Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
8. ʽ
191
8.6. Инвестор продал пут-спред медведя, причем премия по опциону с ценой исполнения 90 руб. составила 5 руб., а премия по опциону с ценой исполнения 100 руб. — 10 руб. Определить прибылиубытки инвестора для следующих значений цены акции в момент погашения опциона: 1) S = 85 ðóá., 2) S = 98 ðóá., 3) S = 105 ðóá.
Ответ.
1
5ɪɭɛ., ɉ
2
3ɪɭɛ., ɉ
3
5ɪɭɛ. ɉ
8.7. Инвестор купил опцион пут с ценой исполнения 90 руб. и с премией 10 руб., а опцион колл — с ценой исполнения 100 руб. и с премией
5 руб. Определить прибыли-убытки инвестора для следующих значений
цены акции в момент погашения опциона: 1) S = 82 ðóá., 2) S = 95 ðóá.,
3) S = 103 ðóá.
Ответ.
1
3ɪɭɛ., ɉ
2
5ɪɭɛ.,ɉ
3
8ɪɭɛ. ɉ
8.8. Инвестор продал опцион пут с ценой исполнения 90 руб. и
с премией 5 руб., а купил опцион колл с ценой исполнения 100
руб. и с премией 10 руб. Определить прибыли-убытки инвестора
для следующих значений цены акции в момент погашения опциона: 1) S = 85 ðóá., 2) S = 95 ðóá., 3) S = 108 ðóá.
Ответ.
1
10ɪɭɛ., ɉ
2
5ɪɭɛ., ɉ
3
3ɪɭɛ. ɉ
8.9. Инвестор продал опцион колл с ценой исполнения 90 руб. и
с премией 15 руб., а купил два опциона колл с ценой исполнения
вестора для следующих значений цены акции в момент погашения
опциона: 1) S = 85 ðóá., 2) S = 95 ðóá., 3) S = 100 ðóá., 4) S = 105 ðóá.
Ответ.
1
5ɪɭɛ., ɉ
2
0ɪɭɛ., ɉ
3
5ɪɭɛ., ɉ
4
0ɪɭɛ. ɉ
8.10. Инвестор продал два опциона пут с ценой исполнения 90 руб. и
с премией 5 руб. за каждый, а купил опцион пут с ценой исполнения
100 руб. с премией 15 руб. Определить прибыли-убытки инвестора
для следующих значений цены акции в момент погашения опциона:
1) S = 85 ðóá., 2) S = 90 ðóá., 3) S = 95 ðóá., 4) S = 100 ðóá.
Ответ.
1
0ɪɭɛ., ɉ
2
5ɪɭɛ., ɉ
3
0ɪɭɛ., ɉ
4
5ɪɭɛ. ɉ
8.11. Инвестор продал опцион колл с ценой исполнения 90 руб.
и с премией 12 руб., продал также опцион колл с ценой исполнения 100 руб. и с премией 4 руб., а купил два опциона колл с ценой
исполнения 95 руб. с премией 7 руб. каждый. Определить прибылиубытки инвестора для следующих значений цены акции в момент
погашения опциона: 1) S = 85 ðóá., 2) S = 92 ðóá., 3) S = 95 ðóá.,
4) S = 98 ðóá. 5) S = 105 ðóá.
Ответ.
2ɪɭɛ.ɉ
5
1
2ɪɭɛ.,ɉ
2
0ɪɭɛ.,ɉ
3
3ɪɭɛ.,ɉ
4
0ɪɭɛ.,ɉ
9
ʽˉʫʻʶʤ ˁ˃ʽʰʺʽˁ˃ʰ ʽʿˉʰʽʻʤ
9.1. ʥ
9.2. ʺ ʥ—ˌ
9.3. ʺ
9.4. ˈ
9.1. ʥ
Широкое распространение получила биномиальная модель цены опциона, которая строится на основании утверждения о том,
что можно сформировать нейтральный к риску портфель из опционов и активов. Для такого портфеля изменение цены опциона компенсируется изменением цены актива. Таким образом, изменение
цен не приводит к потерям. Например, рост курса акций компенсируется падением цены опционов.
В биномиальной модели цены европейского однопериодного
опциона колл инвестор предполагает, что в любом периоде цена
актива (например, акции) может увеличиться или уменьшиться
по сравнению с ценой спот
чину. Таким образом, инвестор считает, что по истечении време-
T цена акции может быть равна либо Su (будущая высокая
íè
öåíà), ëèáî
ðèñ. 9.1.
Sd (будущая низкая цена). Сказанное поясняется на
S этого актива на конкретную вели-
9. ʽ
F
S
193
Su ȼɟɪɯɧɟɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ
S
Sd ɇɢɠɧɟɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ
0 T t
Ðèñ. 9.1. Схема однопериодной биномиальной
модели цены опциона
Можно сформировать нейтральный к риску портфель из k опционов и одной акции. В этом случае должно выполняться условие
1
(9.1)
,
'
k
w
'
ɝɞɟ
— ɱɚɫɬɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɨɬ ɰɟɧɵ ɨɩɰɢɨɧɚ ɩɨ ɰɟɧɟ ɚɤɰɢɢ.
S
w
9.2. ʺ ʥ—ˌ
Однопериодная модель предусматривает наличие в будущем
только двух цен актива. Ясно, что в реальности цен может быть великое множество. Поэтому однопериодная модель довольно грубо
описывает реальность. В общем случае рассматриваются многопериодные модели, предусматривающие в будущем любое количество
цен актива. В пределе количество периодов модели стремится к
бесконечности. В этом случае к бесконечности стремится количество будущих цен этой модели. Предельный переход при стремлении
T
числа периодов разбиения интервала
мулу Блэка—Шоулза для расчета цены опциона [5]. При этом стремится к бесконечности количество возможных цен актива на момент его поставки. Формула Блэка—Шоулза для расчета цены европейского опциона колл имеет вид
к бесконечности дает фор-
194
F
F
SN d S e N d
10 2
S
ln 0,5
G V
S
d
ɝɞɟ
1
ln 0,5
ddT
V
22
Nd e dx
0
V
S
G V
S
0
T
V
d
1
2
2
x
³
S
f
2
T
;
(9.3)
T
2
T
2
— ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɨɲɢɛɨɤ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ);
IV. ʿ
T
G
,
(9.2)
;
S — ɬɟɤɭɳɚɹ ɪɵɧɨɱɧɚɹ ɰɟɧɚ ɚɤɰɢɢ;
— ɰɟɧɚ ɢɫɩɨɥɧɟɧɢɹ;
S
0
G — ɝɨɞɨɜɚɹ ɛɟɡɪɢɫɤɨɜɚɹ ɫɢɥɚ ɪɨɫɬɚ;
— ɜɪɟɦɹ ɢɫɬɟɱɟɧɢɹ ɨɩɰɢɨɧɚ ɜ ɝɨɞɚɯ;
Ɍ
— ɝɨɞɨɜɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɰɟɧɵ ɚɤɰɢɢ.
V
Для расчета цены европейского опциона пут используется формула
SN d S e N d
10 2
d
ɝɞɟ ɞɥɹ ɪɚɫɱɟɬɚ
Для приведенных здесь формул должны выполняться следующие условия:
x по акциям не выплачиваются дивиденды;
x рынок актива, положенного в основание опциона, ликвиден;
x цена покупки актива равна цене его продажи;
x отсутствуют комиссионные и налоги.
Пример 9.1. Цена спот акции равна
ния через год на эту акцию
годовых. Стандартное годовое отклонение цены акции
5%G
Определить цену опциона колл и опциона пут с указан-
0, 2.V
ными характеристиками по формуле Блэка—Шоулза.
Решение. Найдем
d
1
d
2
d
ɢ
ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɵ (9.3) ɢ (9.4).
1
2
d
d
è
1
S
G V
ln 0,5
S
0
T
V
S
G V
ln 0,5
S
0
V
T
по формулам (9.3) и (9.4):
2
2
T
2
T
T
G
395ɪɭɛ.S Безрисковая сила роста
0
350
ln 0, 05 0, 5 0, 2
395
, (9.5)
350ɪɭɛ.S
Цена исполне-
2
0, 2
350
ln 0, 05 0, 5 0, 2
395
2
0, 2
0,255;
0, 455.
(9.4)
9. ʽ
p
p
x
x
Цена опциона колл определяется по формуле (9.2):
T
FSNd Se Nd N e N
10 2
350 0, 4 395 0,3 27, 28 ɪɭɛ.
Цена опциона пут определяется по формуле (9.5)
F SNd Se Nd N e N
350 0, 6 395 0,68 45,5 ɪɭɛ.
G
0,05
e
T
10 2
G
0,05
e
350 0, 255 395 0, 455
350 0, 255 395 0,455
0,05
0,05
195
9.3. ʺ
При формировании своих стратегий инвестор использует среднее квадратичное отклонение цены акции для определения цен опционов, так как именно среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение, волатильность) характеризует скорость изменения цены. Одним из методов оценки математического ожидания
a
за период
и среднего квадратичного отклонения за период
цены акции является анализ цен за предыдущие периоды по выборке. Таблица цен в каждом периоде выборки называются динамическим рядом. Выборочная дисперсия и выборочное математическое ожидание за период в этом случае определяется по формулам
V
pippi
ɝɞɟ
— ɩɨɤɚɡɚɧɢɟ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ; n —
i
¦¦
1
nn
ii
11
nn
11
2
2
;,
aa x
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ. ȼ ɧɚɲɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬɫɹ ɬɟɦɩ ɪɨɫɬɚ ɰɟɧɵ ɚɤɰɢɢ, ɜɵɱɢɫɥɹɟɦɵɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ
S
1
i
ln ,
ɤɨɧɰɟ ɩɟɪɢɨɞɚ
ɝɞɟ
S
— ɰɟɧɚ ɚɤɰɢɢ ɜ ɤɨɧɰɟ ɩɟɪɢɨɞɚ
1i
S
i
i
. ɋɱɢɬɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ȿɫɥɢ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ
1i
;
S — ɰɟɧɚ ɚɤɰɢɢ ɜ
i
S
1
i
ln
ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ
S
i
S
1
i
ln
ɜ ɫɬɟɩɟɧɧɨɣ ɪɹɞ
S
i
ɢ ɨɝɪɚɧɢɱɢɬɶɫɹ ɩɟɪɜɵɦ ɱɥɟɧɨɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ, ɬɨ ɩɨɥɭɱɢɦ
SS SS
11 1
ii ii
ln 1 .
|
SS S
ii i
ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɪɢ ɪɚɫɱɟɬɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
V
196
N
IV. ʿ
ɢ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɡɚ ɩɟɪɢɨɞ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɫɥɭɱɚɣ-
SS
1
ii
ɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ
.
x
i
S
i
После расчета среднего квадратичного отклонения за период
находят среднее квадратичное отклонение за год по формуле
V V
,
p
ɝɞɟ N — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɦɵɯ ɩɨɤɚɡɚɧɢɣ ɜ ɝɨɞɭ.
Среднее квадратичное отклонение, рассчитанное по выборке,
может существенно отличаться от среднего квадратичного отклонения всей совокупности цен, которое инвестор должен закладывать в расчеты цены опциона. Для уточнения результатов более
поздним данным придают при расчетах более высокие веса. При
этом можно использовать, например, экспоненциально взвешенное среднее.
Для расчета среднего квадратичного отклонения при интервале
времени один год можно использовать, например, данные цены
закрытия в конце каждой из 53 недель. В этом случае
52N . Èñ-
пользуются и другие интервалы времени.
Пример 9.2. Даны значения цены закрытия акции за 11 недель
(1-я и 2-я графы табл. 9.1). Определить среднее квадратичное от-
клонение за неделю и за год.
Таблица 9.1
S
1
i
Номер
недели
1 2 3 4
1 98 0,0202
2 100 0,0296
3 103 –0,0196
4 101 –0,02
5 99 –0,0204
6 97 0,0103
7 98 0,0202
8 100 0,01
9 101 0,0099
10 102 –0,0198
11 100
Итого — 0,1095
Öåíà, ðóá.
x
i
ln
S
i
xa
0,866
3,478
9,333
9,579
9,828
0,004
0,856
0,009
0,011
9,455
43,409
i ɉ
10
10
10
10
10
10
10
10
10
2
–4
–4
–4
–4
–4
10–4
–4
–4
–4
–4
10
–4
9. ʽ
F
F
Решение. Как следует из таблицы, количество элементов в вы-
борке
ратичное отклонение за период равны
10n
. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квад-
n
10,1095
ax
¦
pi
n
i
1
n
143,40910
24
V V
pin p
n
Среднее квадратичное отклонение за год
xa
¦
19
i
1
2
V V
N
p
0,01095;
10
4
2,2 10 52 0,159.
4,82 10 ; 0,022.
2
197
Другой метод оценки среднего квадратичного отклонения цены акции — это метод единого мнения рынка относительно текущей цены опциона. При этом полагают, что текущая рыночная
цена опциона колл равна цене этого опциона
по формуле (9.1). Поэтому в эту формулу подставляют вместо
, рассчитанной
текущую рыночную цену опциона, текущую рыночную цену акции, годовую безрисковую силу роста, время истечения опциона
и получают уравнение, в котором неизвестным является среднее
квадратичное отклонение. Среднее квадратичное отклонение,
полученное путем решения этого уравнения, называют подразумеваемой (внутренней) изменчивостью. Иногда находят внутреннее среднее квадратичное отклонение акции по различным видам
опционов, а затем определяют среднее. В [5] утверждается, что
методы оценки внутренней изменчивости дают лучшие результаты по сравнению с методом, основанным на анализе цен за предыдущие периоды.
9.4. ˈ
Графическая зависимость стоимости опциона колл от цены актива представлена на рис. 9.2.
Ëó÷
SL характеризует внутреннюю стоимость опциона. Внут-
0
ренняя стоимость — это стоимость опциона на покупку в случае,
если цена актива превышает цену исполнения, т.е. владелец опциона получает доход, равный разности цены актива и цены исполнения. Если цена актива меньше цены исполнения, то внутренняя
стоимость равна нулю. До наступления момента платежа стоимость
опциона больше внутренней стоимости на величину, равную вре-
198
F
F
F
F
IV. ʿ
менной стоимости. Чем меньше остается времени до исполнения
опциона, тем меньше временная стоимость.
L
ȼɪɟɦɟɧɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ
SS
0
ȼɪɟɦɹ ȼɧɭɬɪɟɧɧɹɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ
ɨ
SS
0
0
45
S
S
0
Ðèñ. 9.2. Графическая зависимость стоимости
опциона колл от цены актива
Зависимость стоимости опциона
ется к лучу
SL. По мере приближения к сроку погашения кривая
0
стоимости опциона приближается к ломаной линии
асимптотически приближа-
0SL è â ïðå-
0
деле обращается в эту линию. На рис. 9.2 этот факт отображается
двумя кривыми. Та кривая, которая лежит ближе к ломаной линии
0SL, характеризует цену в более позднее время.
0
Из сказанного следует, что внутренняя стоимость вычисляется
по формуле
ɜɧ 0
.ɉ SS
Временная стоимость определяется соотношением
ɜɪ 0
.ɉ FSS
Эти моменты отражены на рис. 9.2.
Рассмотрим параметры хеджированного портфеля акций и опционов колл. В первом разделе этой главы было сказано, что для
нейтрального к риску портфеля дельта опциона является производ-
ной от цены опциона по цене актива, т.е.
'
. Íà ðèñ. 9.3 ïðåä-
S
w
w
ставлена графическая зависимость цены опциона колл и дельты
опциона от стоимости актива.
9. ʽ
F
F
F
F
F
F
F '
199
1
ǻ
F
()
SS'
' D
()
S 45°
0
Ðèñ. 9.3. Графическая зависимость цены опциона колл и дельты
опциона от стоимости актива
Ясно, что дельта опциона не может превышать единицу, так как
кривая для цены опциона Блэка—Шоулза при возрастании цены
актива асимптотически стремится к лучу
абсцисс угол 45°.
Рассмотрим портфель, состоящий из
ного опциона колл. Известно (см. п. 9.1), что в нейтральном к риску портфеле на одну акцию приходится k проданных опционов
колл. Таким образом, можно записать пропорцию:
S 0S SS' S
SL, имеющему с осью
0
ɫ акций и одного продан-
ɫ акций — 1 опцион,
1 акция — k опционов.
1
ɫk
Из этой пропорции следует, что
. Сопоставив это с (9.1),
видим, что в нейтральном к риску портфеле количество акций на
один проданный опцион колл равно дельте портфеля
Проведем исследование принципа хеджирования портфеля, состоящего из
рассмотрим, как изменяется цена опциона при небольшом изменении цены актива. Пусть цена актива изменилась на величину
(см. рис. 9.3). Цена опциона в этом случае изменится на
SSFS'
SSFS' при небольшом изменении цены актива S' . Ïî-
этому изменение цены опциона определяется соотношением
' акций и проданного опциона колл. Для этих целей
. Приращение tg' 'DFS мало отличается от
FS S FS (9.6)
.'| '
,' ò.å. ɫ '.
S'
200
F
F
F
F
Если цена акции увеличится на S' , то цена портфеля, в ко-
тором находятся
время при увеличении цены актива на
тет на
жению цены портфеля на величину
à
нение цены актива приведет к увеличению стоимости портфеля
на некоторую величину
на эту же величину
ны опциона. Новая цена портфеля не изменится и будет равна
старой цене.
и выписанных на них опционов колл. При изменении цены акции
инвестор по новой дельте может сформировать новый хеджированный портфель.
колл приходится
с
зом, количество входящих в хеджированный портфель акций
опционов
'
, что следует из формулы (9.6). А это приведет к сни-
w
D '
tg
wFS
Сказанное позволяет управлять портфелем, состоящим из акций
Так как в хеджированном портфеле на один проданный опцион
Ʉ проданными опционами входит ɄɫɄ ' акций. Таким обра-
Ʉ определяется по формуле
' таких акций, возрастет на S''. Â òî æå
, òî
S' ''. Таким образом, небольшое изме-
SF'' ' и уменьшению цены портфеля
FS S FS'| '
ɫ акций, где ɫ ', то в хеджированный портфель
IV. ʿ
S' цена опциона возрас-
'
. Поскольку
за счет увеличения це-
tg' 'DFS
,
ɋ è
.ɋɄ ' (9.7)
Пример 9.3.
писанных опционов колл. Дельта опциона в момент формирования равна 0,4. Определить количество акций хеджированного
портфеля.
Решение. Количество акций хеджированного портфеля находим
по формуле (9.7):
Таким образом, хеджированный портфель состоит из 200 выпи-
санных опционов колл и 80 акций.
Аналогичное хеджирование можно провести также при помощи опционов пут. Рассмотрим портфель, состоящий из
ций и одного купленного опциона пут. График зависимости цены опциона пут от цены актива представлена на рис. 9.4 (верхняя кривая).
Инвестор формирует портфель из акций и 200 вы-
200 200 0, 4 80.ɋ '
'
àê-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]