Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
3. ʺ
По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты делятся на:
x постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся
в конце периода;
x пренумерандо, когда выплаты производятся в начале пе-
риода;
x ренты с платежами в середине периода.
Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются
во времени.
Будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь
рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже.
Рассмотрим различные виды финансовых рент.
Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисления процентов один раз в конце года.
Определим наращенную сумму годовой ренты. Такая задача
формулируется следующим образом: в течение
(банк) в конце каждого года вносится по
начисляются сложные проценты по ставке a% годовых. Таким
образом, на первый взнос проценты начисляются
второй —
дет равна
Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно
увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со
знаменателем прогрессии
сии вычисляется по формуле
2n года и т.д. Наращенная сумма к концу срока бу-
12
nn
11...1.
SR a R a R a R
1qa . Сумма геометрической прогрес-
n
Rq
S
n
q
R рублей, на которые
1
,
1
n ëåò â ôîíä
1n ãîä, íà
61
ɝɞɟ R — ɩɟɪɜɵɣ ɱɥɟɧ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ; n — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɥɟɧɨɜ ɩɪɨɝɪɟɫɫɢɢ.
Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока определяется соотношением
n
11
a
SR
Часто эту формулу записывают в виде
SRs
n
11
a
ɝɞɟ
s
na
;
a
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨɜɚɧɧɚɹ
.
a
,
;na
ɮɭɧɤɰɢɹ.
62
A
II. ʺ
Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо провести дисконтирование каждого платежа на начало срока ренты и сложить все эти платежи, т.е.
RR R R
A
1
a
§·
R
¨¸
1....
¨¸
aa
11
©¹
23
11 1
aa a
11 1
aa
11
...
n
21
n
Выражение в скобках является суммой геометрической прогрес-
сии со знаменателем прогрессии
грессии, равным
n . Таким образом, современная стоимость годо-
1
и с количеством членов про-
1 a
вой ренты вычисляется по формуле
1
1
nn n
aa a
11111
R
ARR
111
1
aaa
1
1
a
.
Часто эту формулу записывают в виде
Ra ,
;na
n
a
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨɜɚɧ-
a
ɝɞɟ
11
na
;
a
ɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
Пример 3.10. В фонд ежегодно в конце года поступают средства
по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются процен-
ты по ставке 15% годовых. Определить коэффициенты наращения и
приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его
современную стоимость.
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле
s
;
na
Наращенная сумма
SRs
Коэффициент приведения ренты находится по формуле
Современная стоимость определяется соотношением
;
nk
a
;
na
ARa
n
11
a
a
10 000 11 066799 110 667 99
11
a
a
10 000 4 16042 41 604 2
;
na
7
1, 15 1
0,15
, , ðóá.
n
11,15
0,15
,,ðóá.
11, 066799.
7
4,16042.
3. ʺ
63
Самым общим типом является рента с начислением процентов
по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Возможная схема выплат и начислений такой ренты
представлена на рис. 3.2.
1 2 p
1 2 m
0
1 n t
Ðèñ. 3.2. Схема выплат ренты с начислением процентов
по номинальной процентной ставке
и с неоднократными выплатами в году
Если выплаты производятся
ɪ раз в году, то такая рента назы-
вается p-срочной или рентой с неоднократными выплатами в году.
В любом году производится
ɪ выплат по Rp ðóá., ãäå R — ãîäî-
вая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке
j равно m . Срок ренты — n лет. Аналогично слу-
чаю годовой ренты находим соотношения для наращенной суммы и
современной стоимости исследуемой ренты.
()
p
ɝɞɟ
s
;pmn j m
SRs (3.20)
mn
j
§·
11
¨¸
m
©¹
ªº
§·
«»
p
¨¸
«»
©¹
¬¼
m
p
j
11
m
,
;/
mn j m
— (3.21)
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ɝɞɟ
ARa , (3.22)
j
§·
11
¨¸
a
;pmn j m
ªº
p
«»
«»
¬¼
m
©¹
mp
j
§·
11
¨¸
m
©¹
;pmn j m
mn
— (3.23)
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
64
II. ʺ
Из соотношений (3.20), (3.21), (3.22) и (3.23) следуют формулы
для частного случая, когда количество начислений процентов в году
равно количеству выплат в году. Подставив туда
mn
j
§·
11
¨¸
m
©¹
SR
j
AR
;
11
§·
¨¸
©¹
mp , найдем
mn
j
m
.
j
Для случая годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке соотношения для наращенной суммы и
современной стоимости получают из (3.20—3.23) при подстановке
туда
ɝɞɟ
s
mn j m
1ɪ .
;
SRs
mn
j
§·
11
¨¸
m
©¹
j
§·
11
¨¸
m
©¹
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨ-
m
;
mn j m
,
ɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
;,mn j m
§·
11
¨¸
ɝɞɟ
a
mn j m
;
©¹
§·
11
¨¸
©¹
ɪɨɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ARa
mn
j
m
j
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢ-
m
m
Пример 3.11. В фонд ежегодно в конце года поступают средства
по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определить коэффициенты наращения и
приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его
современную стоимость.
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле
§· § ·
¨¸ ¨ ¸
s
mn j m
Наращенная сумма
SRs
©¹ © ¹
;
§· § ·
¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
mn j m
mn
j
111 1
m
m
j
111 1
m
10 000 11 366392 113 663 92
;/
, , ðóá.
0,15
4
0,15
4
47
4
11, 366392.
3. ʺ
Коэффициент приведения ренты определим по формуле
§· § ·
11 11
¨¸ ¨ ¸
a
;
mn j m
Современная стоимость ренты
ARa
©¹ © ¹
§· § ·
111 1
¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
;/
mn j m
mn
j
m
m
j
m
10 000 4 054672 40 546 72
, , ðóá.
0,15
0,15
4
47
4
4
4,0546724.
65
ɪ — срочной ренты формулы для наращенной суммы и со-
Äëÿ
временной стоимости также находят из (3.20—3.23) при подстанов-
p
na
;
1m .
SRs
n
11
a
1
ªº
pa
11
¬¼
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨ-
p
na
p
,
;
êå òóäà
s
ɝɞɟ
ɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
p
na
;
,
ɝɞɟ
a
na
p
;
n
11
ªº
pa
¬¼
ai
1
11
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ, ɬɚɛɭɥɢɪɨ-
p
ARa
ɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
Пример 3.12. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб.
в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15%
годовых, причем выплаты производятся в конце квартала. Определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.
Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле
n
11
a
p
s
;
na
Наращенная сумма
Коэффициент наращения ренты находится по формуле
a
na
pa
p
;
pa
1
ªº
¬¼
SRs
11
ªº
¬¼
p
11
()
p
10 000 11 671179 116 711 79
;
na
n
a
p
1
11
7
1, 15 1
14
41,15 1
11, 671179.
,,ðóá.
7
11,15
14
41,15 1
4,387629.
66
Современная стоимость фонда
II. ʺ
()
p
ARa
10 000 4 387629 43 867 29
;
na
,,ðóá.
При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо.
При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) наращенная
сумма и современная стоимость ренты определяются выражением
m
p
j
ɝɞɟ
§·
1
SS
1
¨¸
©¹
— ɧɚɪɚɳɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɪɟɧɬɵ ɩɪɟɧɭɦɟɪɚɧɞɨ ɢ ɩɨɫɬɧɭɦɟɪɚɧɞɨ ɫ
,SS
1
,
m
ɧɚɱɢɫɥɟɧɢɟɦ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɩɨ ɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɰɟɧɬɧɨɣ ɫɬɚɜɤɟ ɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɤɪɚɬɧɵɦɢ ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɝɨɞɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
§·
AA
ɝɞɟ
,AA — ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɪɟɧɬɵ ɩɪɟɧɭɦɟɪɚɧɞɨ ɢ ɩɨɫɬɧɭɦɟɪɚɧ-
1
1
1
¨¸
©¹
,
m
m
p
j
ɞɨ ɫ ɧɚɱɢɫɥɟɧɢɟɦ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɩɨ ɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɰɟɧɬɧɨɣ ɫɬɚɜɤɟ ɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɤɪɚɬɧɵɦɢ ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɝɨɞɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
Для ренты с выплатами в середине периода имеем
m
p
2
j
§·
1
¨¸
2
©¹
1
,
m
ɝɞɟ
SS
— ɧɚɪɚɳɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɪɟɧɬɵ ɫ ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɟ ɩɟɪɢɨɞɚ ɢ
,SS
1
2
ɪɟɧɬɵ ɩɨɫɬɧɭɦɟɪɚɧɞɨ ɫ ɧɚɱɢɫɥɟɧɢɟɦ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɩɨ ɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɰɟɧɬɧɨɣ ɫɬɚɜɤɟ ɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɤɪɚɬɧɵɦɢ ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɝɨɞɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ,
m
p
2
j
§·
¨¸
2
©¹
1
1
,
m
ɝɞɟ
AA
— ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɪɟɧɬɵ c ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɟ
,AA
1
2
ɩɟɪɢɨɞɚ, ɢ ɪɟɧɬɵ ɩɨɫɬɧɭɦɟɪɚɧɞɨ ɫ ɧɚɱɢɫɥɟɧɢɟɦ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɩɨ ɧɨɦɢɧɚɥɶɧɨɣ ɩɪɨɰɟɧɬɧɨɣ ɫɬɚɜɤɟ ɢ ɫ ɧɟɨɞɧɨɤɪɚɬɧɵɦɢ ɜɵɩɥɚɬɚɦɢ ɜ ɝɨɞɭ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.
Отложенными называются ренты, у которых начало выплат
сдвинуто вперед. При расчете современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у
которой моментом приведения считается начало выплат, а затем
дисконтируют полученный результат к началу отложенной ренты.
3. ʺ
A
A
A
Для годовой отложенной ренты современная стоимость
t
67
ðàñ-
считывается по формуле
A
A
t
11
Ra
;
na
tt
aa
;
ɝɞɟ A — ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɪɟɧɬɵ, ɭ ɤɨɬɨɪɨɣ ɦɨɦɟɧɬɨɦ
ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɧɚɱɚɥɨ ɜɵɩɥɚɬ; t — ɜɪɟɦɹ ɡɚɞɟɪɠɤɢ ɜ ɜɵɩɥɚɬɟ ɪɟɧɬɵ;
— ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧɬɵ ɤ ɧɚɱɚɥɭ ɜɵɩɥɚɬ.
a
;na
Если срок ренты очень большой или конкретно не оговаривается, т.е. если
n of, то такая рента называется вечной. Формула для
вычисления современной стоимости годовой ренты имеет вид
R
.
f
a
3.4. ˈ
При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости различных типов рент. При этом должны быть
заданы все параметры ренты, кроме годовой выплаты. Для
срочной ренты с начислением процентов
ɬ — раз в году формула
для величины годовой выплаты определяется из соотношений (3.20)
и (3.22).
S
;
Rs
Ra , (3.24)
;pmn j m
;pmn j m
ɝɞɟ S ɢ A, ɧɚɪɚɳɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɢ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɪɟɧɬɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬ-
ɜɟɧɧɨ;
s ɢ
;pmn j m
ɬɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ;
ɧɚɱɢɫɥɟɧɢɣ ɩɪɨɰɟɧɬɨɜ ɜ ɝɨɞɭ;
a — ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ ɢ ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɹ ɪɟɧ-
;pmn j m
ɪ — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɵɩɥɚɬ ɜ ɝɨɞɭ; ɬ — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ
— ɧɨɦɢɧɚɥɶɧɚɹ ɩɪɨɰɟɧɬɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ, n —
j
ɫɪɨɤ ɪɟɧɬɵ ɜ ɝɨɞɚɯ.
В практической деятельности довольно часто возникают задачи
определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок
ренты определяется из формул для наращенной суммы и современной стоимости ренты, которые получены нами раньше. Наиболее
общим случаем постоянной ренты является рента с начислением
процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными
ɪ —
68
выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется
формулой
Представим эту формулу в виде
Прологарифмировав правую и левую части этого равенства,
получим
Решив это уравнение относительно n, окончательно найдем
При расчете по этой формуле срок получается, как правило,
дробным. Поэтому количество периодов
числа
n . Затем уточняется значение разового платежа по формуле
0
Пример 3.13. В фонд поступают средства, на которые начисля-
ются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты произво-
дятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежеме-
сячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., го-
довая выплата — 10 тыс. руб. Определить срок ренты.
II. ʺ
mn
j
§·
11
¨¸
m
SR
ªº
§·
«»
p
¨¸
«»
©¹
¬¼
ªº
Sj j
§· §·
«»
1111.
p
¨¸ ¨¸
Rm m
«»
©¹ ©¹
¬¼
½
ªº
Sj j
°°
§· §·
ln 1 1 1 ln 1 .
«»
pmn
®¾
¨¸ ¨¸
Rm m
«»
©¹ ©¹
°°
¬¼
¯¿
n
m
½
Sj
°°
p
ln 1 1 1
®¾
Rm
°°
¯¿
m
j
11
m
m
p
p
ªº
§·
«»
¨¸
«»
©¹
¬¼
§·
m
ln 1
¨¸
©¹
©¹
.
p
mn
m
p
.
j
(3.25)
m
np округляется до целого
m
p
j
§·
11
¨¸
R
p
m
©¹
S
j
§·
11
¨¸
m
©¹
mn
.
(3.26)
0
3. ʺ
Решение. Срок ренты находится по формуле
½
ªº
5
10 0,15
°°
ln 4 1 1 1
®¾
°°
¯¿
n
Количество кварталов в полученном сроке составит
np = 6,197
личество лет ренты принимается равным
ежеквартальной выплаты получим, подставив это число в формулу
4 = 24,788. Округляем полученное число до 25, т.е. ко-
§· § ·
1111
¨¸ ¨ ¸
R
©¹ © ¹
S
P
§· § ·
111 1
¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
§·
«»
¨¸
4
«»
10
©¹
«»
¬¼
12 ln 1
/
mp
j
m
mn
0
j
m
12
4
12
ln 2,518828
0,15
§·
¨¸
12
©¹
——
5
10 2467 56
——
12 ln1,0125
015
,
12
12 6 25
015
,
12
625,ëåò.n Величину
0
12
4
,
6,197
69
ëåò.
,ðóá.
Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид
/
½
°°
11 1 1
nP
®¾
°°
¯¿
—.(.)
n
ªº
Aj
§·
«»
——
¨¸
Rm
©¹
«»
¬¼
11
mn
mp
j
§·
¨¸
m
©¹
327
Формула для уточнения значения разового платежа
m
p
j
§·
11
¨¸
R
p
m
©¹
A
§·
11
¨¸
©¹
.
(3.28)
mn
0
j
m
Для других типов ренты срок находится аналогично.
Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки
можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета
наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока выражение для расчета
70
II. ʺ
процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми
способами. Рассмотрим уравнение для современной стоимости го-
n
a
.
a
Представим его в виде
1(1 )
Aa
Ra
n
0.
довой ренты
11
AR
Решить это нелинейное уравнение можно одним из цифровых
методов на компьютере, например графическим методом, в Excel.
Для этого построим таблицу функции
n
1(1 )
Aa
() .
fa
Ra
В ячейке А1 таблицы Excel набираем цифру, равную шагу таблицы функции. Чем мельче шаг, тем точнее решение. Пусть эта
цифра будет равна 0,0001. В ячейке А2 набираем: = А1 + 0,0001.
Утверждаем результат, нажав Enter или на зеленую галочку в строке
формул. Поставив курсор на нижний правый угол ячейки А2, пере-
n
,
носим результат вниз. В ячейке В1 набираем:
1(1 )
Aa
Ra
причем вместо a набираем А1. Утверждаем. Поставив курсор на
нижний правый угол ячейки В1, протягиваем результат вниз до тех
пор, пока функция не сменит знак. Значение аргумента, лежащее
между двумя соседними значениями с разным знаком, будет являться искомой доходностью.
Пример 3.14. В накопительный фонд ежегодно в конце года по-
ступают средства по 10 тыс. руб. в течение семи лет, причем на ко-
нец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определить до-
ходность инвестиций.
Решение. Исходным уравнением решения является формула для
n
(1 ) 1
a
наращенной суммы годовой ренты
(1 ) 1
Sa
это уравнение в виде
данные примера, найдем
Решив это нелинейное уравнение на компьютере, получили a = 11,71%.
Ra
(1 ) 1
10 0.
SR
n
0.
7
a
a
Подставив сюда исходные
.
a
Представим
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]