Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Карл Фридрих Гаусс

()=

1 √2





−

(

−

)



Одновременно с П. Лапласом в 1809 году немецкий математик, механик, физик и астроном Карл Фридрих Гаусс в сочинении «Теория движения небесных тел» использовал формулу нормального распределения для описания случайных ошибок, возникающих в результате многократных измерений движений небесных тел. К.Ф. Гаусс внес настолько большой вклад в разработку теории нормального распределения, что впоследствии это распределение стали назвать гауссово распределение, или распределение Гаусса-Лапласа.

Нормальное распределение – это распределение, плотность вероятности которого задана формулой:

Здесь мю под экспонентой означает среднее или более точно – математическое ожидание. Сигма в квадрате отвечает за разброс вокруг среднего, то есть, это дисперсия. Если подставите мю=x, то получите формулу, которая есть на обложке вопроса.

График плотности выглядит, как колоколообразная кривая, представлен на рисунке 17.

Рисунок 17. График плотности выглядит, как колоколообразная кривая

Видно, что пик соответствует математическому ожиданию. Изменение ожидания приводит к сдвигу всей кривой по горизонтали. Дисперсия отвечает за «широту» этой кривой. При маленькой дисперсии вся вероятность сосредоточена около среднего.

Немного про плотность. Площадь под кривой всегда равна 1. Чем шире кривая, тем ниже пик и наоборот. Это означает, что вероятность попасть в интервал от минус до плюс бесконечности равна 1. Если мы будем брать конечные отрезки, то вероятность случайной величины попасть в них будет соответствовать площади на отрезком. То есть площади, ограниченной снизу самим отрезком, сверху кривой, а по бокам вертикальными линиями, соответствующими концам отрезка.

Отсюда следует, что нормальное распределение устроено так, что вероятность оказаться далеко от среднего сильно уменьшается по мере того, как мы будем смещать отрезок вправо или влево.

Несмотря на неочевидную формулу, нормальное распределение играет значительную роль в теории вероятности, так как к нему при определенных условиях сходятся случайные величины с другими распределениями. Это называется центральной предельной теоремой, которая может формулироваться в нескольких вариантах. Другими словами, это класс теорем.

Суть ЦПТ в том, что если вы возьмете сумму более или менее похожих (в смысле условия теоремы) случайных величин, то в итоге получите случайную величину, очень похожую на нормальную. Чем больше случайных величин вы возьмете, тем больше будет сходство с нормальным распределением.

Для примера возьмем бернуллиевскую случайную величину. Она принимает два значения 0 и 1 с вероятностями (1-p) и p. Например, если речь идет о подбрасывании монетки, то нулем можно обозначить решку, а единицей орел. Тогда вероятности будут равны 1/2.

Теперь представьте ситуацию, когда при выпадении орла к случайной величине добавляется единица, а при выпадении решки отнимается. Это уже разновидность случайного процесса под названием случайное блуждание. Процесс можно изобразить картинкой, которую я взял из учебника по теории вероятностей Ширяева.

Если зафиксировать число шагов на уровне n, а процесс прогнать много раз, то итоговое распределение чисел будет сильно на-

поминать нормальное распределение. То есть ±n будет встречаться редко, ±(n-1) чаще и так далее. Чаще всего будет ноль, так как среднее число орлов и решек будет одинаково при многократном повторении. Все это иллюстрируется доской Гальтона. В статье Википедии есть анимация этого эксперимента.

Если увеличивать число шагов и число экспериментов, то сход-

ство будет все более очевидным.

ЦПТ очень помогает в анализе данных, например, в эконометрике. Если используются большие выборки, то для тестирования статистических гипотез можно опираться на асимптотическое поведение. Другими словами, не зная исходного распределения, все же иметь возможность делать какие-то статистические выводы.

Раздел 2.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Разработки и выводы теории вероятностей и математической статистики лежат в основе многих прикладных научных теорий. Знание основ этих дисциплин помогает правильно с научной точки зрения понимать и формулировать условия конкретных задач и вырабатывать пути их решения. В частности, изложение теории ошибок измерений на основе выводов теории вероятностей и математической статистики заметно упрощается, и мы будем постоянно ссылаться на эти выводы. Так, например, результаты измерений мы будем рассматривать как случайные величины, а любой набор измерений одной величины – как репрезентативную выборку из генеральной совокупности и т. д.

Под измерением мы будем понимать количественное сравнение определяемой физической величины с другой, однородной ей величиной, значение которой известно.

По точности измерения можно разделить на равноточные, т. е. выполняемые с одинаковой дисперсией (например, одним и тем же измерительным прибором), и неравноточные, выполняемые с различными дисперсиями.

Кроме того, измерения могут быть зависимыми и независимыми. В геодезии результаты непосредственных (прямых) измерений принято считать независимыми случайными величинами. Зависимыми будут так называемые «косвенные» измерения, полученные (вычисленные) как функции непосредственных измерений, но рассматриваемые как результаты непосредственных измерений. Например, в качестве измерений могут приниматься углы, хотя на самом деле измерялись направления.

По количеству все выполненные измерения делятся на необходимые и избыточные. Число необходимых измерений совпадает с числом измерений, минимально необходимых для решения поставленной задачи. Например, для определения длины линии необходимо выполнить одно измерение, а для определения координат точки в прямоугольной системе координат – два измерения. На самом деле число необходимых измерений всегда равно числу элементов, для определения которых и выполняется данный комплекс измерений. Измерения, выполненные сверх необходимых, называются избыточными.

Результаты любых измерений одной величины, являясь случайными величинами, как правило, в той или иной степени отличаются друг от друга, так как содержат ошибки, вызванные непостоянством комплекса условий измерений. Под комплексом условий измерений понимается влияние внешней среды, несовершенство измерительных приборов и инструментов, а также человеческий фактор, т. е. квалификация наблюдателя. Колебания результатов измерений отражают непрестанное изменение комплекса условий измерений.

Важно понимать, что любые измерения всегда сопровождаются ошибками.

Теория ошибок занимается изучением причин и закономерностей возникновения ошибок в результатах разнообразных измерений, а также анализом законов распределения этих ошибок.

В ней разрабатываются способы вычисления наиболее точного по вероятности значения измеряемой величины из результатов ее многократных измерений и способы получения характеристик точности этого значения.

Кроме того, теория ошибок занимается предвычислением ожидаемой точности проектируемых измерений и оценкой точности выполненных измерений.

Теория ошибок устанавливает допуски к измерениям и разрабатывает критерии выявления грубых ошибок измерений.

По природе возникновения ошибки измерений можно разделить на три группы.

1. Грубые ошибки или промахи.

Их причина часто кроется в человеческом факторе – в невнимательности и недосмотре наблюдателя. Грубые ошибки должны быть обязательно выявлены и исключены из измерений. Разработаны специальные критерии и способы выявления грубых ошибок.

2. Систематические ошибки.

Причиной систематических ошибок чаще всего является несовершенство измерительной техники и нарушение методики измерений, а также одностороннее действие некоторых малоизученных или трудно учитываемых параметров внешней среды. Систематические ошибки должны быть по возможности исключены или сильно ослаблены. Их стараются исключить соответствующей организацией наблюдений. Остаточные систематические ошибки могут быть вы-

явлены, например, методами дисперсионного или корреляционного анализа и т. п.

3. Случайные ошибки.

Случайные ошибки порождаются, в основном, непостоянством внешних условий измерений – температуры и влажности воздуха, атмосферного давления, скорости ветра и т. п. Случайные ошибки невозможно исключить из результатов измерений в силу их природы.

По источникам возникновения ошибки измерений разделяются на инструментальные, внешние (ошибки среды) и личные.

Окружающий нас мир представляет собой совокупность материальных взаимосвязанных объектов. Областью деятельности геодезиста является измерение, т.е. процесс получения информации, адекватно отображающей свойства объектов материального мира.

Свойство объекта (предмета) – философская категория, характеризующая некоторую сторону объекта (предмета), т.е. определяющая степень его общности или различия с другими объектами (предметами).

Любой материальный объект, как правило, характеризуется целой совокупностью свойств. В связи с этим возникает необходимость идентифицировать свойства, присвоив им наименования.

Именованное свойство объекта (предмета) называется физичес-

кой величиной (величиной).

Физическая величина – одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общего в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

Примером физической величины может служить длина какоголибо объекта, его ширина или высота, масса, возраст. Любое из этих свойств присуще целому ряду объектов. Этим свойством могут обладать очень многие объекты (предметы) материального мира. Но в количественном отношении, то есть в степени проявления этого свойства, каждый предмет индивидуален. Он (предмет) имеет свою, строго определенную на данный момент времени протяженность в пространстве, свою массу, свой возраст, т.е. он имеет свой индивидуальный размер физической величины.

Размер физической величины – количественная определенность физической величины, присущая конкретному объекту, системе, явлению или процессу.

Значение физической величины – выражение размера физической величины в виде некоторого числа принятых единиц измерения данной физической величины.

Истинное значение физической величины – значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношениях соответствующую физическую величину.

Истинное значение физической величины может быть соотнесено с понятием абсолютной истины. Оно может быть получено только в результате бесконечного процесса измерений с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений.

Действительное значение физической величины – значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Измерение физической величины – процесс, включающий совокупность операций с применением технических средств для получения количественного значения измеряемой величины.

От термина «измерение» происходит термин «измерить», которым широко пользуются на практике. Все же нередко применяют такие термины, как «мерить», «обмерить», «замерить», «примерить», не вписывающиеся в систему метрологических терминов. Их применять не следует.

Любой процесс измерения происходит при наличии пяти со-

ставляющих (факторов) измерения:

1. Объект измерения – что измеряется;

2. Субъект измерения – кто измеряет;

3. Средство измерения – чем измеряется;

4. Метод измерения – как измеряется;

5. Внешняя среда – где измеряется и в каких .

Конкретное содержание и состояние в процессе измерения факторов измерения определяют условия измерений.

Два комплекса условий будем считать одинаковыми, если в обоих случаях:

1. объекты измерения были одного и того же рода и за время

измерений их параметры изменялись в одних и тех же пределах;

2. субъекты измерения были одинаковой квалификации;

3. применялись средства измерения одного и того же класса точ-

ности;

4. измерения проводились по одной и той же методике;

5. внешняя среда, в которой проводились измерения, характе-

ризовалась одними и теми же значениями показателей.

Измерения могут быть классифицированы по следующим при-

знакам:

1. По физическому исполнению:

- прямые измерения, в которых значение измеряемой величины получают непосредственным сравнением с однородной физической величиной (эталоном). Примером прямых измерений служит измерение длины линии рулеткой либо мерной лентой;

- косвенные, в которых значение определяемой величины получают из вычислений, в которых в качестве исходных используют результаты измерений величин, связанных с определяемой. Примером может служить измерение линии светодальномером. В этом случае непосредственно измеряется время прохождения светового сигнала от дальномера до отражателя и обратно, а затем вычисляется

vtS

длина линии как



, где v – скорость света.а.

2. По роду:

- однородные измерения, или измерения однородных физических величин. Примером может служить метод геометрического нивелирования, в котором измеряют отрезки от точек земной поверхности до горизонтального визирного луча прибора;

- разнородные, все прочие по отношению к однородным. Примером может служить определение превышения методом тригонометрического нивелирования, в котором измеряют линии (горизонтальные проложения или наклонные дальности) и углы наклона.

3. По количеству:

- необходимые измерения доставляют только по одному значению каждой измеряемой величины;

- дополнительные, или избыточные, измерения производятся для получения нескольких значений измеряемой величины (измеряемых величин) в целях контроля, исключения грубых погрешностей или повышения качества результатов измерений.

4. По точности:

п/п

Измеренное

значение угла

1 72°13'38",3

2 44,6

3 33,7

4 41,1

5 43,0

6 36,2

7 39,9

8 37,8

9 40,3

- равноточные измерения, выполняемые в одинаковых условиях, то есть объекты одного и того же рода измеряют исполнители одинаковой квалификации, приборами одного класса, по единой методике, в достаточно близких по характеру условиях внешней среды. В качестве примера равноточных измерений могут служить измерения угла несколькими приемами. Здесь результаты измерений каждым приемом равноточны, т.к. выполнены все выше указанные ограничения;

- неравноточными считают измерения, выполняемые в случаях, когда по крайней мере одна из составляющих процесса измерения значительно отличается от аналогичной составляющей других измерений.

В качестве примера неравноточных измерений могут служить

измерения углов в триангуляциях разных классов.

2.1 Погрешности результата измерения

Рассмотрим пример. Ниже приведены результаты девятикрат-

ного измерения угла, выполненные при одинаковых условиях:

№№

мому углу, т.е. свойство, определенное ранее как размер физической величины. Это выражается в постоянстве измеренных значений градусов и минут. Но в то же время каждый из результатов измерения имеет свою индивидуальную особенность, связанную с погрешностью этого результата измерений, что выражено в изменчивости значений секунд и десятых долей секунд измеренного угла.

зультат измерения отражает объективно существующие свойства измеряемой величины и несет особенности процесса измерений, а

Результаты измерений отражают свойство, присущее измеряе-

Рассмотренный выше пример указывает на то, что каждый ре-

также индивидуальные особенности каждого конкретного измере-



















ния. Эти индивидуальные особенности и отличают каждый результат повторного измерения от всех прочих, т.е. каждый результат измерения любой физической величины представляет собой сумму двух составляющих:

- первая объективно отражает истинное значение измеряемой

физической величины;

- вторая – истинная погрешность конкретного результата измерения, несет в себе особенности данного конкретного измерения и в общем случае меняется от измерения к измерению.

Этот факт может быть представлен соотношением

где: L – истинное значение измеряемой величины;

– результат i-ого измерения;

– истинная погрешность i-ого результата измерения

В результате измерения получают значение

, а истинное зна-

(2.1)

чение измеряемой величины L так же, как и истинная погрешность результата измерения

В теоретическом плане истинная погрешность между результатом измерения ной физической величины, т.е.

, остаются неизвестными.

и истинным значением измерен-

есть разность

Одной из основных задач теории измерений является изучение источников и характера погрешностей физических измерений. Возможны различные подходы к построению модели погрешности измерений. Рассмотрим так называемую аддитивную (суммарную) модель построения погрешности измерения. Суть ее заключается в том, что полная погрешность результата измерения представляет собой сумму элементарных погрешностей. При этом каждый из факторов, влияющих на результаты измерений, порождает свою группу элементарных погрешностей. Изучая элементарные погрешности отдельных факторов, мы приходим к выводу о неизбежности возникновения погрешности измерения.

1. Элементарные погрешности объекта измерений связаны с неопределенностью самого объекта измерений и его изменчивостью в процессе самого измерения. Как уже было сказано выше, объекты

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]