D
m
ρ
2
m
ν
S
2
2
откуда
m
2
D
2
m
S
2
2=cos;ν
2
m
ν
22
ρ
m
S
22
2=sin
D
.
ν
Таким образом;
=
s
m
m
m
m
D
D
D
ν
S
== =
2
cos
0 072
,
==
21013000
ρ
'
m
S
==
sin
2
D
ν
ν
0 10
,
cos
2 10
;
ρ
, '
0 10
⋅⋅
2 210 10
sin
0 072
,
=
м;
66
, '.
Изложим также обобщенный принцип проектирования точности измере-
ний по заданной точности функций, основанной на более общей по сравнению
с (1.16, а) формуле (Маркузе М.Ю. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка.
2001. № 1):
σ
=
σ
x
i
F
n
h
+
2
i
f
∑
i
i
=
1
, (1.16, б)
h
−
i
f
i
13
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
где hi — любой произвольно выбираемый показатель степени. Задаваясь этой величиной, а также заданным значением σ
можно добиться практически необходимых значений точности измерений σ
гументов x
. В справедливости формулы (1.16б) легко убедиться. Действительно,
i
и наличием тех или иных инструмен тов,
F
xi
ар-
подставляя 1.16б) в (1.14), будем иметь:
2
n
22
=
σσ σ σ
()
FF
∑
i
⎛
⎜
=
1
⎝
⎞
f
i
h
+
i
f
i
1
2
n
⎟
−
h
f
⎠
∑
i
=
1
i
n
−
∑
i
h
2
i
f
1
=
;
F
2
==
ii
i
т. е. при любом значении hi будем иметь тождества левых и правых частей. В частных случаях при h
= h = 0 придем к способу равных влияний (1.16а).
i
Для иллюстрации приведем следующий пример, представленный на рисунке:
Р
β
α
S
А
Рассмотрим функцию определения координат межевого знака, полученного
полярным способом, X
X
= 330,00 м,
A
= XA + S cos(α + β), приняв:
P
S = 36,06 м,
β = 33º41′24″,
α = 270º00′00″,
m
= 0,01 м.
xA
Частные производные функций в целях общности в программе вычисляют-
ся численным методом по формуле
.
0Δ
→x
i
fxx x x x fxx x
, , ,,
∂
∂
()
f
x
12 12
≈
i
+
…… …Δ
i in n
−
()
x
Δ
i
Результаты приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
h
, м mS, м mα, сек mβ, сек
m
X
0 0,025 0,041 171,866 171,866
1 0,024 0,032 196,216 196,216
2 0,022 0,071 103,673 103,673
−2
0,043 0,043 43,033 43,033
В данном случае по результатам вычислений можно сделать вывод, что при
заданной точности функции мы получим точность аргументов при h = −2, легко
достигаемую имеющимися приборами.
Необходимо также отметить, что для получения более надежных результа-
тов следует стремиться к тому, чтобы среди частных производных не было особо
малых величин, например, по расстояниям и углам. С этой целью целесообразно
прибегнуть к их выравниванию, умножая на тот или иной коэффициент.
,
cл="= 2
}kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
2.1. nqmnbm{e onm“Šh“ h g`d`)h l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
Результаты измерений и их функции являются случайными величинами, по-
ведение которых описывают законы распределений. Вид и количественные характеристики последних точно не известны, поэтому на практике стремятся подобрать математические модели поведения случайных величин, наиболее точно
и полно отражающие их свойства. Это относится и к законам распределения случайных величин, и к их количественным характеристикам.
В связи с этим возникает ряд задач: задача определения оценок параметров рас-
пределения; задача проверки согласованности используемой модели с опытными
данными, т. е. соответствия распределения вероятностей измеряемых величин некоторым заданным свойствам теоретической модели. Прежде чем рассматривать
данные задачи, рассмотрим понятия генеральной совокупности и выборки из нее.
Под генеральной совокупностью понимают множество всех возможных значений
случайной величины, а под выборкой — множество всех значений x
лученных в результате измерений случайной величины Х. Понятно, что n — количество значений, составляющих выборку (объем выборки), всегда ограничено.
Выборка называется повторной, если ее элементы независимы (например, номер
вынутого из урны шара, если шар возвращен обратно), и бесповторной, если ее
элементы зависимы (например, шар обратно в урну не возвращают).
Представительной (репрезентативной) называют выборку, если ее элементы
выбраны случайно, наугад. Для изучения того или иного явления выборка обязательно должна быть представительной.
При большом n выборку оформляют в виде статистического ряда.
, x2,…, xn, по-
1
Границы интервалов Х1 ÷ Х
Абсолютная частота m
i
Относительная частота Q
i
m
1
Q
1
2
Х2 ÷ Х
m
2
Q
2
3
…
…
…
Х
÷ Х
N
N+1
m
N
Q
N
При этом подсчитывают количество значений mi (абсолютную частоту), при-
ходящихся на каждый i-ый интервал, для которого вычисляют относительную частоту (частость)
Q
= mi / n.
i
Число интервалов N выбирают порядка 10−20, а длины, как правило, одинако-
выми и такими, чтобы m
было не менее пяти.
i
Чаще всего на практике в качестве модели, т. е. теоретического распределе-
ния, выбирают нормальное (в этом случае выполняются все условия центральной
предельной теоремы).
15
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
Эмпирической функцией распределения называют относительную частоту
события, заключающегося в том, что выборочные значения не превосходят некоторого фиксированного x, т. е.
∗
F x QX x
=<
()
()
где К — количество выборочных значений x
K
= .
(2.1)
n
, меньших величины x.
i
Поскольку распределение выборки дискретно, то эмпирической функции
плотности распределения не существует, однако графическим аналогом кривой
плотности распределения является так называемая гистограмма, которую строят
на основе статистического ряда распределения (рис. 2.1), когда выборочные значения сгруппированы по интервалам (x
), (x2,x3) и т. д. Каждый такой интервал
1,x2
представляет собой основание прямоугольника с высотой
m
i
,
−
где (x
h
=
i
nx x
()
+1
ii
− xi) — длина i-го интервала.
i + 1
ϕ(x)
x
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
Рис. 2.1. Гистограмма и кривая выравнивания
Здесь площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте попада-
ния в данный интервал Q
случайной величины в i-й интервал, которая связана с плотностью теоретического
распределения φ(x) соотношением:
x
i
+φ1
()
P x dx
=
i
∫
x
i
.
Геометрически P
ности φ(x) и осью абсцисс в интервале от x
Эмпирическим аналогом кривой плотности теоретического распределения
f(x) является кривая, соединяющая середины верхних сторон прямоугольников.
Теперь вернемся к задаче проверки согласованности выборочных данных с
каким-либо конкретным теоретическим распределением.
. При этом вер. limQi равна Pi — вероятности попадания
i
соответствует площади, образованной между кривой плот-
i
до x
i
i + 1
.
2.2. opnbepj` chonŠeg n p`qopedekemhh. jphŠephh qnck`qh“
Совершенно ясно, что при соответствии выборки и теоретического распре-
деления при большом объеме выборки выборочная функция распределения F
должна быть достаточно близка к функции распределения, рассматриваемой в ка-
16
честве теоретической (гипотетической).
*
(x)
ck`b` 2. }kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
Для сравнения этих результатов строят меру DF отклонения F*(х) от F(х).
Данная мера представляет собой некоторую функцию от выборочного и теоретического распределения и при конкретных значениях выборки принимает конкретное числовое значение, которое и характеризует, значимо ли отличие F
*
(х)
от F(х). Поскольку DF является функцией от выборки, то она случайна и имеет
функцию распределения. Если данное распределение установлено, то можно вычислить вероятности β = P (DF > D), где D — некоторое число. При этом с увеличением D вероятность β = Р(DF > D) уменьшается. Можно установить столь малую
вероятность, что событие DF > D будет практически невозможным, тогда D будет
называться критическим, D
. Зная распределение DF, можно найти величину Dкр,
кр
соответствующую вероятности β, с помощью функции распределения:
F(D
) = P(DF < Dкр) = 1 − P(DF > Dкр) = 1 − β = α.
кр
Выбирают такие меры DF, функции распределения которых известны. Если
для функции распределения F(D) составлены таблицы, то с их помощью по значению α определяют величину D
.
кр
Проверка согласованности выборочных данных с теоретическим распределением, заданным функцией распределения F(х), выполняется следующим образом. По конкретной выборке и F(х) определяют численное значение DF. Если DF
больше D
, то это означает, что произошло практически невозможное событие.
кр
Следовательно, распределение F(х), принятое в качестве гипотетического, значимо
отличается от выборочного распределения, и гипотеза считается опровергнутой.
Если же DF < D
, то считают, что выборочное распределение не противоречит
кр
гипотезе (теоретическому распределению).
При такой проверке вероятность β носит название уровня значимости, а критерий — критерия согласия.
Так как проверку гипотезы, как правило, осуществляют по единственной выборке, то возможны ошибки в ее принятии или опровержении. Действительно,
гипотезу отвергают на основании неравенства DF > D
. Но данное неравенство,
кр
хотя и очень редко, но может выполняться в рамках принятой гипотезы, а именно
с вероятностью β. В математической статистике принято опровержение верной
гипотезы называть ошибкой первого рода, принятие же неверной гипотезы —
ошибкой второго рода.
Чтобы уменьшить возможность ошибок второго рода, в математической статистике делают повторные проверки согласованности распределения выборочных значений с гипотетическим.
Мера отклонения DF может быть определена различными способами. Чаще
всего для проверки гипотез используют критерий согласия χ
2
. Данный критерий
введен К. Пирсоном.
В данном критерии в качестве меры отклонения DF применять величину
−
nP
2
. (2.2)
i
2
-распределению с N−1 степенями свободы.
2
состоит в следующем.
2
больше χ
2
с уровнем значимости β и полученное по
β
2
, то это означает, что произошло практически
β
2
, определяемая по формуле
2
< χ
2
, то ги-
β
N
m nP
()
∑
i
1
=
ii
2
χ
=
К. Пирсон доказал теорему о том, что величина χ
(2.2), при n → ∞ стремится к χ
Критерий согласия χ
Если задано критическое значение χ
формуле (2.2) значение χ
невозможное событие и гипотеза должна быть отвергнута. Если же χ
потеза принимается с уровнем значимости β, что соответствует заштрихованной
области под кривой распределения χ
2
(рис. 2.2).
17
ϕ(χ2)
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
0
Рис. 2.2. Кривая плотности χ2-распределения.
2
χ
β
2
χ
β
кр
2
χ
Заштрихованная площадь численно равна вероятности
22 2
PFχχ χ β
()
=
ββ
1<
=−;
()
не заштрихованная —
22 2
PFχχ χ β
()
В теории ошибок часто задают некоторую критическую вероятность β
2
> χ
2
β
что χ
критическим, по таблицам распределения χ
ность β. Если β больше β
противном случае отвергается.
Обычно β
1>
=−
ββ
. Затем вычисляют значение χ
кр
принимают равной 0,05 или 0,10 или, выражая вероятность в про-
кр
= .
()
, и, следовательно, χ
кр
2
по формуле (2.2) и, полагая это значение
β
2
выбирают соответствующую вероят-
2
2
< χ
β
, то гипотеза принимается, в
βкр
кр
центах, что принято для уровня значимости в математической статистике, β
но 5 или 10 %.
2.3. n0emhb`mhe o`p`leŠpnb p`qopedekemh“
Законы распределения случайных величин и их числовых характеристик на
практике устанавливают на основе опытов, число которых всегда ограничено.
Поэтому необходимо выявить устойчивые признаки, присущие исследуемому явлению, и случайные, проявляющиеся только в конкретной серии наблюдений изза ограниченного объема экспериментальных данных.
Часто по экспериментальным данным требуется определить некоторые приближенные значения параметров распределения, которые называют оценками
параметров. Обычно искомые параметры, характеризующие распределение случайной величины, такие как М (Х), D (X), скошенность Sk (или асимметрии кривой)
и другие, обозначают через а
вестных параметров распределения а
Таким образом, a
*
fi (x1, x2, …, xn).
=
i
а их оценки — через a
i,
является функцией измеренных величин xi.
i
Очевидно, можно подобрать бесчисленное множество оценок, но наилучшими будут те, которые имеют следующие свойства:
− состоятельности вер lim
− несмещенности M(a
− эффективности D(a
*
) = ai;
i
*
) = min.
i
n→∞
*
a
= аi;
i
Оценки, обладающие этими свойствами, называют доброкачественными. Они
являются наилучшими в вероятностном смысле.
18
Существуют три метода нахождения оценок:
*
. Всякая оценка a
i
*
для неиз-
i
того,
рав-
кр
ck`b` 2. }kelemŠ{ l`Šel`Šh)eqjni qŠ`ŠhqŠhjh
− метод моментов, при котором математическое ожидание в формулах для на-
чальных и центральных моментов заменяют на среднее арифметическое;
− метод максимального правдоподобия (подробнее он рассмотрен в следующем
разделе);
− метод наименьших квадратов.
2.3.1. lе2%д м%ме…2%"
Метод моментов разработан К. Пирсоном. Данный метод не всегда приводит
к доброкачественным оценкам параметров. В этом методе используют замену математического ожидания на среднее арифметическое.
Таким образом, в методе моментов для нахождения оценок математического
ожидания используют формулу:
n
∗
MX x
()
==
для дисперсии такой оценкой является
∗
DX
=
()
∑
i
для начальных и центральных моментов:
∗
α
s
∗
μ
s
i
=
∑
n
i
1
=
n
xx
()
=
∑
i
1
=
s
n
x
Символ «*» означает, что оценка получена по опытным данным. Некоторые из
этих оценок, например дисперсии, являются смещенными.
Несмещенной оценкой дисперсии является:
∗
DX
=
()
∑
i
Аналогично получают оценки и для других характеристик законов распределения. Так, для эксцесса
*
*
= (μ
E
/ D*2) − 3;
4
скошенности
*
= μ
S
k*
/ σ*3;
3
где оценки центральных моментов определяют по формуле (2.4).
x
i
∑
n
=
1
i
n
()
1
=
−
i
2
xx
−
i
n
s
(2.4)
n
n
xx
−
()
i
1
n
−
()
=
1
; (2.3)
;
2
.
2.3.2. lе2%д м=*“,м=ль…%г% C!="д%C%д%K,
Основы данного метода были заложены Д. Бернулли и К. Гауссом, но свою законченность он получил в 1912 г. благодаря работам Р.А. Фишера. В данном методе используют законы распределения случайной величины. Метод состоит в следующем.
Пусть имеется ряд измеренных значений x
ции правдоподобия
L
= L(xi, a1, a2,…, aк);
i
, x2,…, xn. По ним составляют функ-
1
19
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
⎝
⎠
совпадающие по виду с плотностью распределения φ(xi), где ai —параметры распределения. При нормальном законе распределения их два: a
В отличие от φ(x
) Li является функцией параметров ai, а не xi. Если все xi неза-
i
= M(X) и a2 = σх2.
1
висимы, то составляют функцию правдоподобия выборки:
n
L LL L L
= ⋅ ⋅⋅ =
... ;
12
∏
ni
=
i
1
после чего находят оценки под условием L = max. Для этого необходимо совместно
решить к уравнений:
dL / da
= 0. (2.5)
i
Удобнее решить систему уравнений для функции lnL:
dlnL / da
= 0. (2.6)
i
Результат будет тот же, что и при решении уравнений (2.5).
Фишер доказал, что оценки, полученные по методу максимального правдоподобия, хотя принцип L = max и не имеет теоретического обоснования, всегда состоятельны и эффективны. При этом они иногда смещенные, но смещение легко
устранимо.
Пусть даны n измерений x
, x2,…, xn одной и той же величины. Требуется по-
1
лучить оценки математического ожидания и дисперсии величины X. Так как измеряемые величины подчиняются нормальному распределению с параметрами
М(Х), σх, то функция правдоподобия для одного измерения имеет вид:
2
n
−
xa
()
i
1
∑
L
1
=
i
π
2
a
2
a
2
i
=
1
e
2
;
для всей выборки
n
−
2
()
−
∑
=
i
1
e
i
1
2
a
2
.
n
1
⎞
⎛
La
=
⎜
2
⎟
π
2
2
n
−
xa
В результате логарифмирования функция правдоподобия преобразуется к
виду:
ln ln lnLn
=− ⋅
()
n
2
a
()
2
−⋅
2
π
()
n
xa
()
∑
1
i
=
−
2
−
1
i
2
a
.
2
Решение двух уравнений
dlnL / da
= 0; dlnL / da2 = 0
1
приводит к следующим выражениям
n
2
xa
⋅−
()
∑
∂
ln
L
=
()
∂
a
1
∂
ln
∂
a
20
22
−
L
=
()
22
i
1
i
=
2
−
a
2
n
()
∑
n
1
i
=
+
a
1
(2.7)
;
2
xa
−
1
i
a
(2.8)
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]