Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
11. ʪ
j
x
241
Целевая функция Лагранжа для этого условия имеет вид
nn n
Lxx x
VP
¦¦ ¦
ijij j
ij j
11 1
Координаты экстремальной точки
§·
¨¸
¨¸
©¹
1.
находятся из системы ли-
нейных уравнений
LL
ww
x
wwP
j
0.
(11.20)
Функция Лагранжа для трех типов ценных бумаг принимает вид
22 2
Lx x x xx xx
VVV V V
111 222 333 1212 1313
21.
xx x x x
VP
23 23 1 2 3
22
Отсюда находим систему линейных уравнений относительно
,, ɢ :Pxx x
123
L
w
22 2 0,
xx x
VVVP
w
w
w
w
w
w
wP
111 212 3 13
x
1
L
22 2 0,
xx x
VVVP
121 222 323
x
2
L
22 2 0,
xx x
VVVP
131 2 32 333
x
3
L
xx x
P
12 3
01.
½
°
°
°
°
(11.21)
¾
°
°
°
°
¿
Эта экстремальная точка является исходной при анализе доход-
ности и риска портфеля ценных бумаг. После ее определения инвестор будет знать ожидаемую доходность при минимально возможном риске. Так как в этой точке доходность растет существенно
быстрее, чем стандартное отклонение, то инвестор имеет возможность изменить состав портфеля так, что ожидаемая доходность
может заметно увеличиться при незначительном увеличении риска.
При этом необходимо иметь в виду, что изменение состава портфеля на заданную величину стандартного отклонения может как увеличить, так и уменьшить ожидаемую доходность.
Метод выбора оптимального состава портфеля можно свести к
следующему. Выбрав тип ценных бумаг, инвестор рассчитывает состав портфеля для минимально возможной дисперсии. Затем рассчитываются минимально возможное стандартное отклонение и соответствующая ему ожидаемая доходность. Если инвестор предпочитает
повысить ожидаемую доходность, то он для ряда новых доходностей
определяет стандартное отклонение по приведенной выше методике
Марковица и выбирает приемлемый для себя вариант.
242
x
I
Пример 11.4. Условия предыдущего примера. Определить состав
портфеля для минимально возможной дисперсии, минимально
возможное стандартное отклонение и соответствующую ему ожидаемую доходность.
Решение. Система уравнений (11.21) принимает вид
Проведем расчет определителей:
0,5 0 0 1
0101
D
001,61
1110
0,5 0 0 1
0001
D
2
001,61
1110
Состав портфеля для минимально возможной дисперсии:
D
1
xD
1
Стандартное отклонение портфеля равно
222
0,552 0, 25 0, 276 0, 5 0,172 0, 8 0,372.
Ожидаемая доходность такого портфеля
axaxaxa
11 2 2 33
p
Таким образом, при доходности портфеля 8,1% его стандартное
отклонение
(см. предыдущий пример), т.е. при увеличении доходности в 1,125 раза
стандартное отклонение увеличилось в 1,03 раза.
V
p
0,371
V. ˀ
0,5 0 0 0,
xx x
P
123
000,
xxx
P
123
001,6 0,
P
xxx
123
P
xxx
123
01.
½
°
¾
°
¿
00 0 1
2,9;
01 0 1
D
1
001,61
11 1 0
0,5 0 0 1
0101
D
0,8;
3
0001
1, 6
0,552
2,9
D
xD
3
xxxV V V V
p
;
xD
0,5
1
2,9
22 22 22
11 22 33
1110
D
2
2
0,172
0,8
2,9
.
0, 276
;
0,552 0,05 0, 276 0,1 0,172 0,15 0,081.
, а при доходности 9% имеем
V
1, 6 ;
0, 5.
p
0,382
Данную оптимизацию портфеля ценных бумаг удобно провести
в матричной форме. Характеристики рисковых ценных бумаг задаются матрицей ковариаций
ходностей
a , матрицей-столбцом неизвестных долей
ной матрицей-столбцом
ı, матрицей-столбцом ожидаемых до-
и единич-
. Эти матрицы имеют вид
11. ʪ
j
j
j
x
x
x
x
j
@
K
@
@
K
@>@
VVVV
ªº
11 12 1 1
«»
VVVV
21 22 2 2
ɝɞɟ
— ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɟɣ i -ɣ ɢ j-ɣ ɪɢɫɤɨɜɵɯ ɰɟɧ-
V
ij
ɧɵɯ ɛɭɦɚɝ;
V V
2
V V
aa
.
jj
ªº
j
¬¼
ªº
ij
¬¼
a
ªº
1
«»
a
2
«»
...
«»
;
a
«»
«»
...
«»
a
n
¬¼
«»
«»
«»
«»
«»
VV VV
«»
¬¼
xx
...
VV VV
12
i i ij in
12
n n nj nn
ªº
«»
«»
«»
ªº
j
¬¼
«»
«»
«»
¬¼
jn
jn
1
2
...
;
...
n
,
(11.22)
1
ªº
«»
1
«»
«»
1.
I
>@
(11.23)
1
«»
«»
«»
1
¬¼
243
С учетом введенных обозначений формулы (11.14) и (11.15)
принимают вид
2
ccc
;;1.
xx a ax Ix
V V (11.24)
pp
cc c
Здесь
, ɢxaI
— транспонированные матрицы, в которых строки
и столбцы поменялись местами. Например, транспонированной по
отношению к матрице
является матрица
b
ij
.
b
i
Покажем справедливость формулы (11.24) (при умножении матриц используем правило: произведение матрицы
Lu на матрицу
размера
Mu , ò.å.
xx xx x
xxxx xx
VV VV VV
>@
... ... ... ...
111 1 112 2 11
cc размера LMu есть матрица
>
lm
dbc b c d , ãäå
c
V
>@
12
nn nn n nnn
>@>
kl lm km
VV V
ªº
11 12 1
«»
VV V
21 22 2 2
«»
n
«»
VV V
«»
nn nn
12
¬¼
...
...
...
...
bb размера
>
kl
L
dbc
¦
km kl lm
1
l
x
ªº
n
1
«»
x
n
«»
«»
x
«»
n
¬¼
dd
>
km
):
x
ªº
1
«»
x
2
«»
«»
x
«»
n
¬¼
244
x
j
x
j
x
VVV
xx x x x
V V V
12 12 2 22 2 2
xx x x x xx
V V V V V
n n n n nnn ijij p
11 2 2
c
ax a a a xa x a x a x a
... ... ;
>@
12 11 22
nnnjp
c
11 ...1 ... 1.
Ix x x x
>@
V. ˀ
2
xxx xx
111 1221 1 1
2
... ;
x
ªº
1
«»
x
2
«»
...
«»
x
«»
n
¬¼
x
ªº
1
«»
x
2
«»
...
«»
x
«»
n
¬¼
...
... ...
22
nn
nn
nn
¦¦
ij
11
n
¦
1
j
12
n
Таким образом, задача минимизации риска портфеля сводится к
минимизации дисперсии портфеля
2
c
;
V V (11.25)
x
p
при двух ограничивающих условиях
cc
ax a Ix
0; 1 0.
p
(11.26)
Функция Лагранжа для (11.25) и (11.26) принимает вид
cc c
Lxx axa Ix
VO P (11.27)
p
1.
Оптимальный портфель находится из решения относительно
системы линейных уравнений (11.17). Продифференцировав (11.27)
, ɢx OP
ïî
, получим
20,
xaI
VOP
c
ax a
Ix
½
°
,
(11.28)
¾
p
c
°
1.
¿
Раскрыв эту систему, находим
22 ...2 0,
xx xa
VV V OP
11 1 12 2 1 1
VV V OP
22 ...2 0,
xx xa
21 1 22 2 2 2
VV V OP
2 2 ... 2 0,
xx xa
11 2 2
nn nnnn
OP
ax a x a x a
11 2 2
OP
xx x
12
... 0 0 ,
nn
nn
...
nn p
... 0 0 1.
n
Систему линейных уравнений относительно
½
°
°
(11.29)
¾
°
°
¿
можно решить
методом Крамера. Иначе ее можно записать в виде
11. ʪ
Ⱥ
P
A
X
A
A
A
A
A
A
VV V
22...2 1
ªº
11 12 1 1
«»
VV V
22...2 1
21 22 2 2
«»
«»
VV V
22...2 1
«»
12
nn nnn
«»
aa a
12
«»
11...100
¬¼
...
... 0 0
a
n
a
n
a
n
x
ªº
1
«»
x
2
«»
...
«»
x
«»
n
«»
O
«»
P
¬¼
Обозначим матрицу «риск — доходность» через
ªº
x
¬¼
через X, а вектор правой части уравнения через B . Тогда
,,
O
j
0
ªº
«»
0
«»
...
«»
(11.30)
.
0
«»
a
«»
p
«»
1
¬¼
245
, вектор
уравнение (11.30) можно записать в виде
.
XB
Решая это уравнение, получим формулу для определения неизвестных долей каждого типа рисковых ценных бумаг в оптимальном
портфеле
1
,
AB
(11.31)
ɝɞɟ ɦɚɬɪɢɰɚ-ɫɬɨɥɛɟɰ
0
0
...
Ba
;
0
p
1
ɦɚɬɪɢɰɚ «ɪɢɫɤ — ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ»
2 2 ... 2 1
VV V
ªº
11 12 1 1
«»
2 2 ... 2 1
VV V
21 22 2 2
«»
A
«»
22...2 1
VV V
nn nnn
12
«»
aa a
12
«»
11...100
¬¼
1
— ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɦɚɬɪɢɰɟ
Матрицей, обратной матрице
1
ACc
T
ɝɞɟ
— ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɨɟ ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɟ ɷɥɟɦɟɧɬɚ
ij
ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɢɡ
T
ɜɵɱɟɪɤɢɜɚɧɢɟɦ -i ɣ ɫɬɪɨɤɢ ɢ -j ɝɨ ɫɬɨɥɛɰɚ.
...
... 0 0
A
D
ªº
ij
¬¼
T
, ɬ.ɟ. ɭɦɧɨɠɟɧɧɵɣ ɧɚ (1)
a
n
a
n
;
a
n
ªº
, называется матрица
ij
¬¼
T
ªº
A
ij
«»
,
(11.32)
«»
¬¼
.
T
D ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɟ
ij
ij
ɦɢɧɨɪ,
246
x
f
x
f
При вычислении обратной матрицы можно воспользоваться системой Excel. Алгоритм вычисления обратной матрицы следующий.
1. Выделить поле для записи обратной матрицы.
2. Нажать на кнопку «
3. В категориях «Математические» выбрать функцию «МОБР».
4. Выделить преобразуемую матрицу.
5. ÎÊ.
6. F2
o одновременно нажать кнопки CTRL+SHIFT+ENTER.
Пример 11.5. Условия примера 11.3. Определить зависимость
состава оптимального портфеля от его ожидаемой доходности в
матричной форме.
Решение. Для определения состава оптимального портфеля найдем обратную матрицу
Ⱥ
Обратная матрица равна
0,1639 0, 3279 0,1639 11,8033 1, 5082
ªº
«»
0,3279 0,6557 0, 3279 3,6066 0, 0164
1
«»
Ⱥ
По формуле (11.31) находим матрицу-столбец состава портфеля. При вычислении произведения матриц следует воспользоваться
компьютерной системой Excel. Алгоритм вычисления произведения
матриц следующий.
1. Выделить поле для записи произведения матриц.
2. Нажать на кнопку «
3. В категориях «Математические» выбрать функцию «МУМНОЖ».
4. Выделить первую матрицу.
5. Выделить первую матрицу.
6. ÎÊ.
7. F2
ªº
«»
«»
X
«»
«»
1, 5082 8,1967 0,0164 15, 4098 1,5246
«»
¬¼
0,1639 0, 3279 0,1639 8,1967 0,4918
«»
11,8033 3,6066 8,1967 190,164 15, 4098
«»
1, 5082 0,0164 0,4918 15,4098 1, 5246
«»
¬¼
одновременно нажать кнопки CTRL+SHIFT+ENTER.
o
0,1639 0, 3279 0,1639 11,8033 1,5082
0,3279 0.01 0, 3279 3,6066 0, 0164
0,1639 0, 3279 0,1639 8,1967 0,4918
11, 8033 3,6066 0, 4918 137,7049 15,4098
V. ˀ
».
1Ⱥ
матрицы «риск—доходность»
0,5 0 0 0,05 1
ªº
«»
0100,11
«»
001,60,151
«»
0, 05 0,1 0,15 0 0
«»
111 00
«»
¬¼
.
».
0
ªº
«»
0
«»
0
»
«
a
p
»
«
»
«
1
¬¼
.
11. ʪ
x
x
x
11, 8033 1, 5082
ªº
«»
«»
«»
«»
137, 7049 15, 4098
«»
15,4098 1,5243
«»
¬¼
Доли ценных бумаг первого
представлены соответственно в первой, второй и третьей строках
матрицы-столбца состава портфеля. Естественно, что этот результат совпадает с результатом примера 11.3.
a
p
3,6066 0,0164
a
p
8,1967 0, 4918
a
p
a
p
a
p
, второго
1
.
и третьего
2
3
При определении минимально возможного значения дисперсии
портфеля система уравнений (11.29) принимает вид
22 ...2 0,
xx x
VV V P
11 1 12 2 1
22 ...2 0,
xx x
VV V P
21 1 22 2 2
VV V P
2 2 ... 2 0,
xx x
11 2 2
nn nnn
P
xx x
12
nn
nn
...
... 0 1.
n
½
°
°
¾
°
°
¿
Перепишем эту систему уравнений в матричной форме
22...21
VV V
ªº
11 12 1
«»
22...21
VV V
21 22 2 2
«»
«»
22...2 1
VV V
«»
12
nn nn
«»
11...10
¬¼
Обозначим матрицу риска через
правой части через
E . Тогда систему уравнений можно записать в виде
n
n
...
, вектор ,
D
ªº
«»
«»
«»
«»
«»
¬¼
.DF E
x
0
ªº
1
«»
x
0
«»
...
...
«»
0
x
n
«»
1
«»
P
¬¼
ªº
x
P
j
¬¼
.
через F , а вектор
Решение этого уравнения имеет вид
1
F D E, (11.33)
ɝɞɟ
1
D — ɦɚɬɪɢɰɚ, ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɟ
Пример 11.6. Условия примеров 11.3 и 11.4. Определить состав
оптимального портфеля для минимально возможной дисперсии в
матричной форме.
Решение. Для определения состава оптимального портфеля найдем обратную матрицу
1
D матрицы риска
ªº
«»
D
«»
«»
¬¼
.
D
0, 5 0 0 1
0101
001,61
1110
.
247
типов
248
x
x
x
Обратная матрица равна
ªº
«»
1
D
«»
«»
¬¼
По формуле (11.33) находим матрицу-столбец состава портфеля
0,897 0, 552 0,345 0,552 0 0,552
ªºªºªº
«»«»«»
0,552 0, 724 0,172 0, 276 0 0, 276
F
«»«»«»
0,345 0,172 0, 517 0,172 0 0,172
«»«»«»
0,552 0,276 0,172 0, 552 1 0, 552
¬¼¬¼¬¼
Доли ценных бумаг первого
представлены соответственно в первой, второй и третьей строках
матрицы-столбца состава портфеля. Этот результат совпадает с результатом примера 11.4.
V. ˀ
0,897 0,552 0,345 0,552
0,552 0,724 0,172 0, 276
0,345 0,172 0,517 0,172
0,552 0, 276 0,172 0,552
, второго
1
и третьего
2
.
11.4. ʽ
.
òèïà
3
Рассмотрим случай трех ценных бумаг, из которых одна являет-
ся безрисковой с дисперсией
ценные бумаги имеют доходности
2
0V и доходностью 0a . Две другие
0
,aa и дисперсии
12
22
,VV. Ýòè
12
ценные бумаги будем называть соответственно бумагами нулевого,
первого и второго типа. Доходности этих ценных бумаг не коррелированы. В этом случае определители
D ,1D ,2D и 3D , входящие в
решение (11.19), приобретают вид
00 0 1
02 0 1
V
Daaaa
VV
11 1
002 1
aa a
01 2
V
22 2
a
0
a
a
00
22;
11 2 0 22 1 0
22
11 100
00 0 1
02 0 1
V
11 1
002 1
D
1
aa a
p
12
V
22 2
a
0
a
a
00
11 100
aaaa aaaa
22;
V V
11 2 0 2 22 1 0 1
pp
11. ʪ
00 0 1
00 0 1
002 1
Daaaa
V
222100
aa a
02
p
V
22 2
a
0
a
1
a
00
2;
p
249
11 1 00
000 1
02 0 1
V
11 1
000 1
D aaaa
V
311200
aaa
01
p
a
0
a
a
2
00
2.
p
11100
Подставив полученные результаты в формулу (11.19), получим
соотношения для расчета долей ценных бумаг
,,xxx соответст-
012
венно для бумаг нулевого, первого и второго типа
22
()( )()()
aaaa aaaa
V V
12 02 21 01
x
0
x
1
x
2
2222
()()
VV
12 0 21 0
2
V
21 0 0
2222
()()
aa aa
VV
12 0 210
2
V
12 0 0
2222
VV
()()
aa aa
12 0 210
pp
aa aa
()( )
aaa a
()( )
aaa a
p
p
,
.
½
,
°
°
°
°
(11.34)
¾
°
°
°
°
¿
Подставив эти значения в формулу для дисперсии портфеля,
получим
2
p
.
Òàê êàê
22222
xx
V V V
11 22
p
aat
, то формулу для стандартного отклонения порт-
1p
22
aa
VV
12 0
22
aa aa
VV
12 0 21 0
22
феля можно записать в виде
aa
0
V
p
p
aa a a
22
10 20
22
VV
12
Решив это уравнение относительно
a
p
.
(11.35)
, найдем зависимость до-
ходности оптимального портфеля от его стандартного отклонения:
aa a a
aa
V
pp
22
10 20
22
VV
12
.
(11.36)
0
250
x
V. ˀ
Эта функция является прямой линией. Ее вид представлен на
ðèñ. 11.3.
a
p
K
D
a
0
0
V
p
Ðèñ. 11.3. Графики доходности оптимального портфеля
от его стандартного отклонения
Тангенс угла наклона этой прямой с осью
определяется со-
V
p
отношением
aa a a
k
22
10 20
22
VV
12
.
Кривая линия на рис. 11.3, имеющая вид пули, является функцией доходности оптимального портфеля, состоящего из рисковых
ценных бумаг первого и второго типа, от стандартного отклонения
этого портфеля. Вид этой кривой определяется системой уравнений
axa xa
12
p
222 22
V V V
p
(1 ) ,
xx
12
ɝɞɟ x — ɞɨɥɹ ɪɢɫɤɨɜɵɯ ɛɭɦɚɝ ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɢɩɚ; 1
½
(11.37)
¾
¿
— ɞɨɥɹ ɪɢɫɤɨɜɵɯ ɛɭ-
(1 ) ,
ɦɚɝ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɢɩɚ.
Из графиков рис. 11.3 видно, что прямая линия касается кривой
в точке Ê.
Пусть инвестор хочет сформировать портфель из трех видов
ценных бумаг, одна из которых безрисковая. Инвестиционный менеджер предложит ему зависимость (11.36), представленную в виде
графика прямой. На этой прямой инвестор выберет точку с приемлемыми для него доходностью и стандартным отклонением. По
формулам (11.34) будет определен состав этого портфеля.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]