Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
между истинными значениями направлений
i
Y
t s
Y Y
X X
v l
v l
i st
N N
i ts
N N
,
i st s st
l N
0 0
X X
i st s i s i t i
v v A A l
i ts t i s i t i
v v A A l
на пунктах s и t,
дирекционными углами сторон и ориентирующих углов (дирекционных углов нулевого диаметра лимба), где
arctg
st
t s
(5.2)
Тогда уравнения поправок будут такими:
i st s
i ts t
(5.3)
соответственно для измеренных прямых
с пункта s на пункт т t или с пункта t на пункт т s направле-
или обратных
ний. Свободные члены этих уравнений
0 0
0 0
l N
i ts t ts
(5.4)
Линейные уравнения поправок (41) могут быть использованы
для предварительного уравнивания угловых измерений или для уравнивания ориентирных сетей.
Для окончательного уравнивания плановых сетей поправки дирекционных углов следует выразить через поправки координат пунктов, исходя из формулы
0 0
Y Y
arctg
st
t s
t s
,
после дифференцирования которой по координатам получим уравнения поправок:
(5.5)
, (5.6)
где
поправки к приближённым значениям ориентирующих
углов на пунктах s и t, вычисленные по приближённым координатам этих пунктов.
71
Векторы:
,
S
1 2 0 0
(sin cos )
i i i
i s t i
v l
i s t i s i t i
v A A l
1
1
2
N
P P P
P
t s
Y Y
X X
v A A l
0 0
s st
x
s
s
t
вектор поправок в координаты т..
y
s
x
t
вектор поправок в координаты т. t.
y
i
Матрица коэффициентов
A
0
S
i
.
Возьмём разность и сумму между уравнениями (5.5) и (5.6), в
результате получим
2 2
(5.7)
(5.8)
Можно доказать, что уравнения (5.7) и (5.8) содержат независи-
мые измерения, но с весами
вес измеренного направления.
N
, а с весами
Замечание. Уравнение (5.7) имеет очень простой вид и точно
такой же, как в нивелирных сетях.
3. Уравнения поправок для измеренных (гиротеодолитом) ди-
рекционных углов.
Исходная система связи
( )
Y X arctg
t s
уравнение поправок
где
l
угла,
0
измеренное.
st
i i s i t
0
,
приближённое значение ориентирногоо
s
, (5.9)
Уравнения (5.9) необходимо включать в общее уравнивание с
, гдеде
,
72
2
0
2
P
( ) ( )
Y X X Y Y
i i s i t i
v c c l
0 0
(cos ...sin )
i i
i i i st s t
l Y y S s
2
0
2
i
0
0.005 0.002
ΔλЄ
весами
.
4. Уравнение поправок для сторон плановой сети.
Исходная система связи для сторон
t s t s
, после линеаризации этой функции
получим уравнение поправок
, где
c
,
0 0
Во всех случаях веса измеренных сторон вычисляем по форму-
ле
0
P
i
, в качестве
.
удобно принять следующие значения
5.2 Уравнивание с ошибками исходных данных.
В настоящее время уравнивание геодезической сети необходимо выполнять с учётом ошибок исходных данных. Исходными пунктами чаще всего являются пункты сетей более высокого класса, а
также в этом качестве могут выступать и пункты сети того же класса, но уравненные ранее. Приведём для данного учёта необходимые
формулы. В этом случае система параметрических уравнений поправок
V=AΔx+L
(5.10)
будет иметь следующий вид
где
– вектор поправок в исходные данные,
V= AΔx+άΔλЄ+L
, (5.11)
матрица коэффициентов при исходных данных.
Если составлять матрицу коэффициентов нормальных уравнений с учётом исходных данных, то она будет иметь следующий вид
,
73
R R
T
R A PA
R A P
R PA
R P
1
ˆ
R
ˆ
x
ИС Х
ˆ
x
ˆ
V
ˆ ˆ
V Ax L
V E x L
0
ˆ
x
ˆ
x
ˆ
L
0
ˆ
L
min
ˆ
R R P
b
b
b A PL
b PL
x
T
T T
. (5.12)
T
ˆ
R
x
T
R R
, где
Матрица (50) будет вырожденной, поэтому не существует об-
ратной матрицы
и, следовательно, нельзя найти неизвестные
из решения нормальных уравнений. Но выход из этого положения
существует, т.к. вектор
нам известен, а также должна быть известна и матрица обратных весов
ния исходной сети). По этой причине вектор
Q Q
x
(из результатов уравнива-
можно рассматри-
вать как измеренный вектор. Тогда к системе уравнений поправок
(49) необходимо приписать ещё систему уравнений поправок
В качестве приближённых значений
вектор
, тогда вектор свободных членов
0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
L x x x x
, поэтому в системе (51) вектор
. (5.13)
ˆ
примем известный нам
будет равенен
можно
не учитывать.
Обратимся к квадратичной форме и к основному условию МНК
T T
V PV V PV
ˆ ˆ
ˆ
R
, в результате получим матрицу
R R
x
T
(5.14)
Вектор свободных членов системы нормальных уравнений b:
T
ˆ
b
, где
.
T
Теперь можно сформулировать простое правило для уравнива-
74
ния с учётом ошибок исходных данных:
ˆ
R
ˆ
P
ИСХ
P
ИСХ
1) Не делая никакого различия между исходными данными и
новыми неизвестными, выполняем сплошную нумерацию всех пунктов.
2) В соответствующем блоке матрицы
перь прибавить матрицу
, в нашем случае – это нижний правый
(5.14) необходимо те-
блок, а дальше решение выполняется как обычно. Возникает вопрос: где взять матрицу
?
При уравнивании любой геодезической сети в базе данных должна содержаться матрица обратных весов для всех уравненных пунктов. Далее из этой матрицы по именам пунктов новой и исходной
сети (имена должны быть разные) выбрать соответствующие эле-
менты для матрицы
Q
.
75
Раздел 6.
( ) 0
Y
( ) 0
( )
y Y
( )
( )
W y
y
r n
=
=
=
=
min
( )
2
T T
K
2 2 0
V
V P B K
BV W BP B K W
T
N BP B
0
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОРРЕЛАТНОГО СПОСОБА
УРАВНИВАНИЯ. СРАВНЕНИЕ ДВУХ СПОСОБОВ
ПАРМЕТРИЧЕСКОГО И КОРРЕЛАТНОГО
Исходная система связи для коррелатного способа имеет вид
Y
, где
вектор истинных значений измерений, при-
ведём его к линейному виду
где
вектор истинных значений ошибок измерений,
B W
, (6.1)
вектор неизвестных
вектор невязок (случайный)
вектор измерений (случайный),
В – матрица коэффициентов размером
,
Так как в системе (53) число уравнений меньше, чем неизвест-
ных, для неё можно подобрать бесчисленное множество решений
, но выделить среди них единственный вектор, соответствующий
измеренному у невозможно из-за недостатка информации. Поэтому
необходимо выбрать наилучшие оценки
ством
T
V PV
.
V
, обладающие свой-
В результате получаем задачу на условный экстремум. Для это-
го необходимо составить
T T
V PV Bv W
метод Лагранжа,
вектор неопределённых множителей Лагранжа.
Теперь для нахождения экстремума найдём производные
T T
V P K B
1 T
подставим его в (6.1)
лучим
, где К – вектор коррелат..
, отсюда выразим вектор
(6.2)
1 T
NK W
, обозначим за
– система уравнений коррелат (6.3)
76
1
, тогда по-
Решая эту систему, получим:
K N W
y y V
K W
K N
( 0)
j jj
W N
1
Контроль вычислений:
T
(6.4)
Достоинством коррелатного способа является то, что в этом способе вычисляется вектор невязок W и его корреляционная матрица
2
.
0W
Т. к. математическое ожидание вектора невязок равно нулю
, то можно указать допустимое отклонение вектора невя-
W
зок W от нуля в обе стороны по следующей формуле
доп
(6.5)
0
Сравнение двух способов
Изучив оба способа уравнивания, можно отметить, что единственным достоинством коррелатного способа является возможность
выполнения контроля грубых ошибок по невязкам условных уравнений. Но составление самих условных уравнений как вручную, так
и на ПК обладает сложной логикой, за исключением простых случаев. Также имеет место сложная процедура составления функций (координат пунктов) для вычисления их оценки точности. По этой причине в настоящее время коррелатный способ практически не применяется.
Параметрический метод хотя и не позволяет выполнять контроль грубых ошибок, тем не менее он достаточно легко программируется, поскольку уравнения поправок составляются непосредственно для измеренных величин, а их не так много. Кроме того, в параметрическом способе легко выполнить оценку точности всех неизвестных. Для этого достаточно вычислить лишь матрицу обратных
весов неизвестных.
77
Раздел 7.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
И СПОСОБЫ УРАВНИВАНИЯ
7.1 Понятие о рекуррентном уравнивании
Рекуррентное, или последовательное, уравнивание – сравнительно новый перспективный способ уравнивания геодезических сетей,
разрабатываемый и внедряемый проф. Ю.И. Маркузе и получивший
широкое развитие в последние два десятилетия.
Рекуррентное уравнивание дает возможность без составления и
решения нормальных уравнений сразу получать матрицу обратных
весов определяемых элементов сети – по мере включения в сеть
новых измерений.
Сущность рекуррентного уравнивания состоит в последовательном присоединении к уже уравненной сети новых измерений как по
одному, так и группами. Рекуррентное уравнивание позволяет:
- легко присоединять к уже уравненной сети новые измерения и
новые неизвестные;
- значительно сократить объем вычислений при уравнивании
обширных сетей с одновременным контролем грубых ошибок измерений и ошибок исходных данных;
- дает новые возможности для решения широкого круга задач
уравнительных вычислений.
Алгоритм рекуррентного способа уравнивания подробно излагается, Ю.И. Маркузе и автор отмечает, что «…рекуррентное уравнивание обладает как достоинствами параметрического, так и коррелатного способа, но позволяет избежать сложную процедуру составления условных уравнений и оценки точности неизвестных...».
7.2 Обобщенный способ уравнивания и его частные случаи
Обобщенным способом уравнивания называется обобщенный
параметрический способ, из которого можно получить все известные и новые способы уравнивания с помощью «переключателя»
способов. Переключение способов выполняется различной спецификацией матриц коэффициентов и матрицы весов результатов измерений.
Идея обобщенного способа уравнивания состоит в следующем.
Система параметрических уравнений поправок в виде
(58)
разделяется на блоки:
78
(7.1)
β
β
В соответствии с этим матрица Р также будет иметь блочную
структуру:
(7.2)
Таким образом, система (58) разделена на две системы, разме-
ры которых устанавливаются, исходя из существа решаемой задачи.
Далее вводится вспомогательный вектор
(7.3)
Решение уравнений (58) под условием МНК Ф = VT PV = min
приводит, в конечном итоге, к системе
(7.4)
где матрицы определяются по формулам: R=ATPA, Rα =ATPα,
Rαα =αTPα; а G =ATPL, Gα = αTPL – векторы.
При этом условие МНК преобразуется к виду:
(7.5)
Система уравнений (62) и формула (63) выражают сущность идеи
обобщенного уравнивания.
Если принять α = 0, В = 0,
параметрический способ уравнивания с системой нормальных уравнений RХ + G = 0.
Если в системе (62) матрицы А = Е, α = 0,
то получим систему
(7.6)
Приняв в ней Р
системой нормальных уравнений NK + W = 0.
Если принять α = 0 и
-1
= 0 при W = L, получим коррелатный способ с
β
= 0, L = 0, то получим обычный
= 0 и вектор L = 0,
= 0, то получим новую модель
79
, (7.7)
которую целесообразно применять, когда часть измерений (с вектором поправок V) имеет большие веса.
Из обобщенного способа уравнивания вытекает также параметрический способ с условиями, который полностью совпадает с рекуррентным способом учета уравнений поправок, и коррелатный
способ с дополнительными неизвестными, который применяется в
случае, если введение дополнительных неизвестных упрощает вид
условных уравнений связи.
7.3 Строгое и приближенное уравнивание
Уравнивание геодезической сети будет строгим только тогда,
когда при формировании весовой матрицы результатов измерений
учитывается вся имеющаяся информация о точности и коррелированности этих измерений. Только в этом случае в результате уравнивания по МНК получим числовую модель сети, максимально правдоподобную реальному объекту.
Можно утверждать, что практически все возможные отступления от строгого уравнивания сводятся к неправильному установлению весов измерений. Кроме того, деформирующее влияние на результаты уравнивания оказывают ошибки исходных данных и систематические ошибки.
Любое отступление от строгого уравнивания приведет к приближенным результатам. Точность таких результатов не может быть
выше той точности, что получается из строгого уравнивания. Можно показать, что
, (7.8)
где Р и Р – строгая и приближенная матрицы весов измерений;
V – МНК-поправки к измерениям соответственно из строгого и
приближенного уравнивания.
Если по каким-либо причинам (например, для сокращения объема вычислений) вместо строгого уравнивания выполняется приближенное, то оценка точности результатов приближенного уравнивания должна быть строгой. Иначе может получиться парадоксальный вывод о том, что точность результатов приближенного уравнивания выше точности результатов строгого уравнивания.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]