Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
т.е. при наличии избыточных измерений
r n k
( )
X Y
( )
X
( )
X
(0)
j
X
j
X
(0 )
X
( ) ( )
n k
0
( )iX
j
X
(0)
i
i
L X Y
( )
.
2. Выразим из выражения (1) искомый вектор неизвестных па-
1
раметров в виде функции вектора Y, т.е.
, где
1
фун-ун-
кция обратная к
.
Известно, что такой вариант возможен в общем случае только
для линейных функций.
3. Произведём линеаризацию функции
:
Для этого необходимо, прежде всего, иметь вектор приближён-
ных значений параметров
, близких к вектору
. Тогда, счи-
тая эти функции непрерывно дифференцируемыми в области, определённой векторами X и
Y X A X X
, можно написать выражение:
(0 ) (0 )
, (3.6)
соответствующее разложению в ряд Тейлора, где матрица А размера
рам
Опуская остатки
содержит элементы
A или A
ij ij
i i
X X
j j
X X
j j
...
(0)
Y Y
которые есть частные производные функций
, вычисленные по их приближённым значениям
а
остаток, включающий нелинейные члены разложения.
, выражение (3.6) можно записать так:
Y = A
где вектор
X = X – X
(0)
X + X
..
(0)
(3.8)
)
,
(3.7)
по парамет-
X
,
j
4. Если ввести вектор
(0 )
(
), (3.9)
то выражение (3.8) можно записать так:
A
X+L = 0 , (3.10)
т.е. получаем переопределённую совместную систему линейных
уравнений.
Замечание 1. Систему линейных алгебраических уравнений
(x)
(x)
+ L
(x)
= 0
A
x
61
при
n k
A S
R A SA
B A SL
CC C C
R A SA
1
R
(0)
x
b A SL
( )
L X y
называют переопределённой. Она может быть как совме-
стной (правая часть=0), так и несовместной (правая часть0).
5. Для решения системы (3.10) умножим выражение слева на
матрицу
T
, где S – квадратная симметричная порядка n невы-
рожденная (определитель0) матрица. Тогда получим систему так
называемых нормальных уравнений:
R
с симметричной матрицей
X + B = 0 (3.11)
T
и вектором
T
.
Замечание 2. Матрица С в поле действительных чисел называ-
ется нормальной, если она перестановочна со своей транспонированной матрицей, т.е.
T T
. Матрица
T
нормаль-
ная матрица. Поэтому систему (3.11) называют нормальной.
Полагая здесь, что матрица А столбцово не выражена (все её
столбцы линейно независимы), то существует обратная к R матрица
.
6. Тогда решение системы (3.10) с учётом (3.11) можно полу-
чить в виде:
Нетрудно показать, что вектор
X = -R-1B, (3.12)
X будет одним и тем же, неза-
висимо от выбора матрицы S. Действительно, т.к. система (6) совместна и переопределена, в ней можно составить только k уравне-
ний A
X + L = 0. Тогда вектор
X = AA-1L совпадает с векторомм
(3.12).
7. Однако, вектор Y истинных значений измерений неизвестен,
значит остаётся неизвестным и вектор L. Единственно, что можно
сделать, это заменить вектор Y вектором «y» результатов измерений. Тогда вместо (3.9) и (20) получим выражения:
R
где
значения
x = -R-1b; - вектор поправок в приближённые (3.14)
параметров;
j
x + b = 0, (3.13)
T
, (3.15)
(0 )
. (3.16)
62
Если в системе (3.10) вектор
( )
L X Y
( )
L X y
S
V
0
S
V
y Y
S
V
S
V
S
V
j
x
S P
ром
(0)
, а вектор
X вектором м
(0 )
заменить векто-
x, система уравнений
(3.10) станет несовместной (из-за ошибок измерений), т.е.
A
x + L ‘“ 0
и её следует теперь, заменив нулевой вектор в правой части (3.10)
вектором остатков
A
, переписать в виде:
x + L =Vs. (3.17)
Справедливо выражение (лемма Гаусса)
T
A SV
, (3.18)
S
что с учётом (3.17) приводит к системе нормальных уравнений (3.13).
8. Покажем теперь, что вектор
имеет смысл вектора попра-
вок в измерения.
Действительно, введя вектор истинных ошибок
, вы-
ражение (3.18) можно записать так:
Но когда вектор
X заменится вектором
= A
x + L. (3.19)
x, как видно из срав-
нения выражений (3.12) и (3.14), вектор заменится вектором
Так как взятая с обратным знаком ошибка по смыслу представляет
собой поправку, то и вектор
поправок. Иначе,
является вектором оценок вектора истинных
целесообразно назвать векторомм
ошибок ().
9. Вектор
x = X(0) +
x (3.20)
назовём уравненным вектором, элементами которого являются урав-
.
ненные значения параметров
оценкой вектора точных значений вектора искомых величин Х.
рицу весов измерений, которая характеризует точность измерений.
Существуют два вида уравнивания: строгое и приближённое. При
строгом уравнивании предполагают известной матрицу Р весов из-
мерений, которой и заменяют матрицу Sв вычислениях, т.е.
, который, в свою очередь, является
9. Следует обратить внимание на то, что необходимо иметь мат-
;
63
и наоборот, уравнивание с матрицей S называют приближённым.
x
Q
s s s
V SV
s
V
R A SA
b A SL
b L SA
L SV
0
X
X x
L V
L
X x
( )
L x y
L SL
1
1
В таком случае выражение (3.17) можно записать иначе:
A
x+L =V (3.21)
10. Контроль вычислений (квадратичная форма)
В результате уравнивания были получены вектор уравненных
параметров x, вектор поправок в результаты измерений V, матрица
обратных весов уравненного вектора параметров
. Необходимо
выполнить контроль уравнительных вычислений. Для этого необходимо обратиться к квадратичной форме:
Подставим в выражение (3.21) вместо вектора поправок
T
(3.22)
егоо
значение из выражения (3.17).
Так как
T
, R
x =-b,
T
и
T T
, тоо
произведём замену и получим
T
x . (3.23)
T
Ф1 = LTSL + b
Справедлива и такая формула
После 1-го уравнивания получим квадратичную форму по фор-
муле (3.22). Допустим, что выполним уравнивание 2-й раз, но в качестве
муле V = A
но, из вектор свободных членов
возьмём уравненный вектор x, т.е.
x +L новый вектор
x будет равен 0 , следователь-
, где вектор
по той же формуле, что и вектор L, но при
0
. Тогда в фор-
вычисляетсяся
0
, т.е.
тогда 2-е слагаемое в (3.22) обращается в ноль. В результате получаем 2-ю квадратичную контрольную форму
T
(3.24)
,
Вывод: Если в пределах точности вычислений формулы
совпадают, то это говорит о том, что все вычисления выполнены
верно. Если
и
существенно отличаются, это означает:
- допустили ошибки в вычислениях;
- компьютерная программа составлена неправильно;
64
и
- при линеаризации функции Y(2) нельзя пренебрегать малым
1
k
Лемма Гаусса
членом .
При учёте 3-й причины
и
при последующем повторении
процесса уравнивания должны, в конце концов, совпасть. Такой контроль самый надёжный.
1) ( ).,. ..
Замечание 3. Контроль типа
y x где y y V
T
2) 0 ...
A SV
не всегда выполняется.
65
Раздел 4.
x
Y y y V
M y Y
2 1
K P
[∆
х]=
[−
−
1
]=−
−
1
[]=−
−
1
[]=−
−
1
[]=
−
−
1
[(0)−]=−
−
1
[((
0)−[])=−
−
1
[(0)−
]
L X Y
B A SL
[ ] 0
И ПРИБЛИЖЕННОГО УРАВНИВАНИЯ. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТРОГОГО
ВЕКТОРА НЕИЗВЕСТНЫХ И ИХ ФУНКЦИЙ
В результате уравнивания были получены векторы оценок:
• для точных значений неизвестных Х
– уравненный век-
тор параметров;
• для истинных ошибок результатов измерений –
вектор поправок в результаты измерений;
• для истинных значений результатов измерений
.. ...
– уравненный вектор результатов измерений.
Установим статистические свойства этих оценок, исходя из того,
что математическое ожидание вектора результатов измерений
(при допущении отсутствия в измерениях систематичес-
ких ошибок), корреляционная матрица вектора результатов измерений
, где
0y
2
дисперсия единицы веса,
0
1P
матрица
обратных весов измерений.
1. Используя свойства математического ожидания, можно найти
,
а в формуле (3.11)
жения (3.12)
щённым.
дание.
A
измерений находим аналогично
так как в формуле (18)
T
. Тогда M[
( )
0
, то M[
x]=-R-1ATSL,
x]=-R-1B, но из выра-
x =-R-1B, следовательно
M[
x]=
M[x]=X0+
Для вектора поправок V=A
M[ V] =A M[
x, поэтомуму
X=X, т. е. уравненный вектор оказывается несме-
x+L найдём математическое ожи-
x]+M[L] = F
X+L, но в формуле (3.20)
X+L=0, отсюда
M V
.
Математическое ожидание уравненного вектора результатов
66
M y M y V M y M V Y Y
,
x V
y
1
Q R
h k
k
2
R A PA
2 1 1
2 1
2
2
S E
R A SA
[ ] [ ] [ ] [ ] 0
Вывод: векторы
и
несмещённо оценивают векторы X, V и Y.
.
2. Оценка точности неизвестных (уравненного вектора неизве-
стных) и их функций.
Из курса ТМОГИ известно – оценка точности уравненных не-
известных x заключается в вычислении обратной матрицы
x
(4.1)
В настоящее время наличие современных ПК позволяет быстро
и легко вычислять (4.1). Для этого используется алгоритм метода
квадратных корней.
В геодезических сетях, как правило, матрица R имеет ленточную структуру и достигается это путём соответствующей нумерацией пунктов. Данная нумерация начинается с 1-го исходного пункта с последовательным учётом всех связанных с ним измерений и
присвоения им соответствующих порядковых номеров. Затем аналогичная процедура выполняется на 2-м пункте и т.д.
Можно доказать, что в сплошной геодезической сети ширина
«полудиагонали» ленточной структуры матрицыR приблизительно
равна
нивелирном ходе, независимо от числа реперов,
, где
число неизвестных. Например: в одиночномм
h
. Благодаря этому объём вычислений при обращении матрицы R существенно
уменьшается.
Когда матрица
T
, но часто матрица P неизвестна или
известна, но и имеет сложный вид. Например: матрица весов углов,
вычисленных, как разность измеренных направлений имеет вид
P
, в этом случае для каждого пункта при составле-
нии матрицы Rнеобходимо учитывать полную матрицу весов углов. Именно по этой причине возникает необходимость заменить
матрицу P более простой матрицей:
, тогда
Можно доказать, что в этом случае матрица обратных весов век-
67
T
(4.2)
тора x из выражения (3.11) будет иметь следующий вид:
1 1 1
Q R A SP SAR
T
K AK A
0
X
-
1
-
1
b A SL
K A SK SA
( )
L X y
2 1
K P
K A SP SA
1
b
K
x
K
S P
x
Q
R A SA
S
S P
2 2
j
x
1 1
Q Q Q R A SQ SAR
x
s
T
(4.3)
Для этого применим обобщённую теорему оценки точности (для
вектора функций)
Y X
, традиционно полагая, что вектор
- неслучайный вектор, находим корреляционную матрицу век-
тора x=X0+
Kx=KΔx=R
ных уравнений
а так как вектор
приняв
выражению (4.3). Если матрица
x по формуле:
KbR
, но для вектора свободных членов нормаль-
T
2
, подставим
0
корреляционная матрица
0
и
0
b
2 1
T
в
, тоо
0y
,
, тем самым приходим к
, то вместо (4.3) матрица
T
b L
вновь примет простой вид в соответствии с выражением (4.1).
Очевидно, что выражение (4.3) требует большого объёма вычислений, следовательно, оценка точности с матрицей Sтребует
больших вычислений, чем само уравнивание. Поэтому на практи-
ке часто вместо (4.3) используют формулу (4.1), где
T
, тем
самым нарушая строгость процедуры оценки точности вектора x.
Более того, получают в результате завышенную оценку точности.
Замечание 4. Уравнивание с матрицей P называют строгим, а с
матрицей
приближённым.
,
Далее можно доказать, что при уравнивании с матрицей
дисперсии
(при уравнивании с S будем использовать знак отличия «-» ).
Для доказательства воспользуемся формулой, тождественной (4.3)
x
x
j
x V
T
68
, (4.4)
, (4.5)
1 1
T
Q P AR A
S P
x
Q
det( ) det( )
( ) ( )
Q Q
Sp Q Sp Q
( )
F F x
T
Q fQ f
1
f Q R
x
где
поправок V, вычисленных при уравнивании
V
– матрица обратных весов вектора
.
Так как 2-е слагаемое есть положительно полуопределённая
матрица, то определитель и след матрицы
удовлетворяют нера-
венствам
x
x
Следовательно, выполняется и неравенство (4.4), что и требова-
лось доказать.
3. Оценка точности функций уравненного вектора неизвестных.
Часто возникает задача оценки неизвестной функции
.
Тогда, применяя обобщённую теорему оценки точности, полу-
чим матрицу обратных весов
F
,.........
F x
, где матрицы
x
.
69
Раздел 5.
i t s
Y X X
X X
i t s i
l X X y
t
000.. 1... 1...0.0
T
ss i
R P
s t i
R P
s i i
b p l
i st s
i ts s
УРАВНИВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ С УЧЕТОМ
ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПОПРАВОК. ОСОБЕННОСТИ
ОШИБОК ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
5.1 Виды уравнений поправок
1. Нивелирные сети
В нивелирных сетях для любого хода, проложенного от репера
S к реперу t, исходные уравнения связи имеют простой и линейный
вид:
,
где Yi – истинные значения превышений,
,
t s
точные зна-
чения отметок конца и начала нивелирного хода. Тогда параметрические уравнения поправок
0 0
.
Это означает, что строки матрицы коэффициентов уравнений
поправок имеют элементы, равные 0, кроме двух равных: «-1 » в
столбце S и (+1) в столбце
a
i
Вывод: совершенно необязательно составлять полностью матрицу А и сохранять в ПК, т.к. матрицу коэффициентов нормальных
уравнений R можно составлять по следующей формуле:
1) диагональные элементы
i s
2) недиагональные элементы
,
,
s t
3) вектор свободных членов
i s
, где (+) – ход входит в узел, а (-) – выходит из него.
2. Плановые сети
В этом случае для измеренных прямых и обратных направлений возникают следующие виды исходных уравнений связи
Y
Y
(5.1)
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]