Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки измерений. Учебно-методическое пособие
.pdf
Следующим довольно распространённым распределением яв-
()=
2
2
2
2
≥0
=
=
(
1−
0
)
2
−(1−
0
)
2
ляется распределение Рэлея (рис. 14).
(1.12)
Какие же данные подчиняются такому закону распределения?
Если взять тот же пример с мишенью и теперь рассматривать вместо отклонений (проекций точек выстрелов на горизонтальную ось)
евклидово расстояние от центра мишени до отметок выстрелов (зелёные линии от синих отметок выстрелов до центра мишени), которое можно выразить как
,
(1.13)
то эти расстояния X как раз и будут подчиняться рэлеевскому
закону.
Рисунок 14. Отклонения евклидовых расстояний отметок выстрелов
от «десятки» подчинены закону распространения Рэлея
Экспоненциальное распределение (рис. 15)
21
Рисунок 15. Экспоненциальная ПРВ
()=
−
≥0
1
–среднее
время
ожидания
очередного
покупателя
(
)
+
∞
=1
()≥
0
∀
,
(1.14)
В качестве примера данных, которые подчиняются экспоненциальному распределению, можно рассмотреть следующий случай:
например, есть некий магазин, в который приходят покупатели, но
не слишком часто. При таком допущении время ( ) между дву-
мя последовательными покупателями будет как раз распределено по
экспоненциальному закону, причём
,
а
– среднее число покупателей за единицу времени
В данном разделе мы рассмотрели некоторые наиболее распространённые законы распределения случайных величин. Разумеется,
это не все плотности распределения вероятности, которые встречаются на практике. Общее их количество бесконечно, так как формально любая функция, у которой соблюдается такие свойства
−∞
,
(1.14)
22
может уступать в качестве плотности распределения вероятности.
Мы рассмотрели плотности равномерного распределения вероятности, гауссова распределение, распределения Рэлея и экспоненциального распределения. В следующем разделе подробнее остановимся на нормальном распределении.
1.6 Виды случайных событий
События называют несовместными, если появление одного из
них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной
детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – несовместные.
Пример 2. Брошена монета. Появление «орла» исключает появление «решки». События «появился орел» и «появилась решка» –
несовместные.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате
испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное
событие. В частности, если события, образующие полную группу,
попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и
только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для
нас наибольший интерес, поскольку используется далее.
Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи.
Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш
выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти
два несовместных события образуют полную группу.
События называют равновозможными, если есть основания счи-
тать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример 5. Появление «орла» и появление «решки» при бросании монеты – равновозможные события при предположении, что
23
монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную
()=
1
6
()=
1
3
цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния
на выпадение той или иной стороны монеты.
Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной
игральной кости – равновозможные события при предположении,
что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет
форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает
влияния на выпадение любой грани.
События A и B являются независимыми, если вероятность на-
ступления одного из них не изменяется при наступлении другого.
Событие A является зависимым от события B, если наступление события B изменяет вероятность наступления события A.
Пример 7. Бросают игральный кубик. Пусть событие A «выпало 2 очка», событие B «выпало чётное число очков». Если не известно, наступило событие B или нет, то вероятность наступления события A равна
Если известно, что событие B наступило (то есть выпало чётное
число очков), то вероятность поступления события A уже будет равной
Делаем вывод, что событие A зависит от события B.
1.7 Сложение вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Суммой А + В двух событий A и B называют событие, состоящее в появле-
нии события A или события B, или обоих этих событий. Например,
если из орудия произведены два выстрела и A – попадание при первом выстреле, B – попадание при втором выстреле, то A + B – попада-
ние при первом выстреле или при втором, или в обоих выстрелах.
В частности, если два события A и B – несовместные, то A + B –
событие, состоящее в появлении одного из события, безразлично
какого.
Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит
24
в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие
(+)=
()+
(
)
(+)=
(
1+
2
)
=
1
+
2
(1+
2+⋯+
)
=
(
1
)
+
(
2
)
+⋯+
(
)
A + B + C состоит и появлении одного из следующих событий: A, B,
C; A и B; A и C; B и C; A и B и C.
Пусть события A и B – несовместные, причем вероятности этих
событий известны. Как найти вероятность того, что наступит событие A либо событие B?
Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возмож-
ных элементарных исходов испытания; m1 – число исходов, благоприятствующих событию A; m2 – число исходов, благоприятствующих событию B.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению
либо события A, либо события B, равно m1 + m2. Следовательно,
Приняв во внимание, что
и
,
окончательно получим
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попар-
но несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Доказательство. Рассмотрим три события: A, B и C. Так как рас-
сматриваемые события попарно несовместны, то появление одного
из трех событий – A, B и C – равносильно наступлению одного из
25
двух событий, A + B и C, поэтому в силу указанной теоремы вероят-
(++)=
(
+)+
=
(+)+
()=
()+
()+
(
)
(
1
)
+
(
2
)
+⋯+
(
)
=
1
(1+
2+⋯+
)
=
1
(1+
2+⋯+
)
=
(
1
)
+
(
2
)
+⋯+
(
)
(
1
)
+
(
2
)
+⋯+
(
)
=
1
ность суммы событий равна сумме их вероятностей:
Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции, который заключается в том, что, если утверждение истинно в одном случае (i), то оно окажется истинным и в следующем за ним случае
(i + 1), так называемое «рассуждение от i к i + 1».
Полная группа событий.
Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2, … , An, образу-
ющих полную группу, равна единице:
Доказательство. Так как появление одного из событий полной
группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то
(1.15)
Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
(1.16)
Сравнивая (1.15) и (1.16), получим
Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных
события, образующих полную группу. Если одно из двух противопо-
ложных событий обозначено через A, то другое принято обозначать .
Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если A – попадание, то –промах.
Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась
стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – противоположные.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
26
()
+
(
)
=
1
Доказательство. Противоположные события образуют полную
группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных
событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом:
Пример 3. Вероятность того, что день будет дождливым, р = 0,7.
Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События «день дождливый» и «день ясный» – противоположные, поэтому искомая вероятность
1.8 Комбинаторика
Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению
задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Другими
словами, целью комбинаторного анализа является построение некоторой конструкции, называемой комбинаторной конструкцией, подчиненной определенным условиям, которые можно составить из
элементов заданного конечного множества независимо от природы
этих элементов.
Основные формулы комбинаторики.
1.Размещениями называют комбинации, составленные из “п”
различных элементов по “m”, которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком.
Пусть из некоторого множества, состоящего из n различимых
элементов, отбирается в определенном порядке m элементов. Для
подсчета возможных вариантов заметим, что первый элемент можно выбрать n способами, второй – (n – 1) способами, … , m вариант
– (n – m + 1) способами. Согласно правилу произведения, общее
число вариантов будет равно
Такие комбинации называют размещениями, и число всех возможных размещений
27
=∙(−1)∙…∙(−+1)=
!
(
−)!
где (читается n-факториал).
6
2
=
6
!
(
6−2)!
=
1∙2∙3∙4∙5∙6
1∙2∙3∙4
=5∙6=
30
20
3
=
20
!
(
20−3)!
=
1∙2∙…∙17∙18∙19∙20
1∙2∙…∙17
=18∙19∙20=
6840
=
!
(
−)!
=!
Пример 1. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2, если имеет значение цвет флажка в каждой руке?
Решение. Искомое число сигналов
Пример 2. Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих соответственно, за производство, финансы, реализацию продукции?
Решение. Поскольку порядок при таком выборе играет существенную роль, число вариантов равно
2.Перестановками называют комбинации, состоящие из одних
и тех же “п” различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок равно числу размещений
при n = m, то есть
Так как, 0! = 1(*).
Пример 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из
цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение. Искомое число трехзначных чисел
Это
1. 1, 2, 3 или
2. 1, 3, 2 или
3. 2, 1, 3 или
28
4. 2, 3, 1 или
4!=
5
!
5
=
5∙4∙3∙2∙1
5
=4∙3∙2∙1=
24
3!=
4
!
4
=
4∙3∙2∙1
4
=3∙2∙1=
6
2!=
3
!
3
=
3∙2∙1
3
=2∙1=
2
1!=
2
!
2
=
2∙1
2
=
1
0!=
1
!
1
=
1
1
=
1
5. 3, 1, 2 или
6. 3, 2, 1.
Если в размещениях порядок отбираемых m элементов из n не
играет роли, то говорят о числе сочетаний из n элементов по m.
(*) Покажем, почему факториал нуля равен единице.
Запишем факториал числа n как:
Так, например, для числа 5 факториал будет выглядеть так:
Для числа 4 факториал можно посчитать как факториал пяти,
делённый на пять:
Для числа 3 – как факториал четырёх, делённый на 4:
Для 2 – как факториал трёх, делённый на 3:
Для 1 – как факториал двух, делённый на 2:
Продолжение этого логического ряда для нуля даёт факториал
единицы, делённый на единицу или просто единицу:
Можно объяснить этот факт немного по-другому. Фактори-
ал – это количество возможных перестановок или комбинаций.
Например, три предмета можно комбинировать шестью способами:
29
Два предмета – двумя способами:
=
!
(
−)!∙
!
6
2
=
6
!
(
6−2)!∙2
!
=
1∙2∙3∙4∙5∙6
1∙2∙3∙4∙1∙2
=
5∙6
2
=
15
10
2
=
10
!
(
10−2)!∙2
!
=
1∙2∙3∙…∙8∙9∙10
1∙2∙3∙…∙8∙1∙2
=
90
2
=
45
Один предмет – одним способом:
А ноль предметов? Ноль предметов можно переставить одним
единственным способом – никак!
3.Сочетаниями называют комбинации, составленные из “n”
различных элементов по “m” элементов, которые отличаются хотя
бы одним элементом.
Число сочетаний
(1.17)
Пример 4. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2, если цвет флажка в каждой руке не имеет значения?
Решение. Искомое число сигналов
Пример 5. Сколькими способами можно выбрать две детали из
ящика, содержащего 10 деталей?
Решение. Искомое число способов
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]