Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аутсорсинг и качество продукции и услуг. Взгляд на проблему. Часть 1
.pdf
161
Источник случайных чисел
(с определенным законом
распределения)
Пересчетная схема
Конечный
детерминированный автомат
Источник сигналов
входных
воздействий
Вход
Выход
Рис. 4.3. Схема стохастического автомата
Если источник случайных чисел дает квазиравномерно распределенные числа, которые поступают в пересчетную схему, то пересчетная схема
(имеющая число выходов, равное числу слов Vi) обеспечивает появление
соответствующего выхода Vi с вероятностью ri. Эти выходы пересчетной
схемы поступают на вход детерминированного автомата, реализующего
обычные матрицы перехода по таблице рис. 4.2.
Теперь легко осуществлять переход от автономного автомата к неавтономному. Для этого нужно только ввести источник сигналов входных
воздействий (рис. 4.З), который будет посылать на вход пересчетной схемы соответствующие управляющие сигналы. Под действием этих управляющих сигналов пересчетная схема будет менять свою структуру так,
чтобы выдавать на вход детерминированного автомата слова Vi с вероятностями ri(Vвх), соответствующими данному значению входного сигнала
Vвх.
Таким образом, переход от автономного автомата к неавтономному
состоит в том, чтобы в пересчетной схеме ввести изменение структуры,
которое позволяло бы изменить вероятности ri в соответствии с ожидаемым изменением исходной матрицы С при соответствующих входных воз-
действиях.
Для этого необходимо построить выбор исходных материаловедческих матриц C1…Cr…CQ для ожидаемого набора входных воздействий
V
…V
вх1
вхr
получить матрицу вероятностей rir (Vr).
На этом заканчивается построение стохастического автомата.
…V
и, повторяя описанные процедуры (пп. 1–6 алгоритма),
вхQ
162
i
S
j
S
)/()/( xyPxyP
SjSi
i
S
iA
S
j
S
iA
S
)/()/( xyPxyP
SjSj
iA
S
Aj
S
)/()/( xyPxyP
SjSi
Второй этап. Минимизация стохастического автомата
Из изложенного выше следует, что, если минимизировать структуру
исходной матрицы С, тем самым будет минимизирована и структура стохастического автомата (при заданном числе Q входных воздействий V
вхr
).
Как уже указывалось, результаты [32] дают возможность построения соответствующего алгоритма. Рассмотрим более подробно предлагаемую реализацию этой возможности.
Прежде всего отметим, что в [32] введены следующие определения
(дополнительно к указанному определению № 1 понятия «стохастический
автомат»):
Определение № 2. Распределения вероятностей состояний
вивалентны тогда и только тогда, когда (
для всех y Y
и
эк-
и x X.
Определение № 3. Стохастические автоматы Аi и Аj стохастически эк-
вивалентны тогда и только тогда, когда для каждого
такое, что
для всех y Y и x X, и наобо-
существует
рот.
Определение № 4. Стохастические автоматы Аi и Аj эквивалентны по
внутренним состояниям тогда и только тогда, когда для каждого S
существует S
j
такое, что
для всех y Y и
i
x X, и наоборот.
При этом важно отметить, что:
из эквивалентности по внутренним состояниям стохастических авто-
матов Аi и Aj следует их стохастическая эквивалентность;
стохастически эквивалентные автоматы Ai и Aj могут иметь разное
число внутренних состояний.
Определение № 5. Стохастический автомат Аi находится в приведен-
ной форме тогда и только тогда, когда никакие два его внутренних состояния неэквивалентны.
В отличие от полностью детерминированного автомата, имеющего
только одну приведенную форму, как показано в [34], для каждого стохастического автомата существует бесконечное число его приведенных форм.
Но с точки зрения стохастической эквивалентности приведенная форма
стохастического автомата не является минимальной по числу состояний.
Бэкон дал определение формы стохастического автомата, минимальной по
163
числу внутренних состояний (минимальной формы), и показал, что:
k
ij
X
P
k
ij
X
P
iA
S
)/()/()/(
21
xyPxyPxyP
k
SSS
)/()/(
1
xyPxyP
fS
y
k,1
j
S
iA
S
i
kf
i
f
i
f
XXX
PPP
21
не существует никакой другой формы, имеющей меньшее число внутренних состояний и ей стохастически эквивалентной;
каждый стохастический автомат имеет минимальную форму.
В [32] приведен способ минимизации числа внутренних состояний
стохастического автомата путем отыскания максимальных групп совместимых внутренних состояний этого автомата.
При этом получение приведенной формы автомата достигается путем
выявления эквивалентности одних внутренних состояний автомата через
эквивалентность других его внутренних состояний аналогично методу минимизаций числа внутренних состояний детерминированных автоматов,
описанных в [34]. В этом случае используется задание стохастического автомата при помощи матриц переходных вероятностей и рассматривается
стохастический автомат Мура, для которого вероятность
перехода из
внутреннего состояния Si во внутреннее состояние Sj под воздействием состояния входа xk определяется выражением
= mij (ySj / xk) M (y/x),
где ySj есть состояние выхода этого автомата, сопоставленное с внутренним состоянием Sj.
При решении этой задачи вводятся дополнительные определения № 6
и № 7.
Определение № 6. Подмножество внутренних состояний Si
ав-
томата Аi называется максимальной группой совместных внутренних состояний, если:
1)
,
S1, S2, …, Sk Si,
S1 ≠ S2 ≠…≠ Sk для всех y Y, x X;
2) не существует Sl Si такого, что
Y, x X, Sl ≠ Sf, f =
.
по всем
Определение № 7. Подмножество внутренних состояний автомата Ai
стохастически замкнуто относительно подмножества внутренних состояний
, если
по всем Sf Si,
S1, S2, …, Sk Si; S1 ≠ S2 ≠ … ≠ Sk для всех xi X.
164
i
S
iA
S
i
S
j
S
iA
S
j
S
j
S
iA
S
j
S
j
S
i
A
M
SSS,S
11
2
1
1
1
i
S
1
1
S
1
2
S
12
ii
SS
2
,
i
ji
SSS
2
3
i
i
SS
3
21
,,,
i
irii
SSSS
Р
xi
ji1
Р
xi
ji2
Р
xi
jir
SS
i
j
3
Поэтому, чтобы подмножество
было максимальной группой
совместимых внутренних состояний, необходимо, чтобы:
1) выходы, сопоставленные с внутренними состояниями из
, были
непротиворечивы;
2) если
противоречивыми состояниями выхода, то
замкнуто относительно каждого такого подмножества
3)
должно быть стохастически замкнуто относительно любой из
есть подмножество всех внутренних состояний с не-
должно быть стохастически
;
максимальных групп совместимых внутренних состояний.
В дальнейшем рассматривается случай непересекающихся подмно-
жеств
, но все выводы могут быть обобщены и на случай пересекаю-
щихся подмножеств.
На основании приведенных выше определений может быть сформу-
лирована следующая теорема, лежащая в основе описываемого алгоритма:
«Если стохастический автомат Аi получен из стохастического автомата Аj
объединением максимальных групп совместимых внутренних состояний,
то Аi эквивалентен по внутренним состояниям Аj и, следовательно, стохас-
тически эквивалентен ему». При этом объединение внутренних состояний
стохастического автомата может производиться по изложенному в [34]
способу.
По [32] опишем этот алгоритм в следующем виде.
1. Из исходной матрицы переходных вероятностей (табл. 4.2) образу-
ем непересекающиеся подмножества
такие, что
есть подмножество всех внутренних состояний с непротиворечивыми состояниями выходов:
= {S1, S2, S3 , S4, S5};
S1 = 1/13; S2 = 2/13; S3 = 5/13; S4 = 0; S5 = 0;
= {S6, S7, S8, S9};
S6 = 2/13; S7 = 0; S8 = 1/13; S9 =0.
2. Образуем M (y/x) по всем x и y длины I.
3. Выбираем подмножество
такое, что если
, то
суммы элементов i-й и j-й строк равны для всех образованных в п. 2 матриц M (y/x).
4. Образуем
=
= … =
такие, что, если
по всем
, xi X.
,
165
1 2 3 4 5 6 7 8
9
1
1/13
2/13
1/13
1/13
1/13
6/13 0 0
1/13
2
2/13
1/13
1/13
1/13
1/13
0
4/13
2/13
1/13
3
5/13 0 0 0 1/13
2/13
2/13
3/13
0 4 0 0 4/13
1/13
1/13
1/13
2/13
3/13
1/13
5 0 0
4/13
1/13
1/13
0
6/13 0 1/13
6
2/13
0
2/13
1/13
2/13
2/13
0
2/13
2/13
7 0 2/13
2/13
3/13 0 0
2/13
2/13
2/13
8
1/13
1/13
2/13
2/13
1/13
1/13
2/13
1/13
2/13
9 0 0
3/13 0 0 0 0 0 10/13
3j
S
11 ,
3k
S
,1
3k
S
k
S
iA
S
3k
S
k
S
3
3
j
k
S
3k
S
3
3
j
k
S
3k
S
3k
S
k
S
3
3
j
k
S
3
3
j
k
S
xi
irj
xi
ji
xi
ji
PPP
21
3k
S
3j
k
j
SS
j
S
Таблица 4.2
Исходная матрица переходных вероятностей
5. Образуем остальные
Может случиться, что некоторые подмножества
, j =
, j i.
, k =
состоят
из одного элемента.
6. Выбираем максимальное подмножество
и проверяем, является
ли оно максимальной группой совместных внутренних состояний.
Так как условия 1, 2 выполнены, поскольку п.п. I, 3 настоящего алго-
ритма отвечают выполнению этих условий, то проверяется выполнение условия 3. Для этого образуем подмножества
ментов множества
выделяются подмножества
элементов подмножества
, образованные в п. 5 алгоритмы и проверя-
ется условие 3 (условие стохастической замкнутости) подмножеств
носительно подмножеств
. Если условие 3 не выполняется, то
путем вычитания из эле-
. В подмножестве
от-
не
является минимальной группой совместимых внутренних состояний. Если
условие 3 выполняется, то
является максимальной группой совмести-
мых внутренних состояний тогда и только тогда, когда:
1) выделенные в
подмножества
являются максимальными
группами совместимых внутренних состояний
или
2) если некоторое выделенное
не является максимальной группой
совместимых внутренних состояний, то
; S1, S2, …, Sir
по всем
и xi.
; (4.40)
166
3k
S
3
1
j
k
S
3
2
j
k
S
3
3
j
k
S
3j
S
3k
S
3j
S
S
1
3
S
1
1
3
1
S
1
1
3
2
S
n
1
1
3
S
3
S
3
1
S
3
2
S
n
3
n,1
3k
S
3k
S
)(k
i
y
,1
1
i
f
1
i
y
i
y
1
i
f
Символически это можно записать цепочкой следующего вида:
(
Заметим, что, так как множества
ствовать для каждого
несколько цепочек вида (4.41).
) (
) … (
). (4.41)
могут пересекаться, могут суще-
Аналогичным образом выписываются цепочки вида (4.41) и для ос-
тальных выделенных подмножеств
.
В результате получим систему
(
) (
) ….(
);
(4.42)
(
) (
) …. (
).
Так как по определению каждое внутреннее состояние автомата явля-
ется максимальной группой совместимых внутренних состояний, то в систему (4.42) включаются также и строки вида S
i
(Si), i =
, где n – число
внутренних состояний исходного автомата.
Вычеркнем в правой части системы (4.42) те элементы, которые не
встречаются в его левой части. Если при этом оказывается, что для некоторого
вычеркивается строка
вычеркнуто хотя бы одно подмножество, то из системы (4.42)
. Затем снова вычеркнем в правой части системы
(4.43) те элементы, которые не встречаются в его правой части, и т.д.
После того как в правой части системы (4.42) будут встречаться толь-
ко те подмножества, которые встречаются и в левой части системы, примем их за внутреннее состояние приведенного автомата.
Рассмотрим алгоритм функционирования поливариантной системы
поддержки.
В тех случаях, когда задача принятия сложного решения представляет
собой задачу слишком большой размерности, использование игровой трактовки нецелесообразно в связи с необходимостью использования больших
информационных ресурсов ЭВМ.
Для таких случаев в данной работе предлагается использовать процедуру, аналогичную методу последовательных уступок. Предлагаемый алгоритм нахождения решения в этом случае сводится к следующему.
Вначале по каждому типу ограничений, накладываемых на переменные
i-й подсистемы
терию
и определяем множество выходных переменных Y
дающих минимум (максимум) по критерию
, k =
, решаем оптимальную задачу по главному кри-
i
= {
, …
},
.
167
Затем находим
)1(m
i
y
)1(m
i
y
)(
)1(1 m
i
i
yf
1
i
f
1
i
f
i
i
YY
)1(
)(
)1(1 k
i
i
yf
)(
)1(1 m
i
i
yf
1
i
f
)(
)1(1 m
i
i
yf
)(
)1(1 k
i
i
yf
1
i
f
)2(*
i
y
2
i
f
)(
1111
(max)(min) iiii
ffff
2
i
f
y
a
111
(min) iii
fff
211
(max) iii
fff
2
i
f
2
i
f
)1()2(
i
k
i
Yy
2
i
f
2
i
f
)1()2(
i
YY
)(
)2()2( s
ii
yf
)(
)2(2 k
i
i
yf
2
i
f
)(
)2(2 k
i
i
yf
)(
)2()2( s
ii
yf
2
i
f
)2()3(
i
s
i
Yy
)(Nt
i
Y
с наилучшим признаком по этому критерию, т.е.
такое
, для которого величина функционала
будет наи-
меньшей (наибольшей). Затем из физических соображений выбираем неко-
торую величину
главном критерии. Зная величину
ных выходных переменных
, определяющую потерю, которую можно допустить в
, определяем множество оптималь-
, удовлетворяющих неравенству
–
или (4.43)
–
Затем решаем следующую задачу оптимизации: находим
рое дает min (max)
при условии, чтобы первый критерий был равен
.
, кото-
,
т.е. минимизируем (максимизируем)
при ограничениях
и
(4.44)
.
Затем выбираем значение
второму по важности критерию
цели
Пусть
в оптимальной задаче (4.44). Зная уступку по второму критерию
дает наименьшую (наибольшую) величину функции
, определяем множество
и решаем задачу оптимизации (4.45) по
.
, удовлетворяющих неравенству
–
или
(
–
).
Далее, решая оптимальную задачу по третьему критерию при ограни-
чении на второй критерий, находим
.
Искомым решением будет
, максимизирующее (минимизирую-
щее) последний функционал.
Рассмотренный метод имеет два существенных недостатка.
Первый недостаток состоит в том, что рассматриваемый метод
уменьшает свою эффективность по мере усиления роли главного критерия
и увеличении числа остальных критериев.
168
В самом деле: при большом числе критериев может случиться, что
1
i
f
)2(k
i
y
i
ii
YYY
)1(
I
)1(
)3(s
i
y
)2()1()2(
iii
YYY
I
I
)1()(
ii
YY
Nt
)1()(
ii
YY
Nt
1
i
f
i
f
)(kj
a
)()(kj
k
i
j
i
ayf
)(kj
a
окончательное управляющее воздействие будет отклоняться по главному
критерию на величину, большую
управляющих воздействий
и т.д. Тогда
. Если
искать из множества
, a
, а следовательно
– из множества
.
В этом случае мы получаем единственное решение, наилучшее в
смысле совокупного критерия, но если у нас число критериев достаточно
велико, а выбираемое из физических соображений допустимое отклонение
по главному критерию
имеет малую величину, то при использовании
описанного алгоритма мы будем получать единственное решение, наилучшее практически только в смысле главного критерия и с большими отклонениями от наилучших значений для остальных критериев.
Второй недостаток метода последовательных уступок связан с произволом в назначении допустимых отклонений
. Указанные выше «физи-
ческие соображения» далеко не всегда могут быть выражены количественными соотношениями. Поэтому, если воспользоваться только этим методом, степень приближения к наилучшему решению в смысле совокупного
критерия ничего бы не говорила о качестве СК, поскольку допустимые отклонения от оптимального значения составляющих этого критерия были
бы назначены произвольно.
Рассмотрим алгоритм функционирования системы оптимального останова.
Многие авторы пытались реализовать, казалось бы, весьма простую и
очевидную процедуру путем использования каких-либо методов сокращения перебора числа возможных вариантов. Такие методы хорошо «работают» при поиске алгоритмов упорядоченного перебора числовых последовательностей. К сожалению, в нашем случае мы оказываемся в несколько
более трудном положении по следующей причине.
Функция А, описываемая матрицей (4.12), содержит только некоторые
«гипотетические» числа
функциями цели
, которые в действительности являются
, так что значения
, с которыми мы
будем иметь дело, могут иметь самое различное выражение. В частности,
они могут представляться аналитическими выражениями, алгоритмами,
числовыми данными, полученными экспериментально или методом статистического моделирования.
Большинство известных алгоритмов перебора применимо только в
случае аналитического или числового выражения компонент матрицы А,
чтобы при определении направления каждого шага могли быть использованы вычисления градиентов функции А.
169
Существуют две принципиальных возможности решения подобных
),,(
)()1(1 N
aaA
ii
n
i
aaKaa
1
)()(
N
N
задач без указанных ограничений. Первая возможность состоит в пред-
ставлении функции А в виде системы уравнений булевых алгебр и исполь-
зовании методов минимизации булевых функций при нахождении их экс-
тремумов. Весьма заманчивым является наличие хорошо разработанных
алгоритмов подобной оптимизации и возможность их сравнительно про-
стой реализации с помощью релейных автоматов. Однако этому методу
присущ один принципиальный недостаток, который сильно ограничивает
его применимость к решаемой задаче. Дело в том, что системы уравнений
булевых алгебр хорошо приспособлены для решения только логических
задач, выражаемых через двоичные градации признаков. Как только число
градаций признака становится больше двух, появляется необходимость в
очень сильном усложнении уравнений, что объясняется малой эффектив-
ностью существующих методов минимизации даваемых ими описаний.
Вторая возможность связана с использованием алгоритма
А.И. Кузовкина, рассматриваемого в следующей постановке.
Пусть матрица (4.12) представляет собой выпуклую вниз функцию
, заданную (системой своих ограничений) в некоторой
выпуклой области G. Пусть также имеется возможность вычислять значе-
ния функции φ (а) в любой точке а G (а – дискретная переменная). Тре-
буется найти некоторую точку а, мало отличающуюся от точки минимума,
т.е. такую точку, для которой справедливо неравенство
φ (а) – φ (а*) d, (4.45)
где φ (а*) = min φ (а);
d – заданная точность.
Введем далее предположение о том, что функция удовлетворяет усло-
вию Липшица
, (4.46)
где К – некоторая константа, которая должна быть определена априори.
Описываемый алгоритм А.И. Кузовкина основан на использовании
известного положения Кифера-Джонсона: если у = ƒ(х) строго выпуклая
вниз функция, заданная на отрезке [0, 1], то можно найти минимальное из
чисел
отрезка длины
таких, что для всякого δ > 0 всегда можно будет указать интервал
+ δ, содержащий точку минимума функции ƒ(х) путем
вычисления не более чем N значений этой функции. При этом оказывается,
170
что число
N
N
F
1
N
N
N
F
lim
2
5
1
N
1
1
)(N
)(N
1
ln
ln1r
n,1
n,1
рентной формуле
, где FN – числа Фиббоначи, определяемые по рекур-
F0 = F1 = 1;
F
= FN + F
N+1
N–1
,
причем
где
.
,
Процедура асимптомически точного нахождения интервала отрезка
+ δ, содержащего точку минимума функции ƒ (х*) = min ƒ (х), называет-
ся поиском Фиббоначи и состоит в следующем: х Є [0, 1]
1) Положим х1 = 1 –
, х2 =
.
2) Сравниваем ƒ (х1) и ƒ (х2).
Если ƒ (х1) ≥ ƒ (х2), то х* лежит в интервале (х1, 1).
Если ƒ (х1) < ƒ (х2), то х* лежит в интервале (0, х2).
3) Пусть для определенности х* лежит на отрезке [0, х2].
Уменьшаем масштаб в τ раз. Тогда отрезок [0, х2] превратится в единичный и точка х1 станет точкой х2.
4) Далее повторяем всю процедуру.
При повторении всей процедуры N раз, отрезок, на котором лежит х*,
сократится до длины τ–N (в старом масштабе). Количество вычислений
, требующееся для вычисления х* с точностью до ε, при таком поиске
определяется формулой
.
Для упрощения дальнейших рассуждений примем, что выпуклая
область G, в которой определена функция А = φ (а), есть единичный
n-мерный куб:
0 ≤ аi ≤ 1; ί =
.
Определим функцию g (аi):
g (аi) = min ƒ (аi); j = 1, 2, …, ί – 1, ί + 1, …, n;
0 ≤ ај ≤ 1; ί =
.
Введем обозначения
g (аi1) = φ (а11, а21, …, а
, …, а
1
i
);
1
n
g (аi2) = φ (а12, а22, …, а
, …, аn2).
i
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]