Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
A
V
T
V PV
σ
2
χ
= /
2
0
Это свойство используют для проверки ряда статистических критериев и построения доверительного интервала для
Докажем, что квадратичная форма
2
μ
r
r
σ
и
2
=
χ
. (4.37)
r
2
0
2
σ
.
0
Φ= =V SVTmin
. Для этого необходимо най-
ти экстремум функции Φ. С этой целью следует составить и решить уравнение
∂
∂∂∂
ΦΔΦ
=
∂
∂
ΔxVVx
.
=
0
Так как частные производные
∂
∂
Φ
=
VS
2
∂
V
V
T
=
,
∂
,
xAΔ
то приходим к уравнению
20V SAT=
или
SVT= 0
С учетом (4.16) получаем нормальное уравнение
щее с (4.13). Следовательно, если вектор
условие
Φ=min
. Можно доказать, что
что возможно неравенство
TT T
ΦΔ== +V SV V SA x V SL
T
Φ=V SL
. (4.39)
. (4.38)
Rx bΔ+ =0
−1
, то будет справедливым
TT
≤
или что
V SV V P
TT
V PV V PV
V SV V SV
≤
Δx Rb=−
TT
. Заметим, что квадратичная форма
, или с учетом (4.38):
, совпадаю-
≤
, так
Рассмотрим теперь задачу оценки точности функций уравненного вектора неизвестных, записав их в виде вектор — функции
F Fx= ( ).
Тогда, применяя обобщенную теорему оценки точности, получим матрицу обратных весов
= ,
T
f
Fx
∂∂()
=
−1
QR=
,
x
.
Q fQf
F
где матрицы
При небольшом числе оцениваемых функций целесообразна иная форма вычислений, не требующая обращения обратной матрицы Q.
Введем обозначение
T
= −η
,
T
η+ = 0.
Rf
Матрицу η, а при одной функции вектор, можно
T
f
.
Тогда матрица
1
=−[ ].η
P
f
F
Q fQf f
F
При решении уравнений по схе-
1
fk
=− ⋅
[]
1
+
P
k
F
T
= =− η
f
где
,
k +=1
. При
0.
Qf
откуда следует, что
получить, решая систему нормальных уравнений с дополнительными векторами
свободных членов — столбцов матрицы
одной функции будем иметь формулу
ме Гаусса (см. раздел 4.5) получим алгоритм Гаусса
В заключение этого раздела приведем более обоснованный вывод матрицы
обратных весов неизвестных (при матрице S = P), полагая вектор X
(0)
случайным.
61
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
A
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
x
.
Действительно, как правило, его получают по необходимым измерениям, например,
последовательным вычислением координат пунктов по не уравненным углам в сети
триангуляции, т. е. он является функцией вектора необходимых измерений y
Обозначим матрицу обратных весов вычисленного таким образом вектора X
через Q0. Исходную систему связи, рассматривая вектор X
(0)
как непосредственно
измеренный, необходимо теперь записать в виде
Y
= X и Y2 = φ2(X).
X
Матрица частных производных этих функций
−01
Q
P
=
⎜
⎝
0
.
Поэтому матрица
⎟
P
0
⎠
2
T
R A PA Q R
= =+
−01
(4.40)
.
2
Приняв в качестве приближенного вектора вектор X
E
=
, а матрица весов
⎜
⎟
A
⎝
⎠
2
(0),
вычисленный по век-
тору необходимых измерений, получим вектор
L
=
0
()
⎜
⎝
0
Xy
ϕ ()
2
.
(4.41)
⎟
−
⎠
2
Составим теперь вектор
()0
X
Z
=
⎜
⎝
⎟
y
⎠
2
с матрицей его обратных весов
Q
Z
⎜
0
⎝
Так как вектор свободных членов
изводных, преобразующая векторы X
0
E
T
=
⎜
AE
⎝
Q TQ T
⎟
−
⎠
2
==
()0
⎛
⎞
X
⎜
⎟
L
⎝
⎠
2
Уравненный вектор запишем в виде
Матрицу преобразования векторов X
T E R AP
=−
()
−1
жения матриц в виде
Заменяя в этой формуле матрицу R
.
−
1
⎟
P
⎠
2
L Xy
.
Поэтому матрица
Z
T
22
T
0 02
⎜
AQ P AQ A
⎝
20 21202
Тогда найдем искомую матрицу
Q Q RRQ RRR RRQRR
=− + +
0
x
Q QA
T
−
+
2 .
T
− −−− −
1
20
2
()
=−ϕ (),
22
(0)
и y2 в векторы X
. (4.42)
⎟
⎠
в виде
0
X Rb=−
(0)
и b2 в вектор x получим равной
1211
R RQ
20
то матрица частных про-
2
−(),01
2
Q TQ T
x
=−−,
(0)
и L2, будет такой:
где вектор
=
⎛
X
⎜
⎝
2 02
1
что следует из (4.40), и
b A PL
T
после перемно-
()0
⎞
⎟
b
⎠
2
1
T
=
2 2 22
0
Q
0
=
опуская простые преобразования, окончательно получим, что
QR
=−1.
x
Как видно, получен тот же результат, как и при выводе, когда вектор X
принят неслучайным. Объяснение этого заключается в том, что в обоих случаях
матрицы R совпадают и равны
RRR=+
,
поскольку матрицу
12
ляемую только по необходимым измерениям, можно принять равной
Но существуют задачи [12], когда вектор X
62
Приведем одну из них.
(0)
следует считать случайным.
T
=
R A PA
1 1 11
Q
, состав-
1−
.
0
1
(0)
.
(0)
.
был
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
l
,
l
,
l
⎛
⎝
⎞
⎠
A
Из формулы (4.41) следует, что в этом случае матрица обратных весов век-
()
тора L2 будет такой:
T
= ,
b A PL
2 2 22
то матрица обратных весов
1
=+−.
Q P AQA
L
2
2
202
T
Так как вектор
Q A P P AQ A PA
TT
=+
b
22 21202 22
2
L Xy
=−ϕ (),
22
−
( ),
0
а вектор:
2
или после пе-
ремножения матриц
=+ =+−.
Q RRQR RRRR
b
2202 22112
2
(4.43)
Приведем простой пример. Пусть в нивелирном ходе (рис 4.1) отметка ре-
01()
X Xy
пера 1 вычислена по секции 1, т. е.
()
0
X Xy
= −+
R23=
( ).
B21
и
= = + =+ =
Q Q R RR R
bb
2
2
Вектор
2 2112
b pl=
22
−
3 9 2 75/ .,
.
Если веса p
ошибочной в этом случае формуле (4.24)
X X yy
= − +−( ),
что
ный вес
1
−−
p Q pp
bb l
BA2 12
1
− −−
=+= + =/ / /.
p pp
112
l
2
= = =⋅ =
21
9 5 6 75/,
2
2
по формуле обратного веса функции получим обрат-
1
12 13 56
, к чему приводит и формула (4.43).
=+
. Тогда свободные члены
A1
= 2 и p2 = 3, то находим
1
тогда как по полученной ранее и
QR
==5.
b
Теперь для функции
Подтвердим это. Учитывая,
=
b pl
2 22
обратный вес
Формула (4.43) может быть применена для контроля грубых ошибок измерений и исходных данных.
1
А
2
В
1
Рис. 4.1
Показать самостоятельно, что в нивелирной сети (рис. 4.2) с весами превышений p
= 1, если отметки
i
22
Q
=
b
⎜
2 10
.
⎟
0()
X
1
0()
и
вычислены по ходам 1 и 3, матрица
X
2
0=
1
2=
R
1
1
4
3
1
2
Рис. 4.2
2
5
4.4. bhd{ rp`bmemhi onop`bnj
1. Многократные измерения одной и той же величины.
В этом случае исходная система связи Y = φ(X) имеет самый простой вид (см.
раздел 3.3):
Y
= X.
i
Здесь i = 1, 2.. n, где n — число измерений.
Поэтому размера n × 1 (k = 1) матрица коэффициентов уравнений поправок
=
11 1...
()
T
.
63
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
i
Приняв в качестве приближенного значения параметра X
чение измеренных величин, получим свободные члены уравнений поправок v
=δx + l
l
i
:
i
= X
(0) −
yi = −ε
i.
(0)
минимальное зна-
=
i
Для случая неравноточных независимых измерений (матрица P — диагональная) получим матрицу коэффициентов нормальных уравнений
T
R = A
PA = [p]
.
Вектор свободных членов b = ATPL = [pε]. Нормальное уравнение [p]δx − [pε] =
= 0 приводит к решению δx = [pε] / [p] и к уравненному неизвестному x = X
(0)
+ + δx,
которое в теории ошибок называют общей арифметической срединой.
На основании леммы Гаусса A
тичной формы Ф = [pvv] = L
T
PL + bTΔx получим формулу Ф = [pε2] − [pε] / [p].
Так как матрица обратных весов Q
p
= 1/[p], то для среднего квадратического отклонения общей арифметической
x
T
PV = 0 получим равенство [pv] = 0. Для квадра-
= R−1, или в нашем случае обратный вес 1/
x
средины получим формулу
σσ
x
σ
— принятое при вычислении весов pi измерений среднее квадратическое
где
0
,
0
p
[]
1
=
отклонение единицы веса.
Оценкой для σ
[]
pvv
μ=
,
(4.44)
−
n 1
будет средняя квадратическая ошибка m x = μ
x
[]p
1
, где
— средняя квадратическая ошибка единицы веса, вычисляемая по формуле
Бесселя.
Простая арифметическая средина является частным случаем рассмотренной
задачи, когда все веса р
Величину
σ
при достаточно большом n (n > 6) заменяют ее оценкой μ по той
0
причине, что при вычислении весов измерений по теоретической формуле
дисперсии результатов измерений
веса можно назначить и не зная дисперсий, полагая величину
величин
2
σ
.
i
Во многих случаях веса вычисляют по приближенной формуле
m
— надежно известные средние квадратические ошибки измерений. Величина
i
σ
также оценивается по формуле (4.44).
0
= 1. В этом случае [p] = n.
i
2
σ
, как правило, неизвестны. Но в ряде случаев
i
p
i
2
σ
равной одной из
0
22
pm
=σ
/
ii
0
σ
=
σ
, где
2
0
2
i
2. Aппроксимация функций полиномом.
Пусть имеем функцию
y a ax ax a x
= + + ++
01 2
2
...
m
.
m
Требуется по результатам n>m измерений величин y и x определить коэффициенты полинома
a
(их число k = m+1). Приняв приближенные значения всех параметров равными
j
64
нулю, получим уравнения поправок:
. В этом случае искомыми параметрами являются величины
a
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
l
v a ax ax a x y
= + + ++ −
i i i mimi
01 2
(свободные члены l
i-ая строка a
2
...
= −yi).
i
матрицы А имеет вид
i
a xx x
=
1
()
i ii i
2
...
m
. Теперь неслож-
но составить и решить систему m + 1 нормальных уравнений.
Степень полинома обычно увеличивают постепенно, начиная с m = 1. Необходимость увеличивать степень решают сравнивая с применением соответствующего статистического критерия два соседних значения квадратичных форм
2
[v
]
и [v2]m.
m−1
3. Уравнивание нивелирных сетей.
Исходные уравнения связи для хода, проложенного от репера s к t, имеют простой и линейный вид:
YXX
=−.
i ts
Поэтому уравнения поправок будут такими:
=−+δδ ,
v x xl
i t si
(4.45)
где свободные члены
() ()
00
xxy
=−−
it s i
.
Как видно, строки матрицы коэффициентов уравнений поправок имеют все
элементы равные нулю, кроме двух равных −1 в столбце s и 1 в столбце t. Это позволяет составить матрицу коэффициентов нормальных уравнений по простым
правилам, которые следуют из (4.19) и (4.20). Ее диагональные элементы
Rp
=
,
∑
ss i
is
∈
а недиагональные
Rp
=−
st i
Здесь и далее знак
∈∑,
i st
.
i st∈ ,
означает суммирование весов pi тех ходов, которые
принадлежат реперам (узловым точкам) с номерами s и t.
Точно так же вектор свободных членов нормальных уравнений имеет элементы
b pl
=±
∑
s ii
is
,
∈
причем знак «+» ставится, если ход входит в узел, а «−», если выходит из него.
Такой способ уравнивания называют способом узлов.
Например, для сети на рис. 4.3 матрица
pppp pp
+++ −−
⎛
1234 34
R
=
⎜
⎝
Вектор
pl pl pl pl
⎛
11 2 2 3 3 4 4
b
=
⎜
pl pl pl pl
⎝
33 4 4 55 66
pppp
+−+
−++
+++
3456
⎞
.
⎟
⎠
⎞
.
⎟
⎠
Обычно исходные точки не нумеруются, но если уравнивание выполняется с
учетом ошибок исходных данных и их нумерация — компьютерной программой
автоматически по именам точек с указанием оператора какую точку занумеровать
65
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
,
l
l
⎛
⎞
A
l
l
первой, то исходные точки также нумеруются и их отметкам приписываются веса,
например
p
s
8
= 10
если исходные точки принимаются безошибочными. Тогда для
исходных точек
R pp
=+
∑
ss i s
is
∈
1
2
(см. раздел 8.1).
1
5
3
2
6
4
Рис. 4.3
4. Уравнивание плановых геодезических сетей.
В этом случае возникают для измеренных прямых и обратных направлений
следующие виды исходных уравнений связи:
=−αα
Y
s st s
и
Y
t ts t
=−αα
между ис-
тинными значениями направлений на пунктах s и t, дирекционными углами сторон и ориентирующих углов (дирекционных углов нулевого диаметра лимба).
Тогда уравнения поправок будут такими:
vl
= −−δα δα
i st s i
.
vl
= −−δα δα
i ts t i
соответственно для измеренных прямых
та s на t или с пункта t на s направлений. Свободные члены этих уравнений
=−−αα
i st s
o
() ()0
=−−αα
и
N
i ts t
s
o
() ()
0
(4.46)
NN
=
i st
N
.
t
или обратных
NN
=
с пунк-
i ts
Линейные уравнения поправок могут быть использованы для предварительного уравнивания угловых измерений или для уравнивания ориентирных сетей.
Для окончательного уравнивания плановых сетей поправки дирекционных
углов сторон следует выразить через поправки координат пунктов исходя из фор-
() ()
00
YY
−
мулы
arctg
α
=
st
ts
() ()
00
⎜
XX
−
⎝
ts
, после дифференцирования которой по координатам
⎟
⎠
получим уравнения поправок:
=− + − +δα Δ Δ ;
v AAl
i s i s it i
v AAl
=− + − +δα Δ Δ ,
i t is it
(4.47)
(4.48)
где δα — поправки к приближенным значениям ориентирующих углов на пунктах
s или t, вычисленные по приближенным координатам этих пунктов. Векторы
∆
= (δxs δxs)T, ∆t = (δyt δyt)T;
s
ρ
матрица
().0
−−α
t ts
=−
i
()
0
S
i
N
Если составить функции z+ = N
66
коррелированных прямых и обратных направлениях несложно получить, что z
() ()
00
αα
(sin cos )
ii
; свободные члены
+ Nts и z− = Nst − Nts, то при равноточных и не-
st
() ()00
=−−αα
i st s st
N
,
=−α
i st
()0
+
и
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
z− будут равноточными с весом p+= p− = 0,5 pN функциями (см. раздел 11.1). Тогда
уравнения поправок (4.47) и (4.48) можно написать в виде
−−
vl
=− + +δα δα ,
i s ti
++
v A Al
=− − + − +δα δα 22ΔΔ.
i s t is t i
(4.49)
(4.50)
Как видно, уравнение (4.49) не содержит поправок координат, что позволит
выполнить уравнивание измеренных направлений с вычислением только ориентирующих углов на всех пунктах, контролем и поиском грубых ошибок с предварительной оценкой точности угловых измерений. Заметим также, что уравнения
такого же вида возникают при уравнивании нивелирных сетей, причем роль измеренного превышения между двумя марками играет величина N
− Nts − 180°.
st
Уравнения поправок для сплошных направлений вдоль сторон с измеренными
дирекционными углами запишем в виде v
принимаются безошибочным, то δα
= −δαs + δαst + li (если дирекционные углы
i
= 0). Они аналогичны уравнениям поправок,
st
составляемым для нивелирных ходов, привязывающих сеть к реперам с исходными отметками. К ним следует присоединить еще уравнения v
= δα
+ li, составляе-
i
st.
мые для измеренных дирекционных углов, и уравнения поправок для односторонних направлений v
= −δαs + δαst + li, которые аналогичны уравнению поправок для
i
висячего нивелирного хода, включающего в сеть новое неизвестное — в нашем
случае дирекционный угол α
.
st
Предварительное уравнивание можно выполнить как с включением в качестве неизвестных измеренных дирекционных углов сторон, так и без них, т. е.
только с определением ориентирующих углов на всех пунктах. Односторонние
направления включать в предварительное уравнивание нецелесообразно.
При окончательном уравнивании необходимо составить еще уравнения поправок для измеренных длин сторон и измеренных дирекционных углов, которые
C
имеют вид соответственно v
= −Ci ∆s + C∆t + li, с матрицей
i
рое получается дифференцированием функции
S X X YY
= − +−( )( )
= (cos sin )
i ii
t s ts
() ()
00
αα
22
, кото-
, и
vi = Ai∆s − Ai∆t + li. (4.51)
Систему нормальных уравнений также можно формировать по способу узлов,
но в этом случае суммируются не веса, а, согласно (4.21), матрицы
R pC C
=
i iiTi
порядка 2.
=
R pA A
i iiTi
или
Если уравнивание выполняется по углам, то уравнения поправок для них составляются как разности уравнений поправок для направлений, разность которых
и составляет угол.
При уравнивании базисных векторов (BaseLine) в сети GPS уравнения поправок для измеренных величин ∆X, ∆Y, ∆Z имеют такой же вид, как и (4.45), и составляются они по каждой из трех осей координат с поправками δx, δy и δz вместо
поправок δα.
4.5. leŠnd c`rqq` pexemh“ mnpl`k|m{u rp`bmemhi
Приведем теорию этого метода, основанного на последовательном исключении из уравнений всех неизвестных, в нетрадиционном изложении.
Пусть имеем систему нормальных уравнений
Rx + b = 0, (4.52)
67
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎠
в которой вектор Δx заменен вектором x. Для дальнейших выводов матрицу ее коэффициентов обозначим через R
RR
=
R
1
⎜
⎝
где блок R
11 12
RR
21 22
имеет порядок, равный 1, а блок R22 порядок k − 1.
11
,
⎟
⎠
и представим ее в блочном виде
1
Далее, вспоминая формулу блочного обращения матриц
TT
1
−
R
1
QQ
⎛
1
=
⎜
QQ
⎝
11 12
21 22
−
ξ ξξ
+
RQ Q
⎞
11
=
⎟
⎜
⎠
⎝
22 22
ξ
QQ
22 22
,
(4.53)
⎟
⎠
имеем матрицы:
T
−111
RR=−
ξ
−−
Q RRRRRR P
=− =+ =ξ .
22122 21 11112 22 21 2
(4.54)
12,
T
(4.55)
Теперь матрицу R
RR
R
где блок R
11 12
=
2
⎜
RR
⎝
21 22
также имеет порядок 1, а блок R22 — порядок, равный k − 2.
11
= P2 также представим в виде
2
;
⎟
⎠
Поступая подобным образом для последнего пункта, получим матрицу R
и обратный вес последнего неизвестного Q
= Qk.
22
Приведем пример для нивелирной сети (рис. 4.4) с весами измеренных превышений p
= 1 и с безошибочными исходными реперами 1 и 7.
i
3
2
2
.
5
6
4
1
.
3
2
2
4
5
2
1
.
2
-
6
3
.
3
0
9
1
4
-
2
.
4
4
7
5
1
Х1=1.200
6.
0
5
6
2
3
Рис. 4.4
6
8
0
.
5
6
6
.
3
9
0
5
7
4
7
4
0
6
.
9
5
= P2
2
68
Для этой сети матрица
−
20 1 0 0
RP=
⎛
⎜
⎜
⎜
−−
3 1 10
30 1
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
−
=
⎟
⎟
−
31
⎟
.
1
3
Теперь по формуле (4.55), учитывая, что
ем матрицу:
T
2 0 050000= =−,( , )ξ
R
11
, получа-
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
x
x
⎝
⎠
3 1 10
−−
⎛
⎜
,
25 0 1
⎜
P
=
2
⎜
⎜
⎞
⎟
−
⎟
31
.
−
⎟
⎟
3
R
При
11
2 167 0 333 1
⎛
⎜
P
=
3
⎜
T
3 0 333 0 333 0= =− −
,,,ξ
()
,,
−−
,.
2 667 1
−
будем иметь матрицу:
⎞
⎟
⎟
3
Далее, действуя аналогично, получаем матрицы
,,
2 616 1 154
⎛
=
P
4
⎜
Обратный вес последнего неизвестного
−
,
2 538
⎞
, и наконец
⎟
P
2 030= ,
5
.
1 2 029 0 493==/, ,
Q
6
.
Покажем теперь, как вычислять неизвестные.
При каждом формировании матрицы R
−
TT
x
⎛
1
−
⎜
x
⎝
2
⎞
−
1
Rb
==
1
⎟
⎠
1
RQ Q
+
ξ ξξ
11
⎜
⎝
22 22
QQ
ξ
22 22
⎟
⎠
, очевидно, справедливо выражение
s
−
b
⎛
×
⎜
b
⎝
Rb Q b Qb
⎞
1
2
1111 22 1 22 2
=
⎟⎟
⎜
⎠
⎝
TT
++
ξξξ
+
QbQb
ξ
22 1 22 2
.
⎟
⎠
Из него следует, что вектор
=− − + =− +
1 1111 22 2 1 11112
ξξ ξ()
, (4. 56)
TT
−−
Rb Q b b Rb x
т. к. вектор
Qb b
=− +( ).ξ
2 22 2 1
Как видно, вектор b
(4.57)
преобразуется точно также, как и матрицы P. Эти пре-
2
образования можно выполнить одновременно, если оперировать окаймленными
свободными членами матрицами P.
Для нашей сети при выписанных на рис. 4.4 превышениях по необходимым
ходам 1, 2, 3, 5 и 6 вычисляем вектор
()
0
X
,,,,,
3 764 7 256 5 086 4 809 8 395=
()
и вектор свободных членов
T
L
= − −−
0 0 0 0 045 0 0 0 079 0 040 0 073, , , ,.
()
T
Величина [pll] = 0,0152.
Тогда вектор свободных членов
T
b
=− −
0 0 045 0 045 0 119 0 152, , , ,.
()
При вычислении на компьютере нет необходимости хранить в оперативной
памяти все матрицы P
полученные выше. Как видно, достаточно строки исходной
i,
матрицы заменять первыми строками этих матриц, т. е. вместо матрицы R в конце
счета будем иметь преобразованную треугольную матрицу
20 1 0 0 0
⎛
⎜
⎜
⎜
R =
⎜
⎜
⎜
⎜
−
−−
3 1 1 0 0 045
2 167 0 333 1 0 030
− −−
,, ,
2 616 1 154 0 129
, ,,
−
20
, 330 0 109
,
,
−
,
0 00188
⎞
⎟
⎟
⎟
.
(4.58)
⎟
⎟
⎟
⎟
69
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
В выражении (4.58) величина 0,00188 есть квадратичная форма.
Для вычисления неизвестных и обращения матрицы понадобятся еще матри-
цы ξ для каждого пункта, окаймленные элементами преобразуемого вектора свободных членов в виде матрицы
0 0 500 0 0 0
,
Ξ=
⎜
0 333 0 333 0 0 015
,, ,
⎜
⎜
⎜
⎜
0 154 0 462 0 0138
,, ,
0 441 0 0495
,,
−
−
0
Для вычисления обратной матрицы Q = R
,00536
⎟
⎟
.
⎟
(4.59)
⎟
⎟
−1
воспользуемся первой полосой ма-
трицы (4.53), которую перепишем теперь в виде
Q QQ
=+ξ,
s s st
где для каждого пункта s матрица
T
=ξ
QQ
ts
— уже вычисленный блок матрицы Q. В результате получаем новую строку
Q
22
матрицы, равную
(4.60)
−111
QR
, (4.61)
22
QQ
()
s st
.
, матрица — строка
=
s
Поясним теперь вычисление обратной матрицы.
Так как для пункта 6 уже получен обратный вес Q
муле (4.61) вычисляем
0 382 0 441 0 217 0 478= +⋅=, , , ,.
Q
5
=⋅=0 441 0 493 0 217,, ,
Q
st
Таким образом, будем иметь уже вычисленный
, а по формуле (4.60) находим
= 0,493, то по фор-
6
блок
,,
0 478 0 217
=
Q
22
⎜
0 493
.
⎟
,
Для следующего пункта s = 4 получаем
QQ
=
0 154 0 462 0 174 0 261
,, ,,,
()
st
и
Q
0 461 0 174 0 261
4
Матрица
,,,
0 609 0 174 0 261
⎜
Q
=
22
⎜
Такой способ вычислений аналогичен известному способу Ганзена.
Действуя подобным образом, получим окончательно обратную матрицу, при-
вееденную в таблице 4.2, а.
После вычисления каждой строки выполняется контроль R
Все эти вычисления удобно располагать в виде так называемой схемы Гаусса
(таблица 4.2).
C целью контроля вычислений, если они вычисляются вручную, составим
суммарный столбец
70
Re + b = s. (4.62)
Здесь s — суммарный вектор, а e — единичный (суммирующий) вектор.
×=
()
,,,.
0 478 0 217
()
22
,
×
0 154
⎜
0 462
=, ,,
,.
0 609=+
⎟
,
⎟
⎟
0 493
jQj
= 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]