Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
геодезических измерений ограничены физическими “точками”,
“прямыми”, “плоскостями” и определить их “абсолютные” геомет-
рические границы не представляется возможным. Неопределенность
границ объекта измерения является одной из причин расхождений в
результатах повторных измерений, ибо в каждом отдельном измерении исполнитель по-иному оценивает границу объекта. Неопределенность границ объекта измерения связана не только с «геометрией» объекта. Так, например, невозможно определить “абсолютные”
границы временного интервала. Аналогичные рассуждения вполне
возможно провести относительно прочих, негеометрических,
свойств, подлежащих измерению.
Поскольку “все течет, все изменяется”, не остаются неизменными и объекты измерения. Эти изменения неизбежно отражаются в
результатах повторных измерений.
2. Элементарные погрешности субъекта измерения в геодезической литературе известны, как “личные” погрешности. Все они
связаны с ограниченными возможностями органов чувств наблюдателя. Широко известно геодезистам понятие “критический угол зрения”, т.е. минимальный угол, под которым две точки с расстояния
наилучшего зрения (30-35 сантиметров) видны, как не сливающиеся. Подобные “критические” пороги присущи всем другим органам
чувств человека, что не может не оказывать влияние на процесс измерения и не сказываться на его результатах.
3. Погрешности средств измерений обусловлены погрешностями изготовления, установки и настройки мерного прибора и возникают в связи с:
а) несоблюдением необходимых для данного прибора геометрических условий, таких как перпендикулярность или параллельность осей и прочее;
б) наличием механических особенностей сочленения отдельных
узлов прибора, таких как люфт, трение, деформации, вибрации и
другое;
в) несовершенство оптики, наличие аберрации, ограниченная
разрешающая способность и прочее;
г) несовершенства в работе электронных узлов приборов, таких
как “задержки” сигналов в цепях, возникновение “шумов” и прочее.
Список источников приборных погрешностей может быть зна-
51
чительно расширен, в том числе и за счет упрощения модели прибора по отношению к тем математическим соотношениям, которые
определяют данную схему измерений. Последнее замечание следует отнести и к целой серии аналоговых измерительных приборов
старшего поколения.
4. Методические погрешности обычно связаны с ограничениями, накладываемыми на процесс измерения различными техническими инструкциями, определяющими процесс измерения. В любых
инструкциях всегда задается некоторый предел возможных отклонений от теоретических положений, определяемых исходными математическими соотношениями.
5. Погрешности, порождаемые внешней средой, связаны с постоянным изменением внешней среды как во времени, так и в пространстве и ее влиянием на процесс измерения. Это, прежде всего,
различного рода рефракции, влияющие на прохождение оптических
лучей; “шумовые” помехи, накладывающиеся на электромагнитные
сигналы измерительных приборов при их прохождении через ионосферу, стратосферу и атмосферу и прочее. Кроме того, внешняя среда оказывает определенное воздействие на технические средства
измерения, тем самым меняет их характеристики и порождает новые приборные ошибки. Внешняя среда, воздействуя на исполнителя, также определенным образом меняет “личные” ошибки наблюдателя.
Такой подход к строению погрешности результата измерения
является вполне оправданным с точки зрения практики измерений.
Заканчивая обзор элементарных погрешностей, необходимо отметить следующее: в практике часто бывает трудно строго ограничить класс элементарных погрешностей, чтобы однозначно можно
было отнести конкретную элементарную погрешность к тому или
иному классу. Это связано, во-первых, с тем, что факторы измерений взаимодействуют в процессе измерений друг с другом, а с другой стороны, любая классификация небезупречна, т.е. является научной абстракцией, призванной помочь вскрыть и изучить физические свойства изучаемого объекта.
2.2 Числовые характеристики точности измерений
Для характеристики точности измерений в геодезической практике обычно используют среднюю квадратическую погрешность (СКП)
52
2
пред
пред
m
n
(2.2)
Рассмотрим рисунок 18.
Рисунок 18. Схема образования средней квадратической погрешности
Здесь
истинная погрешность i-ого результата измерений
i
положения точки на оси координат.
На базе каждой погрешности строится квадрат, а затем определяется и строится средний по площади квадрат (он заштрихован).
Сторона этого квадрата и есть СКП данного ряда измерений. Следовательно, СКП не есть погрешность какого-то конкретного измерения. СКП характеризует целый класс измерений, проводимых в одних и тех же условиях.
Зная СКП измерения, задают предельную погрешность, например,
пред
.3.m
Можно утверждать, что погрешность любого измере-
ния, проводимого в этих условиях, с определенной весьма высокой
вероятностью не превзойдет величины предельной погрешности, т.е.
практически всегда будет выполняться неравенство
.
i
Если же выполняется неравенство противоположного смысла,
т.е.
i
(истинная погрешность превышает предельную), мож-
но делать вывод, что в измерениях имеет место грубая погрешность.
В этом случае необходимо измерение провести заново.
В геодезической практике понятие «предельная погрешность»
используется для получения так называемых допустимых погрешностей (допусков).
53
2.3 Оценка точности результатов измерений по истинным (дей-
.
,...,
,
mmm
ствительным) погрешностям
Пусть имеется ряд результатов измерений
21
одной
,...,,
n
физической величины, полученных в одинаковых условиях (равноточные измерения). Истинное (действительное) значение этой вели-
чины известно и равно L. По формуле (1.1) можно получить ряд
,...,,
21
истинных (действительных) погрешностей результа-
n
тов измерений. В этом случае в качестве характеристики точности
может быть применена формула средней квадратической погреш-
2
ности
m
,
n
где – символ суммы, введенный Гауссом, означающий сум-
мирование однородных элементов, отличающихся изменяющимися
от 1 до п индексами. Символ Гаусса эквивалентен символу
,
где
ni 1
n – количество суммируемых величин. Для приведенной формулы в
соответствии с правилом раскрытия символа Гаусса имеем:
2
2
1
...n
2
22
.
2.4 Оценка точности функций результатов измерений
Пусть непосредственно измерены некоторые величины, точность
измерения которых нам известна. Далее по измеренным величинам
проводим вычисление новых величин. Возникает задача вычисления характеристик их точности.
Например, по измеренным стороне и двум углам треугольника
необходимо вычислить две другие стороны и оценить их точность,
если известны характеристики точности измерения линии и углов
этого треугольника.
Решение поставленной задачи выполняется на основании следующих теорем.
Теорема 1
Пусть
21
– ряд результатов измерений. Результаты из-
,...,,
n
мерений получены в условиях, которые обеспечивают точность,
характеризующуюся, соответственно, СКП
21 n
По этим
54
результатам измерений получена их линейная функция вида
k
,...
CCCCy
22110 nn
где
C
– постоянные. Тог-ог-
i
да СКП этой функции может быть вычислена по формуле
212
1
2
...
22222
mCmCmCm
(2.3)
nny
Теорема 2
Пусть
21
– ряд результатов измерений, полученный в
,...,,
n
таких условиях, которые обеспечивают точность, характеризующу-
.,...,,
юся, соответственно, СКП
mmm
21 n
По этим результатам из-
мерений получена дифференцируемая функция вида
. Тогда СКП этой функции может быть вычис-
fy
21 n
),...,,(
лена по формуле
2
y
m
y
2
m
1
1
...
2
y
2
m
n
n
(2.4)
2.5 Веса результатов измерений
Вес является характеристикой относительной точности результата измерения и рассчитывается как величина, обратно пропорциональная квадрату средней квадратической погрешности результата
измерения.
Пусть имеем ряд измерений
характеризуется, соответственно, СКП
21
, каждое из которых
,...,,
n
mmm ,...,,
. Тогда вес i-гоо
21
n
результата измерения может быть рассчитан по формуле:
k
,
i
2
m
i
(2.5)
где
p
некоторая постоянная.
Так как вес – характеристика относительной точности, то понятие веса не применимо к одному отдельно взятому измерению. Можно приписать любой вес результату единичного измерения, но этот
факт еще не о чем не говорит. Вес показывает, во сколько раз разброс измерений одной величины больше или меньше разброса другой. Необходимо помнить, что под разбросом одного измерения следует понимать разброс для серии измерений, выполняемых в одина-
55
ковых условиях. Тогда, чем больше вес одного результата измере-
p
.
ния, тем точнее это измерение по сравнению с другими.
Выбирая различные значения k в формуле (2), тем самым уве-
личиваем (уменьшаем) в одно и то же число раз веса всех результатов измерений
21
, при этом соотношение весов отдельных
,...,,
n
результатов измерений остается неизменным.
Можно вывести следующие соотношения:
k
m
2
i
i
2
mpk
ii
p
j
m
k
2
j
2
mpk
jj
Из последних равенств следует, что
22
mpmp
jjii
Это позволяет произвести расчет любой неизвестной четвертой
величины, например:
Из последних равенств следует, что
22
mpmp
jjii
Это позволяет произвести расчет любой неизвестной четвертой
величины, например:
2
m
j
pp
ji
2
m
i
Выберем k так, чтобы вес одного из измерений
p
j
mm
.;
ji
p
i
p
j
получаем
1
k
22
jj
СКП величины, обладающей единичным весом, обычно обозна-
чают
Тогда и верно соотношение:
(2.6)
1
. Тогда
2
p
i
m
.
2
i
(2.7)
В геодезической практике величину называют «СКП едини-
цы веса», понимая под этим «средняя квадратическая погрешность
величины, вес которой равен единице».
56
2.6 Вычисление весов функций результатов измерений
Иногда в практике геодезических работ возникает необходимость рассчитать вес функции результатов измерений. Решение поставленной задачи может быть проведено на основании следующих
двух теорем.
Теорема 3
Пусть
ны с весами, соответственно равными
– результаты независимых измерений получен-
,...,
n
21
ppp ,...,,
. Тогда линей-
21
n
ная функция этих результатов измерений
...
2211
nn
i
, где все
CCCy
– теорети-
),...,2,1( niC
ческие постоянные, имеют обратный вес, вычисляемый по формуле
1
p
y
C
C
2
1
p
p
2
1
2
2
2
C
n
....
p
n
(2.8)
Теорема 4
Пусть
21
чены с весами, соответственно равными
ференцируемая функция
– результаты независимых измерений полу-
,...,
n
ppp ,...,,
n
21
fy
21 n
),...,,(
имеет обратный вес,
. Тогда диф-
вычисляемый по формуле
2
р
11
f
1 nnу
...
р
1
2
1
f
.
р
(2.9)
2.7 Математическая обработка результатов измерений одной
величины
Пусть имеется ряд
,...,,
21
измерений одной и той же фи-
n
зической величины L, истинное значение которой неизвестно. Всее
измерения производились в различных условиях, и результаты из-
мерений соответственно характеризуются весами
21
. На
ppp ,...,
n
основании этих данных необходимо решить две задачи:
1. Задача уравнивания. Уравнивание есть процесс нахождения
значения измеряемой величины наилучшего в смысле его, близости
к истинному значению.
57
В качестве наилучшего приближения принимается величина,
называемая общей арифметической серединой или средней взвешенной, вычисляемой по формуле
p
Здесь следует обратить внимание на тот факт, что каждое измерение вносит в формирование уравненного значения долю, пропорциональную его весу, т. е., чем точнее результат измерения, тем больше вес, с которым это измерение входит в окончательный результат.
2. Задача апостериорной оценки точности. Апостериорная
(a‘posteriori – с латинского после опыта) оценка точности – это оценка
точности по результатам измерений. В случае математической обработки ряда измерений одной физической величины апостериорная
оценка точности предполагает вычисление характеристик точности
результатов измерений и характеристику точности уравненного значения измеряемой величины.
Прежде всего, необходимо вычислить СКП единичного веса. Эта
задача решается с помощью формулы
p
p
p
2211
p
p
pV
p
nn
....
p
,
(2.10)
(2.11)
12n
где
V
Далее вычисляют вес общей арифметической середины
Вес общей арифметической середины (среднего взвешенного)
равен сумме весов отдельных результатов измерений.
Тогда СКП общей арифметической середины может быть най-
дена из соотношения
поправка из уравнивания.
ii
pp
m
p
Рассмотрим частный случай, когда все измерения выполнены
равноточно. В этом случае возможно воспользоваться результатами
предыдущих рассуждений, приняв данный ряд как частный случай
предыдущего при условии, что все веса измерений одинаковые. Им
58
всем можно придать любые, но одинаковые, значения. Наиболее
n
целесообразно придать всем весам ряда измерений значение, равное единице. Тогда в качестве наилучшего приближения будем, как
и ранее, рассматривать величину
,
1
p
i
среднее арифметическое (простая арифметическая середина) является наилучшим приближением к истинному значению многократно равноточно измеренной величины.
p
В этом случае СКП единичного веса будет характеризовать точ-
, а
. И окончательно
np
p
. При условии, что всее
p
, то естьсть
ность любого измерения, т.к.
веса проводим по формуле
Вес среднего арифметического вычисляется по формуле
вес среднего арифметического равен числу осредняемых резуль-
татов измерений.
Тогда СКП среднего арифметического будет можно вычислить
по формуле
npp
,
p
m
m
. Вычисление СКП единичногоо
1
V
(2.12)
12n
(2.13)
n
59
Раздел 3.
i
i
S
i
h
, ,
x y z
( )
Y X
( )
i i j
Y X
1,2,......
j k
1,2,.....
i n
n k
ОСНОВЫ УРАВНИТЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В настоящее время самыми известными способами уравнивания являются:
- параметрический;
- коррелатный (или способ условий);
- реккурентный.
Если сравнивать эти способы, то параметрический имеет преимущество в скорости решения систем нормальных уравнений на
ЭВМ, т.е. легко программируется.
Например:
- направления
- длины сторон
- превышения (по разности отсчётов)
- базисный вектор
;
;
;
– приращения координат по спут-
никовым измерениям.
Коррелатный способ практически не применяется из-за сложности составления условных уравнений и оценки точности функций на
ЭВМ, тем не менее его теория представляет значительный интерес в
плане расширения понимания многих процессов уравнительных вычислений и позволяет выполнять контроль грубых ошибок по невязкам условных уравнений, в отличие от параметрического.
При решении некоторых задач целесообразно применять коррелатный способ с дополнительными неизвестными.
Реккурентный способ объединяет в себе лучшие достоинства
параметрического и коррелатного способов.
Основные этапы вычислений параметрическим способом:
1. Составление системы исходных уравнений связи между истинными значениями измеренных величин и точными значениями
искомых величин (параметров):
(3.5)
или
зывают числом необходимых измерений),
, где
число параметров (ещё k на-
число из-
меренных величин. Задача уравнивания возможна только при
60
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]