Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
10. ˀ
F
F
211
нок будет расти быстро. Если цена на момент завершения операции
составит 120 руб. за акцию, то покупатель получит прибыль 10 000 руб.
Рассмотрим пример хеджирования имеющихся у инвестора ак-
ций за счет покупки опциона пут. Если цена акций, которыми владеет инвестор, упадет, то он будет нести убытки. Этот риск инвестор хеджирует покупкой опциона пут. Результирующая зависимость прибылей-убытков инвестора от цены акции в момент погашения опциона, представленная на рис. 10.1, соответствует зависимости прибылей-убытков для покупателя одного опциона колл.
Ï
ɉɪɢɛɵɥɢ-ɭɛɵɬɤɢ
ɨɬ ɤɭɩɥɟɧɧɨɝɨ ɨɩɰɢɨɧɚ ɩɭɬ
S
0
0
SF S
00
0
ɉɪɢɛɵɥɢ-ɭɛɵɬɤɢ ɨɬ ɤɭɩɥɟɧɧɨɣ ɚɤɰɢɢ
Ðèñ. 10.1. Прибыли-убытки от купленных опциона пут и акции
Если цена акции будет менее
высят цены опциона
. С увеличением цены акции инвестор будет
0
получать прибыль, начиная с цены
S , то потери инвестора не пре-
0
SF .
00
10.4. ʺ
10.4.1. ˁ
Доходность ценной бумаги является одной из основных ее харак-
теристик. Эти величины являются в общем случае случайными. Поэтому для их описания используются вероятностные характеристики.
К вероятностным характеристикам, прежде всего, относится математическое ожидание, среднее квадратичное (стандартное) отклонение,
дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции.
Математическое ожидание (среднее выборочное значение) оп-
ределяет наиболее вероятное значение ожидаемой случайной величины, например доходности. Если все случайные исходные величи-
212
f
f
f
ны проекта выбраны правильно, то они, как правило, являются математическим ожиданием этих величин.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение характеризуют
разброс случайной величины относительно математического ожидания. Чем больше эти величины, тем больше разброс. Например,
средний возраст двух групп учащихся составляет 25 лет. Среднее
квадратичное отклонение возраста в первой группе равно 1,2 года, а
во второй — 2,8 года. Отсюда следует, что разброс учащихся по
возрасту во второй группу больше. Заметим, что дисперсию находят, возводя в квадрат среднее квадратичное отклонение.
Ковариация характеризует связь между двумя случайными величина-
ми. Например, если ковариация между двумя доходностями ценных бумаг является большой положительной величиной, то увеличение доход-
ности другой. При равенстве ковариации нулю связь между случайными
величинами отсутствует. Если ковариация является большой по модулю
отрицательной величиной, то увеличение доходности одной ценной бумаги, как правило, приведет к уменьшению доходности другой.
Коэффициент корреляции так же, как и ковариация, характери-
зует связь между двумя случайными величинами. В отличие от ковариации коэффициент корреляции является нормированной величиной. Его значения лежат в интервале от минус единицы до единицы.
Большое значение при оценке риска проектов принимает его
количественная оценка. В качестве меры измерения риска часто
используется среднее квадратичное отклонение. Простейшее обоснование этого выбора приводится ниже.
На рис. 10.2 показана плотность распределения вероятности
q двух случайных процессов от доходности .q
V. ˀ
()fq
1
2
0
Ðèñ. 10.2. Плотность распределения
вероятностей случайных доходностей двух ценных бумаг
a q
10. ˀ
f
x
x
x
x
x
x
213
Из рисунка следует, что при одинаковых значениях математическо-
го ожидания доходности проект с распределением
разбросы вариантов дохода относительно математического ожидания
имеет меньшие
1
a
Это связано с тем, что среднее квадратичное отклонение доходности
первого проекта
ности второго проекта
V меньше среднего квадратичного отклонения доход-
1
V , т.е. выполняется неравенство
2
VV. Ïî-
12
этому первый проект имеет меньший уровень риска по сравнению со
вторым. При
ность всегда остается равной математическому ожиданию
0Vo проект становится безрисковым, так как доход-
a . Приведен-
ные рассуждения позволяют сделать вывод, что мерой риска доходности
проекта может служить среднее квадратичное отклонение.
Для описания процесса статистическими характеристиками ис-
пользуют выборку случайной величины
, ãäå 1, 2, ...,in , n —
i
число наблюдений. Довольно часто считают, что случайная величина подчинена нормальному закону. Эта гипотеза может быть проверена путем построения гистограммы и ее анализа. Наиболее полная
и точная проверка гипотезы о теоретическом распределении произ-
2
водится с помощью критерия Пирсона (или критерия
F ).
Среднее значение случайной величины вычисляется по формуле
n
1
x
.
¦
i
n
1
i
Выборочная дисперсия определяется соотношением
2
V
n
¦
i
1
2
x
i
.
1
n
Большое значение при оценке рисков имеет ковариация двух случай-
ных величин, выборочное значение которой рассчитывается по формуле
nn
V
¦¦
ij i i j j
ij
11
xx x
.
Если показатели средних ожидаемых доходностей различных
ценных бумаг отличаются между собой, то эти доходности сравнивают при помощи выборочного коэффициента вариации
V
.v
.
В отдельных случаях бывают заданы вероятности
наблюде-
p
i
ния под номером i. Тогда формулу для среднего значения случайной величины можно переписать в виде
.
xp
¦
ii
1
i
214
y
x
x
x
V. ˀ
10.4.2. ʶ
Широкое применение при анализе характеристик ценных бумаг
нашел коэффициент бета
на из характеристик портфеля ценных бумаг. Используется для
оценок риска различных активов.
Оценка эффективности портфеля проводится на основе срав-
нения характеристик портфеля с характеристиками рынка в целом. В качестве аналогов рыночного портфеля используется какойлибо индекс, например в России — индекс ММВБ, а в США —
индекс S & P500 (фондовый рыночный индекс Standard & Poors
500). S & P500 находится из средневзвешенной величины курсов
акций 500 наиболее крупных компаний США.
Введем следующие обозначения:
— доходность портфеля за период t;
a
,pt
a — доходность аналога рыночного портфеля за период t;
,mt
a — безрисковая ставка за период t;
t
aa
aa
— избыточная доходность портфеля за период t;
,tptt
— избыточная доходность аналога рыночного порт-
,tmtt
феля за период t.
Полученные в результате анализа точки можно построить в
прямоугольной декартовой системе координат, где по оси абсцисс
откладываются значения избыточной доходности аналога рыночного портфеля
ности портфеля
, а по оси ординат — значения избыточной доход-
t
y (ðèñ. 10.3).
t
. .
.
Ðèñ. 10.3. Функция регрессии избыточной доходности портфеля
от избыточной доходности аналога рыночного портфеля
E . Этот коэффициент вводится как од-
y . .
t
. .
D . .
p
. .
. .
T
t
10. ˀ
x
x
p
x
x
y
x
xyx
x
x
x
x
x
x
x
x
215
Эти две переменные являются случайными величинами. В тео-
рии корреляционно-регрессионного анализа две такие переменные
можно связать соотношением
yfx H,
ttt
ɝɞɟ
fx ǔ
ɤɢ, ɢɥɢ ɜɨɡɦɭɳɟɧɢɟ ɜ ɬɨɱɤɟ
— ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ;
x
t
, ɹɜɥɹɸɳɟɟɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ.
t
x H — ɨɫɬɚɬ-
tt
Обычно считают, что функция регрессии эффективности порт-
феля является линейной, зависимой от эффективности рынка, т.е.
fx ǔ
D
ɝɞɟ
— ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɫ ɨɫɶɸ
ɛɟɬɚ ɩɨɪɬɮɟɥɹ (ɫɦ. ɪɢɫ. 3). ȿɫɥɢ ɩɪɢ
ɪɢɫɬɢɤɢ ɩɨɪɬɮɟɥɹ ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɬ ɪɵɧɨɱɧɵɦ, ɚ
t
D E ;
x
pt
yx D E H , (10.1)
tp tt
y
D
p
0
, ɚ ɭɝɨɥ
,
t
o
, ɬɨ ɯɚɪɚɤɬɟ-
45T
tg45 1.E
o
—
tgE T
Коэффициенты уравнения регрессии определяются формулами
yxy
tt
E
22
xx
t
yx
p
ãäå
1
yxy
¦
tt tt
n
t
nn
11
yx x
¦¦
nn
11
tt
n
1
22
¦
tt
n
1
t
Часто формулу для бета портфеля записывают в виде
E
ɝɞɟ
ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
— ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ
V
,
y
.
t
(10.2)
;
,D E
(10.3)
n
(10.4)
;
1
;;
tt
x
.
(10.5)
(10.6)
V
,
, (10.7)
2
V
2
ɢ
y ;
t
t
— ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
V
Действительно, имеем следующие тождества:
n
V
V
xt tt
1
,
xy t t
222
¦
n
1
t
nn
11
¦¦
11
nnn
11
tt
xy y
1
n
2
xx x xxx
nn
n
yxy
tt
1
n
n
1
n
1
yxyyxxy
¦
tt t t
1
t
;
n
22
ªº
2
n
x
t
«»
¬¼
1
.
216
x
E
E
V. ˀ
Подставив эти выражения в (10.2), получим (10.7).
Зависимость средней доходности портфеля от бета портфеля
найдем как среднее значение избыточной доходности портфеля
y ,
t
определяемое вторым уравнением (10.1):
yx x D EH DEH.
pttptt
Здесь
0
H , так как коэффициенты регрессии вычисляются ме-
t
тодом наименьших квадратов. С другой стороны, из определения
избыточной доходности портфеля и избыточной доходности аналога рыночного портфеля следует
ya a a a
,;pt t p
ɝɞɟ
— ɫɪɟɞɧɹɹ ɡɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ ɩɨɪɬɮɟɥɹ; a —
a
ɪ
ɫɪɟɞɧɹɹ ɡɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ ɛɟɡɪɢɫɤɨɜɨɝɨ ɚɤɬɢɜɚ;
aaaa ,
,mt t m
a —
ɬ
ɫɪɟɞɧɹɹ ɡɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ ɪɵɧɤɚ.
Подставив два последних выражения в предыдущее и перенеся
a вправо, получим
aaaa D
pp m
.
(10.8)
Эффективность управления портфелем может быть оценена с
помощью апостериорной рыночной линии портфеля ценных бумаг
(Security Market Line — SML). Для определения SML полагают
. Такой портфель называют эталонным. Доходность эталон-
0
D
p
ного портфеля линейным образом зависит от коэффициента бета.
aaaa, (10.9)
ɷɬ
ɝɞɟ
a — ɫɪɟɞɧɹɹ ɡɚ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɵɣ ɩɟɪɢɨɞ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ ɷɬɚɥɨɧɧɨɝɨ ɩɨɪɬɮɟɥɹ.
ɷɬ
m
Вид апостериорной SML показан на рис. 10.4.
a
ɷɬ
a
0
E
Ðèñ. 10.4. Апостериорная рыночная линия
портфеля ценных бумаг (SML)
10. ˀ
E E
E
217
Таким образом, доходность портфеля является линейной функ-
цией бета. При увеличении бета доходность увеличивается. Известно также, что доходность актива увеличивается при увеличении
риска. Поэтому коэффициент бета можно представить как показатель риска. Средняя доходность портфеля равна средней доходно-
сти рынка при
риска средний, при
1
. Обычно считают, что при
ɬ
1
низкий, при 1E! высокий.
1E
уровень
Одной из мер эффективности управления портфелем является
разность между средней доходностью портфеля
ностью эталонного портфеля
Величина
называется апостериорной альфа.
D
p
a (10.9):
ɷɬ
aa
pp
(10.10)
.D
ɷɬ
(10.8) и доход-
a
p
Построение функции регрессии портфеля и определение разно-
сти между средней доходностью портфеля и доходностью эталонного портфеля
x составляют таблицы периодических доходностей исследуемо-
проводится по следующему алгоритму:
D
p
го портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива;
x определяют бета и альфа портфеля;
x строят функцию регрессии портфеля;
x определяют разность между средней доходностью портфеля и
доходностью эталонного портфеля.
Все сказанное о коэффициенте бета относится к портфелю
ценных бумаг. Однако вся рассмотренная теория справедлива и
для одной ценной бумаги. Например, можно говорить о коэффициенте бета апостериорной альфа акции и по анализу этих
характеристик принимать те или иные инвестиционные бумаги.
Например, для акций, у которых бета меньше единицы, доходность меньше среднерыночной. Если апостериорная альфа
меньше нуля, то существует такое значение бета, для которого
доходность акции равна нулю.
10.4.3. ʤ
Анализ портфеля проведем на примере.
Пример 10.2. В табл. 10.1 приведены периодические значения до-
ходностей за квартал в процентах исследуемого портфеля, рыночного
портфеля и безрискового актива за 16 кварталов (4 года) [5]. Определить бета и альфа портфеля и построить функцию регрессии портфеля. Провести анализ портфеля.
218
E
V. ˀ
Таблица 10.1
Квартал
1 –8,77 –5,86 2,97
2 –6,03 –2,94 3,06
3 14,14 13,77 2,85
4 24,96 14,82 1,88
5 3,71 11,91 1,9
6 10,65 11,55 2
7 –0,22 –0,78 2,22
8 0,27 0,02 2,11
9 –3,08 –2,52 2,16
10 –6,72 –1,85 2,34
11 8,58 8,73 2,44
12 1,15 1,63 2,4
13 7,87 10,82 1,89
14 5,92 7,24 1,94
15 –3,1 –2,78 1,72
16 13,61 14,36 1,75
Итого 62,94 78,12 35,63
Исследуемый
портфель,
a
,pt
Рыночный
портфель,
a
,mt
Безрисковый
актив,
a
t
Решение. Средние доходности за квартал исследуемого портфе-
ля, рыночного портфеля и безрискового актива равны
ɩ
162,94
aa
¦
ppt
aa
mmt
aa
,
ɩ
t
1
ɩ
178,12
¦
,
ɩ
t
1
ɩ
135,63
¦
t
ɩ
t
16
1
16
16
3, 93%;
4,88%;
2, 23%.
Подставив полученные значения в формулу (10.9), получим выражение для доходности эталонного портфеля от коэффициента бета, т.е. выражение для апостериорной SML:
2, 23 2, 65 .
a
ɷɬ
График этой зависимости представлен на рис. 10.5.
10. ˀ
E
y
x
Ɇ
,%a 2, 23 2, 65
a
ɷɬ
(ɚɩɨɫɬɟɪɢɨɪɧɚɹ SML)
4,88
a Ʌɢɧɢɹ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɨɝɨ ɩɨɪɬɮɟɥɹ
m
3, 93
a
p
2, 23a
aa
0,95
p
0 1 1,126 E
Ðèñ. 10.5. Графики зависимостей доходностей эталонного портфеля
и исследуемого портфеля от коэффициента бета
Средняя избыточная доходность за квартал исследуемого и рыночного портфелей равна
xaaaa
Результаты расчета
T
1
yaaaa
¦
pt t p
T
1
T
,
t
1
T
¦
mt t m
,
t
1
22
приведены в табл. 10.2.
,,
yxyx
tttt
1, 7 %;
2,65%.
Таблица 10.2
Квартал
1 –11,74 –8.83 137,83
2 –9,09 –6 82,63
3 11,29 10,92 127,46
4 23,08 12,94 532,69
5 1,81 10,01 3,28
6 8,65 9,55 74,82
7 –2,44 –3 5.95
8 –1,84 –2,09 3,39
9 –5,24 –4,68 27,46
10 –9,06 –4,19 82,08
11 6,14 6,29 37,7
12 –1,25 –0,77 1,56
13 5,98 8,93 35,76
14 3,98 5,3 15,84
15 –4,82 –4,5 23,23
16 11,86 12,61 140,66
Итого 27,31 42,49 1332,34
aa
t
,ptt
aa
,tmtt
2
y
t
219
220
x
Воспользовавшись результатами, приведенными в табл. 10.2,
получим
1039,84 972,13
xy x
tt t
Ковариация рыночного и исследуемого портфелей
T
V
,
xy t t
Дисперсия рыночного портфеля
V
Подставив эти значения в (10.7), получим значение бета иссле-
дуемого портфеля:
Известно, что средняя бета рыночного портфеля равна единице. Поскольку средняя бета исследуемого портфеля больше
среднего бета рыночного портфеля, то можно сделать вывод, что
менеджер исследуемого портфеля был относительно агрессивен.
Альфа портфеля может быть найдена по формуле (10.3):
Так как альфа портфеля отрицательна, т.е. доходность исследуемого портфеля ниже доходности рыночного портфеля, то
управление данным портфелем рассматривается как неэффективное.
Функцию доходности исследуемого портфеля от коэффициента
бета найдем, подставив в ф. 10.8 полученные значения:
a E E
p
Зависимость доходности исследуемого портфеля от бета портфеля представлена на рис. 10.5.
Функцию регрессии портфеля найдем, подставив в ф. (10.1)
значения для альфа и бета портфелей:
График этой функции представлен на рис. 10.6.
ªº
¬¼
115
T
T
222 2
xt
T
p
1, 28 2,23 4, 88 2,23 0,95 2,65 .
V. ˀ
64,99; 60,76
2
16 16
16
xy x y
ªº
xx
«»
¬¼
115
E
yxD E
1, 7 1, 12 6 2, 6 5 1, 28 %.
64,99 2, 65 1, 7 64,52.
16
60,76 2, 65 57, 32.
64, 49
57,32
1,126.
1, 2 8 1, 12 6 .
ǔ
x
t
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]