Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
В строке xi мы отмечаем возможные значения случайной величины, в строке pi – вероятность их появления. Такая таблица ещё
называется «рядом распределения».
Пояснение. Случайная величина также может быть непрерывной, то есть принимать любые значения в заданном диапазоне. Например, при стрельбе по мишени можно определить евклидово расстояние между точкой попадания и центром этой мишени.
Рисунок 4. Расстояние – непрерывная величина
Величина X в формуле на рисунке 4 уже будет непрерывной в
некотором диапазоне. Теперь, когда мы разобрались, что такое случайное величина и что она бывает дискретной и непрерывной, рас-
смотрим, что такое плотность распределения вероятности.
Вернёмся к нашему примеру с игральным кубиком. Его полное
вероятностное описание можно представить в виде дискретной случайной величины X с набором вероятностей p1 … p6. Все эти вероятности одинаковые и равны 1/6. Представим эти вероятности в виде
графика (рис. 5).
Рисунок 5. График вероятностей выпадения граней кубика с 6 гранями
11
По оси y откладываем вероятность 1/6, по оси x – возможное
значение случайной величины. Такой график для дискретных случайных величин называют многоугольником распределения и интерпретировать его можно так: вероятность появления числа 1 при
бросании игрального кубика будет соответствовать площади заштрихованного участка слева. Эта площадь равна 1/6, потому что
высота равна 1/6, а ширина равна 1. Единицу умножаем на одну шестую и получаем вероятность 1/6. Аналогично можно рассчитать вероятность появления 2, 3, 4 и так далее. Или же мы можем вычислить вероятность появления: или числа один, или числа шесть – это
будет суммарная площадь заштрихованных участков, или 1/6 + 1/6,
то есть 1/3. Таким образом, площадь под этим графиком показывает
вероятность появления того или иного числового значения.
Давайте теперь изменим условия эксперимента и будем бросать
игральный кубик не с шестью, а с 12 симметричными гранями. Соответственно все эти грани будут пронумерованы от 1/2 и до шести, то
есть здесь появляется промежуточное значение 3/2 5/2 и так далее.
В этом случае график немножко изменится и станет таким (рис. 6).
Рисунок 6. График вероятностей выпадения граней кубика с 12 гранями
Теперь вероятность появления грани с числом от 1/2, то есть 0,5
будет равна площади заштрихованного участка на рисунке 6. Эта
площадь равна 1/12, потому что высоту 1/6 умножаем на Ѕ, получаем значение 1/12, что, в общем-то, верно, потому что у нас 12 равновероятных граней, и значит вероятность появления каждой из граней составляет 1/12.
Пойдём дальше и модифицируем игральный кубик до бесконечного числа граней. В этом случае он превратится в шар, и если условно пронумеровать его гипотетические грани от нуля до шести,
то получим множество непрерывных значений, которые графически можно представить в виде равномерного графика (рис. 7).
12
Рисунок 7. График вероятностей выпадения граней кубика с бесконечным
∫
()=1
(<<)=()
(−∞<<+∞)=1=()
+
∞
−
∞
количеством граней
Таким образом, мы в итоге пришли к непрерывной случайной
величине X, которая может принимать любые значения из диапазона от 0 до 6. Её полной вероятностной характеристикой будет график на рисунке 7, показывающий вероятность попадания случайной величины в тот или иной интервал. Такой график для непрерывной случайной величины называется плотностью распределения
вероятности. Она обозначается как (x), где – это относитель-
ные частоты из раздела 1.3. Соответственно, сумма всех частот, а
точнее, интеграл (так как функция непрерывна)
(см. 1.4).
Интерпретировать ее можно так: вероятность попадания непрерывной случайной величины в диапазон от a до b – это есть площадь заштрихованного участка на рисунке 7. Соответственно, мы
можем математически это записать в таком виде:
,
(1.3)
Или: вероятность того, что X окажется в диапазоне от a до b – это
интеграл от a до b плотности распределения вероятности (x) dx,
то есть значение этой вероятности равно площади заштрихованного
участка (рис. 7). Если мы интервалы a до b увеличим до бесконечно-
сти, то получим вероятность попадания случайной величины в этот
диапазон.
13
(1.4)
Понятно, что вероятность такого события равна единице. Пото-
(=)=()=0
()≥0,
∀
x
му что случайная величина в ходе проведения эксперимента примет
какое-то конкретное значение, то это значение будет в этом диапазоне. А значит вся площадь под графиком плотности распределения
вероятностей всегда должна быть равна единице – это одно из клю-
чевых свойств плотности распределения вероятности.
Однако, если сузить наш диапазон до одного значения, напри-
мер, до числа a, то такая вероятность будет равна нулю:
То есть, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет вполне конкретное значение, равно нулю. Но как такое
может быть? Ведь в ходе эксперимента мы получаем какое-то вполне определённое число! Дело в том, что чисто математические у вещественного (дробного) числа бесконечное число цифр после запятой:
3,1415926535897932384626433832795…
и потому мы точно не можем сказать, действительно ли X = a,
так как для этого нужно перебрать бесконечное число цифр, но сделать это, как вы понимаете, невозможно. Хорошие новости здесь в
том, что это чисто математический момент; в реальной жизни все
измерения имеют конечную точность, а значит, в некотором смысле,
все реальные случайные величины дискретные, хотя их часто всё
равно удобнее представлять как непрерывные. Такой момент следует учитывать при работе с непрерывными случайными величинами.
Второе важное свойство плотности распределения вероятности
также очевидно: она всюду должна быть больше либо равна нулю.
(
читается как: «для любого икс»). Потому что вероятность,
которую она характеризует, не может принимать отрицательные значения.
Вот что такое плотность распределения вероятности; в частности, график на рисунке 7 называется графиком плотности равномерного распределения и имеет аналитический вид:
(1.5)
(1.6)
14
(1.7)
(<<)=()
=
()−
(),
иначе 0
Это лишь один вид графика плотности распределения вероятности. Однако, существуют и другие распространённые виды распределения случайной величины.
Вернемся к вычислению вероятности попаданий непрерывной
случайной величины в диапазон от a до b (см. интеграл 1.2). Этот
интеграл можно представить в таком виде:
(1.8)
То есть, вычислить его вот через первообразные F(a) – F(a), ис-
пользуя формулу Ньютона-Лейбница, где F(x) – первообразная для
w (x). Например, если наша плотность распределения вероятности
описывается выражением (1.7), то первообразные в аналитическом
виде будут записаны как
,
(1.9)
а график этой первообразной будет выглядеть так:
Рисунок 8. График первообразной (1.9)
Анализируя выражение (1.8), можно заключить, что эти первообразные есть не что иное, как и вероятность того, что случайная
величина X примет значение меньше, чем аргумент x:
15
(1.9)
(3<<4)=()
4
3
=
(4)−
(3)=
1
6
∙4−
1
6
∙3=
1
6
()=
(<
)
()=
(
)
=′(
)
(−
∞)=
0
(+
∞)=
0
()≥0,
∀
Например, если мы вычисляем вероятность того, что случайная
величина пойдёт в диапазон от трёх до четырёх, то это есть не что
иное, как:
(1.10)
В теории вероятностей такие функции (1.9) называют «Функци-
ями распределения случайной величины» и они связаны с плот-
ностью распределения вероятности следующим выражением:
(1.10)
То есть,
Функция распределения – это первообразная
по отношению к плотности распределения вероятностей
Для функции распределения очевидны следующие свойства^
1.
2.
3.
Рассмотрим первое свойство. Если мы в (1.9:
) вместо x поставим минус бесконечность, тоо
какое значение может принимать значения меньше, чем минус бесконечность? Правильный ответ: «Никакое», поэтому эта функция
распределения от минус бесконечности и равна нулю. Аналогично
для плюс бесконечности: функция распределения будет всегда равна единице, потому что случайная величина может в этом случае
принимать любое значение. Наконец, функция распределение всю-
16
;
;
.
ду должна быть больше либо равно нулю для любого x.
()=
(<)=()
()=
(
)
=′(
)
Кроме того,
– Функция распределения случайной величины
называется также интегральной функцией распределения или
интегральным законом распределения и существует как для диск-
ретных, так и непрерывных случайных величин.
– Плотность вероятности случайной величины
называется также дифференциальной функцией распределения
или дифференциальным законом распределения и существует
только для непрерывных случайных величин.
1.5 Некоторые виды распределений
В этом разделе рассмотрим виды плотности распределения вероятностей (ПРВ) которые часто используются на практике. В разделе 1.4 мы рассмотрели равномерную плотность распределения,
вид которой представлен на рисунке 9, и в качестве примера случайной величины, который подчиняется такому закону распределения,
использовали бросание игрального кубика с большим числом симметричных граней.
Рисунок 9. Равномерная ПРВ
17
Однако, это не самая частая плотность распределения, с кото-
()=
1
√2
−
(
−
)
2
2
2
рой сталкиваются инженеры при решении практических задач.
Преимущественно случайные величины подчиняются так называемой нормальной плотности распределения; её ещё называют гауссовой частью учёного Карла Фридриха Гаусса, который впервые
её подробно описал. Графики нормального распределения могут
выглядеть, как на рисунке 10, то есть могут иметь разные ширину и
смещение по оси абсцисс, а аналитически выражаются следующей
формулой:
,
где
Карл Фридрих Гаусс
Что же это за данные, которые подчиняются такому закону?
и
– параметры данного закона распределения.
Рисунок 10. Нормальная ПРВ
(1.11)
В 1777 году немецкий математик Даниил Бернулли понял, что «любая попытка человека что-либо оценить всегда будет приводить к
погрешности, и в этих погрешностях кроется некая закономерность».
Хорошая иллюстрация этого, когда стрелок пытается попасть по
мишени в десятку (рис. 11).
18
Даниил Бернулли
Выстрелы на рисунке отмечены синими кружкамми. Мы изме-
Рисунок 11. Пример нормального
распределения
ряем отклонения выстрелов по горизонтальной оси. Эти отклонения (проекции точек выстрелов на эту горизонтальную ось) как раз
и будут подчиняться нормальному закону распределения (рис. 12).
Рисунок 12. Отклонения проекций выстрелов от «десятки»
на горизонтальную линию подчинены нормальному закону
распространения
Пик кривой распределения отклонений выстрелов будет соответствовать «десятке», и чем дальше мы будем уходить от этого значения, тем всё меньше и меньше у нас будет отметок от выстрелов.
Так как стрелок пытается попасть по «десятке», то он большую часть
выстрелов направит в эту область, а чем дальше от «десятки», то
19
всё меньше и меньше будет этих отметок. Такому закону подчиняется большинство данных измерений из реальной жизни. Иногда даже
говорят: «Если данные из повседневной жизни не подчиняют нормальному закону, то значит в них что-то не так».
Впервые на это обратил внимание один дотошный француз Анри
Пуанкаре. Покупая хлеб в одной булочной, он заметил что буханки,
которые должны весить 1 кг, весили как будто немного меньше. Но
такого не должно быть. Если постараться выпекать хлеб весом в один
килограмм, некоторые буханки будут чуть меньше по весу, некоторые чуть больше, то есть распределение должно быть таким, как
красная линия на рисунке 13, а оно при измерениях получалось, как
синяя линия на том же рисунке. И такое смещение нормального закона распределения как раз и говорило о том, что хитрый булочник
на самом деле выпекает хлеб немного меньшей массы. Это автоматически свидетельствовало о нарушении закона об охране прав потребителей.
Анри Пуанкаре Рисунок 13. Распределения веса булок;
красная линия – как должно быть, синяя –
у хитрого булочника
После жалобы булочник стал продавать Пуанкаре буханки весом более одного килограмма, что также не соответствовало красной линии распределения (рис. 13). Повторная жалоба в полицию
привела уже к аресту булочника. Так использование нормального
закона распределения позволило Анри Пуанкаре выявить фальсификации при выпечке хлеба.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]