Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
11. ʪ
j
j
Пример 11.7. Инвестор формирует портфель из трех видов цен-
ных бумаг с характеристиками, представленными в табл. 11.6.
Таблица 11.6
j
a
2
V
0 1 2
0,05 0,1 0,15
0 0,5 0,8
Построить прямую линию
()
a V для оптимального портфеля,
pp
определить доходность портфеля и его состав при стандартном отклонении
V
p
0, 4.
Решение. Найдем тангенс угла наклона прямой
(0,1 0, 05) (0,15 0,1)
k
Угол наклона с оси
V равен 7,5 градусов. Используя формулы
22
0,5 0,8
p
0,1323.
(11.34), находим соотношения для состава портфеля
12,8571 1,6429;
xa
Точка касания
0
5,7143 0, 2857;
xa
1
7,1428 0,3572.
xa
2
Ʉ лежит как на прямой, так и на кривой, по-
p
p
p
этому в этой точке выполняется условие
первое из трех уравнений, получим
0 12,8571 1, 6429
сюда находим доходность портфеля в точке касания
0.x Подставив
0
a
,
pk
0,1278.
a
,
pk
Уравнение прямой (11.36) в нашем случае имеет вид
0,1323 0,05. V
a
pp
Òàê êàê
– тангенс угла наклона искомой прямой с осью
k
абсцисс, то значение стандартного отклонения портфеля
V
ке касания определяется по формуле
aa
0,1278 0, 05
pk
pk
,
k
V
,0
0,1323
0,588.
Таким образом, отрезок прямой, предложенный инвестору,
может быть построен по двум точкам с координатами (0; 0,05) и
(0,558; 0,1278) (рис. 11.4).
0
. Îò-
â òî÷-
p
251
0x â
252
клонением
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,04
0,02
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Ðèñ. 11.4. График зависимости «доходность — риск»
для оптимального портфеля
Если инвестор согласен на риск, выраженный стандартным от-
, то доходность такого портфеля составит
0, 4
V
p
0,1323 0, 4 0, 05 0,103
a
p
Состав этого портфеля:
x
0
5,7143 0,103 0, 2857 0, 3029;
x
1
7,1428 0,103 0,3572 0,3785.
x
2
V. ˀ
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ
.
12,8571 0,103 1, 6429 0,3186;
Полученные результаты справедливы также для портфеля из
n
типов рисковых ценных бумаг и одного типа безрисковой ценной
бумаги. Мы знаем, что при формировании оптимального портфеля
только из рисковых ценных бумаг зависимость ожидаемой доходности оптимального портфеля от стандартного отклонения имеет вид
пули. При добавлении в портфель безрисковых ценных бумаг эта
зависимость превращается в отрезок прямой, соединяющей точку
оси
бумаги, и точку касания
, координата которой равна доходности безрисковой ценной
a
p
Ʉ , лежащую на пуле (см. рис. 11.3). Инве-
стор будет выбирать портфель так, чтобы ожидаемая доходность и
стандартное отклонение лежали на этом отрезке.
Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, со-
стоящего из безрисковых ценных бумаг и
n типов рисковых цен-
ных бумаг, используется следующий алгоритм.
1. Определяют состав оптимального портфеля из n типов рис-
ковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой
(точка
D на рис. 11.3) по формуле (11.33).
()
a V
pp
11. ʪ
253
2. Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке
по формулам (11.2) и (11.3) или по формулам (11.24).
3. Задаются рядом значений доходности портфеля, состоящего
n типов рисковых бумаг, больших и меньших, чем доходность в
èç
став оптимального портфеля по формуле (11.31), а затем дисперсию
по формуле (11.24).
4. По полученным результатам строят график
a V
()
pp
äëÿ îï-
тимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.
5. Определяют координаты точки касания. Для этих целей со-
ставляют матрицу «риск — доходность»
0 2 ... 2 1
ªº
«»
«»
A
«»
«»
«»
¬¼
VV
22...2 1
22...2 1
01 0 0
VV V
10 11 1 1
VV V
nn nnn
01
aa a
01
11...100
...
... 0 0
a
n
a
n
a
n
и находят для этой матрицы обратную матрицу
ɚɚ ɚaa
ªº
00 01 0 0, 1 0, 2
«»
aa aa a
10 11 1 1, 1 1, 2
«»
1
«»
A
«»
aa aa a
01 ,1,2
n n nn nn nn
«»
aa aa a
1,0 1,1 1, 1, 1 1, 2
n n nn nn nn
«»
aa aa a
«»
2,0 2,1 2, 2, 1 2, 2
n n nn nn nn
¬¼
...
nn n
...
nn n
...
...
...
...
.
Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением
ɚɚ ɚaa
ªº
x
ªº
0
«»
x
1
«»
...
«»
x
«»
n
«»
O
«»
P
¬¼
00 01 0 0, 1 0, 2
«»
aa aa a
10 11 1 1, 1 1, 2
«»
«»
«»
aa aa a
n n nn nn nn
01 ,1,2
«»
aa aa a
n n nn nn nn
1,0 1,1 1, 1, 1 1, 2
«»
aa aa a
«»
n n nn nn nn
2,0 2,1 2, 2, 1 2, 2
¬¼
Отсюда находим формулу для определения доходности
...
...
nn n
nn n
...
...
...
...
0
ªº
«»
0
«»
..
.
«»
.
0
«»
a
«»
p
«»
1
¬¼
â
a
p
точке касания. В общем случае
a
.
p
.
ɚ
ɚ
0, 2
n
n
0, 1
ɯɚ a ɚ
Так как в точке касания
00,1 0,2
np n
0ɯ , òî
0
254
j
j
V. ˀ
6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бу-
маг, в точке касания по формуле
ɚɚ ɚaa
ªº
0
ªº
«»
x
1
«»
...
«»
x
«»
n
«»
O
«»
P
¬¼
00 01 0 0, 1 0, 2
«»
aa aa a
10 11 1 1, 1 1, 2
«»
«»
«»
aa aa a
01 ,1,2
n n nn nn nn
«»
aa aa a
1,0 1,1 1, 1, 1 1, 2
n n nn nn nn
«»
aa aa a
«»
2,0 2,1 2, 2, 1 2, 2
n n nn nn nn
¬¼
...
...
nn n
nn n
...
...
...
...
0
ªº
«»
0
«»
...
«»
.
0
«»
a
«»
p
«»
1
¬¼
7. Определяют дисперсию в точке касания по формуле (11.3)
èëè (11.24).
8. Íà îñè
ходности безрисковой ценной бумаги
откладывают точку, координата которой равна до-
a
p
a .
0
9. Через эту точку проводят прямую, касательную к функции
()
a V для оптимального портфеля, состоящего из рисковых цен-
pp
ных бумаг (см. рис. 11.3). Отрезок, соединяющий точку на оси
и точку касания
Ʉ , является искомой функцией ожидаемой доход-
a
ности портфеля.
10. Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску может указать точку на отрезке прямой «доходность — риск» или задать только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к риску. По формуле
ɚɚ ɚaa
ªº
x
ªº
0
«»
x
1
«»
...
«»
x
«»
n
«»
O
«»
P
¬¼
00 01 0 0, 1 0, 2
«»
aa aa a
10 11 1 1, 1 1, 2
«»
«»
«»
aa aa a
n n nn nn nn
01 ,1,2
«»
aa aa a
n n nn nn nn
1,0 1,1 1, 1, 1 1, 2
«»
aa aa a
«»
n n nn nn nn
2,0 2,1 2, 2, 1 2, 2
¬¼
...
...
nn n
nn n
...
...
...
...
0
ªº
«»
0
«»
..
.
«»
0
«»
a
«»
p
«»
1
¬¼
определяют состав портфеля инвестора.
Пример 11.8. Даны четыре типа ценных бумаг, три из которых —
рисковые (j = 1,2,3) и одна — безрисковая (j = 0), с характеристиками, приведенными в табл. 11.7.
Таблица 11.7
p
j
a
2
V
0 1 2 3
0,04 0,05 0,1 0,15
0 0,25 0,5 0,8
11. ʪ
–
–
–
–
–
–
–
–
Доходности ценных бумаг не коррелированы. Определить
функцию ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от стандартного отклонения, а также доходность и состав
портфеля инвестора при выборе им стандартного отклонения порт-
ôåëÿ
V
,
pu
Решение. Пункты 1—4. Следует обратить внимание на то, что в
состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был
определен и была построена функция
Данные представлены также в табл. 11.5.
5. Для определения координаты точки касания составим мат-
рицу «риск — доходность»
и найдем для этой матрицы обратную матрицу.
1,677668 –1,73817 –0,21452 0,275028 –13,0913 1,523652
ªº
«»
–1,73817 1,964796 –0,10561 –0,12101 1,760176
«»
–0,21452 –0,10561 0,683168 –0,36304 5,280528
1
«»
A .
0,275028 –0,12101 –0,36304 0,209021 6,050605
«»
–13,
0913 1,760176 5,280528 6,050605 –88,0088 3,520352
«»
«»
1,523652 –0,07041 –0,21122 –0,24202 3,520352
¬¼
Доходность в точке касания равна
6. Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг,
в точке касания
1,677668 –1,73817 –0,21452 0,275028 –13,0913 1,523652
ªº
«»
–1,73817 1,964796 –0,10561 –0,12101 1,760176
«»
–0,21452 –0,10561 0,683168 –0,36304 5,280528
«»
A
0,275028 –0,12101 –0,36304 0,209021 6,050605
«»
–13,09
«»
«»
¬¼
13 1,760176 5,280528 6,050605 –88,0088 3,520352
1,523652 –0,07041 –0,21122 –0,24202 3,520352
0,3.
ɚɚ V (ñì. ðèñ. 11.2).
ɪɪ
00000,041
ªº
«»
00,5000,051
«»
00100,11
«»
Ⱥ
0001,60,151
«»
0, 04 0, 05 0,1 0,15 0 0
«»
«»
111100
¬¼
ɚ
0, 2
a
p
n
ɚ
0, 1
n
1, 523652
13,0913
0,1164
.
0,07041
0,21122
0,24202
0,14081
255
0,07041
0,21122
0,24202
0,14081
u
256
ªºª º
«»« »
«»« »
«»« »
u
«»« »
«»« »
«»« »
¬¼¬ ¼
Таким образом, состав портфеля в точке касания
0,134; 0, 403; 0, 463.xx x
12 3
7. Найдем дисперсию в точке касания по формуле (11.3).
nn
2222
V V
pijij
8. По оси ординат откладываем координату, соответствующую
доходности безрискового актива.
0,14
0,14
0,12
0,12
0,1
0,1
0,08
0,08
0,06
0,06
0,04
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,04
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,02
0,02
0
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
xx
¦¦
11
ij
0 0,10,20,30,40,50,6
Ðèñ. 11.5. Графики «доходность — риск»
0,134 0, 25 0, 403 0,5 0, 463 0,8 0,25683
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ
V. ˀ
0 –0,00018
0 0,134477
0 0,403432
0 0,462266
.
0,1164 –6,72387
1 0,268955
;
V
ɪ
0,51
.
9. Проводим через эту точку прямую, касательную к функции
доходности от стандартного отклонения рискового портфеля. Точка
касания имеет координаты
10. Риск портфеля, выбранный инвестором, составляет
0,3
V . Связь доходности, желаемой инвестором, с желаемым
,
p ɢ
риском определяется соотношением
V
,
aaa a
p ɢ pk
,,0 0
pu
V
pk
,
0,51; 0,116.
,,
pk pk
0,116 0,04 0,04 0,085.
aV
0,3
0, 51
11. ʪ
–
–
–
–
x
1,677668 –1,73817 –0,21452 0,275028 –13,0913 1,523652
ªº
«»
–1,73817 1,964796 –0,10561 –0,12101 1,760176
«»
–0,21452 –0,10561 0,683168 –0,36304 5,280528
«»
A
0,275028 –0,12101 –0,36304 0,209021 6,050605
«»
–13,09
«»
«»
¬¼
ставит
0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой равен 0,5. В то же время доходность портфеля, равная 8,5% годовых, больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой равна 5% годовых.
13 1,760176 5,280528 6,050605 –88,0088 3,520352
1,523652 –0,07041 –0,21122 –0,24202 3,520352
0 0,410891
ªºª º
«»« »
0 0,079208
«»« »
0 0,237624
«»« »
u
0 0,272277
«»« »
0,085 –3,9604
«»« »
«»« »
1 0,158416
¬¼¬ ¼
Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле со-
0, 411x ;
0
Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный
0,079; 0,238; 0, 272. xx x
123
.
0,07041
0,21122
0,24202
0,14081
257
u
˄
11.1. Даны два типа ценных бумаг с характеристиками:
0,12; 0, 2;aa
12
2
0, 6;V
1
мость ожидаемой доходности портфеля от риска.
Ответ. Доходность портфеля и риск в крайних точках и в оп-
тимальной точке представлен в таблице.
a
p
V
p
1 0,6364 0
0,12 0,1491 0,2
0,745 0,674 0,949
11.2. Даны два типа ценных бумаг с характеристиками:
0,15; 0, 3;aa
12
2
0,8;V
1
мость ожидаемой доходности портфеля от риска.
2
0, 9;V
2
2
1, 2 ; 0 , 3V V . Построить зависи-
212
0, 2.V Построить зависи-
12
258
x
j
j
x
x
x
j
j
V. ˀ
Ответ.
a
p
V
p
1 0,643 0
0,15 0,204 0,3
0,894 0,788 1,095
11.3. Даны три типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в таблице. Уровни доходностей ценных бумаг не коррелированны.
j
a
2
V
1 2 3
0,09 0,16 0,22
0,5 0,8 1,4
Определить зависимость состава оптимального портфеля от его
ожидаемой доходности в матричной форме, включая точку для минимально возможной дисперсии, и построить график функции
a V при оптимальном составе портфеля.
pp
Ответ.
0,1057 0,12 0,13 0,1355 0,15 0,17 0,1909
a
p
0,7758 0,6456 0,5545 0,5045 0,3724 0,1903 0
1
0,224 0,2676 0,2985 0,3153 0,3598 0,4211 0,4851
2
0,0002 0,0866 0,147 0,1802 0,2678 0,3886 0,5149
3
0,826 0,74 0,715 0,71 0,739 0,862 1,059
V
p
11.4. Даны четыре типа ценных бумаг, три типа из которых –
рисковые, такие же, как и в предыдущей задаче, и один тип – безрисковый. Характеристики ценных бумаг представлены в таблице.
j
a
2
V
0 1 2 3
0,06 0,09 0,16 0,22
0 0,5 0,8 1,4
Доходности ценных бумаг не коррелированны. Определить и
построить график зависимости ожидаемой доходности портфеля,
11. ʪ
259
состоящего из этих бумаг, от среднего квадратичного отклонения, а
также доходность и состав портфеля инвестора при выборе им
стандартного отклонения портфеля
Ответ.
0
0, 707;x
0, 059; 0,122; 0,112;xxx
123
V
,
pu
0, 25.
9, 2%.
a
,
pu
0,25
0,2
0,15
0,1
Ⱦɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
0,05
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ
Доходность — риск оптимального портфеля
12
˄ʿˀʤʦʸʫʻʰʫ ʿʽˀ˃ˇʫʸʫʺ ˉʫʻʻˏˈ ʥ˄ʺʤʧ
12.1. ˀ
12.2. ˑ
12.3. ˀ
12.4. ˇ
12.5. ʿ ,
12.6. ʰ
12.7. ʶ «–» «—»
12.8. ʦ
12.9. ʽ
12.1. ˀ
Рыночный портфель формируется из всех рисковых ценных бумаг, существующих на рынке. Рыночный портфель определяется
при равновесии на фондовом рынке. Равновесие на конкурентном
рынке имеет место в том случае, если все его участники располагают одинаковой информацией и формируют на ее основе оптимальный портфель. При наличии равновесия предложение рисковых и
безрисковых ценных бумаг равно спросу. При отсутствии равновесия вступает в действие закон конкурентного рынка, т.е. цена бумаг, спрос на которые превышает предложение, будет расти, и наоборот. При этом эффективность первых также будет расти, а вторых падать. На основании информации об этом каждый инвестор
скорректирует структуру рисковой части своего портфеля. В результате на рынке устанавливается равновесие. В этом случае распределение на рынке рисковых ценных бумаг по видам будет близко к
распределению ценных бумаг в оптимальном портфеле. Задачу о
доле капитала, вкладываемого в безрисковую и рисковую части
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]