Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
ʺʫˈʤʻʰʯʺˏ ʿˀʰʻ˔˃ʰ˔ ˀʫˌʫʻʰʱ
ʻʤ ˀˏʻʶʫ ˉʫʻʻˏˈ ʥ˄ʺʤʧ
ʧ 3. ʺ
ʧ 4. ʺ
II
I
I
3
ʺʫ˃ʽʪˏ ʤʻʤʸʰʯʤ
ˈʤˀʤʶ˃ʫˀʰˁ˃ʰʶ ˉʫʻʻˏˈ ʥ˄ʺʤʧ
3.1. ʿ
3.2. ʿ ,
3.3. ʿ ,
3.4. ˈ
3.1. ʿ
Важнейшим фактором в анализе любых финансовых операций
является принцип неравноценности денег во времени. Рубль, полученный сегодня, стоит больше рубля, который будет получен в будущем. Поэтому если в настоящее время 1 рубль можно инвестировать под заданный процент на заданный период, то через этот период инвестор получит 1 рубль плюс процент.
Проценты — это абсолютная величина дохода от представления
денег в долг в любой его форме.
Наращенная сумма ссуды — это первоначальная сумма плюс
начисленные к концу срока ссуды проценты.
,SPI (3.1)
ɝɞɟ S — ɧɚɪɚɳɟɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɫɫɭɞɵ; P — ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɫɫɭɞɵ;
— ɧɚɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɤ ɤɨɧɰɭ ɫɪɨɤɚ ɫɫɭɞɵ ɩɪɨɰɟɧɬɵ.
Процентная ставка наращения — это отношение процентов за
год к сумме долга. Если проценты за год обозначить I
ную ставку буквой i, то эта процентная ставка может быть рассчитана по формуле
0
.
iP
, а процент-
0
3. ʺ
ɪ
I
I
K
K
Заметим, что процентная ставка имеет размерность
Процентная ставка является также измерителем степени доход-
ности любой финансовой операции. В этом случае процентная
ставка называется доходностью.
ɭɛ.1
ɝɨɞ ɪɭɛ. ɝɨɞ
53
=.
3.2. ʿ ,
3.2.1. ʿ
Простая процентная ставка наращения — это ставка, при кото-
рой база начисления всегда остается постоянной.
Проценты
ɝɞɟ n — ɫɪɨɤ ɫɫɭɞɵ ɜ ɝɨɞɚɯ; i — ɩɪɨɫɬɚɹ ɝɨɞɨɜɚɹ ɩɪɨɰɟɧɬɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ
ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ (ɞɟɫɹɬɢɱɧɚɹ ɞɪɨɛɶ).
Подставив выражение для процентов (3.2) в (3.1), получим
формулу простых процентов
Множитель
стых процентов.
Пример 3.1. Ссуда 25 000 руб. выдана на срок 0,7 года под про-
стые проценты 18% годовых. Определить проценты и наращенную
сумму.
Решение.
Срок ссуды при расчете по простым процентам рассчитывается
по формуле
ãäå
t — число дней ссуды;
В зависимости от принятой методики используют два типа
временных баз:
x Ê = 360 — обыкновенные проценты;
x К = 365 (366) — точные проценты.
за весь срок ссуды вычисляются по формуле
Pni , (3.2)
1.SP ni (3.3)
1qni
называется множителем наращения про-
IP
25 000 0 7 0 18 3159 , , ðóá.
ni
25 000 3150 28 150 ðóá.SPI
t
n
,
— временная база или число дней в году.
(3.4)
3.2.2. ˁ
Сложная процентная ставка наращения — это ставка, при кото-
рой база начисления является переменной, т.е. проценты начисля-
54
II. ʺ
ются на проценты. Предположим, что мы имеем P руб., которые
можно инвестировать по процентной ставке наращения
один год мы будем иметь
инвестировав всю сумму
иметь
11 1Pa aPa
ªº
¬¼
1Pa . Если повторить этот процесс,
, то к концу второго года будем
1Pa
2
. Продолжая процесс, видим, что
.a Через
показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству лет наращения. Положив это число равным
n , получим
формулу сложных процентов:
n
1.
SP a
Пример 3.2. Какой величины достигнет долг, равный 8000 руб.
через 4,6 года при росте по сложной ставке наращения 20% годовых?
n
Решение.
1()
SP a =
8000(1 0, 2) 18506, 48ɪɭɛ.
(3.5)
4,6
Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения
процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или
другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются
ɬ раз в году. При этом в контрактах фиксируется не ставка за
период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной [4]. Сложная процентная ставка наращения является частным случаем номинальной при начислении процентов один раз в
году. Если номинальную ставку обозначить буквой
ты за один период начисляются по ставке
числений равно
mn . Наращенная сумма при использовании но-
j
m
j , то процен-
, а количество на-
минальной процентной ставки наращения определяется по формуле
§·
1.
SP
¨¸
©¹
Пример 3.3. Определить величину долга, равного 15 000 руб.,
через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно.
n
1 15 000 1 0 165 35 821 93
() (,) ,ðóá.
Решение.
SP
SP a
mn
j
§·
1
¨¸
©¹
=
m
15 000 1 38 173 55
0 165
,
§·
¨¸
12
©¹
(3.6)
m
57
,
12 5 7
,
,ðóá.
mn
j
3. ʺ
j
55
Если в ф. (3.6), определяющей наращенную сумму при использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать, то количество этих периодов
в году будет увеличиваться. В пределе при стремлении длительности
периодов к нулю их число стремится к бесконечности. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при
непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение
непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при анализе характеристик ценных бумаг.
Сила роста называется постоянной, если она не изменяется во
времени. Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.
Формула для наращенной суммы при непрерывном начислении
процентов для постоянной силы роста
стремлении
Òàê êàê
ɬ к бесконечности, т.е.
§·
1lim .
¨¸
of
x
©¹
, ãäå ɟ — число Эйлера (основание
e
§·
1
lim
¨¸
m
of
©¹
S
m
j
m
натуральных логарифмов), то, заменяя
G следует из ф. (3.6) при
mn
j
m
j
на силу роста G , получим
формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении
процентов
n
G
.
(3.7)
j
с силой роста G находится из
Связь дискретных ставок
SPe
a è
равенства множителей наращения дискретных (3.5), (3.6) и непрерывной (3.7) ставок, т.е.
mn
n
G
1
ae
; 1.
n
j
§·
¨¸
m
©¹
G
n
e
Решив эти уравнения, получим
11();
aG
n
§·
ln 1 ;
m
G
¨¸
©¹
G
(3.8)
1
;ae
j
m
§·
1.
jme
¨¸
©¹
G
m
(3.9)
По формулам (3.8) и (3.9) можно, в частности, зная дискретные
ставки ценных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг.
Пример 3.4. На сумму 15 000 руб. начисляются проценты по слож-
ной годовой ставке
наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислениях.
i =22% в течение 3,5 лет. Определить силу роста и
56
I
Решение. 1 1 1 1 22 0 19885084G () , , ,èëè19,885084%.
Наращенная сумма при непрерывном начислении
Наращенная сумма при дискретном начислении
Таким образом, как и следовало ожидать, наращенные суммы
при дискретном и непрерывном начислениях совпали.
II. ʺ
a
ïn
G
n
SPe e
SP a
15 000 30 085 04
n
1 15 000 1 0 22 30 085 04
() (,) ,ðóá.
0 19885084 3 35
,,
35
,
, ðóá.
Дисконтирование – это процесс определения современной
стоимости будущего платежа. То есть при дисконтировании суммы S, которая будет выдана через срок
, по ставке дисконтиро-
n
вания вычисляется современная величина (стоимость) P суммы S.
Используя формулы (3.3), (3.5), (3.6) и (3.7), получим соотношения
дисконтирования для рассмотренных типов процентных ставок:
SS S
PP P PSe
Множители
;; ;.
ni
1
11 1
Q Q Q Q
1
nmn
a
1
;; ;
ni
1
a
j
§·
1
¨¸
m
©¹
nmn
j
§·
1
¨¸
m
©¹
n
G
(3.10)
n
G
e
íàçû-
ваются дисконтными множителями.
Разность
DSP (3.11)
называется дисконтом с суммы S.
Из формулы (3.1) получим выражение для определения процентов:
.
SP
Отсюда следует, что формула для определения процентов по
форме совпадает с формулой для определения дисконта. Однако необходимо помнить, что финансовый смысл этих формул различен.
Пример 3.5. Через 159 дней должник уплатит 8,5 тыс. руб. Кре-
дит выдан под простые проценты 19% годовых. Каковы первона-
чальная сумма долга и дисконт при условии, что временная база
равна 360 дней?
Решение.
S
Pni
1
8500 7841 93 658 07——,,ðóá.DS P
8500
159
1019
360
7841 93
,
,ðóá.
3. ʺ
57
3.2.3. ˄
Банк может учесть вексель до наступления срока платежа с дисконтом, т.е. купить его у владельца по цене, которая меньше номи-
S , указанного в векселе. Размер дисконта при учете по про-
нала
стой учетной ставке определяется по формуле
DSnd ,
ɝɞɟ d — ɩɪɨɫɬɚɹ ɭɱɟɬɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ; n — ɫɪɨɤ ɨɬ ɦɨɦɟɧɬɚ ɭɱɟɬɚ ɞɨ ɦɨɦɟɧɬɚ
ɩɨɝɚɲɟɧɢɹ.
Подставив это значение в соотношение (3.11), получим формулу
для расчета суммы, выплачиваемой владельцу векселя при учете по
простой процентной ставке
1.PS nd
Множитель называется дисконтным множителем. Обычно при
расчетах принимают Ê = 360.
Пример 3.6. Вексель, имеющий номинальную стоимость 8000 руб.,
учтен в банке по простой учетной ставке 18,5% годовых за 132 дня
до его погашения. Определить сумму, полученную владельцем
векселя при учете.
1 8000 1 0 185 7457 33
( — ) — , , ðóá.PS nd
Решение.
При использовании сложной учетной ставки каждый раз эта ставка
применяется не к первоначальной сумме, как при простой учетной
ставке, а к сумме уже дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учете векселя, рассчитывается по формуле
ãäå
d — сложная учетная ставка.
1,
PS d
(3.12)
132
§·
¨¸
360
©¹
n
(3.13)
3.2.4. ʽ
Формулы для определения срока ссуды и величины процентной
ставки при начислении по простым и сложным процентам следуют
из соотношений (3.3)—(3.7), (3.12) и (3.13). В качестве примеров
рассмотрим методы определения срока ссуды и величины простой
и сложной процентных ставок наращения.
Срок ссуды и доходность в виде простой процентной ставки наращения находят, решая (3.3) относительно
S
1
P
n
;
i
i
n è i .
S
1
P
.
(3.14)
n
58
Срок ссуды и доходность в виде сложной процентной ставки
наращения определяют из формулы (3.5).
Пример 3.7. Финансовый инструмент куплен за 25 000 руб., его
выкупная цена через 1,8 года составит 35 000 руб. Определить доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов.
Решение.
a
II. ʺ
S
ln
n
1
n
S
§·
¨¸
©¹
1 1 0, 2055417,
P
P
ln 1
§·
35 000
¨¸
25 000
©¹
a
;
a
1
1,8
1
n
S
§·
¨¸
©¹
1.
P
(3.15)
èëè 20,55%.
3.2.5. ˑ
Были рассмотрены следующие виды процентных ставок:
x простая процентная ставка наращения;
x сложная процентная ставка наращения;
x номинальная процентная ставка наращения;
x сила роста;
x простая учетная ставка;
x сложная учетная ставка.
Эквивалентными процентными ставками называются любые две
из перечисленных выше, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.
Определим соотношения эквивалентности между простой процентной ставкой наращения и сложной процентной ставкой наращения. При этом полагаем, что начальные и наращенные суммы
при применении рассматриваемых ставок одинаковы. Поэтому для
решения поставленной задачи приравняем множители наращения
друг к другу. В результате получим
11
ni a ,
ɝɞɟ i — ɩɪɨɫɬɚɹ ɩɪɨɰɟɧɬɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ; a — ɫɥɨɠɧɚɹ ɩɪɨɰɟɧɬɧɚɹ ɫɬɚɜɤɚ ɧɚɪɚɳɟɧɢɹ; n — ɫɪɨɤ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɜ ɝɨɞɚɯ.
Решив это уравнение относительно a è i , получим
n
11
ani ;
n
n
11
a
i
n
(3.16)
.
3. ʺ
Пример 3.8. Простая процентная ставка депозита равна 20% го-
довых, срок депозита 0,5 года. Определить доходность финансовой
операции в виде сложной годовой процентной ставки.
Решение.
Найдем соотношения эквивалентности между номинальной
процентной ставкой наращения
наращения
ния называется эффективной ставкой процентов. Эффективная
ставка процентов — это годовая ставка сложных процентов при на-
числении раз в году, которая дает тот же результат, что и
зовое начисление процентов по ставке
наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу, т.е.
Решив это уравнение относительно a и j, получим
Замена в договоре номинальной ставки
числении процентов на эффективную ставку
совых обязательств участников сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
один раз в квартал равна 16% годовых. Определить эффективную
ставку.
a . В этом случае сложная процентная ставка нараще-
Пример 3.9. Номинальная ставка процента при начислении
Решение.
n
1 1 1 0,5 0, 2 1 0, 21,
ani èëè 21%.
§·
ajma
11; 11.
¨¸
m
©¹
§·
a
11
¨¸
m
©¹
0,5
j и сложной процентной ставкой
jm. Поэтому множители
mn
n
a
11.
m
j
j
§·
¨¸
©¹
m
m
j ïðè
a не изменит финан-
m
j
§·
1 1 0,1699,
=
¨¸
©¹
0,16
4
4
(3.17)
-разовом на-
m
èëè 16,99%.
59
ðà-
m
—
3.3. ʿ ,
Потоки платежей — это платежи последовательные во времени,
например выплаты дивидендов, пенсии и т.д.
Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в
одну сторону (например, поступления), а интервалы (периоды) между платежами одинаковы.
60
K, K
K
II. ʺ
Нерегулярным потоком платежей называются платежи, у которых часть выплат — положительная величина (поступления), а другая часть — отрицательная величина (выплаты сторонним организациям). Интервалы между платежами в этом случае могут быть не
равны друг другу.
Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех выплат с
начисленными на них к концу срока сложными процентами.
Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной
процентной ставке.
Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть
тежей, имеющих знак «плюс» или «минус»,
= 1,2,...,
номером
k
— количество выплат,
t — время выплаты под
k
R — ðÿä ïëà-
k
t — общий срок
выплат, i — сложная процентная ставка наращения, начисляемая один
раз в году, выплаты производятся в конце периода (рис. 3.1).
R 2R 3R kR KR
1
0
t 2t 3t kt Kt t
1
Ðèñ. 3.1. Схема выплат
В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле
K
SRi
¦
k
k
1
tt
Kk
1.
(3.18)
Современная стоимость потока платежей определяется соотношением
k
R
k
(1 )
.
(3.19)
tk
i
A
¦
k
1
Современную стоимость, определяемую соотношением (3.19), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (3.18), т.е.
S
Ai
.
t
Ʉ
1
Действительно,
S
11 1
KKK
Ri Ri A
¦¦¦
tt t
Ʉ Kk
kkk
111
ii i
tt t
11.
kk
1
Kk k
R
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]