Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
7. ˇ
141
exp( ),
00 0,
n
ãäå
PS n G (7.2)
— сила роста спот для нулевого момента.
G
0,n
Отсюда находим формулу для вычисления силы роста спот для
нулевого момента
P
1
G
n
0,
0
ln .
nS
0
Связь между дискретной номинальной процентной ставкой спот
и между силой роста спот для начала процесса можно получить,
сопоставив (7.1) и (7.2). Эта связь определяется соотношениями
j
§·
n
mjme
G
0, 0,
ln 1 ; ( 1).
nn
0,
¨¸
m
©¹
m
G
0,
n
(7.3)
Для годовых спотовых ставок (m = 1) имеем
G
0,
n
ln(1 ); 1.
G
0, 0, 0,
nnn
ɚɚe
Форвардная сила роста для момента
W W — это ставка дискон-
тирования цены поставки актива форвардного контракта, заключенного в момент
, причем результатом дисконтирования явля-
W W
ется цена спот актива для момента W W. Форвардная сила роста
находится из уравнения
exp( ( )),PS n
GW
W
ɝɞɟ P — ɛɭɞɭɳɚɹ ɰɟɧɚ ɫɩɨɬ ɚɤɬɢɜɚ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ ɞɥɹ t = IJ; S — ɰɟɧɵ ɩɨɫɬɚɜɤɢ ɚɤɬɢɜɚ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ, ɡɚɤɥɸɱɟɧɧɨɝɨ ɜ ɦɨɦɟɧɬ
ɪɨɫɬɚ ɫɩɨɬ ɞɥɹ ɦɨɦɟɧɬɚ
ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɹ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ
t = IJ; n – IJ — ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɩɟɪɢɨɞɚ ɨɬ ɦɨɦɟɧɬɚ
t = IJ ɞɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɩɨɫɬɚɜɤɢ ɚɤɬɢɜɚ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ.
t = IJ;
G — ɮɨɪɜɚɪɞɧɚɹ ɫɢɥɚ
W
Решая уравнение относительно форвардной силы роста,
найдем
1
G
W
nS
W
P
ln .
Ясно, что сила роста спот для начала процесса и форвардная
сила роста связаны с рыночными ставками наращения. Процентные ставки наращения могут самым разнообразным образом
изменяться во времени. Примером этих ставок являются безрисковая ставка, доходность облигаций, акций и т.д. На рис. 7.2 показаны некоторые возможные изменения процентных ставок от
времени.
142
L
j
j
IV. ʿ
j
ȼɪɟɦɹ
Ðèñ. 7.2. Возможные изменения ставки во времени
Рассмотрим, прежде всего, связь между дискретной и непре-
рывной ставками наращения. Анализ проведем на примере силы
роста и сложной годовой номинальной процентной ставки, начисление процентов по которой производится несколько раз в году.
На рис. 7.3 показан пример временной зависимости номиналь-
ной процентной ставки.
j
l
j
1
1 2
0
l L
t' n t
t
l
Ðèñ. 7.3. Зависимость ставки от времени
Отрезок времени от 0 до n разбит на L равных элементарных
отрезков длительностью
t'
. Номинальная процентная ставка
внутри каждого отрезка постоянна. Например, на отрезке 1 эта
ставка равна
, на отрезке 2 –
j
1
и т.д. Для поставленных условий
j
2
наращенная сумма, или долг, в момент n определяется соотношением
7. ˇ
P
Ɋ
mt mt mt
' ' '
jj j
§·§· § ·
12
11...1,
SP
00
¨¸¨¸ ¨ ¸
mm m
©¹©¹ © ¹
S
ɝɞɟ
— ɧɚɪɚɳɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ;
0
0
L
— ɫɭɦɦɚ ɫɫɭɞɵ, ɢɥɢ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɚɹ
143
ɫɭɦɦɚ ɞɨɥɝɚ.
Для непрерывного начисления процентов
номинальной ставки j на силу роста
tt t
G' G' G '
12
получим
Ïðè
SPee e Pe
00 0
0tL'o of
SPe
G
L
... .
n
G
³
0
00
m of
имеем
L
G'
¦
l
1
tdt
.
(7.5)
при замене
t
l
(7.4)
По этой формуле рассчитывается наращенная сумма долга при
изменении ставки наращения во времени. Если сила роста постоянна, т.е.
() ,tG G то наращенная сумма вычисляется по формуле
0
n
G
SPe
00
.
Найдем связь между непрерывной и дискретной ставками наращения.
Разделим правую и левую части (7.4) на
mm m
jj j
12
mm m
получим
S
0
ln ln 1 .
Pm
00
Ïðè
S
ln ln 1 1 ... 1
ªº
ln1 ln1 ... ln1 .
'
«»
«»
¬¼
0tL'o of
ªº
§·§·§ ·
0
'
«»
Pmmm
¨¸¨¸¨ ¸
©¹©¹© ¹
«»
0
¬¼
jj j
§·§ · § ·
12
¨¸¨ ¸ ¨ ¸
mm m
©¹© ¹ © ¹
Это выражение можно представить в виде
SPe
00
и прологарифмируем результат:
L
L
n
§·
³
¨¸
©¹
n
³
0
j
j
§·
ln 1
¨¸
m
©¹
m
dt
m
dt
.
(7.6)
t
t
Сопоставив (7.6) с (7.5), найдем
t
G
§·
jt
G
ln 1 ; 1 .
tm jtme
¨¸
m
©¹
§·
¨¸
¨¸
©¹
m
(7.7)
Для годовых ставок (m = 1) имеем
t
G
ln 1 ; 1.
tatate
G
(7.8)
144
IV. ʿ
Здесь a(t) — годовая процентная ставка наращения, используе-
мая при однократном годовом начислении.
Перейдя в (7.6) к пределу при
ɬ of
, получим (7.2).
Как же рассчитать форвардную силу роста, зная функцию для
силы роста, используемую для расчета наращенной суммы? Для
ответа на вопрос найдем связь между форвардной силой роста для
момента времени t = IJ и силой роста, используемой для расчета
наращенной суммы. Для этого разобьем отрезок от 0 до n íà äâà
0, ɢ , nWW
мулу (7.5) для наращенной суммы можно записать в виде
Естественно принять наращенную сумму
актива форвардного контракта, а
, где точка W лежит между 0 и n (рис. 7.1). Тогда фор-
n
W
dt dt
GG
³³
W
0
SPe e
00
P — за цену спот этого актива
0
.
S за цену поставки
0
для нулевого момента.
Наращенная сумма, выраженная через форвардную силу роста
для момента времени
W
, по определению форвардной ставки нахо-
дится из соотношения
W
dt
G
³
SPe e
00
0
n
G W
W
.
Сопоставив два последних выражения, найдем формулу для расчета форвардной силы роста
в любой произвольный момент
G
W
G G
W
n
1
dt
(7.9)
³
n
W
W
W .
По этой формуле по известной функции для силы роста можно
точно рассчитать форвардную силу роста.
Для постоянной силы роста
()tG Gфорвардная сила роста бу-
0
дет вычисляться по формуле
n
1
G G G
W
³
W
W
00
n
Формула для расчета спотовой силы роста следует из (7.9) при
1
G G
0,
n
n
.
dt
0W
:
n
.
dt
(7.10)
³
0
Таким образом, для предсказания форвардной силы роста следует научиться прогнозировать функцию
().tG
Полученные соотношения позволяют выразить зависимость силы роста наращения от спотовой силы роста. Для этого умножим
7. ˇ
145
левую и правую части (3.10) на n и, продифференцировав их по n,
получим формулу для расчета силы роста наращения в зависимости
от спотовой силы роста:
nn
G G
0,
Из выражения (7.11) следует, что если
ddnG
0,
íèè n, ò.å.
n
0
, òî
!
nG!G
0,n
n
dn
, åñëè æå
n
.
G
возрастает при увеличе-
0,n
G
убывает, то
0,n
(7.11)
nGG
0,n
.
d
G
0,
Пример 7.3.
Определить зависимость непрерывной форвардной
процентной ставки от времени, если непрерывная спотовая ставка
наращения имеет вид
)const;) .
adkn
00 00
,,
nn
2G G G Gr
Решение. Непрерывную процентную ставку наращения опреде-
лим по формуле (7.11):
);) 2ɚ nbnknknknG G G Grr Gr
000
.
Непрерывная форвардная ставка наращения вычисляется по
формуле (7.9):
n
1
G G G
ɚ dt t
);
W
n
bktdt kn
1
G Gr Gr W
)2 .
W
³
00
nnn
W W W
W
³
W W
nn
W
2
tkt
Gr
0
G
n
0
W
n
nkn
GWr W
0
W
0
22
На практике используются как сила роста, так и дискретные ставки.
Мы уже знаем (см. (7.10)), как рассчитать силу роста спот по известной
функции силы роста, используемой для определения наращенной суммы. Теперь найдем связь между дискретной спотовой номинальной
ставкой и силой роста, используемой для определения наращенной
суммы. Для этих целей во вторую формулу (7.3) подставим выражение
для расчета спотовой силы роста (7.10). В результате получим
n
1
§·
dt
G
³
mn
¨¸
jme
n
0,
0
¨¸
¨¸
©¹
(7.12)
1.
Для годовых ставок, использующихся при одноразовом годовом начислении, годовая дискретная спотовая ставка определяется по формуле
n
1
³
n
0
ɚ e
n
0,
1.
146
IV. ʿ
И наконец, найдем связь между дискретной спотовой ставкой и
дискретной ставкой наращения. Для этого подставив в (7.12) первую формулу (7.7), найдем
n
jt
§·
1
dt
ln 1
¨¸
nm
n
e
³
¨¸
0
©¹
j
0,
1.
m
Иначе это выражение можно записать в виде
j
§·
ln 1 ln 1 .
0,
¨¸
mn m
©¹
n
1
n
³
0
jt
§·
¨¸
dt
©¹
Для годовых ставок (m = 1) имеем
n
1
ɚɚtdt
ln 1 ln 1 .
0,
n
³
n
0
7.3. ˉ ,
Моменты реализации операций представлены на рис. 7.1. Пусть
0t
. Öåíà
форвардный контракт заключается в момент времени
поставки актива
будущего времени
для момента времени
ɝɞɟ
P — ɪɵɧɨɱɧɚɹ ɰɟɧɚ, ɢɥɢ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ, ɚɤɬɢɜɚ.
0
, безрисковая сила роста, являющаяся функцией
S
0
, равна
t
()tG G
0t
определяется по формуле
SP dt G
00
годовых. Цена поставки актива
n
exp( ),
³
(7.13)
0
При заключении форвардного контракта в момент времени
форвардная цена S определяется соотношением
t W
n
exp( ).
³
W
ɝɞɟ P
—
ɜɪɟɦɟɧɢ
G
SP dt (7.14)
ɪɵɧɨɱɧɚɹ ɰɟɧɚ, ɢɥɢ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ, ɚɤɬɢɜɚ ɞɥɹ ɦɨɦɟɧɬɚ
.t W
При известном изменении безрисковой силы роста во времени
рыночную цену актива на момент
G
можно вычислить по формуле
t W
W
exp( ).PP dt
0
³
0
Подставив полученное значение для рыночной цены актива на
момент
, получим другую формулу для форвардной цены, ко-
t W
торой можно пользоваться при известном изменении безрисковой
силы роста во времени:
GG G
³³ ³
¨¸ ¨¸ ¨¸
00
©¹ ©¹ ©¹
W
§· §· §·
exp exp exp .
S P dt dt P dt
nn
W
7. ˇ
147
Сравнив эту формулу с (7.5), можно сделать вывод о том, что при
известной безрисковой силе роста
форвардная цена равна цене
tG
поставки для любого момента времени. Этот вывод достаточно очевиден, так как при известных для любого момента будущих ставках
легко рассчитать будущие цены. Отсюда следует вывод о возможности прогнозирования цены форвардного контракта, имея хороший
прогноз безрисковой силы роста
но хорошего, прогноза эта функция безрисковой силы роста
. Реально для любого, как угод-
tG
tG
будущего времени полностью не известна. Поэтому при заключении
форвардного контракта принимают
на момент заключения договора при
роста
G G
W
, равную реальной форвардной силе роста или
const
G G
, ãäå
0
0t
значению силы роста спот в наступившей момент
nn
§· §·
exp exp exp( ( )) exp( ),
SP dt P dt P n P T
Tn W
ɝɞɟ
G G GW G
¨¸ ¨¸
³³
WW
©¹ ©¹
.
Теперь форвардная цена не равна цене поставки, т.е.
— сила роста спот
G
0
. Подставив в (7.14) силу
, получим
t W
WW
.SSz
0
Поэтому форвардный контракт приобретает цену.
Из полученного соотношения следует формула для рыночной
цены актива для момента времени
exp(— ).PS T
G
Первоначально цена поставки была принята равной S
мента
дисконтированной по ставке
не равна
t W современная стоимость первоначальной цены поставки,
,WG равна 0exp( ).ST
exp( ),PS T
G òàê êàê
W
:t W
W
. Äëÿ ìî-
0
G Эта величина
W
.SSz Для получения суммы,
0
равной рыночной цене актива для момента времени ,t W к сумме
exp( )ST
G следует добавить цену форвардного контракта F äëÿ
0
W
рассматриваемого момента времени. В результате получим
G
exp( ).PFS T
0
W
Приравняв правые части двух последних выражений, получим
exp(— ) — exp( ) ( — ) exp(— ).FS T S T S S T
G G G (7.15)
WW W
00
Таким образом, цена форвардного контракта на актив, не выплачивающий дивидендов, равна приведенной стоимости от разности между текущей форвардной ценой и ценой поставки, дисконтированной по реальной форвардной силе роста (силе роста спот в
наступивший момент времени
t W
).
148
K
Пример 7.4. Инвестор покупает форвардный контракт (открыва-
ет длинную позицию) на приобретение бескупонной облигации че-
рез два года. Цена поставки облигации равна 27 тыс. руб. Сила рос-
та спот через полгода
вардного контракта через 0,5 года после его заключения при фор-
вардной цене 30 тыс. руб. и 25 тыс. руб.
Решение:
(25 27) 1,48Fe
òûñ. ðóá.
2
В первом случае цена имеет знак плюс, т.е. инвестор сможет
продать контракт за 2,22 тыс. руб. Во втором случае цена имеет
знак минус, т.е. инвестор контракт продать не сможет. Поэтому в
момент приобретения актива при условии, что форвардная цена не
изменится за полтора года и будет равна 25 тыс. руб., инвестор переплатит за облигацию 27—25 = 2 тыс. руб.
(30 27) 2, 22Fe
òûñ. ðóá.,
1
0,2 1,5
05(,ãîäà)W
0,2 1,5
IV. ʿ
— 20%. Определить цену фор-
Еще раз подчеркнем, что для исключения потерь при приобре-
тении форвардного контракта необходимо иметь хороший прогноз
поведения функции
во времени.
tG
Точно так же по формуле (7.15) определяется цена форвардных
контрактов на активы, выплачивающие дивиденды, а также форвардных контрактов на валюту.
7.4. ˇ
Прежде чем исследовать цену форвардного контракта на валю-
ту, рассмотрим метод определения курса поставки валюты. Курс
поставки валюты — это цена, по которой будет продана единица
иностранной валюты в момент поставки. Найдем формулу для расчета курса поставки валюты. Цена поставки валюты
ся соотношением
SVK
0 ɩɨɫɬ
, (7.16)
ɝɞɟ V — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɟɞɢɧɢɰ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ, ɩɨɫɬɚɜɥɹɟɦɨɣ ɩɨ
ɨɤɨɧɱɚɧɢɢ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ;
K
— ɤɭɪɫ ɩɨɫɬɚɜɤɢ.
ɩɨɫɬ
Из формулы (7.16) следует, что продавец контракта получит
прибыль, если рыночный курс
в момент поставки
n
меньше объявленного в контракте курса поставки
при продаже валюты по рыночному курсу продавец контракта по-
лучит меньшую сумму.
определяет-
S
0
будет
tn
K , òàê êàê
ɩɨɫɬ
7. ˇ
P
K
K
При известной силе роста национальной валюты G цену по-
ставки в национальной валюте можно рассчитать по формуле
n
(7.17)
0
ɝɞɟ
SP dt G
— ɰɟɧɚ ɫɩɨɬ ɩɨɫɬɚɜɥɹɟɦɨɣ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ (ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ
0
exp ,
00
³
ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɚɤɬɢɜɚ ɜ ɧɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɜɚɥɸɬɟ ɞɥɹ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɪɟɦɟɧɢ
При известной силе роста наращения иностранной валюты '
приведенную стоимость иностранной валюты
окончании контракта, к моменту заключения контракта можно рас-
считать по формуле
n
exp .
QV dt G
0
Современная стоимость иностранной валюты в национальной
валюте для момента времени t = 0 определяется соотношением
PKQ K dt '
0000
ɝɞɟ
поставки:
тракта силы роста спот для национальной валюты
ной валюты
ляется по формуле (7.15). Эту формулу удобно представить через
характеристики валюты. Для этих целей через эти характеристики
следует представить слагаемое
ставить в формулу (7.15).
момент времени
— ɤɭɪɫ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɡɚɤɥɸɱɟɧɢɹ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ ɩɪɢ
K
0
Подставив (7.19) в (7.17), получим
PKV dt G'
00
Сопоставив (7.20) с (7.16), найдем формулу для расчета курса
Kdt G'
ɩɨɫɬ 0
Если в (7.21) подставить известные в момент заключения кон-
'
, то получим
0,n
Kn G'
ɩɨɫɬ 00,0,
В общем случае цена форвардного контракта на валюту опреде-
Соотношение для форвардной цены в национальной валюте в
W
, следующее из (7.14), запишем в виде
exp( ) exp( ),
SP dt P T
G G
WW
³
exp ,
n
exp ( ) .
³
0
n
exp( ( ) ).
³
0
exp(( ) ).
G
W
Se
n
³
W
(7.18)
0
n
³
0
nn
T
, а полученное выражение под-
, поставляемой по
Q
0
(7.19)
(7.20)
G
и иностран-
0,n
(7.23)
149
0t
).
(7.21)
(7.22)
0t
.
ɝɞɟ P — ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ V ɟɞɢɧɢɰ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɜ ɧɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɜɚɥɸɬɟ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ
ɧɚɥɶɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ
t W
t W
;
— ɮɨɪɜɚɪɞɧɚɹ ɫɢɥɚ ɪɨɫɬɚ ɧɚɰɢɨ-
G
W
,
.Tn W
150
K
K
IV. ʿ
При силе роста наращения иностранной валюты
приведенную стоимость
t W
мой по окончании контракта, к моменту
иностранной валюты, поставляе-
Q
W
t W
можно рассчитать по
к моменту
'
W
формуле
T
'
W
QVe
W
.
Приведенная стоимость V единиц иностранной валюты в на-
циональной валюте к моменту
PKQ KVe
ɝɞɟ
— ɤɭɪɫ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɜ ɧɚɫɬɭɩɢɜɲɢɣ ɦɨɦɟɧɬ
W
:t W
WW W
T
'
W
, (7.24)
t W
.
Подставив (7.24) в (7.23), получим
T
G'
WW
SKVe
W
После подстановки в соотношение (7.15) слагаемого
T
'
W
KVe
полученного из (7.25), формула для расчета цены фор-
W
,
.
(7.25)
T
G
W
Se
вардного контракта принимает вид
——
TT
'G
WW
—,
e
e
0
V
— ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ
;t W
(7.26)
ɝɞɟ
FKV S
W
— ɤɭɪɫ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɜ ɦɨɦɟɧɬ
W
ɟɞɢɧɢɰ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ, ɩɨɫɬɚɜɥɹɟɦɨɣ ɩɨ ɨɤɨɧɱɚɧɢɢ ɤɨɧɬɪɚɤɬɚ;
'
S — ɰɟɧɚ ɩɨɫɬɚɜɤɢ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɜ ɧɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɜɚɥɸɬɟ;
0
ɮɨɪɜɚɪɞɧɚɹ ɫɢɥɚ ɪɨɫɬɚ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ
ɜɚɪɞɧɚɹ ɫɢɥɚ ɪɨɫɬɚ ɧɚɰɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɜɚɥɸɬɵ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ
t W
;
t W
Tn W
,
G
W
—
W
— ɮɨɪ-
.
Эта формула удобна тем, что при расчете цены форвардного
контракта на валюту она позволяет использовать характеристики
национальной и исследуемой валют.
7.5. ʿ
Фьючерсный контракт — это соглашение между двумя сторона-
ми о будущей поставке предмета контракта, которое заключается на
бирже.
В отличие от форвардного контракта исполнение фьючерсного
гарантируется расчетной палатой биржи. После заключения фьючерсный контракт регистрируется и биржа организует его вторичный рынок, т.е. этот контракт легко продать и купить.
Заключение фьючерсного контракта не требует от инвестора
никаких расходов, кроме комиссионных. Сторона, которая обязуется поставить актив по контракту, открывает короткую позицию, т.е.
продает фьючерсный контракт. Сторона, которая приобретает актив
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]