Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
5. ʶ
нальную доходность вложений в облигации, а также реальную до-
ходность при ожидаемом ежегодном темпе инфляции 3%.
Решение. Найденная номинальная доходность равна r = 0,1158297,
èëè |11,58%.
Реальная доходность определяется по формуле.
1 1 1,1158297
rr
a
|
Для облигаций с выплатой по купонам один раз в году уравнение для определения доходности можно записать в виде
Для бессрочных облигаций с выплатами по купонам ð раз в году
уравнение для определения доходности можно представить в виде
формулы. В пределе при n, стремящемся к бесконечности, имеем
Решая это уравнение относительно r, получим
При выплате по купонам один раз в году формула приобретает вид
1 1 1 0, 0833298, ɢɥɢ 8,33%.
n
I
p
I
p
,1
Ku r
1, 10 3
n
11
K
r
r
r
ªº
pr
¬¼
§·
11.
¨¸
©¹
10.
u
1
p
11
p
u
pK
u
.
rK
n
.
111
Пример 5.15. Бессрочная облигация с номиналом 5000 руб.,
проценты по которой выплачиваются ежеквартально (раз в году),
приобретена за 3950 руб. Купонная ставка равна 8% годовых. Определить курс облигации и ее доходность.
Решение. Курс облигации определяется по формуле
3950
B
KN
Для первого варианта доходность равна
§·
1 0,1105177, ɢɥɢ 11,05%.
r
|
¨¸
40,79
©¹
Для второго варианта доходность рассчитывают по формуле
0, 08
r |
0, 79
5000
4
0, 08
0,1012658, ɢɥɢ 10,13%.
0, 79, ɢɥɢ 79%.
112
K
Если проценты по купонной ставке è и номинал выплачиваются
в конце срока, то уравнение для определения доходности такой облигации можно представить в виде
Отсюда находим
Пример 5.16. Бескупонная облигация со сроком 7 лет, проценты
и номинал по которой выплачиваются в конце срока, куплена за
3950 руб. Номинал облигации равен 5 тыс. руб. Купонные проценты начисляются по ставке 8% годовых. Определить доходность инвестиций.
Решение. Подставив исходные данные задачи в последнюю
формулу, получим
Курс бескупонной облигации, по которой в конце срока выпла-
чивается только номинал, определяется из соотношения
Ʉr
ность бескупонной облигации
1
. Решив это уравнение относительно r, находим доход-
n
1
Пример 5.17. Бескупонная облигация со сроком 7 лет куплена
по курсу 79%. Определить доходность инвестиций.
Решение. Доходность определяется по формуле
III. ʶ
1
u
n
r
1
1
r
11,08
u
r
—1 —1 0,116988, ɢɥɢ 11,7%.
B
n
N
7
3950
5000
rK
1
r |
—1 0, 034248, ɢɥɢ 3, 42%.
7
0, 79
.
u
1.
n
K
1
1.
n
5.8. ˄
Рассмотренные методы для определения доходностей различ-
ных типов облигаций не учитывают расходов, связанных с нало-
5. ʶ
гами и комиссионными платежами. Если рыночная цена облигации равна Â, то инвестор с учетом комиссионных по ставке l çà-
платит за нее В (1 + l). Поэтому в правую часть формулы для
n
11
расчета цены облигации
четной цены À надо подставить истинные затраты инвестора, т.е.
 (1 + l). С купонных процентов взимается налог по ставке g.
Поэтому за год инвестор получит проценты, равные
uN . С учетом сказанного соотношение для цены облигации
не
можно переписать в виде
11 .
BluN g
Отсюда находим формулу для определения рыночного курса
B
Kug r
Nl
Решая это уравнение относительно r, определяют доходность
инвестиций.
Пример 5.18. Облигация со сроком 7 лет, купонные проценты
по которой выплачиваются ежеквартально по годовой купонной
ставке 8%, продается на рынке по курсу 85%. При ее покупке инвестор заплатил комиссионные в размере 3% номинала. Определить
доходность вложений в облигации при взимании налога с купонных процентов по ставке 30%.
Решение. Доходность
Для бескупонной облигации уравнение для определения рыноч-
ного курса можно записать в виде
AR
½
1
°°
®¾
1
°°
¯¿
K
Решив его относительно r, получим
r
ªº
pr
11
¬¼
11
ªº
pi
¬¼
11.
pr
0 0817452 |, , èëè 8,17%.r
lr
11
1
n
Kl
1
r
p
1
n
r
p
1
11
11
r
1
ªº
¬¼
1
p
11
.
n
1.
N
1
1
n
вместо рас-
n
r
N
n
r
n
113
1,uN g à
114
Пример 5.19. Бескупонная облигация со сроком 7 лет куплена
по курсу 79%. При ее приобретении инвестор заплатил 3% номинала в виде комиссионных. Определить доходность инвестиций.
Решение. Доходность определяется по последней формуле.
При выплате купонных процентов ð раз в году по бессрочной об-
лигации уравнение для определения рыночного курса приобретает вид
Отсюда находим r
При выплате купонных процентов один раз в году по бессроч-
ной облигации уравнение для доходности можно записать в виде
Пример 5.20. Бессрочная облигация, проценты по которой вы-
плачиваются ежеквартально (раз в году) по годовой купонной ставке 8%, приобретена по курсу 0,79%. При ее приобретении инвестор
заплатил комиссионные в размере 3% рыночной цены облигации.
На купонные проценты начисляется налог по ставке 30%. Определить доходность инвестиций.
Решение. Для первого варианта доходность определяют по формуле
r
Для второго варианта доходность рассчитывают по формуле
III. ʶ
1
|
r
7
079 103
,,
K
r
008 07
,,
§·
1 1 0 070618
|
¨¸
4079103
©¹
,,
008 07
,,
|
r
079 103
,,
1 0 02989
—, ,èëè2,99%.
1
ug
ªº
11 1
lp r
¬¼
ªº
1
ug
11.
«»
«»
¬¼
1
pK l
1
ug
r
1
pK l
4
— , , èëè 7,06%.
0 06882143
,,èëè6,88%.
.
1
.
p
p
5.9. ʪ
Цена облигации со сроком
платами
плат) и с номиналом N определяется суммой всех выплат, дискон-
R (ãäå t — номер выплаты, а Ò — общее количество вы-
t
n , с купонными ежегодными вы-
T
5. ʶ
A
A
115
тированных по ставке r, и является функцией этой ставки. Таким
образом, зависимость цены облигации от ставки можно представить
в виде соотношения
T
R
Ar
t
¦
t
1
11
rr
Обычно по условиям экономических задач всегда
скольку инвестор получает суммы
тельными величинами, т.е.
00!!è.
RN
t
N
.
nn
tT
(5.3)
1.r ! Ïî-
R è N, то их считают положи-
t
Из поставленных условий
следует, что A > 0, т.е. всегда является величиной положительной.
Первая производная цены облигации по ставке дисконтирования
определяется выражением
dA
dr r
1
«»
¦
1
«»
1
t
11
¬¼
nR
tt
rr
nN
T
nn
tT
(5.4)
.
ªº
T
Эта производная при поставленных выше условиях величина
всегда отрицательная. Отсюда следует, что функция
r является
убывающей. Вторая производная цены по ставке
2
dA
T
¦
222
dr
1
t
1
nn R
tt t
nn
rr
11
nn N
TT
tT
1
(5.5)
.
Как следует из ф. (5.5), вторая производная всегда положительна. Поэтому исследуемая кривая всегда имеет выпуклость, обращенную вниз (рис. 5.4).
Ⱥ
r
Ðèñ. 5.4. Графическая зависимость цены облигации от ставки
Разложим функцию
r в ряд Тейлора в точке 0rr , ограни-
чившись первыми тремя членами
116
A
f
A
A
ArA
''
ɝɞɟ
()è(()
rfr — ɩɟɪɜɚɹ (5.4) ɢ ɜɬɨɪɚɹ (5.5) ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɨɬ ɰɟɧɵ ɨɛ-
00
ɥɢɝɚɰɢɢ ɩɨ ɫɬɚɜɤɟ ɞɢɫɤɨɧɬɢɪɨɜɚɧɢɹ ɜ ɬɨɱɤɟ
Разделим левую и правую части (5.6) на
III. ʶ
cc
fr
rAr frrr rr
, (5.6)
c
000 0
Ar Ar r r r' ' (5.7)
;.
00
0
2
rr .
0
00
2
и введем замену
Ar
В результате получим
'
AA A
00 0
00
' '
rr
2
2
(5.8)
.
ccc
fr f r
A
Подставим формулы (5.4) и (5.5) в (5.6). В результате найдем
ªº
T
''
'
1
Ar
00 0
ªº
T
1
«»
¦
2
A
«»
1
t
0
¬¼
nR
tt
«»
¦
«»
1
t
11
rr
¬¼
nn R
tt t
11
00
1
22
nn
tT
rr
00
nN
nn
T
tT
nn N
TT
1
1
r
2
(5.9)
.
Входящие в это выражения величины называются дюрацией
ªº
T
1
D
A
0
nR
tt
«»
¦
«»
1
t
11
rr
¬¼
00
nN
T
nn
tT
(5.10)
и изгибом
ªº
T
1
C
«»
¦
2
A
«»
1
t
0
¬¼
1
nn R
tt t
11
rr
00
nn N
22
nn
tT
1
TT
(5.11)
.
Используя эти выражения, перепишем (5.9) в виде
Ar
''
DCr
'
Ar
00
1
2
.
(5.12)
Подставив в формулу (5.12) введенные выше обозначения (5.7),
получим
ªº
AA D C r
1.
'
«»
0
¬¼
r
'
1
r
0
2
(5.13)
Если пренебречь изгибом, то зависимость для цены акции будет
иметь вид
ªº
AA D
1.
«»
0
¬¼
r
'
1
(5.14)
r
0
5. ʶ
A
A
A
Полученные зависимости в виде графиков представлены на
рис. 5.5. Сплошная линия — это цена облигации, рассчитанная по
формуле (5.3). Кривая, представленная точками, — это график
цены облигации с учетом дюрации и изгиба. Эта линия соответствует функции (5.13).
Прямая пунктирная линия соответствует соотношению (5.14), в
котором учтена только дюрация. Все три линии пересекаются в
точке
этой точке.
. Сплошная линия и пунктирная прямая касаются в
,rA
00
117
1
0,8
ɂɫɬɢɧɧɚɹ ɰɟɧɚ
ɐɟɧɚ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɞɸɪɚɰɢɢ
ɐɟɧɚ ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɞɸɪɚɰɢɢ ɢ ɢɡɝɢɛɚ
0,6
0,4
0,2
ɐɟɧɚ ɨɛɥɢɝɚɰɢɢ, A
0
0
Таким образом, при известных дюрации и изгибе по формуле
(5.12) легко определить изменение цены облигации
значительном изменении ставки дисконтипования 'r. При увеличении модуля
гации увеличивается. Если в формуле (5.12) отбросить последнее
слагаемое, то изменение цены облигации при изменении ставки
дисконтирования будет определяться только дюрацией, т.е.
4
2
0
0
0,
0,
r'
ошибка расчета величины изменения цены обли-
В этом случае ошибка рассчитываемого изменения цены будет
возрастать.
Как следует из формулы (5.10), дюрация — это взвешенное среднее моментов платежа. Весами являются дисконтированные платежи,
деленные на современную стоимость всех платежей. Единицей измерения дюрации является единица измерения времени (год).
8
6
0
0
0,
Ðèñ. 5.5. Определение дюрации
0,1
0,
''
00
0,
4
2
1
1
0,
D
1
8
6
1
1
0,
0,
ɋɬɚɜɤɚ, r
' ïðè íå-
r
(5.15)
.
r
118
III. ʶ
Пример 5.21. Бескупонная облигация, имеющая номинал 5 тыс.
руб., будет погашена через два года. Определить цену облигации,
дюрацию и изгиб для ставки дисконтирования 10% годовых (точка
разложения). Найти изменение цены облигации при изменении
ставки дисконтирования на
r 2% для трех случаев:
x истинное (ф. 5.3);
x при учете только дюрации и изгиба;
x при учете только дюрации.
Найти методические ошибки расчета цены при учете дюрации
и изгиба, а также только дюрации.
Решение. Для определения истинной цены облигации использу-
ется формула (5.3), которая для бескупонной облигации имеет вид
A
N
0
r
()(,)
1101
0
5000
nt
2
4132 23
,,ðóá.
Дюрация определяется по ф. (5.10), преобразовав которую получим
nN
1
Dn
T
A
r
1
0
0
(5.16)
.
T
n
T
Таким образом, дюрация для сосредоточенного платежа равна
сроку его выплаты. Для нашего случая
2 ãîäà.D
Изгиб рассчитывается по ф. (5.11):
nn N nn
123
C
A
2
0
11
TT TT
121
222
n
T
rr
00
21,1
2, 48.
Истинное изменение цены облигации при изменении ставки
дисконтирования на величину
Ar A r r r r
()– ( ) ( )
A
'
AA r
00
111
'
00 0 0
Для условий примера
r'
определяется соотношением
NN
nt nt
N
nt
r
1
()
0
0
§·
¨¸
¨¸
1
©¹
10% 2%rr r r' r . Подставив эти
nt
1
значения в полученную формулу, найдем
'
A
A
0
'
A
A
0
101
§·
¨¸
101002
,,
©¹
101
§·
¨¸
101002
,,
©¹
2
,
,
1 0 0354 3 54
,,èëè,%;
2
1 0 03738
,,èëè3,738%.
Изменение цены облигации при учете дюрации и изгиба опре-
деляется по формуле (5.12)
'
A
A
0
002
,
2 2 48 0 02 0 03537 3 537
—,,,,èëè,%;
11
,
2
.
5. ʶ
119
'
A
A
0
002
,
2 2 48 0 02 0 03736 3 736
11
,(,) , ,èëè,%.
,
2
Изменение цены облигации при учете только дюрации опреде-
ляется по формуле (5.15):
'r
A
A
0
002
(,)
2 0 03636
r r
11
,
, , èëè 3,636%.
Результаты расчета сведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Ошибка
Изменение
Истинное
r' ,
изменение
%
öåíû, %
+2 —3,54 —3,538 —0,002 —3,636 0,096
–2 3,738 3,736 0,002 3,636 0,102
öåíû
при учете
дюрации и
изгиба, %
расчета
изменения
öåíû ïðè
учете дюра-
öèè è èçãè-
áà, %
Изменение
цены при
учете только дюрации,
%
Ошибка
расчета
изменения
цены при
учете только дюрации,
%
Из табл. 5.1 следует, что учет изгиба существенно снижает
ошибку расчета.
5.10. ˄
Дюрация широко используется при хеджировании портфеля облигаций. Пусть создается портфель облигаций как альтернатива потока платежей, являющихся долгом. Очевидно,
что в момент создания портфеля облигаций его приведенная
стоимость должна равняться приведенной стоимости потока
платежей долга. Но одного этого условия для хеджирования
недостаточно, так как при изменении процентной ставки приведенная величина долга может оказаться больше приведенной
стоимости портфеля. Действительно, как следует из геометрии
рис. 5.6, на котором показаны возможные зависимости приведенной стоимости портфеля и долга от величины ставки, для
rr! стоимость портфеля меньше, чем величина долга, а для
0
rr стоимость портфеля превышает стоимость долга.
0
120
Ⱥ
Ⱥ
Ⱥ
III. ʶ
Ⱥ
Ⱦɨɥɝ
0
Ⱦɨɥɝ
ɉɨɪɬɮɟɥɶ
r
Ðèñ. 5.6. Зависимость стоимости портфеля и долга от ставки
Чтобы стоимость портфеля всегда превышала или хотя бы равнялась стоимости долга, нужно следующим образом сформировать
портфель облигаций:
1) функции приведенной стоимости портфеля и долга должны ка-
саться друг друга в точке
быть равны друг другу, а касательные в этой точке совпадать;
2) функция стоимости портфеля должна быть больше стоимости
долга в окрестности точки
должен быть больше изгиба функции долга в этой точке (рис. 5.7).
r
0
,rA , т.е. дюрации этих функций должны
00
, т.е. изгиб функции портфеля
,rA
00
ɉɨɪɬɮɟɥɶ
0
Ⱦɨɥɝ
Ðèñ. 5.7. Зависимость стоимости портфеля
и долга от ставки при хеджировании
r
0
r
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]