Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
11. ʪ
x
x
x
231
Правая часть этого соотношения равна
n
11
nn
22
V V
¦
max max
1
j
n
V
max
.
n
Окончательно получим
V
max
Vd
p
(11.9)
.
n
Из выражения (11.9) следует, что при росте числа видов ценных
бумаг n, доходности которых не коррелированы, риск портфеля
уменьшается и стремится к нулю при
n of
. Этот результат назы-
вается эффектом диверсификации портфеля.
Для анализа корреляции на величину риска портфеля ценных
бумаг в формуле для дисперсии доходности (11.3) выразим ковариацию случайных доходностей двух ценных бумаг через коэффициент корреляции
V
U
ij
.
ij
(11.10)
VV
ij
Тогда (11.3) можно представить в виде
nn
2
V V V U
¦¦
piijjij
ij
xx
11
Рассмотрим случай полной прямой корреляции
полной обратной корреляции
nn n n n
2
V V V V V V
piijjiijjjj
¦¦ ¦ ¦ ¦
11 1 1 1
ij i j j
xxx x
U
. Ïðè
1
ij
§·
¨¸
©¹
(11.11)
.
и случай
1
U
ij
имеем
1
U
ij
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸
©¹©¹
2
,
так как при суммировании по любой переменной получим один и
тот же результат.
Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е.
, òî
1
n
j
2
2
V V
pj
¦
¨¸
2
¨¸
n
1
j
©¹
;
V V
n
§·
1
При изменении состава портфеля за счет отклонения
n
1
pj
n
¦
j
.
1
îò 1 n
j
в ту или иную сторону стандартное отклонение будет несколько
увеличиваться или уменьшаться, т.е. будет лежать в интервале
VdVdV
min max
p
.
Отсюда следует, что среднее квадратичное отклонение портфеля при полной прямой корреляции доходностей всех ценных бу-
232
j
V. ˀ
маг будет иметь тот же порядок, что и стандартное отклонение
отдельных ценных бумаг, т.е. разнообразие не дает положительного эффекта.
При полной обратной корреляции, т.е. при
случай двух ценных бумаг. При
выражение для коэффициента
ij
U
, рассмотрим
1
ij
корреляции, определяемой формулой (10), принимает вид
VV
U
jj j
jj
VV VV
jj jj
2
. Подставив это в (11.11) и учитывая, что
1
,
2n
получим
nn
22222
V V V U VVVV VV
¦¦
piijjij
ij
xx x x xx xx
11
11 22 1122 11 22
2.
2
Из этого выражения следует, что при полной обратной корреляции дисперсия доходности портфеля может быть равна нулю, т.е.
риск отсутствует. Это имеет место при выполнении следующего
соотношения:
11 2 2
.xxV V
Состав такого портфеля можно определить, решив систему из
полученного уравнения и уравнения для долей портфеля (11.1), т.е.
xx
12
°
®
xx
12
°
¯
1;
V
2
V
1
0.
Решения этой системы имеют вид
VV
21
21
,
x
2
x
1
1
V V
1
V V
1
21
.
Пример 11.1. В табл. 11.1 приведены характеристики четырех
типов ценных бумаг.
Таблица 11.1
,%
a
j
,%
V
j
1. Определить характеристики портфеля, состоящего из четырех
типов ценных бумаг, при равномерном вложении и при отсутствии
корреляции доходностей между бумагами.
Решение. Для определения ожидаемой доходности и стандартно-
го отклонения портфеля воспользуемся формулами (11.7) и (11.8).
1 2 3 4
12 10 8 6
2,5 1 0,4 0,4
11. ʪ
x
x
n
11
aa
¦
pj
n
1
j
n
11
V V
pj
2. То же, что и в пункте 1 для 2, 3 и 4-го типов ценных бумаг.
Решение.
3. То же, что и в пункте 1 для 2-го и 3-го типов ценных бумаг.
Решение.
4. То же, что и в пункте 1 при полной прямой корреляции.
Решение. Ожидаемая доходность та же, что и в пункте 1. Стан-
дартное отклонение определяется по формуле
a
p
a
p
V V
5. Определить долю ценных бумаг портфеля, состоящего из 1-го
и 2-го типов, при их полной обратной корреляции.
Решение. Доля ценных бумаг портфеля, состоящего из двух типов этих
бумаг, при их полной обратной корреляции находится по формулам
VV
x
21
1
1112,5
V V
21
2 2222
¦
n
i
1
3
1
2
pj
12,5
4
1
10 8 6 8;
10 8 9;
n
11
¦
n
1
j
0, 286
12 10 8 6 9;
4
2,5 1 0, 4 0,4 0, 688.
1
222
V
V
p
2,5 1 0, 4 0, 4 1,075.
4
x
;
2
1 0, 4 0, 4 0, 383
p
3
1
22
1 0, 4 0,534.
2
11
1112,5
V V
21
0, 714
233
.
.
11.2. ʿ
Для каждого портфеля можно построить на графике ожидаемой
доходности от стандартного отклонения точку, рассчитанную по
формулам (11.1), (11.2) и (11.3). Рассмотрим частный случай двух
видов ценных бумаг. Пусть доля портфеля бумаг первого типа рав-
, а бумаг второго типа равна 1
на
чения для математического ожидания доходностей бумаг первого и
второго типов, их дисперсий и ковариации
ответственно. Тогда (11.2) и (11.3) можно записать в виде
axa xa
½
p
222 2
V V V V
p
1;
12
xxxx
121.
12 12
Система уравнений является функцией одной переменной
a V , заданной в параметрической форме. Параметром здесь
pp
. Введем следующие обозна-
;; ; ;aa VVV
12 1 2 12
2
22
°
(11.12)
¾
°
¿
ñî-
234
x
x
x
V. ˀ
является доля ценных бумаг первого вида x. Несколько графиков
таких функций представлено на рис. 11.1. Некоторые из этих графиков имеют две ветви: верхнюю и нижнюю.
Найдем точку, в которой производная функции
a V стремит-
pp
ся к бесконечности. Поскольку функция (11.12) задана параметрически, т.е.
ax è
p
V , то ее производную можно представить в виде
da da dx a a
dddx
VV
p
V
pp p
pp
2.
22
221 21
xx xx
V V V
12 12
12
2
Искомая точка находится из уравнения
22
01 0 2 0 12
Решая это уравнение относительно
2
1120.xx xV V V
, получим
0
2
VV
x
0
22
VVV
12 12
212
.
(11.13)
2
Пример 11.2. Даны два типа ценных бумаг с характеристиками,
приведенными в табл. 11.2. Построить графики функции
Таблица 11.2
Пример
1 0,07 0,15 0,45 0,9 0
2 0,07 0,15 0 0,9 0
3 0,07 0,15 0,45 0,9 0,3
4 0,07 0,15 0,45 0,9 –0,3
5 0,07 0,15 0,45 0,9 0,45
6 0,07 0,15 0,45 0,9
Решение. Рассмотрим пример 1. Определим точку экстремума
по формуле
Составим таблицу (табл. 11.3).
a
p
V
p
ɚ
1
x
0
VVV
12 12
0 0,25 0,5 0,667 0,75 1,0
0,15 0,13 0,11 0,097 0,09 0,07
0,949 0,731 0,581 0,548 0,556 0,671
ɚ
2
VV
212
22
Таблица 11.3
2
2
2
V
1
0, 9
0, 45 0, 9
V
0,667
a V
2
2
().
pp
V
12
12
1U
11. ʪ
График функции
a V можно построить в Excel. Выделим строку
pp
доходности и, нажав на кнопку «Диаграмма», откроем окно «Тип диаграммы». Выберем тип диаграммы «Точечная» и «Вид» такой, какой вас
больше устраивает. Нажмем на кнопку «Далее». В появившемся диалоговом окне раскрыть вкладку «Ряд». Поставить курсор в поле «Значения
Х». Выделить строку рисков. Затем «Далее»
o «Далее» o «Готово».
График, построенный по данным этой таблицы, представлен на
рис. 11.1 (пример 1). Эта кривая имеет вид «пули».
V
p
минимальное из всех возможных средних квадратичных отклонений, т.е. риск минимальный для структуры портфеля с долей бумаг
первого типа
При этом ожидаемая доходность равна 9,664%
0,667x и с долей бумаг второго типа 10,333x .
a .
p
Для примера 2 можно записать
(1 — ) ;
axa xa
®
V V
¯
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,02
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
12
p
(1 — ) .
x
p
2
0,548
235
—
ɉɪɢɦɟɪ 1 ɉɪɢɦɟɪ 2 ɉɪɢɦɟɪ 3
ɉɪɢɦɟɪ 4 ɉɪɢɦɟɪ 5 ɉɪɢɦɟɪ 6
Ðèñ. 11.1. Графики зависимости доходности от риска
Определим производную
da da dx
pp
dddx
VV V
pp
aa
21
2
. Òàê êàê ïðî-
изводная постоянная, то исследуемая функция является отрезком
прямой линии. Для
имеем
1x
aa V
ɢ 0
1
pp
. Если задана точ-
ка, лежащая на прямой, и угловой коэффициент, то прямая опре-
aa
делена. Ее уравнение имеет вид
aa
V
pp
1
21
V
2
. Подставив сюда
исходные данные примера, получим искомую функцию;
236
p
0,07 0, 07 0, 08433 .
a V V
Отрезок прямой легко построить по двум точкам. Одна точка
определена. Ее координаты (0; 0,07). Координаты второй точки находятся при
ты второй точки (0,15; 0,949). На рисунке искомая функция представлена в виде левого отрезка прямой линии.
На этом же рисунке представлены графики других примеров.
Стрелка показывает направление возрастания ковариации ценных
бумаг первого и второго типа.
. В этом случае
0x
V. ˀ
0,15 0,07
0, 9
pp
aa V V
,
22
pp
. Тогда координа-
Для примера 6 из условия
1U следует
12
V VV. Тогда
12 1 2
можно записать
(1 — ) ;
12
(— ) .
x
122
aa
p
12
p
. Так как эта производная
12
Найдем производную
axa xa
p
®
V V V V
p
¯
da
VVV
d
не зависит от стандартного отклонения портфеля, то искомая
функция является отрезком прямой линии, соединяющим точки,
координаты которых находятся из условий:
1) 1 ; ;
xaa
o V V
xaa
2) 0 ; .
o V V
11
pp
22
pp
Для условий примера первая точка имеет координаты (0,671; 0,07),
а вторая – координаты (0,949; 0,15). На рисунке искомая функция
изображена в виде правого отрезка прямой.
Как следует из приведенных примеров, вид функции
a V
pp
существенным образом зависит от ковариации двух доходностей
ценных бумаг. При увеличении ковариации растет риск (стандартное отклонение) при той же доходности.
11.3. ʽ
Ожидаемая доходность портфеля (11.2) и его дисперсия (11.3)
зависят от структуры портфеля, т.е. от типов ценных бумаг и их
доли от общего вложения. Можно построить оптимальный портфель, минимизирующий риск при определенных условиях. Можно,
например, минимизировать дисперсию при фиксированном уровне
доходности и при нормировании весовых коэффициентов (11.1).
11. ʪ
P
O
237
Такое решение минимизации риска впервые рассмотрено Марковицем. Математическая формулировка задачи имеет вид
nn
2
V V o
p ijij
¦¦
11
ij
xx
(11.14)
min
ïðè
n
xa a
¦
1
j
n
x
¦
1
j
jj p
10.
j
½
0;
°
°
(11.15)
¾
°
°
¿
Оптимальное решение ищется с помощью метода множителей
Лагранжа. Функция Лагранжа для условий (11.15) имеет вид
nn n n
VOP
Lxx xaa x
¦¦ ¦ ¦
ijij jj p j
11 1 1
ij j j
§·§·
¨¸¨¸
¨¸¨¸
©¹©¹
(11.16)
1.
Оптимальный портфель находится из решения относительно
системы линейных уравнений
ɢ,jx
LLL
www
x
wwOwP
j
(11.17)
0.
Для трех видов ценных бумаг функция Лагранжа приобретает вид
22 2
Lx x x xx xx xx
VVV V V V
111 222 333 1212 1313 2323
xa x a x a a x x x
O P
11 2 2 3 3 1 2 3
222
p
1.
Отсюда находим систему линейных уравнений (11.17) при усло-
ij ji
.
w
L
VVVOP
xx xa
22 2 0,
w
w
w
w
w
wO
w
wP
w
111 212 313 1
x
1
L
VVVOP
22 2 0,
xx xa
121 2 22 3 23 2
x
2
L
VVVOP
22 2 0,
xx xa
131 2 32 333 3
x
3
L
OP
xa x a x a a
11 2 2 3 3
L
OP
xx x
12 3
0* 0* ,
0* 0* 1.
½
°
°
°
°
°
(11.18)
¾
°
°
p
°
°
°
¿
âèè
V V
Эта система из пяти линейных уравнений с пятью неизвестны-
ми может быть решена, например, методом Крамера. Ее решение
для состава портфеля имеет вид
238
j
j
Значения определителей
VVV
222 1
11 12 13 1
VVV
222 1
21 22 23 2
D
VVV
222 1
31 32 33 3
aaa
123
11100
V. ˀ
DD
12
xx x
;;.
(11.19)
12 3
DDD
,, ɢ DDD D находятся из соотношений
12 3
a
a
;
a
D
00
D
3
VV
02 2 1
12 13 1
VV
02 2 1
22 23 2
VV
02 2 1
1
aa a
32 33 3
p
23
a
a
a
00
;
11 100
202 1
VV
11 13 1
202 1
VV
21 23 2
202 1
VV
D
31 33 3
2
aa a
13
p
11100
a
a
a
00
22 0 1
VV
11 12 1
22 0 1
VV
21 22 2
22 0 1
VV
D
;
31 32 3
3
aaa
12
p
a
a
a
00
11100
При вычислении определителей следует воспользоваться систе-
мой Excel, щелкнув мышью на кнопке f
, в окне категорий выбрать
x
«Математические» и среди функций выбрать «МОПРЕД».
Пример 11.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками,
приведенными в табл. 4. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированы.
Таблица
j
a
2
V
Определить зависимость состава оптимального портфеля от его
ожидаемой доходности и построить график функции
оптимальном составе портфеля.
Решение. Проведем расчет определителей.
1 2 3
0,05 0,1 0,15
0,25 0,5 0,8
11.4
a V ïðè
pp
0, 5 0 0 0, 05 1
0100,11
D
001,60,151
0,01525;
0, 05 0,1 0,15 0 0
111 00
.
11. ʪ
00 00,051
01 0 0,11
001,60,151
Da
1
a
0,1 0,15 0 0
p
0,18 0,023;
p
11 1 00
0,5 0 0 0, 05 1
0000,11
Da
001,60,151
2
a
0, 05 0,15 0 0
p
0,055 0, 00025;
p
111 00
0,5 0 0 0,05 1
0100,11
0000,151
Da
3
0, 05 0,1 0 0
a
p
0,125 0, 0075.
p
11100
Найдем зависимость состава оптимального портфеля от его
ожидаемой доходности
0,18 0,023
a
D
1
xa
1
D
D
2
xa
2
D
D
1
xa
3
D
Используя нормировку (11.1), можно провести проверку полученного результата. При этом сумма полученных зависимостей состава портфеля должна быть равна единице:
xx x a a
123
Для построения графика
проводят расчет состава портфеля и риска. Например, для
состав портфеля
123
Дисперсию портфеля находим по формуле
2222222 2 2
V V V V
xxx
p
11 22 33
Стандартное отклонение
p
0,01525
0,055 0,00025
a
p
0,01525
0,125 0, 0075
p
0,01525
11, 8033 1, 5082 3,6066 0, 0164
8,1967 0, 4918 1.
11, 8033 1, 5082
3,6066 0,0164
8,1967 0, 4918
pp
a
p
для заданных доходностей
()
a V
pp
p
p
p
.
0,32787; 0,34426; 0,32787.xx x
0,32787 0, 25 0,34426 0,5
0,32787 0,8 0,17213.
2
V
p
0, 415
.
;
;
239
0,1
a
p
240
x
x
x
j
x
V. ˀ
Результаты расчета представлены в табл. 11.5.
Таблица 11.5
a
V
0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,157
p
0,8 0,682 0,564 0,446 0,328 0,009
1
0,2 0,236 0,272 0,308 0,344 0,442
2
0 0,082 0,164 0,246 0,328 0,549
3
0,424 0,387 0,372 0,382 0,415 0,582
p
График функции
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,04
0,02
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
a V представлен на рис. 11.2.
pp
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ
Ðèñ. 11.2. Доходность — риск оптимального портфеля
При увеличении или уменьшении ожидаемой доходности оптимального портфеля
представленными в табл. 11.5, доли от общего вложения
по сравнению с граничными значениями,
a
p
стано-
вятся отрицательными.
Из графика функции
a V примера следует, что возможно
pp
существование экстремальной точки, в которой стандартное отклонение (дисперсия) портфеля имеет минимальное значение. Эту задачу можно решить с помощью метода множителей Лагранжа:
nn
2
V Vo
p ijij
¦¦
11
ij
xx
min
ïðè
n
10.
x
¦
1
j
j
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]