Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория математической обработки геодезических измерений. Учебное пособие для вузов
.pdf
)`qŠ| II
nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu
jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u
b{)hqkemhi
cл="= 4
A
A
o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
4. 1. l`Šel`Šh)eqj`“ qop`bj`
xx x
ϕ
( , ,..., )
⎛
112
⎜
xx x
ϕ
( , ,..., )
212
1. Вектор
жение
∂
∂
yx
==ϕ
ϕϕ ϕ
() ()
∂
x
⎛
1
⎜
∂
x
1
⎜
ϕϕ ϕ
() ()
∂
x
⎜
y
x
2
⎜
∂
x
=
1
⎜
. . ...
⎜
⎜
ϕϕ ϕ
∂
() ()
x
nn n
.
⎜
⎜
∂
x
⎝
12
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎜
...................
⎜
⎜
( , ,..., )ϕ
xx x
⎝
nk
12
x
1
...
x
2
x
2
...
x
2
x
...
x
— производной вектора φ(x) по вектору x и представляет собой матрицу размера
n × k, i-ая строка которой формируется из частных производных i -ой функции по
составляющим вектора x. В частном случае для линейного преобразования φ(x) =
∂
= Ax + b производная
ϕ().x
∂
Если φ(x) = x
=
A
x
Если Ф = φ(x) = xTAx (квадратичная форма), то
В случае, когда z = f(y) — сложная функция, где y = φ(x), то
Например, если
∂
z = By + c, y = Ax + b, то
z
=
BA.
∂
x
2. Систему линейных алгебраических уравнений
nk k n×× ×
11
xL
+=
(4.1)
0
⎞
k
⎟
k
⎟
называется вектор-функцией, а выра-
....
⎟
⎟
⎠
()
∂
x
⎞
1
⎟
∂
x
k
⎟⎟
()
x
∂
⎟
22
⎟
∂
x
k
⎟
⎟
∂
()
x
k
x
⎟
⎟
⎟
⎠
T
A + b, то
∂
∂
∂
ϕ().x
∂
x
Φ
=
2
x
T
=
A
T
∂
Φ
T
,
x
∂
x
∂
∂
T
=
Ax
2
T
∂∂∂
zxzyy
=
.
.
∂
x
∂
при n > k называют переопределенной. Она может быть как совместной, так и не-
T
совместной. В обоих случаях, умножив ее слева на матрицу A
S, где S — квадратная
порядка n невырожденная матрица, получим так называемую систему уравнений
T
A
SAx + ATSL = 0, или
Rx + b = 0. (4.2)
53
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
Матрица С в поле действительных чисел называется нормальной, если она
перестановочна со своей транспонированной матрицей, т. е. CC
T
R = A
SA — нормальная матрица. Поэтому систему (4.2) называют нормальной.
T
= CTC. Матрица
Если матрица A — столбцово-невырождена (все ее столбцы линейно независимы), то существует обратная матрица R
получить в виде x = −R
−1
b. Подставив x в (4.1), будем иметь
−1
. Тогда решение системы (4.1) можно
0
+=
⎧
.
Остаточный
⎨
V
⎩
AxL
вектор V ≠ 0 возникает в случае, когда система (4.1) несовместна. Рассмотренный
выше способ решения системы (4.1) приводит к тому, что вектор V обладает свойством: квадратичная форма
T
SV = min. (4.3)
Ф = V
Доказательство. Для этого необходимо найти экстремум функции Ф.
С этой целью составляем уравнение
(Лемма Гаусса).
ΦΦ
=
∂
xVVx
∂
T
= ×=
VS A
20,
или A
T
SV = 0
∂
∂∂∂
С учетом выражения вектора
V = Ax + L (4.4)
вновь получаем нормальное уравнение (4.2), что и доказывает справедливость выражения (4.3). Решение под условием (4.3) и называют методом наименьших квадратов (м.н.к) или методом Гаусса.
4.2. onqŠ`mnbj` g`d`)h h ee `kceap`h)eqjne pexemhe
Рассматриваемая в теории ошибок задача математической обработки результатов многократных измерений одной и той же величины является частным
случаем задачи совместной обработки результатов измерений, выполненных для
определения многих неизвестных, например, высот реперов в нивелирных сетях,
плановых или пространственных координат точек в наземных и спутниковых геодезических сетях и др.
Между истинными значениями измеряемых величин У
Y, и точными значениями искомых неизвестных—параметров X
бой геодезической сети всегда можно составить так называемые исходные уравнения связи в виде
Y
= φi (X1, X2,…,Xk) (4.5)
i
i = 1,2, … n, j = 1, 2, … k, где n — число измерений, k — число неизвестных.
Систему уравнений (4.5) кратко запишем в виде вектор-функции
У = φ(Х), (4.6)
При этом между неизвестными X
не должно существовать точных математиче-
j
ских зависимостей вида f (X) =0. Ясно, что для определения всех неизвестных число
измерений должно удовлетворять неравенству n ≥ k. Величину k называют также
числом необходимых измерений. Задача уравнивания возникает при числе избыточных измерений г = n − k > 0. Ее основной целью является получение наиболее
надежных оценок (уравненных неизвестных) для истинных значений X, и их корреляционной матрицы. При n = k решение задачи также существует, но оно сводится к
54
вычислению приближенных значений неизвестных и к оценке их точности.
, образующих вектор
i
(вектор Х) в лю-
j
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
A
⎛
⎞
⎛
⎞
Для ее решения необходимо выразить вектор Х в виде функции вектора Y, т. е.
−1
X = φ
(Y), где φ−1 — функция, обратная к φ(Х).
Однако, как известно, это можно сделать в общем случае только для линейных функций. Поэтому вектор-функцию φ(X) приходится приводить к линейному
виду. Для этого необходимо прежде всего иметь вектор приближенных значений
параметров X
цируемыми в области, определенной векторами Х и X
(0)
, близких к Xj. Тогда, считая эти функции непрерывно дифферен-
j
(0),
можно написать выраже-
ние
() ()
00
Y AX X=+ − +ϕξ
( ).
(4.7)
Матрица А размера n × k содержит элементы
Y
∂
i
=
ij
⎜
⎟
X
∂
⎝
⎠
j
=
XX
j
∂
Y
i
=
⎜
⎝
()0
j
;
⎟
∂
X
⎠
j
0
а ξ — остаток, включающий нелинейные члены разложения.
Опуская остатки ξ, выражение (4.7) можно записать так:
(0)
Y = А∆X + φ(Х
где вектор ∆X = X − X
(0)
= φ(X
L
tr.
), (4.8)
(0).
Если ввести вектор
) − Y. (4.9)
то выражение (4.8) перепишем в виде
A∆X + L
= 0. (4.10)
tr.
Отметим, что если функция φ(X) — линейная, то можно было принять все зна-
(0)
чения X
= 0. Но тогда все поправки δх (составляющие вектора ΔХ) могут по аб-
солютной величине быть большими числами, что неблагоприятно с точки зрения
точности вычислений. Для решения системы (4.8) умножим выражение (4.10) слева на матрицу A
T
S, где S — симметричная ранга rk (S) > k матрица. Тогда получим
систему так называемых нормальных уравнений
R∆X + b
с симметричной матрицей R = A
= 0 (4.11)
tr.
T
SA и вектором b
=ArSL. Полагая здесь, что матрица
tr.
А — столбцово-невырождена (rk (A) =k), искомый вектор ∆Х можно выразить так:
−1
b
, (4.12)
tr.
— матрица обратная к R. Нетрудно показать, что вектор ∆X будет одним и
где R
∆X = −R
−1
тем же, независимо от выбора матрицы S. Действительно, т. к. система (4.10) совместна и переопределeнa, в ней можно составить только k уравнений A∆X+L
Тогда вектор ∆Х = A
−1
L
совпадает с вектором (4.12).
tr.
tr.
= 0.
Однако вектор Y истинных значений измерений неизвестен. Единственно, что
можно сделать, это заменить его вектором у результатов измерений. Тогда вместо
(4.11) и (4.12) получим выражения
R∆x + b = 0; (4.13)
−1
∆x = R
b, (4.14)
где векторы
T
b = A
SL
L = φ(X
(0)
) − y. (4.15)
55
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
T
i
Вектор x=X
Если в системе (4.10) вектор L
(0)
+ ∆x назовем уравненным вектором.
заменить вектором L, а вектор ∆Х вектором ∆х,
tr.
то совместная система уравнений (4.10) станет несовместной (из-за ошибок измерений) и ее следует теперь, заменив нулевой вектор в правой части (4.10) вектором
остатков Vs, переписать в виде
A∆x + L = Vs. (4.16)
Справедливо выражение (лемма Гаусса)
T
A
SVs = 0, (4.17)
что с учетом (4.16) приводит к системе нормальных уравнений (4.13).
Покажем теперь, что Vs имеет смысл вектора поправок в результаты измерений.
Действительно, введя вектор истинных ошибок измерений ∆ = у − Y, выражение (4.8) можно записать так
−∆ = А∆X + L (4.18)
Но, когда вектор ∆Х заменится вектором ∆x, как видно из сравнения выражений (4.10) и (4.16), вектор −∆ заменится вектором Vs. Так как взятая с обратным знаком ошибка по смыслу представляет собой поправку, то и вектор Vs
целе со образно назвать вектором поправок. Иначе Vs является вектором оценок
векто ра −∆.
Приведем ряд полезных формул, связанных с составлением нормальных уравнений.
Для составления матрицы R = A
T
SA, если матрица S—диагональная, ее целе-
сообразно представить в виде суммы
n
R sa a
=
∑
i
=
1
a
— строки матрицы A, относящиеся к уравнению поправок vi = ai∆x + li, со-
где
i
(4.19)
,
iiTi
ставленному для i-го измерения. При этом отпадает необходимость в памяти компьютера содержать матрицу А. Точно также вектор свободных членов
b =
in=∑1
. (4.20)
ii
T
sa l
Если матрица S — квазидиагональная порядка т, то матрицa
m
=
R A SA
∑
i
=
1
iTii
,
(4.21)
где Ai — матрица коэффициентов уравнений поправок i-й группы. Квадратичная
форма может быть получена по формуле
Ф
= LTSL + bT∆x. (4.22)
s
Действительно, т. к.
TAT
Фs =
V SV
sTs
=
(∆x
+ LT) S (A∆x+L) = ∆xTR∆x + bT∆x + ∆xTb +LTSL,
то с учетом формулы R∆x = −b получим выражение (4.22).
Справедлива также формула
T
Φ
s
56
Большую пользу приносит контрольное равенство
. (4.22а)
L SV=
s
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
y
y
y
x
T
Φ
L SL=
s
где вектор
, (4.23)
L =
φ(x) − y получается аналогично вектору L, но по уравненным неиз-
вестным. Таким образом, второе слагаемое в формуле (4.22) обращается в ноль в
связи с тем, что вектор ∆х = 0 (т. к. в качестве вектора X
(0)
принимается уравненный
вектор).
Сравнение двух значений квадратичных форм (4. 23) и (4.22) служит надежным контролем решения задачи уравнивания. В ряде случаев в нелинейных задачах вычисления приходится повторять, принимая в качестве вектора X
(0)
вектор х
из последнего уравнивания, т. е. применять итерационную процедуру.
y yV
Вектор
няться равенство
=+
y =
назовем уравненным вектором. Очевидно, должно выпол-
s
φ(х). Но его не следует применять для контроля решения за-
дачи, т. к. оно может выполняться и при наличии ошибок в вычислениях.
4.3. qŠ`ŠhqŠh)eqjhe qbniqŠb` pegrk|Š`Šnb qŠpncncn h ophakhfemmncn
rp`bmhb`mh“
Установим теперь статистические свойства векторов оценок x, V и
, исходя
из того, что математическое ожидание вектора результатов измерений M[y] = Y
(при допущении отсутствия в измерениях систематических ошибок), а корреляционная матрица KP
21
=−σ
y
0
, где
2
σ
— дисперсия единицы веса; P−1 — матрица об-
0
ратных весов измерений.
Применяя свойства математического ожидания и учитывая выражения (4.14)
и (4.15), можно найти, что
Но т. к.
Поэтому
ML M X y
[]
Mx X X X
⎡
=
φ
()
⎣
()0
= +=
[]
M x R M b R M A SL R A SM L
Δ
[]=−[]
()0
−
Δ
−− −11 1
⎤
, то с учетом (4.13)
⎦
=−
, т. е. уравненный вектор оказывается несме-
TT
⎡
⎤
⎣
M x R A Sb X
=−
⎦
T
ΔΔ
[]
−1
=− =
tr
.
[]
.
щенным.
Для вектора поправок V
= +=+ −Δ Δϕ
M V AM x M L A X X Y[ ] [ ] [] ( )
(4.16), опустив индекс s, находим
s
()
0
;
или с учетом (4.8) M[V] = 0.
Математическое ожидание уравненного вектора
My My MV Y
[]=[]+[]
Иными словами, V и
.
=
несмещенно оценивают векторы −Δ и вектор Y (следует
получим таким:
заметить, что для нелинейных исходных функций свойство несмещенности выполняется приближенно).
Применяя обобщенную теорему оценки точности (3.48) и традиционно полагая, что вектор
вектора
K K R KR
xx b
Но для вектора свободных членов
T
=
A SK SA
K A SP SA R
b
Xx=+
==
Δ
, а т. к. вектор
L
T
2102
==
σσ
0
Поэтому корреляционная матрица
()0
X
()0
Δ
−−
11
−
является неслучайным, находим корреляционную матрицу
по формуле
.
T
LX y=−φ()
()0
b A SL
, то
=
корреляционная матрица
K
. (4.24)
− −−
T
K R A SP SAR Q
21 1 102
==
σσ
x
0
x
, где
=
b
57
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
x
− −−1 11
Q R A SP SAR
x
T
=
(4.25)
— матрица обратных весов вектора x. Если матрица S = P, то вместо (4.25) получим
более простое выражение.
−1
Q = R
где матрица R = A
, (4.26)
T
PA.
Для того чтобы отличать результаты уравнивания с матрицами S и P, будем
далее первые сопровождать значком “−“ сверху. Можно доказать, что справедлива
формула
Q Q Q R A SQ SAR
== +
xxTV
−−11
, (4.27)
тождественная (4.25), где
−−11
=−
Q P AR A
V
T
(4.28)
— матрица обратных весов вектора поправок V, вычисленных при уравнивании с
матрицей S = P.
Так как второе слагаемое в (4.27) есть положительно полуопределенная матрица, то определитель и след матрицы Q
удовлетворяют неравенствам:
x
det( ) det( )QQ
Sp Q Sp Q
x
( ) ()≤
x
≤
; (4.29)
; (4.30)
а дисперсии
22
σσ
≤
xx
jj
. (4.31)
Несмещенность вектора неизвестностных и неравенства (4.29)–(4.31) составляют фундаментальную теорему Гаусса-Маркова, которая и является обоснованием м.н.к.
Заметим, что определитель корреляционной матрицы
det det( )KQ
k kk=×
2
σ
0
зывается обобщенной дисперсией вектора x и характеризует обобщенную меру
точности взаимоположения пунктов. След
есть обобщенная мера абсолют-
Sp K()
ной точности.
Отношение
K
det( )
e
==
K
det( )
называется относительной неэффективностью оценки
Q
det( )
Q
det( )
. Известно двойное не-
равенство [1]
2
1
+e()α
1
≤≤
где
αλ λ=
( )/ ( )TT
max min
значений матрицы
нии матрица S была принята единичной, тогда
очевидно,
α=1
Если же обратные веса колеблются от 1 до 4, то
ки может быть порядка
,
4
α
T S PS=
и величина
есть отношение наибольшего и наименьшего собственных
−12 1 12//
e = 1
25 16 1 6/,≈
. Например, если при приближенном уравнива-
TP=
−1
. Если матрица
−=1
P cE
(потери точности не происходит).
и неэффективность оцен-
α=4
.
Приведем еще один пример. При уравнивании в сети триангуляции углов,
имеющих общую сторону, матрица обратных весов после их уравнивания на стан-
58
ции имеет вид (см. 3.53, а):
на-
, то,
ck`b` 4. o`p`leŠph)eqjhi qonqna rp`bmhb`mh“
⎝
⎠
n
y
y
⎛
⎝
⎞
⎠
nn−×
...
⎞
⎟
...
⎟
1
P
=
21 1
⎛
⎜
21
⎜
2
(вес уравненного на станции направления принят равным 1).
Диагональная матрица собственных чисел этой матрицы
Λ= +
n 11 1...
{}
.
Если при уравнивании сети матрица S принята равной S = 0,5E, то матрица T =
−1
0,25P
где
величина α может быть порядка
и
+
05 1
,,n
α=
05
n
— максимальное число неизвестных на пунктах уравниваемой сети. Поэтому
=+
1
n
,
2
( ) / ( ).nn++24 1
Например, при
e=≥6 23,.
Уравнивание с матрицей Р назовем строгим, а с матрицей S — приближенным.
Строгое уравнивание возможно не только, когда S = P, но и в ряде случаев, например, когда матрица S = cP (c > 0), и всех случаях, когда в формуле (4.27)
T
A
SQV = 0. (4.32)
Можно доказать, что результаты строгого и приближенного уравнивания совпадают, когда матрица
R Rd
kk=×
, (4.33)
где d — произвольная невырожденная матрица, такая, что SA = PАd.
Заметим также, что при n = k (нет избыточных измерений) всегда
Приведем матрицы обратных весов векторов
y y x, ,
V ,
справедливые при
и
уравнивании с матрицей S = P (табл. 4.1).
Вектор
Вектор
y
xV
Строгое уравнивание
y
−1
P
M
M
X
AR
AR
R
−1
−1
−1
V
Так как вектор
()
0
−
XL
ϕϕ()
y
⎞
⎛
⎜
()
⎟
⎜
y
⎟
⎜
Z
то матрица перехода от вектора L к вектору Z имеет вид:
=
=
x
⎟
⎜
⎟
⎜
V
⎠
⎝
0
−
X MPL
()
⎜
()
01
⎜
−
X R A PL
⎜
−
E MP
()
⎟
⎟
fL
= ( ),
T
−
⎟
⎟
LL
.
QQ
=
x
Таблица 4.1
P−1 − M
0
0
−1
− M
P
59
T
⎝
⎠
r
m
A
⎛
⎜
⎜
=
⎜
⎜
E
−
MP
−
−1
R AP
−
E MP
−
)`qŠ| II. nqmnb{ leŠnd` m`hlem|xhu jb`dp`Šnb h rp`bmhŠek|m{u b{)hqkemhi
⎞
⎟
⎟
.
T
⎟
⎟
Матрицы, приведенные в таблице, получены по формуле обобщенной оценки
точности
Q TP T
Здесь матрица M = AR
Так как вектор V как линейная функция нормального вектора измерений y
является нормальным с M[V] = 0 и корреляционной матрицей
−1
=
Z
T
, причем матрица P=Py =PL.
−1AT
.
KQ
2
=σ
VV
, то можно
0
использовать следующую формулу для вычисления допустимой поправки:
υσ
()
i
доп
tQ=±
0
()
.
V
ii
Однако этот критерий применим при наличии в ряду измерений лишь одной
грубой ошибки.
При S = P справедливо равенство
− −−1 11
()=−Sp SP Sp A SP SAR
T
( ).
S PQ n k
= =−=()
pV
, а при
SP≠
()=Sp SQ
V
Учитывая формулу (4.22), можно также написать
n
−
()=−
Sp QP n R P
V iiTi
∑
i
1
αα
=
1
.
Если некоррелированные измерения разделить на несколько j групп, то можно вычислить величину
n
j
−
rn R P
=−
j j ii iTi
∑
i
определяющую избыточность в каждой группе с числом измерений n
1
αα
=
1
, (4.34)
в ней.
j
Формулу (4.34) применяют при совместном уравнивании неравноточных измерений с неизвестными весами. При этом веса в каждой группе вычисляют через
VV
2
iTi
средние квадратические ошибки
собом приближений, задавшись начальным значением
=
j
, а само уравнивание выполняют спо-
r
i
m
()0
.
i
Полезна формула, связывающая векторы V и Δ.
Так как вектор
V A x L AR APL AR AP EL AR AP E A X
= + =− = − + = − + =
Δ ΔΔ
X A X AR A P E
ΔΔ Δ−+ −
−= +ΔΔAX L
TT T
−− −
11 1
T
−
1
()
L AX=− +()ΔΔ
, то
. Поэтому
( ) ( )( )
,
или
V UE=−()Δ
где матрица
Квадратичную форму, с учетом выражения (4.35), можно записать так
Φ Δ ΔΔ Δ= = −= −
В справедливости последнего равенства несложно убедиться.
Можно доказать, что случайная величина Φ имеет χ
60
нями свободы, т. е.
, (4.35)
U AR A P
T TT T T
V PV V E P V E P PAR A P
T=−1
.
−
( )( ) ( )
1
. (4.36)
2
распределение с r степе-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]