Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
⎡⎣⎤
μ=
Значения
==Pd n22 59 4 20 1 7,,
⎦
m
в последней колонке вычисляем по формуле (3.30).
x
i ср
.
3.5. op“lnkhmeim`“ jnppek“0hnmm`“ g`bhqhlnqŠ|.
Частным случаем вероятностной зависимости является корреляционная. Эта
зависимость выражается формулой [9]:
f(X) = M(Y / X = x
где M(Y / X = x
) — условное математическое ожидание. Иначе говоря, корреляци-
i
), (3.33)
i
онной зависимостью называется вероятностная зависимость, при которой с изменением значений аргумента X меняется математическое ожидание функции Y.
Уравнение вида (3.33) называется уравнением регрессии.
Корреляционный и регрессионный анализы позволяют получить оценочное
уравнение регрессии по экспериментальным данным. Цель регрессионного анализа заключается в установлении вида зависимости (3.33) и подборе по экспериментальным данным эмпирической кривой регрессии для прогноза значений
функции. Степень зависимости между случайными величинами определяют в результате корреляционного анализа.
Для определения корреляционной зависимости измерения выполняют попарно (измерение аргумента x
гумента). Совокупность точек (x
и функции yi, соответствующей данному значению ар-
i
, yi) дает первоначальное представление о виде
i
зависимости. Для надежного ее определения необходимо, чтобы число пар измерений было не менее двадцати.
Используя один из методов определения оценок параметров и подставляя их в
выражение (3.33), получают эмпирические формулы, аппроксимирующие данную
корреляционную зависимость. При этом предъявляют определенные требования
к точности эмпирических уравнений, с которой они отражают реальную зависимость между случайными величинами.
Кроме того, уравнения регрессии стараются представить в наиболее простой
форме.
Из всех видов зависимостей наиболее простой является прямолинейная.
В этом случае выражение (3.33) имеет вид
σ
Y f X MY r X MX
=
()=()
σ
где
Y
r
XY
σ
X
— коэффициент регрессии Y на X; r
ρ=
XY
между величинами X, Y; σ
Y
+−
()
XY
σ
X
, σy — СКО величин X и Y; соответственно М(Х) и М(Y) —
x
(3.34)
()
,
— коэффициент корреляции
XY
их математические ожидания. Из теории вероятностей известно, что коэффициент корреляции r
= К
xy
/ (σx*σy), где Кxy = M[(X − Mx) (Y − My)] — корреляционный
xy
момент (второй центральный смешанный момент).
Справедлива также формула
К
= M[XY] − MxMy ,
xy
более удобная для вычислений с применением персонального компьютера и
калькуляторов для некоррелированных случайных величин К
= 0. Поэтому ма-
xy
тематическое ожидание произведения равно произведению математических
ожиданий.
41
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
В том случае, когда X = Y, получаем формулу
2
= M[X2] − M
σ
2
.
x
Коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной корреляционной зависимости. Максимальные значения ±1 он принимает в случае функциональной прямолинейной зависимости. Равенство r
Если r
> 0, то существует положительная корреляционная зависимость, при ко-
XY
= 0 говорит об ее отсутствии.
XY
торой увеличение аргумента вызывает увеличение математического ожидания
функции. Если r
< 0, имеет место отрицательная корреляционная зависимость,
XY
когда с увеличением аргумента математическое ожидание функции уменьшается.
Чем меньше отличается коэффициент корреляции от ±1, тем ближе корреляционная зависимость к прямолинейной.
Как правило, на практике значения М(Х), М(Y), r
, σX, σY неизвестны, поэтому
XY
определяют их оценки по n наблюдаемым парам:
x
, x2 … xn ;
1
y1, y2 … yn .
Математическое ожидание в формуле (3.34) заменяют средним арифметическим. При этом несмещенную оценку коэффициента корреляции можно выразить в виде:
n
x xy y
−
()
∑
∗
r
=
XY
i
i
=
1
−
n mm
()
−
()
i
, (3.35)
1
xy
где
2
⎡⎣⎤
υ
x
m
m
=
x
=
y
n
−
2
⎡⎣⎤
υ
y
n
−
⎦
;
1
⎦
;
1
υ
υ
xx=−
xi
i
;
yi
i
yy=−
.
Очевидно, то же значение дает формула
n
x xy y
−
()
∑
∗
r
=
XY
i
i
=
1
nm m
−
()
i
, (3.36)
xy
где
2
⎡⎣⎤
υ
x
m
m
=
x
=
y
n
2
⎡⎣⎤
υ
y
n
⎦
;
⎦
.
Возникает вопрос, с какой надежностью вычислено само значение коэффициента корреляции и при каком минимальном абсолютном его значении можно
считать связь существующей, и наоборот.
Для оценки надежности коэффициента корреляции известный ученый статистик В.И. Романовский рекомендует при числе измерений n ≥ 50 применять СКО
42
коэффициента корреляции, определяемого как
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
x
σ
r
2
rn≈−
1
()
(3.37)
.
Связь считают установленной, если выполняется условие
rr≥ 3σ
Наименьшую величину коэффициента корреляция r
. (3.38)
, удовлетворяюще-
min
го неравенству (3.38), в зависимости от числа измерений n вычисляют по формуле
rn n
= +−
min
36 6
()
. (3.39)
Для оценки надежности коэффициента корреляции при n < 50 используют
специальную функцию, называемую функцией Фишера,
r
+
121
Z
=
ln
(3.40)
,
r
−
1
которая подчиняется закону нормального распределения. СКО величины Z определяют по формуле
σ
Z
n=−13
.
Значения величины Z по полученным из опыта коэффициентам корреляции
r могут быть вычислены непосредственно по формуле (3.40) или по таблицам.
Уравнение регрессии при этом будет в виде:
m
yyr
=+ −
y
xx
()
m
x
. (3.41)
Иногда составляют уравнение регрессии X на У, тогда
m
x
xr
=+ −
yy
()
m
y
.
СКО коэффициентов регрессии при большом n вычисляют по формулам:
2
−−1
;
3
2
−−1
. (3.42)
3
σ
σ
ρ
yx
ρ
xy
m
=
mrn
m
=
mrn
y
x
x
y
Если случайные величины X и Y подчинены нормальному закону распределения, то корреляция между ними считается установленной (критерий Фишера),
когда величина
V
соответствующая значению r, не попадает в интервал −t
r
rn=−−1
2
(3.43)
2
,
< V < tβ, где tβ выбирают
β
из таблиц распределения Стьюдента по числу степеней свободы n − 2 и вероятности β ≈ 1.
Пример 1.
Измерены расстояния D
(значения функции y
) этих измерений (табл. 3.6). Вычислить коэффициенты кор-
i
, являющиеся аргументами xi, и известны ошибки |Δ|i
i
реляции и регрессии, оценить их точность с вероятностью не менее 0,90 и составить уравнение регрессии.
43
Результаты
m
наблюдений
, км |Δ|, см
D
i
8,7
3,7
6,0
3,3
5,1
6,1
2,7
4,9
3,1
3,7
5,7
4,9
5,6
7,6
4,2
2,0
4,0
6,5
7,2
2,7
7,0
3,0
4,0
3,0
4,0
4,0
3,0
4,0
4,0
2,0
6,0
5,0
3,0
4,0
3,0
2,0
2,0
5,0
6,0
2,0
D = 4,9 |Δ−| = 3,80
δD
+3,8
−1,2
+1,1
−1,6
+0,2
+1,2
−2,2
−1,8
−1,2
+0,8
+0,7
+2,7
−0,7
−2,9
−0,9
+1,6
+2,3
−2,2
Σ
=14,4
+
Σ
=14,7
−
Σ=−0,3
0,0
0,0
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
Таблица 3.6
Результаты вычислений
i
δ|Δ|
i
+3,2
−0,8
+0,2
−0,8
+0,2
+0,2
−0,8
+0,2
+0,2
−1,8
+2,2
+1,2
−0,8
+0,2
−0,8
−1,8
−1,8
+1,2
+2,2
−1,8
Σ
=+11,2
+
Σ
=11,2
−
Σ=61,47 Σ=39,20 Σ=38,54
δD
i
14,44
1,44
1,21
2,56
0,04
1,44
4,84
0,0
3,24
1,44
0,64
0,0
0,49
7,29
0,49
8,41
0,81
2,56
5,29
4,84
2
δ|Δ|
10,24
0,64
0,04
0,64
0,04
0,04
0,64
0,04
0,04
3,24
4,84
1,44
0,64
0,04
0,64
3,24
3,24
1,44
4,84
3,24
2
i
δDi δ|Δ|
i
+12,16
+0,96
+0,22
+1,28
+0,04
+0,24
+1,76
0,00
−0,36
+2,16
+1,76
0,00
−0,56
+0,54
+0,56
+5,22
+1,62
+1,92
+5,06
+3,96
Σ=−0,0
Решение.
Вначале построим график взаимного расположения точек (xi, yi) (рис. 3.1), ко-
торый в данном случае указывает на наличие корреляции между D и |Δ|.
y
6
y = ax+b
5
4
3
0 3 4 5 6 7 8 9 x
Рис. 3.1. Коррелограмма и прямая регрессии
В результате вычислений (см. табл. 3.6) имеем
==39 2 20 1 40,,
44
вен
r = ⋅⋅
; коэффициент корреляции, определенный по формуле (3.36), ра-
()
≈+38 66 20 1 75 1 40 0 79, ,, ,
.
==61 5 20 1 75,,
D
,
mΔ=
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
D
Оценим надежность коэффициента корреляции. Так как число измерений
сравнительно небольшое, для оценки надежности применим критерий Фи шера.
По таблице значений функции, принимая коэффициент корреляции r = +0,79
в качестве аргумента, находим Z = 1,0714.
Оценим надежность Z по формуле
σZ= −=1 20 3 0 243,
.
С вероятностью 0,90 (t=1,645) величина Z может принимать значения на ин-
тервале 1,0714 − tσ
< Z < 1,0714 − tσZ, т. е. 0,672 ≤ Z ≤ 1,471.Из таблицы значений
Z
функции Z находим соответствующие крайним значениям Z (0,67 и 1,47) коэффициенты корреляции +0,59 ≤ r ≤ +0,90.
Следовательно, с вероятностью не менее 0,90 истинный коэффициент корре-
ляции может иметь значения от +0,59 до +0,90.
Минимальное значение r (при данном числе измерений n = 20) r
.
,−
=20 6 0 50
)
min
=
20 36
(
+−
Так как 0,50 < 0,59, прямолинейную корреляционную связь можно считать
установленной.
Определим σ
т. к. n < 50,
по формуле (3.37), хотя она не совсем подходит в данном случае,
r
σr≈−
()
2
,,
=1 0 79 20 0 085
.
По доверительным границам для r и учитывая, что t = 1,65, найдем
σr' ,, ,,=−
()
Из сравнения σ
⋅=0 90 0 59 2 1 65 0 094
′ и σr следует, что формула (3.37) иногда дает хорошие резуль-
r
.
таты и при n=20, хотя принято считать необходимым условием ее применения
n ≥ 50.
Составим теперь уравнение регрессии |Δ| на D:
ΔΔ
= +−
ρρ
DD
()
ΔΔ
DD
Подставляя в него численные значения r,
1 40
Δ =+ + −0 79
,
1 75
,
.
38 079
,,
1 40
,
1 75
,
m
m
,
, получим
Δ
;
49,
,D
Δ= +
063 070,,D
()
Оценим приближенно надежность коэффициента регрессии
формуле (3.42):
1 40
Δ D
=
,
1 75
,
σ
ρ
следовательно,
см.
−
1 0 79
,
−
20 3
ρ
=±0 63 0 12,,
Δ D
ρ
= 0 63,
Δ D
2
;
=
0 12
,
по
.
Наличие корреляционной связи определим по критерию Фишера (3.43), по-
лагая, что |Δ| и D подчинены нормальному распределению. По таблицам для числа
степеней свободы 18 и вероятности β = 0,90 находим t
= 1,7.
β
По формуле (3.43) имеем
V =
0 79
−
,
1 0 79
18 5 47
2
.
=
,
,
Таким образом, V не попадает в интервал от −1,7 до +1,7, и следует признать,
что X и Y зависимы.
45
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
A
i
⎡
⎤
⎛
⎝
⎞
⎠
3.6. jnppek“0hnmm`“ l`Šph0`. nanayemm`“ tnplrk` n0emjh Šn)mnqŠh
Объект X = (X1 X2 … Xn)T называется случайным вектором;
M
= (M
X
X 1 MX 2
Объект f(X), являющийся системой нескольких функций,
… M
)T — вектором его математических ожиданий.
X n
Y fX
=
()
⎛
fXX X
, ,...,
()
112
⎜
f XX X
, ,...,
()
2 12
⎜
=
...........................
⎜
⎜
⎝
, ,...,f XX X
()
m n12
⎞
n
⎟
n
⎟
, (3.44)
⎟
⎟
⎠
называют вектор-функцией. Математическое ожидание вектор-функции
MY MfX fMX
()=()
()
=
()
()
⎛
f MX MX MX
()
11 2
⎜
=
.................................................
⎜
⎜
()
⎝
m n12
, ,...,
() ()
, ,...,f MX MX MX
() ()
⎞
()
n
⎟
⎟
⎟
(()
⎠
а приведение к линейному виду будет выглядеть следующим образом:
Y f MX AX MX= +− +( ( ) ( ( ))) ξ
, (3.46)
где A—матрица частных производных, имеющая вид
∂
∂
f
⎛
1
⎜
∂
XfX
⎜
∂
⎜
⎜
∂
XfX
=
⎜
... ... ... ...
⎜
⎜
∂
ff
⎜
⎜
XfX
∂
⎝
1
∂
1
2
∂
f
2
21
∂
1
2
∂
mm m
∂
12
При вычислении частных производных случайные величины X
приближенными значениями
∂
f
⎞
1
...
...
⎟
∂
X
n
⎟
∂
f
⎟
2
⎟
,
∂
X
n
⎟
⎟
⎟
f
∂
...
⎟
⎟
X
∂
⎠
n
заменяют их
()0
X
, достаточно близкими к
i
M
.
X
i
Остатком ξ в формуле (3.46), включающим все нелинейные члены разложе-
ния, пренебрегают, полагая его малым.
Так как математические ожидания
MX M
ϕ ϕ()=
[]
(3.47)
()
.
X
− =MX M
iX
⎣
0
, то приближенно
⎦
i
Обобщением понятия корреляционного момента на многомерный случай яв-
ляется корреляционная матрица.
= M[(X − MX) (X − MX)T].
K
X
Так как по определению математическое ожидание случайной матрицы — это
матрица, составленная из математических ожиданий ее элементов, то, например,
при n = 3 корреляционная матрица имеет следующий вид:
2
σ
KK
1
⎜
=
K
KK
X
⎜
⎜
46
KK
12 13
2
σ
21 2
31 32 3
σ
⎟
,
23
⎟
2
⎟
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
2
где, как и ранее, использованы сокращенные обозначения: σ
K
= K
ij
являются дисперсии случайных величин X
онные моменты между случайными величинами X
K
ij
диагонали, т. е. K
— корреляционный момент между Xi и Xj.
XiXj
Таким образом, диагональными элементами K
a недиагональными Kij — корреляци-
i,
корреляционной матрицы
Xii
и Xj т. е. Кij = σ
i
= Kij, то корреляционная матрица всегда симметрична относительно главной
T
= Kx.
x
2
= σ
— дисперсия Xi;
i
Xi
2
при i = j. Так как
i
Для независимых случайных величин матрица К будет диагональной, кото-
рую записывают в виде:
K
=
Xn
Ее называют дисперсионной матрицей и часто обозначают D
Если все дисперсии одинаковы и равны σ
22
σσ σ
{}
122
...
.
2
, то матрица Kx = σ2E, где E — еди-
.
X
ничная матрица.
Корреляционную матрицу часто записывают в виде
2
K = σ
P−1, (3.47а)
0
−1
где P
ратные веса 1/p
= Q — матрица обратных весов (ее диагональными элементами будут об-
. Но диагональными элементами весовой матрицы P будут веса pi
i
только в случае, если матрица Р — диагональная.
Получим теперь корреляционную матрицу для вектор-функции (3.44):
K
= M[(Y − MY) (Y − M(Y))T].
Y
Так как вектор Y на основании (3.46) можно записать в виде Y = AX + b, где b —
неслучайный вектор, то
= AMX + b и Y − MY = AX + b − AMX − b = A(X − MX).
M
Y
Тогда K
K
Y
можно представить в следующем виде:
Y
= AM[(X − M(X)) (X − M(X))T]AT = AKXAT.
Таким образом, получена формула для вычисления корреляционной матрицы
вектор-функции случайных аргументов (Эйткен А., 1935):
= AKXAT. (3.48)
K
Y
Ее формулу называют обобщенной теоремой оценки точности (или формулой
переноса ошибок).
Заметим, что формулы (3.47) и (3.48) являются точными только для линейных
функций, когда остаток ξ = 0. Но существуют формулы, уточняющие результаты и
для нелинейных функций.
Для одномерного случая, когда вектор-функция (3.44) состоит только из одной
функции, формула (3.48) преобразуется в выражение
DY
()
где D(X
личин X
DY
()
n
=
∑∑
i
=<
1
) — дисперсия случайной величины Xi; Kij — корреляционный момент ве-
i
, Xj. Если случайные величины Xi и Xj некоррелированы, то
i
n
=
i
=∑1
2
⎛
⎞
f
∂
DX
X
f
X
⎟
⎠
i
2
⎞
⎟
⎠
i
0
()
DX
()
⎜
∂
⎝
⎛
∂
⎜
∂
⎝
n
⎛
+
2 KK
i
i
⎜
⎝
ij
.
⎛
⎞
f
∂
⎟
X
∂
⎠
i
⎞
f
∂
⎜
X
∂
⎝
0
, (3.49)
ij
⎟
⎠
j
0
(3.50)
47
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
i
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎞
A
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
Формула (3.48) справедлива и в том случае, когда известна оценочная корре-
ляционная матрица К
*
вектора X. В этом случае вычисляют К
X
*
.
Y
Формулы же (3.49) и (3.50) справедливы и в случае замены дисперсии на их
оценки, т. е. средними квадратическими ошибками:
n
2
∗
m
=
∑∑
y
=
i
1
n
⎛
2
m
=
∑
y
⎜
⎝
i
1
=
2
⎛
⎞
f
∂
⎜
⎝
m
⎟
X
∂
⎠
i
0
2
⎞
2
f
∂
m
x
⎟
x
∂
⎠
i
0
n
2
∗
x
i
⎛
+
2
⎜
⎝
<
ij
⎛
⎞
f
∂
⎟
X
∂
⎠
i
⎞
f
∂
⎜
X
∂
⎝
j
0
rm m
ij xix
⎟
⎠
00
∗∗
; (3.51)
j
. (3.52)
Примеры.
1. Даны функции Y
= X1 + X2; Y2 = X1 + X3; где X1, X2, X3 — независимые случай-
1
ные величины, имеющие корреляционную матрицу:
400
K
=
x
⎜
050
⎜
⎟
.
⎟
009
Y
1
Y
Требуется вычислить корреляционную матрицу вектора
Решение.
Составим матрицу частных производных
11100
=
⎜
1
=
.
⎟
.
⎜
⎟
Y
⎝
⎠
2
Согласно формуле (3.48) найдем
400
⎞
⎜
050
⎟
⎜
1
⎠
009
K =
11100
⎛
⎜
⎝
коэффициент корреляции
1
1
44500
⎟
⎜
1
⎟
⎜
0
r
YY
12
⎛
⎟
0
=
⎜
⎟
⎝
1
4 9 13 0 37=
()
⎞
⎟
9
⎠
= ,
11
1
94
⎞
⎜
1
⎜
0
⎛
⎟
0
=
⎜
⎟
4 13
⎝
1
;
⎟
⎠
.
2. Используя данные предыдущего примера, найти дисперсию функции Z =
= Y
− Y2.
1
Решение. 1-й способ. Применяя формулу (3.48), получим:
2
K
= =−
ZZ
94
11
()
⎜
4 1311
⎟
⎜
−
=−
59
()
⎟
1
=σ
14
⎜
−
.
⎟
1
2-й способ. Вычисления выполняем по формуле (3.49):
2212
1 1 2 1 9 13 8 14= +−
σσ σ
Z Y Y YY
3-й способ. Выразим функцию Z через независимые случайные величины X
Будем иметь Z = Y
222
σσ σ
ZX X
3. Пусть имеем три функции вида
=−,
YXX
1 21
YXX
=−,
2 32
=−,
YXX
3 43
48
с корреляционной матрицей
()
2
2
2
+−
2
− Y2 = X2 − X3. Применяя формулу (4.47), получим
1
5 9 14= + =+=
3
K
()
12
.
KE
=×σ
X
=+ −=
YX X
=−
ii i
2 44
.
.
+1
:
.
i
ck`b` 3. nap`anŠj` h n0emj` Šn)mnqŠh hglepemhi
A
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎝
⎠
Имея в виду применение формулы (3.48), составляем матрицу
11 00
−
⎛
⎜
0 11 0
=
−
⎜
0 0 11
⎞
⎟
⎟
−
и матрицу
−
2 10
⎛
2
K
⎜
σ
=
−−
Y
12 1
⎜
0 12
Отсюда следует, что дисперсии
r
= −0,5. Если Xi — измеренные направления, то Yi — вычисленные по ним углы,
23
⎞
⎟
. (3.53)
⎟
−
22
σσ
2=
i
, а коэффициенты корреляции r
=
12
Приходим к важному выводу, что каждые два угла, имеющие общую сторону, коррелированы между собой.
Задача 3. Смоделировать с помощью таблиц нормальных случайных чисел три
измеренных направления (число моделей принять равным n = 12−15), по ним вычислить два угла и определить коэффициент корреляции между ними.
Доказать самостоятельно, что если все углы имеют одну общую сторону, т. е. они
вычисляются по формуле Y
= Xi − X1, то они имеют корреляционную матрицу
i−1
211
2
KY=
⎜
σ
121
⎜
⎟
. (3.53, а)
⎟
112
Задача 4. Пусть требуется определить неприступные расстояния S1 или S2. Для
этого на одном берегу реки измерен базис в и два угла α и β.
S
1
река
S
2
в
Рис. 3.2
Для вычисления неприступных расстояний по теореме синусов необходим
угол γ.
Его следует выразить в виде γ = 180 − γ = 180 − γ = 180 − α − β. Но в этом случае
сложнее находить частные производные от функции по углам α и β. Задача упростилась бы, если бы угол γ был также измерен. Но его можно сделать измеренным
следующим образом.
Составим вектор-функцию
α
⎛
⎜
F =
⎜
β
−−
αβ180
⎞
⎟
.
⎟
49
⎛
⎝
⎞
⎠
10
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎜
A =
Тогда матрица частных производных
01
⎜
−−
Так как корреляционная матрица измеренных углов
αβ
2 22
σ
,
,=
KE
x
где σ — С.К.О измеренных равноточно углов, то
−
⎞
⎟
.==
−
(3.54)
⎟
22
K AA
σσ
αβγ
,,
10 1
⎛
T
⎜
01 1
⎜
−−
1 12
Если, например, вычислить расстояние
⎟
.
⎟
11
)`qŠ| I. nqmnb{ Šenphh nxhanj
=×
1
sin
, (3.55)
sinβγ
Sb
то для оценки точности понадобится блок матрицы (3.51)
−
11
−
12
⎞
.=
⎟
S
∂
2
σσ
=
1
2
1
+
2
∂
fK f
βγS2
,
T
(3.56)
⎛
K
2
βγσ,
⎜
Тогда найдем дисперсию
с матрицей частных производных
SS
∂
⎛
f
=
∂
11
∂
βγ
⎞
.
∂
Решить эту задачу предлагается на практических занятиях в трех вариантах:
1) заменив в (3.55) угол γ как 180 − α − β; 2) по формуле (3.56) и 3) приближенно
приняв углы β и γ некоррелированными.
Учитывая формулы (3.49) и (3.50) или (3.51), (3.52), легко определить обратный
вес функции y = f(x
, x2, …, xn).
1
Действительно, разделив в выражениях (3.49) и (3.50) левые и правые части на
2
σ
и учитывая (3.3), обратный вес функции коррелированных аргументов можно
0
вычислить по формуле
n
11
=
∑∑
P
=<
i
1
y
2
⎛
⎞
f
∂
⎜
⎟
P
x
∂
⎝
⎠
i
0
n
⎛
2
+
⎜
⎝
ij
x
i
⎛
⎞
f
∂
∂
∂
⎜
⎟
x
∂
⎠
⎝
i
0
r
⎞
f
x
xxx
ij
⎟
⎠
j
0
; (3.57)
PP
xx
ij
для некоррелированных аргументов
n
11
=
∑
P
i
=
1
y
2
⎛
⎞
∂
f
⎜
∂
x
⎝
. (3.58)
⎟
P
⎠
x
i
0
i
Формулу (3.57) можно обобщить на случай, когда необходимо определить веса
совокупности нескольких функций, образующих вектор-функцию (многомерный
случай). Для этого вводится понятие обратной весовой матрицы, которая связана с
корреляционной матрицей соотношением (3.47а), откуда обратная весовая матрица вектора-функции имеет вид:
1 1B
−−
P AP A
=
50
yx
.
(3.59)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]