Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Рынок ценных бумаг. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Финансы и кредит»
.pdf
10. ˀ
x
E
E
ǔ
x
221
10
–10 10
x
t
–1,28
–10
Ðèñ. 10.6. Функция регрессии
Построенная регрессионная модель нуждается в проверке ее соответствия реальным статистическим данным. При оценке качества
функции регрессии проверяется значимость коэффициентов уравнения, степень тесноты взаимосвязи исследуемых случайных вели-
è
чин
ция
в качестве этой функции выбрана прямая линия (см. рис. 10.6).
Значимость коэффициентов регрессии
y , качество подбора формы кривой. В общем виде функ-
t
t
fx ǔ
t
может иметь самый различный вид. В нашем случае
x
проверяется по
,
D
p
t-критерию Стьюдента. Эти коэффициенты признаются значимыми
с заданной вероятностью, если выполняются неравенства
tt
! ,
0
D
D
p
ɝɞɟ ;
V V
DE
2
V
OCT t x
tt
DE
VV
D
VV
OCT OCT
;;
ɩ
T
1
¦
ɩ
2
t
1
(10.11)
,tt
!
0
E
E
; (10.12)
(10.13)
ɩ
¦
t
1
yy
2
xx
t
2
(10.14)
.
222
x
x
x
Значение
доверительной вероятности
t выбирается из таблицы t-критерия Стьюдента для
0
V. ˀ
1F D и числа степеней свободы Ò – 2,
ãäå Ò — объем выборки. При выполнении неравенства (10.11) коэффициент считается значимым с вероятностью F. Здесь
D — óðî-
вень значимости.
è
Тесноту взаимосвязи
y проверяют при помощи коэффи-
t
t
циента корреляции
tt
*
r
xy x y
22 22
xx yy
tt
V
,
y
(10.15)
,
VV
y
ɝɞɟ
T
1
222
V
xt t
TT
222
V
yt t
TT
xx x x
¦
11
1
t
T
1
yy y y
¦
11
1
t
Коэффициент корреляции лежит в пределах
T
2
2
ªº
«»
¬¼
T
ªº
«»
¬¼
½
;
°
°
(10.16)
¾
°
.
°
¿
11rd d . Ïðè çíà-
чении коэффициента корреляции, близком к 1 или –1, связь сильная, к нулю — слабая.
Значимость коэффициента корреляции с доверительной вероятностью
1F D определяется с помощью t-критерия Стьюдента по
формуле
tt! , (10.17)
0r
2
r ɩ
ãäå
t
r
.
2
1
r
Количество степеней свободы равно Ò – 2.
2
Значение
больше
r
2
r
называется коэффициентом детерминации. Чем
, тем лучше выбранная функция аппроксимирует фактические данные. В нашем случае коэффициент детерминации показывает ту часть изменений избыточной доходности исследуемого
портфеля за заданный интервал времени, которая связана с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.
Коэффициент неопределенности находится по формуле
22
1.hr (10.18)
Коэффициент неопределенности показывает часть изменений
избыточной доходности исследуемого портфеля, которая не связана
с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.
Качество подбора формы кривой оценивается по критерию
Дарбина—Уотсона. Для этого проводится анализ остатков:
10. ˀ
x
223
yH ǔ
. (10.19)
tt
x
Если модель функции регрессии адекватна форме подобранной
кривой, то соседние значения остатков независимы друг от друга.
Эта независимость проверяется с помощью критерия Дарбина—
Уотсона
T
§·
HH
¦
tt
1
¨¸
¨¸
21 .
d (10.20)
¨¸
¨¸
©¹
t
2
T
2
H
¦
t
t
1
По таблице Дарбина—Уотсона для заданной доверительной ве-
роятности
1F D определяют критические границы, позволяю-
щие вынести суждение о наличии автокорреляции (рис. 10.7). Задавшись уровнем значимости D и зная количество комбинаций Ò,
находят из таблицы значения
,
dd.
nv
0
d vd 2 4 –vd 4 –nd 4 d
n
Ðèñ. 10.7. Границы Дарбина—Уотсона, позволяющие вынести суждение
о наличии автокорреляции
dd d автокорреляция остатков отсутствует. При
Ïðè
dd è 4
vv
dd! автокорреляция имеет место. Если обнаружена
n
4
n
существенная автокорреляция остатков, то следует пересмотреть
форму выбранной кривой.
Пример 10.3. Используя данные примера 10.2, проверить полу-
ченные в этом примере результаты на адекватность реальным статистическим данным, рассчитать коэффициенты корреляции, детерминации и неопределенности.
Решение. Расчет представлен в табл. 10.3.
Таблица 10.3
Квартал
1 –0,52 0,27 131,79
2 –1,05 1,1 74,82 0,55
3 0,27 0,07 68,39 –0,28
4 9,79 95,84 105,88 2,64
5 –8,18 66,91 54,17 –80,08
6 –0,82 0,67 47,61 6,71
H
t
2
H
t
2
x
t
HH
1tt
224
x
Квартал
7 2,22 4,93 31,92 –1,82
8 1,79 3,2 22,47 3,97
9 1,31 1,72 53,73 2,34
10 –3,06 9,36 46,79 –4,01
11 0,34 0,12 13,25 –1,42
12 –0,89 0,79 11,7 0,3
13 –2,8 7,84 39,44 –2,49
14 –0,71 0,5 7,02 1,99
15 1,53 2,34 51,12 –1,09
16 –1,06 1,12 99,2 –1,62
Итого –0,06 196,78 859,3 –73,93
По формулам (10.14), (10.13) и (10.12) находим
V V V ;
OCT DE
Из таблицы t-распределения Стьюдента для числа степеней свобо-
äû 16 2 14Q имеем при
H
t
196,78 3, 75 3,75
14
3,75; 0,94; 0,128
1, 28 1, 1 26
tt
DE
0,94 0,128
V. ˀ
Окончание табл. 10.3
2
H
t
2
x
t
16 859,3
1, 3 6; 8 , 8
1, 3; t 0, 89F è ïðè
0
.
0,99999.F Таким образом, как следует из (10.11), коэффициент
принимается значимым с вероятностью 0,89, а коэффициент E—
D
p
с вероятностью 0,99999.
Для определения коэффициента корреляции по формуле (10.15)
найдем дисперсии (исходные данные приведены в табл. 10.2):
16
22
V V
V V
Подставив полученные значения и
дущем примере, в (10.15), получим
Отсюда следует, что связь между избыточной доходностью ис-
следуемого и рыночного портфелей высокая.
Для определения значимости коэффициента корреляции определим
60,76 2,65 57,32; 7, 57;
xx
15
16 1332,34
§·
22
yy
¨¸
15 16
©¹
r
rT
t
r
110,92
1, 7 85 , 7 4; 9 , 2 6
V , рассчитанное в преды-
,xy
64,52
7,57 9,26
20,92162
22
r
0,92.
8,82.
HH
1tt
6,6; t
0
10. ˀ
y
Òàê êàê
ния (10.11), коэффициент корреляции можно считать значимым с
вероятностью 0,99999.
Коэффициент детерминации
Коэффициент неопределенности находим по формуле (10.18)
Таким образом, можно считать, что 85% изменений избыточной доходности исследуемого портфеля за 16-квартальный интервал
связаны с изменением избыточной доходности рыночного портфеля. 15% изменений избыточной доходности исследуемого портфеля
за этот интервал не зависят от изменений избыточной доходности
рыночного портфеля.
Для оценки качества подбора формы кривой находим расчетное
значение d по формуле (10.20) и по данным табл. 10.3:
Из таблицы Дарбина—Уотсона для уровня значимости
и числа наблюдений T = 16 находим
ченные точки наносятся на ось рис. 10.8. Результат представлен на
ðèñ. 10.8.
6, 6t ïðè F = 0,99999, то как следует из соотноше-
0
2
22
1 1 0,85 0,15. hr
§·
21 2,75
d
¨¸
196,78
©¹
0,85.r
73,93
.
0,84; 1,09.
dd Ïîëó-
nv
0 0,84 1,09 2 2,75 2,91 3,16 4 d
Ðèñ. 10.8. Точки Дарбина—Уотсона
225
1%D
Так как расчетное значение попало в интервал [1,09;2,91], то
соседние значения остатков независимы друг от друга, т.е. выбор
функции регрессии в виде прямой линии сделан правильно.
10.5. ˀ
Дисперсия доходности портфеля, квадратный корень из которой
является риском портфеля, в обозначениях предыдущего раздела
определяется соотношением
22
V
pt
Из второй формулы (10.1) находим
nn
11
yy x x
DEH DE
¦¦
tpttp
nn
11
tt
n
1
¦
n
1
t
().
y
().
1
226
x
x
x
V. ˀ
Подставив это соотношение в формулу для дисперсии портфеля, получим
222
V DE HDE E EH
ppttp tt
nn
()().
¦¦
11
11
tt
Из этой формулы при условии, что остатки
клонения рынка от среднего
xx xx
и случайные от-
H
W
x не коррелированы, можно полу-
t
nn
11
÷èòü
2222
V E H
pt t
nn
11
xx
() .
¦¦
11
tt
nn
11
Первое слагаемое в этой сумме — это дисперсия доходности
2
рынка, умноженная на
E
, а второе слагаемое — дисперсия остат-
ков. Введем обозначение для дисперсии доходности рынка
22
V
xt
¦
n
1
t
x
(),
1
а для дисперсии остатков
n
1
22
V H
H
n
1
n
Тогда
.
¦
t
1
1
t
формулу для дисперсии доходности портфеля можно переписать
в виде
2222
V EVV (10.21)
pxH
.
Уильям Ф. Шарп с коллегами [5] называет первое слагаемое
рыночным недиверсифицируемым риском, а второе слагаемое —
собственным диверсифицируемым риском. В общем случае риском
является среднее квадратичное отклонение доходности портфеля,
вычисляемое как корень квадратный из дисперсии, т.е.
V EVV
22 2
px
.
(10.22)
H
Таким образом, риск портфеля нелинейным образом зависит
от рыночного риска
V и от риска остатков .HV Эти два риска по-
разному ведут себя по отношению к инвестору. Первый, рыночный риск является по отношению к инвестору внешним. Инвестор может воздействовать на него, только изменяя значение бета.
А это можно делать, уменьшая доходность портфеля, что далеко
не всегда приемлемо. Поэтому инвестор может только прогнозировать наступление рыночного риска и принимать меры к ослаблению его негативного воздействия на характеристики портфеля.
Второй собственный риск является внутренним по отношению к
инвестору. Инвестор может снижать его негативные воздействия
за счет диверсификации портфеля.
10. ˀ
j
j
227
Пример 10.4. Условия примеров 10.2 и 10.3. Определить риск
портфеля.
Решение. В предыдущих примерах было найдено
V
H
14,056;
14,056.E
Подставив это в (10.22), получим значение
2
85,74;
V
y
риска портфеля
2
1,126 85,74 14, 056 11%.
V
p
10.6. ʽ
В качестве ценных бумаг, из которых формируется оптимальный портфель, используются, как правило, долгосрочные активы.
Такими бумагами могут быть, например, акции, являющиеся ценными бессрочными бумагами.
Оценка математических ожиданий и ковариаций случайных доходностей ценных бумаг
борке. В качестве выборки применяют наблюдаемые во времени
последовательности цен акций. При этом за рубежом используются
100 показателей динамического ряда с периодом между отчетами
один квартал, т.е. выборка берется за 25 лет. В России фондовой
рынок существует недавно, поэтому длительность выборки будет
существенно меньше. В общем случае можно использовать месячные, недельные и даже дневные длительности выборки.
При расчете эффективности ценной бумаги под номером j применяют соотношение
a
ɝɞɟ
P
,j,t1
jt
ɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ;
— ɰɟɧɚ -ɣj ɰɟɧɧɨɣ ɛɭɦɚɝɢ ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɩɟɪɢɨɞɚ ɢ t1t ɫɨ-
ɢ P
d — ɞɢɜɢɞɟɧɞ ɡɚ ɩɟɪɢɨɞ t .
,jt
Формула (10.23) может быть уточнена за счет учета разницы
цен покупки и продажи ценных бумаг. Например, инвестор покупает в начале периода
денды и продает ее в начале периода
следует считать цену покупки в начале периода
цену продажи в начале периода
обычно отличаются. Для акций крупных компаний это отличие
ниже, а для мелких — выше.
-ɝɨ ɢ -ɝɨij типов можно определить по вы-
PPd
,1 , ,
tjtjt
jt
,
P
,
jt
, (10.23)
t ценную бумагу, затем получает диви-
1t . В этом случае под
t
, à ïîä
1t . Цены покупки и продажи
P
,1
t
P
—
,jt
228
j
V. ˀ
В качестве математического ожидания -ɣj ценной бумаги мож-
но использовать среднее арифметическое
n
1
aa
n
ɝɞɟ n — ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɨɤɚɡɚɧɢɣ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɹɞɚ;
,
¦
,
jt
1
t
— ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ
,jt
-ɣj ɰɟɧɧɨɣ ɛɭɦɚɝɢ ɜ -ɦt ɩɟɪɢɨɞɟ.
Для расчета выборочной ковариации
-ɣɢ -ɣij
ценных бумаг ис-
пользуется формула
n
1
V
ij i t i j t j
n
aaaa
¦
,,
1
1
t
.
Из представленных данных по ценам ценных бумаг выбираются
только целые периоды. Количество периодов по каждой акции
должно быть идентичным. Если первый и последний месяцы не
являются целыми, то эти данные отбрасываются.
11
ʪʽˈʽʪʻʽˁ˃ː ʰ ˀʰˁʶ ʿʽˀ˃ˇʫʸ˔ ˉʫʻʻˏˈ ʥ˄ʺʤʧ
11.1. ˈ
11.2. ʿ
11.3. ʽ
11.4. ʽ
11.1. ˈ
Если инвестор покупает ценные бумаги хотя бы двух видов, например акции Аэрофлота и акции Ростелекома, то говорят, что инвестор приобрел портфель ценных бумаг.
Предположим, что в портфель входят n различных видов ценных бумаг. Доходности каждой ценной бумаги являются случайны-
ми величинами. Пусть
щаяся на
Ожидаемая доходность (эффективность)
входящей в портфель, является математическим ожиданием доход-
ности этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность портфеля, являющаяся математическим ожиданием от суммарной доходности
входящих в портфель ценных бумаг, вычисляется по формуле
Ранее мерой риска было определено среднее квадратичное отклонение исследуемой случайной величины. Поэтому мерой риска портфеля ценных бумаг будем считать среднее квадратичное отклонение
его доходности, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии.
вид ценных бумаг, подчиняющаяся соотношению
-j ɣ
— доля от общего вложения, приходя-
x
j
n
¦
1
j
axa
pjj
(11.1)
1.
x
j
a
n
(11.2)
¦
.
1
j
ценной бумаги,
-j ɣ
j
230
j
j
j
x
j
j
V. ˀ
Дисперсия доходности портфеля определяется соотношением
nn
ɝɞɟ
— ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɟɣ
V
ij
Выборочная ковариации
2
V V
pijij
¦¦
11
ij
xx
-ɣɢ -ɣij
(11.3)
,
- ɢ -ɣi ɣ j
ɰɟɧɧɵɯ ɛɭɦɚɝ.
ценных бумаг определяется
по формуле
n
1
aaa a
¦
,it
,,
1
1
t
a — ɞɨɯɨɞɧɨɫɬɶ ɛɭɦɚɝɢ ɩɨɞ ɧɨɦɟɪɨɦ i ɢ
,jt
(11.4)
,
ɝɞɟ
a ɢ
a — ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɛɭɦɚɝɢ ɩɨɞ ɧɨɦɟɪɨɦ i ɢ ɩɨɞ ɧɨ-
i
ɦɟɪɨɦ
j ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ;
ɩɨɞ ɧɨɦɟɪɨɦ
V
ij i t i j t j
n
a ɢ
j ɜ ɩɟɪɢɨɞɟ ɩɨɞ ɧɨɦɟɪɨɦ t.
Рассмотрим, как степень корреляции доходностей ценных бумаг
влияет на характеристики портфеля. Предположим, что доходности
различных ценных бумаг не коррелированы. Тогда
0 ɩɪɢijijV z
Формулу (11.4) в этом случае можно записать в виде
V V
jjtjj
n
Таким образом, если
1
aa
().
¦
1
1
t
ij , то ковариация
,
22
(11.5)
ценной бумаги
-ɣ
n
равна ее дисперсии. В этом случае формула для дисперсии доходности портфеля ценных бумаг (11.3) приобретает вид
n
222
V V
¦
pjj
j
(11.6)
.
x
1
Если деньги вложены в ценные бумаги равными частями, т.е.
, то формулы (11.2) и (11.6) принимают вид
1
n
j
n
1
aa
pj
n
1
V V
pj
n
(11.7)
.
¦
j
1
n
2
(11.8)
.
¦
1
j
Рассмотрим, как диверсификация (разнообразие) портфеля влияет на степень риска. Для этого в правую часть (11.8) вместо всех
2
подставим максимальное значение дисперсии
V
2
бора дисперсий
. В результате получим неравенство
V
n
1
Vd V
p
n
¦
2
.
max
1
j
2
из всего на-
V
max
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]