Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
x
x
6. t 3
этом векторы
совпадать, что является контролем решения задачи.
На основании изложенного алгоритма решим актуальную сегодня задачу
вставки старых наземных сетей в обновленные с помощью GPS пункты каркасных построений.
Пусть имеется участок плановой сети, уравненные координаты которой получены ранее (старая сеть) и требуется обновить эти координаты, имея новые
координаты ее некоторых пунктов (идентичных), полученные с помощью GPS
и некоторых современных дополнительных измерений. Если бы были известны
старые измерения, то задача обновления могла быть решена просто как задача
уравнивания с учетом ошибок исходных данных. Однако, как правило, такие измерения отсутствуют. В этом случае, на наш взгляд, единственным теоретически
обоснованным способом решения задачи является следующий.
Полагая, что возможно восстановить, хотя бы приближенно, схему построения старой сети (включая также и идентичные пункты) по координатам
старых пунктов, можно получить все раннее выполненные измерения (не искажая их случайными ошибками) и выполнить уравнивание этой сети c учетом
точности старых измерений с целью вычисления матрицы обратных весов всех
пунктов. Уравнивание этой сети следует выполнить как свободной с фиксацией
минимально числа исходных координат. Очевидно, что при таком уравнивании
старые координаты не будут искажены ошибками измерений и могут быть получены в любой произвольной системе координат, зависящей от принятой фиксации.
После этого следует вставить уравненную таким образом старую сеть в новую систему координат, определяемую уточненными координатами идентичных
пунктов. Заметим, что аналогичная задача возникает при преобразовании пространственных координат X, Y, Z пунктов GPS в ту или иную систему координат
наземных пунктов также по координатам идентичных пунктов x, y, H. (см. раздел 13.3).
Применим изложенный алгоритм к решению этой задачи.
и подвектор
исх.
, относящийся к идентичным пунктам, должны
Φ
3. t 2
2.t1
9.t5
1.P1
5.P3
4.P2
8.P4
7. t 4
11.t8
10.t6 12.t7
Рис. 13.1
На рис. 13.1 приведена модельная полигонометрическая сеть без угловой привязки, включающая 8 каркасных и 12 пунктов в старой системе координат.
В таблице 13.1 в первых 1−5 столбцах приведены имена пунктов, координаты
каркасных пунктов, их СКО, а в последних двух столбцах — координаты пунктов
старой сети.
221
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
Таблица 13.1
Имена
пунктов
XYσ
X
σ
Y
XY
T1 400,000 0,000 0,005 0,005 400,012 0,007
P1 400,007 200,020
T2 600,000 200,000 599,981 200,025
P2 399,975 400,017
T3 600,000 400,000 600,018 400,025
T4 400,000 600,000 400,011 600,009
T5 200,000 0,000 199,975 0,020
P3 199,981 200,006
P4 200,004 400,009
T8 200,000 600,000 200,025 600,000
T6 0,000 200,005 0,019 200,005
T7 0,000 400,000 0,029 400,030
В таблице 13.2 приведены уравненные результаты измерений, смоделированные по координатам пунктов старой сети при СКО направлений σ
длин сторон σ
= 0,01 м.
s
= 5′′ и СКО
N
В ней в столбце ПРИЗНАК приведены принятые в программе переменные:
0 и 1 — соответственно для сплошных и односторонних направлений, 3 — для измеренных длин сторон.
Таблица 13.2
№№ Между пунктами Признак Измерение
222
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.p1 −2. t1
−2.t1
−3.t2
−3.t2
−4.p2
−4.p2
−5.p3
−5.p3
4.p2 −1.p1
−6.t3
−6.t3
−7.t4
−7.t4
−8.p4
−8.p4
5.p3 −1.p1
−8.p4
−8.p4
−9.t5
−9.t5
−10.t6
−10.t6
1 0 00 00
3 200,013
1 90 00 00
3 199,974
0 180 00 27,8
3 199,997
0 270 00 09,3
3 200,026
0 0 00 00
1 89 59 35,2
3 200,043
1 179 58 49,9
3 199,992
0 269 59 35,2
3 199,971
0 0 00 00
0 89 59 21,8
3 200,003
1 269 59 39,4
3 199,986
1 179 59 46,6
3 199,962
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
m
23
24
25
26
27
28
8.p4 −4.p2
−5.p3
−11.t8
−11.t8
−12.t7
−12.t7
0 0 00 00
0 269 59 28,0
1 89 59 30,1
3 199.991
1 179 59 30,1
3 199,975
Таблицы 13.3 и 13.4 содержат результаты уравнивания старой сети и результа-
ты ее вставки в каркасную сеть.
Таблица 13.3
№ пункта
x y Mx My M
1. p1 400.007 200.020 .0100 .0010 .0141
2. t1 400.012 0.007 .0100 .0141 .0173
3. t2 599.981 200.025 .0141 .0186 .0233
4. p2 399.975 400.017 .0233 .0126 .0265
5. p3 199.981 200.006 .0126 .0185 .0224
6. t3 600.018 400.025 .0253. 0214. 0331
7. t4 400.011 600.009 .0387 .0161 .0419
8. p4 200.004 400.009 .0243 .0198 .0313
9. t5 199.975 0.020 .0160 .0210 .0264
10. t6 0.019 200.005 .0161 .0332 .0369
11. t8 200.025 600.000 .0396 .0222 .0454
12. t7 0.029 400.030 .0263 .0342 .0431
Таблица 13.4
№ пункта
X Y Mx My M
1. p1 400.000 200.007 .0042 .0042 .0060
2. t1 400.002
−0.001
.0043 . 0045 .0062
3. t2 599.995 200.005 .0045 .0043 .0063
4. p2 399.967 400.000 .0042 .0039 .0058
5. p3 199.979 199.993 .0042 .0042 .0060
6. t3 600.001 400.002. 0037 .0028 .0047
7. t4 400.002 599.999 .0043 .0037 .0057
8. p4 199.992 399.990 .0041 .0042 .0059
9. t5 199.989 0.001 .0043 .0028 .0052
10. t6 0.002 199.993 .0037 .0043 .0057
11. t8 200.002 599.996 .0036 .0045 .0058
12. t7 0.003 400.002 .0045 .0043 .0063
Если теперь по уклонениям от истинных координат, приведенных в левой части таблицы 1 и координат старой и вновь уравненной сети вычислить средние
квадратические ошибки, то получим следующие результаты:
0 007964
m
,
1
24
м;
0 018==
,
1
0 002062
,
24
м.
0 009==
,
Как видно, после вставки старой сети в каркасную сеть существенно повышается точность координат относительно их истинных значений.
223
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞
x
x
x
x
Изложенный алгоритм применяется также при уравнивании GPS-измерений
в трехмерном пространстве или на плоскости сначала с временной фиксацией координат X,Y,Z одного пункта.
Подробно эта задача рассмотрена в последнем разделе этой главы.
13.2. }ttejŠhbm{i `kcnphŠl dk“ `m`khg` detnpl`0hi
Для анализа деформаций геодезических пунктов, основанного на применении
рекуррентного алгоритма контроля грубых ошибок и последовательного объединения циклов с целью повышения точности определения деформаций известен
алгоритм, предложенный в [12]. Его идея заключается в следующем.
С целью повышения точности определения деформаций целесообразно выполнить объединение текущего цикла наблюдений s со всеми предыдущими циклами. С этой целью составляем обратную матрицу
0
Q
s
Q
−1
=
⎜
0
⎝
в которой блок
… s−1, а блок Q
уравнения вида
δδx xw
− +=10,
ss−
составляемые по каждой из осей координат для одноименных стабильных пунктов
(как избыточные уравнения поправок с 1/p = 0 и w =
искомую матрицу
что невязка w недопустима, то она признается деформацией, и соответствующее
условное уравнение не учитывается. Ясно, что для общих пунктов цикла s и всех
предыдущих объединенных пунктов после такого уравнивания элементы векторов
и соответствующие им элементы матрицы
s
Отметим, что если сдвиги пунктов не обнаружены и проект сети во всех циклах одинаков, то
,
(13.7)
⎟
Q
⎠
s
Q
относится к неизвестным
s −1
— к циклу s. Учитывая по рекуррентной формуле все условные
s
уже объединенных циклов 1,
s −1
(13.8)
x
) в результате получим
Q
, вектор
s
и квадратичную форму
s
ss−−1
Φs.
Q
совпадают.
Если обнаруживается,
Q
=
ss
(13.9)
Q
.
=11
s
При объединении циклов повышается точность координат даже тех пунктов,
которые признаются подвижными благодаря учету в этой процедуре их корреляции с координатами неподвижных пунктов.
Приведем небольшой пример.
Пусть в двух циклах выполнены измерения превышений в нивелирных сетях
(рис. 13.2 и 13.3), которые различаются только реперами r4 и r5.
1
t1
2
r2
224
r1
3
6
Рис. 13.2
5
r4
4
7
r3
t1
-
-0.003
2
0
0
0
.
0
0
5
r2
.
0
-
0.005
Рис. 13.3
0.003
r1
0
.
0
0
3
r3
r4
0
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
⎛
⎝
⎞
⎠
x
Z
В первой сети все превышения ходов приняты безошибочными, а во второй
они обусловлены только деформациями реперов. Репер t1 для простоты примем
безошибочным. Приняв веса ходов все равными 1, после уравнивания каждого
цикла получим одну и туже обратную матрицу весов неизвестных, которую, расположив репера в порядке r1, r2, r3, r1, r2, r3, r4, r5, представим для двух циклов в
виде:
0 619 0 380 0 524 0 0 0 0 571 0
,,, ,
Q =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0 619 0 476 0 0 0 0 428 0
,, ,
0 904 0 0 0 0 714
,,00
sim. ,,, ,
0 619 0 380 0 524 0 0 571
0 619 0 476 0 0 428
,, ,
0 904 0 0 714
,,
1 14
, 330
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.
(13.10)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1 143,
Так как при нулевых превышениях всех ходов в цикле 1 и выписанных
на рис. 13.3 в цикле 2 превышений уравненные отметки получены равными
() ,x
js==1
100 0000
=
()
sT=
2
и вектор
100 0000 99 9970 99 9950 100 0000 100 0000,,, , ,,
(включая и отметку исходного репера t1), то для репера r1 разности отметок Δ =
99,9970 − 100,0000 = −0,003. Допустимое значение этой разности, обусловленное
точностью измерений σ
Δ
t ,, ,=± + =±σ00619 0619 22
доп.
Следовательно, принимаем гипотезу о том, что d
пера r1. Точно также установим, что d
= 0,8 мм и коэффициентом t = 2,5, получим равным
0
мм.
= Δ является деформацией ре-
= Δ2 = −0,005 является деформацией репе-
2
1
ра r2.
Из всех общих двум циклам реперов стабильным является репер r3, для которого Δ
2 0 619 0 89=σ ⋅ =
0
= 0. Точность определения деформаций, очевидно, составит
3
,,
мм.
СКО =σ =
d
i
В связи с этими расчетами обратим внимание на то, что прежде чем начинать
измерения, составив проект сети, необходимо оценить точность всех ее пунктов
с тем, чтобы установить, какие минимальные деформации d
можно будет выя-
min
вить при заданной точности измерений. Так, в нашей сети, учитывая, что деформации вычисляют как разности неизвестных а величина σ0 = 0,0008, найдем, что
d
, ,,≈⋅ ⋅ =2 5 2 0 904 2 7
min
σ
0
мм.
Для объединения циклов условие (13.8) следует составить только для репера
r3, и матрица коэффициентов этого условия примет вид:
a =−
00100 100.
()
Тогда по формуле рекуррентного уравнивания находим вектор:
Величина N = aZ
Z aQ== − − − −
0 524 0 476 0 904 0 524 0 476 0 904 0 714 0 714,,, , , ,, ,.
()
T
= 1,808.
Теперь по формуле
T
Q Q NZ
=−
−1
(13.11)
225
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
W
x
x
⎛
⎞
x
x
⎛
⎞
T
находим матрицу объединенных циклов, написав только ее нижний правый
блок:
0 467 0 242 0 262 0 207 0 364
,,,,,
⎜
⎜
Q
⎜
2
⎜
⎜
0 494 0 237 0 188 0 240
,,,,
0 452 0 357=
,,00 357
0 861 0 281
,,
,
0 861
,
⎟
⎟
.
(13.12)
⎟
⎟
⎟
Важно отметить, что как видно из сравнения диагональных элементов матриц
(13.10) и (13.12) объединение циклов способно повысить точность не только стабильных пунктов (r3), но и пунктов, претерпевших деформации и пунктов, принадлежащим различным проектам (пункты r4 и r5).
Поправки к неизвестным при рекуррентном уравнивании вычисляем по фор-
Δ=−
муле
шем примере w = 0 и
−
NZ
T1
, а вектор неизвестных объединенных циклов
xs==
.
22
xs==+
22
Δ.
В на-
Недостатком изложенного алгоритма является необходимость получать обратные матрицы в (13.7) и при учете каждого i-го условия для стабильных пунктов,
если их больше одного, работать с матрицей структуры
QQ
( )( )
−−
Q
i
s i s si
=
⎜
sim Q
⎝
( ),11
. ()
si
,
⎟
⎠
причем правый верхний блок этой матрицы не является конечным продуктом. Все
это требует значительного объема вычислений и машинной памяти.
Изложенный выше алгоритм можно представить как коррелатный способ,
если для всех общих пунктов двух циклов составить условные уравнения вида
(13.8) и систему нормальных уравнений NK + W = 0 с матрицей коэффициентов
NQ Q
00() ()
=+
ss
−1
, в которой слагаемые матрицы формируются из матриц
Q
s −1
и Qs
только для стабильных пунктов. Стабильные пункты определяются с помощью
диагональных элементов последовательно составляемой матрицы N, как и в предыдущем разделе, но с тем различием, что величины N = aZ
суть преобразованные (типа
[]aa, []bb⋅1, [ ]...cc ⋅2
) алгоритмы Гаусса. Установление
T
в последнем случае
того, какой способ определения деформаций более надежен, требует дополнительных исследований.
В этом алгоритме вектор поправок результатов измерений, которыми являют-
ся уравненные в каждом цикле неизвестные
муле
V ZN W
= =−
T
−Δ1
, где матрица
Q
Z
=
⎜
Q
⎝
и
, определяется также по фор-
s
s −1
00()
s
−1
составляется из колонок матрицы
()
⎟
⎠
s
(13.7), относящихся только к стабильным пунктам.
Оценка точности всех в отличие от формулы (13.11) теперь должна быть выполнена по известной формуле оценке точности функций коррелатного уравнивания
Q fQf fQB N BQf
F
Q Q ZN Z
=−
TT
=−
T
−1
−1
.
(13.13)
, которая в нашей задаче приобретает вид:
Как видно, коррелатный алгоритм требует также большого объема вычислений, учитывая необходимость обращения матрицы N и перемножения матриц в
(13.13).
226
Поэтому изложим новый, более эффективный алгоритм, решающий ту же задачу, рассчитывая на общий случай, когда в каждом цикле может измениться проект сети и содержаться не только одни и те же пункты.
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
A
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
Введем обозначения:
ˆ
d
— вектор неизвестных из общего числа одноименных неизвестных в первом
и втором циклах, которые на основе статистического анализа признаются подвижными (нестабильными) и по этой причине уже не принадлежат сети второго
цикла;
d — вектор неизвестных с теми же именами, принадлежащий сети второго
цикла;
x
— вектор неизвестных стабильных пунктов в сетях обеих циклах;
0
x
— вектор неизвестных пунктов сети только первого цикла;
1
x
— вектор неизвестных пунктов сети только второго цикла.
2
Пусть при уравнивании каждого цикла с учетом этих обозначений составлены
блочные матрицы коэффициентов нормальных уравнений, которые мы для удобства дальнейших выводов представим в виде:
SS S
RS
==
1
ˆˆ,ˆ
dd d
⎜
⎜
01
SS
0 01
⎜
S
1
,
⎟
,
,
⎟
⎟
RT
2
⎜
==
⎜
⎜
⎝
TT T
dd d
02
,,
TT
0 02
,
T
2
⎟
.
(13.14)
⎟
⎟
⎠
Задача теперь заключается в объединении двух циклов, рассматривая приведенные выше векторы как непосредственно выполненные измерения с весовыми
матрицами, совпадающими с (13.14).
Применяя параметрический способ уравнивания, составим уравнения поправок в виде:
V Ed L
V Ed L
V Ex L
V Ex L
V Ex L
V Ex L
ˆ
=+Δ
11
=+Δ ,
22
=+Δ ,
3 03
=+Δ ,
4 04
=+Δ
5 15
=+Δ ,
6 26
,
(13.15)
,
где E — единичные матрицы соответствующих порядков. Матрица A коэффициентов
этих уравнений при расстановке неизвестных в порядке
d dˆ, , , ,x x x
01
будет такой:
2
E
⎜
E
⎜
⎜
65×
=
⎜
⎜
E
E
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
.
⎟
⎟
E
⎟
⎟
E
Весовую матрицу теперь следует сформировать из (13.14) и представить в виде:
00
SS S
ˆˆ,ˆ
dd d
⎜
⎜
⎜⎜
P
=
⎜
⎜
TT T
.
sim T T
01
00
dd d
SS
02
,,
00
0 01
0 02
⎜
⎜
⎝
0
,
⎟
⎟
⎟
,
0
S
1
.
⎟
,
⎟
⎟
0
⎟
T
⎠
2
227
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎞⎞
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎝
⎠
По формуле R = ATPA теперь составляем матрицу коэффициентов нормальных
уравнений, которую сразу напишем в виде:
00
S SS
ˆ ˆ,ˆ
d dd
⎜
TT T
⎜
⎜
R
=
⎜
⎜
⎜
⎝
dd d
sim S
01
,
0
02
,,
+
STS T
0 0 01 0 2
.
,,
1
T
⎟
⎟
(13.16)
⎟
.
⎟
0
⎟
⎟
⎠
2
Так, в рассмотренном выше примере матрицы весов (коэффициентов нормальных уравнений) несложно получить в виде
−−−
4111
⎛
⎜
ST==
⎜
⎜
⎜
3 10
⎞
⎟
−
⎟
−
31
⎟
⎟
2
и на основании (13.16) составить матрицу:
4 10 0 1 1 0
R =
− −−
⎛
⎜
300 10 0
⎜
⎜
4 1 10 0
⎜
⎜
⎜
−
−−
3 10 1
−−
6 11
⎜
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
−−
⎟⎟
⎟
20
⎟
⎟
2
.
Разделение на блоки этой матрицы соответствует блокам матрицы (13.16).
Вспомнив, что верхняя полоса этой матрицы относится к пунктам, претерпевшим деформации и которые поэтому нас больше не интересуют (их заменяют
теперь одноименные пункты с неизвестными d цикла s), представим матрицу
виде:
RR
11 12
R
=
⎜
RR
⎝
21 22
где блок
RS
11
матрицу для объединенных циклов:
R R RRR
=−
2 22 21 11112
,
⎟
⎠
=
относится к неизвестным
ˆ
d
−
.
(13.17)
ˆ
d
. Исключая эти неизвестные, получим
В рассматриваемом примере по формуле (13.17) получим матрицу:
41 1 0 1
−− −
⎛
⎜
31 00
⎜
R
=
⎜
2
⎜
⎜
−
,,,.
5 181 1 363 1
−−
1 727 0
⎞
⎟
⎟
(13.18)
⎟
⎟
⎟
2
ˆ
228
Заметим, что исключение неизвестных
логично тому, как это делается в схеме Гаусса решения системы нормальных уравнений, т. е. без обращения матрицы R
d
можно выполнять и по одному ана-
. Это целесообразно, если неизвестные
11
R
в
ck`b` 13. nayhe `kcnphŠl{ dk“ rp`bmhb`mh“ h `m`khg` detnpl
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
x
x
⎛
⎞
занумерованы не в том порядке, как мы это сделали для удобства теоретических
выводов.
Обратив матрицу (13.18), получим тот же результат, что и в (13.10).
Однако, как увидим далее, для применение предлагаемого алгоритма обратная матрица не требуется, а нужны лишь ее диагональные элементы. В этом
случае для решения системы нормальных уравнений выполняется вычисление
по методу квадратных корней (Холесского) верхней треугольной матрицы T, такой, что R = T
быстро получить диагональные элементы матрицы Q = T
T
T, и обращение матрицы T. Подобный путь вычислений позволяет
−1T−T
, не вычисляя мат-
рицу Q.
Так, для матрицы (13.18) получим треугольную и обратную ей матрицы:
−− −
2 05 05 0 05
⎛
⎜
⎜
T =
⎜
⎜
⎜
−=1
T
По формуле
,, ,
1 658 0 754 0 0 151
0 500 0 151 0 174 0 100 0 393
, ,,,,
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
−−
,, ,
2 089 0 653 0 653
, ,,
0603 0218 0125 0259
,, ,,
−−
1
=
()
D TT
i
−−
1 141 0
, ,,
0 479 0 27
,,44 0 385
T
находим диагональные элементы матрицы
ii
−
373
,
1 078
,
0 876 0 303
,,
0 927
,
⎞
⎟
⎟
.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
.
⎟
⎟
⎟
1−
, равные
R
2
D = ( , , , , , ).0 467 0 494 0 452 0 861 0 861
Напомним, что вектор неизвестных целесообразно вычислять по формуле
−1
y,
Δ = T
−T
где y = −T
b.
Для составления векторов свободных членов в уравнениях поправок (13.15)
'( )
0
ˆˆ
dd
удобно принять приближенные значения неизвестных равными:
()
0
xx
0
;
=
,
10
01()
=
1
02()
;
x
2
. В этих выражениях правые части представляют собой
x
=
=
уравненные в соответствующих циклах векторы. Тогда будем иметь вектор свободных членов в уравнениях поправок равным
Lx x
=−
0 02 01
,,
(разность общих неизвестных, полученных из уравнивания первого
LL
=
000 00
()
0
T
, где вектор
и второго циклов). Тогда вектор свободных членов нормальных уравнений RΔx +
+ b = 0 по формуле b = ATPL получим таким:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
TL
d
,
00
TL
00
TL
,
20 0
⎟
⎟⎟
.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
b
1
ˆ
d
не изменит все остальные блоки вектора b,
0=
обозначим через
b2.
b
⎛
1
⎜
b
2
⎜
b
b
=
⎜
3
⎜
b
4
⎜
⎜
b
⎝
5
Как видно, исключение вектора
который теперь без вектора
()
0
dd
=
;
;
229
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎛
⎝
⎞
⎠
В результате будем иметь систему нормальных уравнений
Rb
22
0Δ+ = ,
решение которой и приводит к объединению первых двух циклов, а затем и к последовательному их объединению.
Вновь отметим, что если схемы сетей одинаковы во всех s циклах и все пункты
R S T sR
стабильны, то матрица (13.16) примет вид
=+=
ss
, а обратная матрица
=00 1
объединенных циклов совпадет с (13.9).
Заканчивая теоретические выводы, приведем теперь подробное описание изложенного алгоритма.
1. В каждом новом цикле s применяя прежде всего рекуррентный способ вычислений, выполняем контроль грубых ошибок результатов измерений сначала только
при минимальном числе исходных пунктов (в нивелирных сетях только при одном).
Для этой цели составляется матрица обратных весов неизвестных только по необходимым измерениям. В этой процедуре для избыточных измерений вычисляется
N p aZ
только величина
=+1 /
i i ii
ляется его допустимое значений
ся в специальный массив вместе с номерами избыточных измерений. Необходимая
T
, свободный член i-го уравнения поправок и вычис-
l tN
|| .
,.
=σ
Недопустимые значения заносят-
0i доп i
для этих вычислений матрица обратных весов вычисляется очень быстро, т. к. учет
только необходимых измерений не изменяет уже вычисленную матрицу, а только
добавляет к ней новые столбцы для вновь включаемых в сеть пунктов.
Так, в рассматриваемом примере после учета необходимых ходов 1, 2, 4 и 5 эта
матрица будет такой:
1011
Q =
⎜
⎜
⎜
⎜
100
⎟
⎟
21
⎟
⎟
2
для неизвестных пунктов r1, r2, r3, r4.
Она формируется путем переноса столбца s в столбец t для хода от узла s к t,
а к диагональному элементу в столбце t прибавляется обратный вес хода s − t (подробнее см. раздел 6.2).
В случае обнаружения грубых ошибок с помощью рассмотренных ранее алгоритмов выполняется поиск ошибочных измерений и их исправление. При отсутствии грубых ошибок описанная процедура повторяется вновь, если в сети имеется избыточное число исходных пунктов. При этом уравнивание возможно выполнять и с учетом ошибок исходных пунктов. Появление недопустимых свободных
членов избыточных уравнений поправок указывает на наличие грубых ошибок в
исходных данных.
2. Следующим этапом вычислений является уравнивание параметрическим
способом измерений цикла s с записью на диск матрицы коэффициентов нормальных уравнений, вектора неизвестных, диагонали обратной матрицы и квадратичной формы Ф.
Отметим, что пункты — исходные данные — также целесообразно включать в
уравнивание, начиная нумерацию с одного из них (в нашем примере исходный репер
t
не включен в вычисления ради сокращения записей). При составлении нормаль-
1
ных уравнений с учетом ошибок исходных данных соответствующие диагональные
элементы матрицы R принимаются равными большим числам, например 10
ходные данные принимаются безошибочными, или вводится матрица P
Но при уравнивании деформационных сетей лучше всего фиксировать безошибоч-
230
ными минимальное число пунктов, расположенных примерно в середине сети.
8
, если ис-
их весов.
исх.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]