Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ
АКАДЕМИЯ ИМЕНИ В.Р. ФИЛИППОВА
Высшее образование
А.В. Базаров, А.С. Семиусова
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЙ
Допущено методическим советом Бурятской ГСХА в качестве учебного
пособия для обучающихся по направлению подготовки
«Геодезия и дистанционное зондирование»
Улан-Удэ
Бурятская ГСХА
2024
1
УДК 528 (08)
Б 17
Протокол методического совета
ФГБОУ ВО «Бурятская государственная сельскохозяйственная
академия имени В.Р. Филиппова» № 5 от 17.01.2024 г.
Авторы:
А.В. Базаров – канд. тех. наук, доцент кафедры «Землеустрой-
ство» ФГБОУ ВО «Бурятская ГСХА им. В.Р. Филиппова»;
А.С. Семиусова, канд. с.-х. наук, доцент кафедры «Землеустрой-
ство» ФГБОУ ВО «Бурятская ГСХА им. В.Р. Филиппова».
Рецензенты:
Базарова О.В. – к. э. н., доцент, руководитель Инновационного
центра ФГБОУ ВО «Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления»;
Е.Э. Гунтыпова – к. с.-х. н., доцент кафедры «Кадастры и право» ФГБОУ ВО Бурятская ГСХА им. В.Р. Филиппова».
Базаров А.В.
Б 17
Теория математической обработки измерений: учебно-методическое пособие / А.В. Базаров, А.С. Семиусова; ФГБОУ ВО
Бурятская ГСХА имени В.Р. Филиппова. – Улан-Удэ: ФГБОУ
ВО Бурятская ГСХА, 2024. – 89 с. – (Высшее образование).
Учебно-методическое пособие предназначено для обучающихся очной и заочной формы по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование и включает в себя темы, предусмотренные для изучения; вопросы для самостоятельного изучения по дисциплине «Теория математической обработки измерений».
УДК 528 (08)
© А.В. Базаров, А.С. Семиусова, 2024
© ФГБОУ ВО «Бурятская государственная
сельскохозяйственная академия имени В.Р. Филиппова», 2024
2
ВВЕДЕНИЕ
Целью освоения дисциплины «Теория математической обработки измерений» является формирование целостного представления о
процессах и явлениях окружающего мира; базовых и общепрофессиональных компетенций, достаточных для продолжения образования, научной работы или практической деятельности; фундаментальных представлений о координатно-временных измерениях.
Задачами освоения дисциплины является получение теоретических знаний о современных моделях Земли, системах координат на
земной поверхности и небесной сфере; основ сферической тригонометрии и матричного анализа; астрономических основах счета
времени и летоисчисления; теоретических основах движения полюсов Земли и методов расчета поправок географических координат;
факторах, искажающих координаты светил и методах их учета; получение практических навыков определения географических координат на основе астрономических наблюдений и преобразования
координатных систем; счета времени, летоисчисления и преобразования шкал времени; учета рефракции, аберрации, параллакса, прецессии и нутации.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать: средства вычислительной техники для математической
обработки результатов полевых геодезических измерений, приближенных астрономических наблюдений, гравиметрических определений; методику контроля полученных геодезических, спутниковых
и фотограмметрических измерений, а также материалов дистанционного зондирования;
уметь: анализировать средства вычислительной техники для
математической обработки результатов полевых геодезических измерений, приближенных астрономических наблюдений, гравиметрических определений; осуществлять контроль полученных геодезических, спутниковых и фотограмметрических измерений, а также
материалов дистанционного зондирования;
владеть: средствами вычислительной техники для математической обработки результатов полевых геодезических измерений, приближенных астрономических наблюдений, гравиметрических определений; способностью осуществлять контроль полученных геодезических, спутниковых и фотограмметрических измерений, а также
материалов дистанционного зондирования.
3
Раздел 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
1.1 Преамбула
Предположим, мы хотим измерить внутреннюю ширину сборного элемента туннеля, только что доставленного на строительную
площадку, чтобы проверить, построен ли он в соответствии с требованиями. Чтобы измерить расстояние между двумя бетонными боковыми стенками, мы используем лазерный дальномер. Мы проводим измерение и получаем результат 7,451 м. Мы проводим второе
измерение, результат равен 7,453 м. При третьем измерении мы получим 7,454 м, а при четвертом – 7,452 м и так далее. Дело в том, что
такое измерение не является идеальным. Если провести серию измерений, даже при неизменных обстоятельствах, мы увидим определенный разброс результатов; измерения не дают одинакового, абсолютно верного ответа. Это происходит по ряду причин. Прежде
всего, прибор представляет собой электронное устройство, в цепях
которого движутся электроны; они вызовут небольшие ошибки в
измерении расстояния. Во-вторых, бетонная стена, с одной стороны
которой мы держим прибор, не будет идеально гладкой, как и другая стена, которая должна отражать лазерный импульс, используемый для измерения расстояния. Это может привести к небольшим
различиям между двумя измерениями, когда мы держим прибор,
проводим измерение, снимаем прибор, ставим его снова и т. д. Кроме того, вы не можете удерживать прибор полностью неподвижно
во время измерения. Наконец, существуют внешние обстоятельства,
которые могут вызвать ошибки в процессе измерения, такие как снижение видимости в туннеле из-за пыли и дыма, а также движений и
вибраций самого элемента туннеля. В целом, условия на стройке не
оптимальны для проведения точных измерений. Измерение не дает
точно верного ответа но есть надежда, что его значение близко к
этому.
1.2 Случайная величина
Весь процесс использования определенного инструмента, выполнение измерения определенным образом (например, удержание
инструмента здесь или там) и получение результата фиксируется –
(в математическом смысле) – в случайной величине. Суть в том, что
результат нашего измерения, как правило, будет близок к желаемому истинному значению, которое мы не знаем, но он не будет иде-
4
альным, он будет содержать некоторую долю ошибок. В дальней-
=+
шем мы будем использовать следующие обозначения: « y » – для
значения измерения, « x » – для неизвестного (истинного) значения
величины и « e » – для (случайной) ошибки измерения, так что мы
имеем
Случайная величина – это математическое понятие. Мы можем
получить реализацию этой случайной величины, фактически проведя измерение, выборку y или с индексом y1, где индекс означает,
что это первое измерение. Мы можем повторить измерение несколько
раз, чтобы получить y1, y2, …, yN. Позже мы ссылаемся на у как на
наблюдение, «параметр, который можно наблюдать», а yi – одно из
наблюдений (yi имеет единственное фиксированное значение, а именно численный результат этого конкретного измерения, например,
y3 = 7,450 м).
Наблюдаемое у равно истинному, но неизвестному x (например,
расстоянию) плюс случайная ошибка измерения e, причем « e » называется ненаблюдаемой статистической ошибкой (на практике мы
никогда не узнаем эту ошибку). Обычно мы предполагаем, что случайная ошибка измерения e в среднем равна нулю. Отдельные реализации e1, e2, …, eN не равны нулю, но среднее значение по большому числу реализаций e будет близко к нулю.
Параметры, которые мы пытаемся измерить в этом курсе, относятся к непрерывному типу. Неизвестная внутренняя ширина элемента туннеля x – это расстояние, которое может иметь любое дей-
ствительное значение, следовательно, х
действительных чисел. Чтобы обеспечить автоматическую обработку
измеренного расстояния, наблюдения, доступные пользователю,
представляются и сохраняются с использованием конечного числа
десятичных знаков. Наблюдение было оцифровано и фактически
стало дискретным, хотя это все еще непрерывная величина.
Совокупность наблюдаемых значений величины представляет
собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью», или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность
(1.1)
R, здесь R – множествоо
5
оформляется в виде таблицы с одним входом, в первом столбце ко-
=
−
торой стоит номер опыта i, или №, а во втором – наблюдаемое значение случайной величины (см. пример в таблице 1).
Таблица 1 – Невязки треугольников
№
Невязки
1 -0,76 9 +1,29 17 +0,71 25 +0,22
2 +1,52 10 +0,38 18 +1,04 26 +0,06
3 -0,24 11 -1,03 19 -0,38 27 +0,43
4 +1,31 12 +0,00 20 +1,16 28 -1,28
5 -1,27 13 -1,23 21 -0,19 29 -0,41
6 -1,88 14 -1,38 22 +2,28 30 -2,50
7 +0,01 15 -0,25 23 +0,07 31 +1,92
8 -0,69 16 -0,73 24 -0,95 32 -0,62
№
Невязки
№
Невязки
№
Невязки
1.3 Гистограмма
При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи
статистического материала – она становится слишком громоздкой и
мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке – строится так называемый «статистический ряд»,
или «интервальный вариационный ряд».
Интервальный вариационный ряд (ИВР) статистической совокупности – это упорядоченное (по возрастанию) множество смежных интервалов и соответствующие им частоты, в сумме равные
объёму совокупности. Пусть в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной x, оформленные
в виде простой статистической совокупности. Построение ИВР и
гистограммы на его основе сводится к следующему алгоритму:
1.Сортируем весь набор наблюдений по величине, от меньшего
к большему.
2.Находим минимальное и максимальное значения.
3.Вычисляем размах вариации:
6
.
4.Далее следует разделить весь диапазон наблюдаемых значе-
=1+3,322∙lg
=1+3,322∙lg32≈6,
0001
→
6
h
ℎΔ=
=
−
h
h
=
ний xi на k интервалов, или «разрядов» (также «ячейки», или «классы»).
Количество классов рекомендуется определять по формуле Стэр-
джеса:
где lgn – десятичный логарифм (есть
,
на калькуляторе) от объёма выборки n (общее количество наблюдений) и k – оптимальное количество интервалов, при этом результат
округляют до ближайшего левого целого значения. Например, при
n=32,
интервалов. Правило
Стэрджеса носит рекомендательный, но не обязательный характер.
Нередко в условии задачи прямо сказано, на какое количество интервалов нужно проводить разбиение (на 4, 5, 6, 10 и т. д.) и тогда
следует придерживаться именно этого указания.
5.Вычисляем длины интервалов
:
(1.2)
6.Начальные и конечные значения всех последующих интервалов можно вычислить путем последовательного прибавления величины интервала к значениям конца предыдущего интервала:
x2 = x1 +
, x3 = x2 +
и так далее.
7.Подсчет частот ni и расчет относительных частот wi, заполнение таблицы:
Интервалы
Ii
ni n1 n2 … ni … nk
Примечание: Ii – обозначение i-го разряда, xi ё x
частота, то есть количество наблюдений, попавших в тот или иной интервал, n – общее количество наблюдений, i – относительная частота (отношение частоты к общему количеству наблюдений); k – число разрядов. При
группировке наблюдаемых значений случайной величины по разрядам возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значение, находящееся в
точности на границе двух разрядов. В этих случаях следует данное значение в правый (бомльший) интервал.
1 2 i k
x
1
x2 x
1
x3
2
2
…
…
x
x
i
i+1
i
…
…
– его границы, ni –
i+1
x
x
k
k+1
k
7
Сумма относительных частот всех разрядов должна быть равна
единице.
Рассмотрим построение интервального вариационного ряда
Невязки треугольников (табл. 1).
Таблица 2 – Упорядоченная совокупность невязок треугольников
№
Невязки
1 -2,50 9 -0,76 17 -0,19 25 0,71
2 -1,88 10 -0,73 18 0,00 26 1,04
3 -1,38 11 -0,69 19 0,01 27 1,16
4 -1,28 12 -0,62 20 0,06 28 1,29
5 -1,27 13 -0,41 21 0,07 29 1,31
6 -1,23 14 -0,38 22 0,22 30 1,52
7 -1,03 15 -0,25 23 0,38 31 1,92
8 -0,95 16 -0,24 24 0,43 32 2,28
№
Невязки
№
Невязки
№
Невязки
Сортируем весь набор наблюдений по величине, от меньшего
к большему (табл. 2):
Таблица 3 – Интервальный вариационный ряд (столбцы ni и )
Номер
разряда
ki
1 -2,50 -1,70 2 0,0625
2 -1,70 -0,90 6 0,1875
3 -0,90 -0,10 9 0,28125
4 -0,10 0,70 7 0,21875
5 0,70 1,50 5 0,15625
6 1,50 2,30 3 0,09375
Границы интервалов Частоты
ni
Сумма частот =
32
Отн. частоты
i
i
1
Статистический ряд графически оформляется в виде гистограммы. На рисунке 1 показаны гистограмма частот (а) и гистограмма
относительных частот (б) интервального вариационного ряда невязок треугольников.
8
(а) (б)
Рисунок 1. Гистограмма частот (а) и гистограмма относительных частот (б)
интервального вариационного ряда невязок треугольников из таблицы 1
По совокупности измерений большинство невязок близки к значению 0. Чем дальше мы удаляемся от нулевой отметки, тем меньше наблюдаемых значений мы видим. Это типичное поведение на
практике. Так как в Теории вероятности оперируют с вероятностью возникновения того или иного случая по отношению ко всем
случаям (например, 9 раз из 32, см. табл. 3), то используют относи-
тельные частоты, сумма которых равна 1 (или 100%).
1.4 Функция плотности вероятности
Предположим, что мы бросаем игральный кубик, у которого есть
шесть граней. Все эти грани пронумерованы от единицы до шести и
выпадают с равной вероятностью. Значит, для описания поведения
этого игрального кубика с позиции теории вероятностей мы можем
записать шесть таких событий:
Рисунок 2. События кубика с 6 гранями
9
Соответственно, вероятность появления каждого из этих собы-
тий – 1/6. Мы их условно обозначим так:
- вероятность p1 – того, что выпадет грань с числом 1,
- вероятность p2 – того, что выпадет грань с числом 2,
- и так далее до p6.
Рисунок 3. Вероятности кубика с 6 гранями
Вероятность обозначается «p» – от англ. probability, «вероятность».
Эта информация и есть полное описание поведения игрального
кубика с точки зрения теории вероятности, и ничего более мы сказать
не можем. И так как все эти шесть событий описывают поведение
одного и того же объекта, и, кроме того, связаны с появлением чисел
от единицы до шести, то эту информацию было бы удобно обобщить
и представить с единых позиций. Например, мы можем вести некое
событие X, которое будет связано с появлением того или иного числа
при бросании игрального кубика. Все эти шесть событий будут описываться одной этой величиной, которая в теории вероятностей и называется случайной величиной. То есть, в общем случае, мы можем
сказать, что случайная величина – это событие, связанное с появлением того или иного числа в ходе проведения эксперимента. В нашем
случае, эксперимент – это бросание игрального кубика и появление
чисел от 1 до 6. Причём случайные величины могут быть дискрет-
ными, то есть принимать счётные значения. Как раз в нашем примере с игральным кубиком: случайная величина X принимает счётные
значения от единицы до шести и никакие другие в этом случае. Записать все возможные её значения можно в виде такой таблицы:
Таблица 3 – Статистический ряд кубика с 6 гранями
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]