Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
Пример 6. Сколькими способами можно из 20 присяжных засе-
20
3
=
20
!
(
20−3)!∙3
!
=
1∙2∙3∙…∙17∙18∙19∙20
1∙2∙3∙…∙17∙1∙2∙3
=
18∙19∙20
1∙2∙3
=
1140
=
∙
дателей отобрать трех для участия в судебном процессе?
Решение. Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны
кандидатуры, число вариантов равно
Подчеркнем, что
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
1.9 Умножение вероятностей
Произведение событий.
Произведением двух событий A и B называют событие A • B,
состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Например, если A –деталь годная, B – деталь окрашенная, то A • B –
деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если
A, B, C – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то A • B • C – выпадение «герба» во всех
трех испытаниях.
Условная вероятность.
Случайное событие – это событие, которое при осуществлении
совокупности условий S может произойти или не произойти. Если
при вычислении вероятности события никаких других ограничений,
кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют бе-
зусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия,
то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что
произошло событие A.
Условной вероятностью называют вероятность собы-
тия B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.
Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды
вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие B),
31
если при первом испытании был извлечен черный шар (событие A).
()
=
3
5
()
=
(∙
)
(
)
()=
3
6
=
1
2
6
2
=5∙6=
30
(∙)=
9
30
=
3
10
()
=
(∙
)
(
)
=
3
10
1
2
=
3
5
()>
0
Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из
них 3 белых. Искомая условная вероятность
Этот же результат можно получить по формуле
при
Действительно, вероятность появления белого шара при первом
испытании
Найдем вероятность того, что в первом испытании по-
явится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов –
совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений
Из этого числа исходов событию А • В благоприятствуют 3 • 3 = 9
исходов. Следовательно,
Откуда искомая условная вероятность:
Как видим, получен прежний результат.
Таким образом,
Условная вероятность события B
при условии, что событие A уже наступило, равна
)
( ∙
()
при
=
32
(
)
Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.
(∙)=
()∙
()
()
=
(∙
)
(
)
(∙)=
()
∙
(
)
(∙)=
()
∙
(
)
(∙)=
()
∙
(
)
()
∙
()=
()
∙
(
)
(1∙
2∙
3∙…∙
)
=
(
1
)
∙
1
(
2
)
∙
1
2
(
3
)
∙…∙
12…
−1
(
)
Рассмотрим два события: A и B; пусть вероятности P(A) и PA(B)
известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т. е.
вероятность того, что появится и событие A, и событие B? Ответ на
этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Доказательство. По определению условной вероятности,
Отсюда
Замечание. Применив формулу (1.17) к событию , получим
или, поскольку событие не отличается от события ,
(1.18)
Сравнивая формулы (1.17) и (1.18), заключаем о справедливости равенства
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких
событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого
последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
где – вероятность события , вычислен-
33
(1.19)
(1.20)
,
ная в предположении, что события наступили.
(∙∙)=
()∙
()
∙
()
()=
3
10
()
=
7
9
(∙)=
()∙
()
=
3
10
∙
7
9
=
7
30
()=7/
10, ()=3/
9, ()∙
()=(7/10)∙(3/9)= 7/30
()=
5
12
В частности, для трех событий
Заметим, что порядок, в котором расположены события, может
быть выбран любым, то есть безразлично, какое событие считать
первым, вторым и т. д.
Пример 2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических
валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков конусный, а второй эллиптический.
Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А),
Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим
(событие В), вычисленная в предположении, что первый валик конусный, т. е. условная вероятность
По теореме умножения искомая вероятность
Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:
,
что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (1.19).
Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое
испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором – черный (собы-
тие B) и при третьем – синий (событие C).
Решение. Всего шаров 12. Вероятность появления белого шара
в первом испытании
34
Вероятность появления черного шара во втором испытании,
()
=
4
11
()
=
3
10
(∙∙)=
()∙
()
∙
()
=
5
12
∙
4
11
∙
3
10
=
1
22
()
=
(
)
()∙
()=
()
∙
(
)
()=
()
(∙)=
()∙
(
)
вычисленная в предположении, что в первом испытании появился
белый шар, т. е. условная вероятность
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т. е. условная вероятность
Искомая вероятность
Теорема умножения вероятностей для независимых событий
Пусть вероятность события B не зависит от появления события A.
Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности события B, т. е., если услов-
ная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
(1.21)
Подставив (1.19) в соотношение (1.19), получим
Отсюда
,
т. е. условная вероятность события A в предположении, что наступи-
ло событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B.
Итак, если событие B не зависит от события A, то и событие A
не зависит от события B; это означает, что свойство независимос-
ти событий взаимно.
Теорема вероятность совместного появления двух независи-
мых событий равна произведению вероятностей этих событий
(1.22)
Равенство (1.21) принимают в качестве определения независимых событий.
35
Два события называют независимыми, если вероятность их
(∙)=
()∙
()=0,8∙0,7=0,
56
(1∙
2∙…∙
)
=
(
1
)
∙
(
2
)
∙…∙
(
)
(
+
)
1
=
1
0
+
1
1
=+
(
+
)
=
2+
11+
2=
2+2+
=
5+54+10
32+1023+54+
5
совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу
задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух
орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому
события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило
цель» независимы.
Пример 4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием
(событие A) равна 0,8, а вторым (событие B) – 0,7.
Решение. События A и B независимые, поэтому, по теореме ум-
ножения, искомая вероятность
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
1.10 Бином Ньютона
Бином (от лат. bis – дважды, nomen – имя), или двучлен – частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых
мономов (одночленов). Под биномом Ньютона чаще всего подразумевают формулу возведения двучлена (а + b) в целую неотрицательную степень n:
(а + b)0 = 1, так как
(
+
(
+
(
+
0
2
2
0
3
)
=
3+
3
0
4
)
=
4+
4
1
2
1
21+
3
1
31+
4
2
2
2
12+
3
2
22+
4
= 4+ 43 + 622+ 43+
0
5
)
=
5+
5
1
41+
5
2
32+
5
36
2
3
= 3+ 32 + 3
3
3
13+
4
3
23+
5
4
4
4
4
4
4+
5
3
5
5
5
(
+
)
=
0
+
1−11
+
2−22
+⋯+
−22−2
+
−11−1
+
=
!
(
−)!∙
!
(
+
)
6
=
6
0
6+
6
1
51+
6
2
42+
6
3
33+
6
4
24+
6
5
5+
6
6
6
=
6+65+15
42+2033+1524+65+
6
Биномиальные коэффициенты можно рассчитать по (1.17):
Также можно воспользоваться «треугольником Паскаля», который представляет собой бесконечную таблицу биномиальных коэффициентов. По бокам этого треугольника расположены единицы, а
каждое внутреннее число равно сумме двух ближайших верхних
чисел (красные метки):
Рисунок 16. Треугольник Паскаля
Так, например, для возведения двучлена в 6-ю степень следует
руководствоваться общей формулой бинома, после чего сразу записать числа из строки № 6 треугольника Паскаля:
37
Кроме того, данная таблица позволяет быстро находить отдель-
6
2
6
2
=
15
9
5
9
5
=
126
10
3
10
3
=
120
=
1,если
вероятность
0,если
вероятность
1−
=
−
но взятые биномиальные коэффициенты (например, в целях проверки
вычислений по формуле (1.17))
– находим строку № 6 и (внимание!) 2 + 1 = 3-й элемент
слева (зелёный кружок):
– находим строку № 9 и выбираем 5 + 1 = 6-й элемент слеваа
(малиновый кружок):
;
– находим строку № 10 и выбираем 3 + 1 = 4-й элемент
слева (коричневый кружок):
.
1.11 Биномиальное распределение
Случайная величина следует распределению Бернулли, если она
имеет только два возможных результата: 0 или 1. Например, предположим, что мы подбрасываем монету один раз. Пусть вероятность
того, что он выпадет орлом, равна p. Это означает, что вероятность
того, что выпадет решка, равна 1 – p.
Таким образом, мы могли бы написать:
В этом случае случайная величина X подчиняется распределению
Бернулли. Она может принимать только два возможных значения.
Теперь, если мы подбросим монету несколько раз, то сумма случайных величин Бернулли будет следовать биномиальному распределению.
Например, предположим, что мы подбрасываем монету 5 раз и
хотим узнать вероятность выпадения орла k раз. Мы бы сказали, что
случайная величина X следует биномиальному распределению.
Формула Бернулли.
Вероятность
того, что в n независимых испытаниях неко-
торое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:
где:
p – вероятность появления события A в каждом испытании;
38
=1−
испытании.
=1
– вероятность непоявления события A в каждомм
Коэффициент
Когда
лентно распределению Бернулли.
1.12 Нормальное распределение
Нормальное распределение случайной величины (гауссово распределение, распределение Гаусса, распределение Гаусса-Лапласа) –
одно из непрерывных распределений, имеющее основополагающую
роль в математической статистике. Причинами этого являются:
1. Многие эмпирические распределения можно успешно описать с помощью нормального закона распределения. Это чаще всего
происходит в тех случаях, когда на показатель оказывает влияние
большое число случайных факторов. При этом действие каждого
фактора незначительно.
2. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных
математических свойств, обеспечивших его широкое применение в
статистике.
3. Корректное использование критериев проверки статистических гипотез предполагает знание закона распределения экспериментальных данных. Так, например, использование t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера требует нормального распределения
экспериментальных данных.
4. Большинство экспериментальных распределений, полученных при исследованиях области геодезии и землеустройства, может
быть описано с помощью нормального распределения.
часто называют биномиальным коэффициентомм
испытание, биномиальное распределение эквива-
История изучения нормального распределения
Блез Паскаль и Пьер Ферма
Первые исследования по теории вероятностей проводили математик, механик, физик Блез Паскаль и математик Пьер Ферма в середине XVII века. Эти исследования выполнялись по просьбе Шевалье де Мере, азартного игрока в кости, который пытался понять
природу выигрыша. В дальнейшем эти исследования заложили основы теории вероятностей.
Якоб Бернулли
39
Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в XVIII
веке. В 1713 году была опубликована книга швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений». В этой книге был
рассмотрен ряд вопросов теории вероятностей. Якоб Бернулли ввёл
значительную часть современных понятий теории вероятностей, а
также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант «закона больших чисел», разъясняющего,
почему частота события в серии испытаний не меняется хаотично, а
в некотором смысле стремится к своему предельному теоретическому значению (то есть вероятности).
Джеймс Стирлинг
Впоследствии (в 1730 г.) шотландский математик Джеймс Стирлинг опубликовал формулу, аппроксимирующую произведение первых n чисел. Это позволило упростить решение ряда задач, которые
встречаются в теории вероятностей.
Абрахам де Муавр
Эту задачу решил английский математик Абрахам де Муавр.
В работе «Доктрина случайностей», которая была издана в 1738 году,
он привел формулу, аппроксимирующую биномиальное распределение события, вероятность которого была равна 0,5 (рис.16). То есть,
он нашел уравнение кривой, проходящей через точки графика, изображённого на рисунке 16. Это была формула, которую впоследствии
стали называть формулой нормального распределения вероятностей. Появление формулы нормального распределения значительно
упростило расчеты вероятностей событий.
Пьер-Симон де Лаплас
В начале XIX века (1812) французский математик, механик,
физик и астроном Пьер-Симон де Лаплас обобщил результаты
А. Муавра для произвольного биномиального распределения.
Рисунок 16. Биномиальное распределение
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]