Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии
..pdfнов второго порядка выполняется, если моменты информационной матрицы удовлетворяют соотношениям
|
i2- 14 |
= ^ 2 ’ |
y = * i . 2...... *. |
|
(V-62> |
|
2 4 |
= 3 2 |
|
4 4 / |
= 3JVX4, «У =!..■ |
Л, |
(V. 63) |
/=1 |
/=1 |
|
**¥=./ |
|
|
|
где ?1 2 иХ4 — произвольные константы.
Рис. 31. Линии |
равной ин- |
Рис. 32. Информационные про |
формации для |
ортогональ- |
фили для ротатабельного пла- |
ного плана второго порядка |
на при k=2 |
|
при k~2 |
|
|
Остальные моменты информационной матрицы
|
о |
о» |
^ 12 |
1 »k |
|
|
|
||
Ьо |
|
, |
0 |
|
Ь\ |
1 |
|
||
|
Х2 |
ХУ |
|
п
и
Н. 0
равны нулю.
^1 1 ^2 2 »• ••» bkk
Х2 Х2 . . .Х2
0и
^13 |
|
п |
|
|
|
|
и ^ |
А |
|
||
1(хтх) = |
0 |
|
и |
(V.64) |
|
|
|
|
|||
Н -ь ъ |
|
|
и |
|
|
Ъп |
h |
|
ЗХ4Х4 |
. |
. Х4 |
&22 |
h |
|
Х4ЗХ4 |
. |
. Х4 |
|
0 |
п |
|
|
|
|
\J |
и |
|
|
|
bkk —Х2
>* |
СО >* |
' |
|
|
1 |
В зависимости от значений % 2 и Х4 меняются информационные профили. На рис. 32 приведены контуры равной информации для ft= 2, Л2=1 при различных значениях Я4. Аналогичные профили по лучаются и для других значений ft. Значение Л4 выбирают так, что бы информация оставалась постоянной в интервале O ^ p ^ l [20]. Такое планирование называется униформ-ротатабельным планиро ванием.
В определитель матрицы (V.64) в качестве множителя входит
величина [(2+£)W ta2—ft)]. Для |
существования матрицы(^гА’)“ 1 |
|
необходимо, чтобы выполнялось |
условие |
(2 + ft)Wta2—кфО, т. е. |
Х4Д 2 > |
ft/(ft + 2). |
(V.65) |
Рассмотрим, в каких случаях условие (V.65) не выполняется. Свяжем для этого константы % 2 и Х4 с числом факторов ft. Умножив на k соотношение (V.62), получим
N |
|
k |
N |
|
N |
ft- |
N |
* 2 |
4 |
- 2 |
2 |
4 - |
2 |
2 |
4 = 2 Р] = k\2N. |
/ - 1 |
|
; - i / - 1 |
|
i - U - l |
/ - 1 |
||
Отсюда |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
rf |
|
|
|
|
|
h — |
/ - |
1 |
» |
|
|
|
|
. ir |
|||
где Рг — радиус £-й точки в ft-мерном пространстве. Используя соотношение (V.63), также получим
N N k
4 |
= 2 2 4 • |
1-1 |
/ = 1.7=1 |
(V.66)
(V.67)
(V.68)
Выразим сумму |
2 |
4 |
через радиус точки и число факторов |
||||||
k. Имея в виду, что для любой /-й точки |
|
|
|||||||
к |
|
,2. |
|
|
|
|
к |
|
|
2 |
■*?) |
= ^ = {х\+ 'х\+ ... + *1)2 = 2 |
Х* + 2Ф 1 Х] = |
||||||
|
1 |
/ |
|
|
|
|
|
7 S1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
ft |
|
|
= |
^ |
х |
* + |
2 |
2 ) ( ^ |
2)I x l x ) = ^ |
x ) + |
k ( . k - \ ) x l x ) , (V .69) |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x) = ^ —k(k — 1)x\x). |
(V.70) |
||
|
|
|
|
|
]-1 |
|
|
|
|
Подставляя |
(V.70) |
в (V.68), получим |
|
|
|||||
|
|
|
|
N |
|
|
N |
N |
|
|
|
|
ft 2 |
•*л = |
2 p4—ft(ft - i ) 2 |
(V.71) |
|||
/ - 1 |
/ - 1 |
/ - 1 |
С учетом соотношения (V.63) имеем
N |
N |
|
|
лг |
|
3*24 |
= 3 2 |
р! - * ( * - 1 ) 2 4 - |
(V.72) |
||
Отсюда |
|
|
|
1—1 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
32 |
А |
(V.73) |
/-1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
i-i |
|
(V.74) |
Тогда |
Х4= ЛД(* + 2) ' |
||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
2 |
|
pi |
|
|
/-1 |
|
|
(V.75) |
||
|
лг |
|
\: 2 |
А»+ 2 * |
|
|
|
|
|||
Если все N точек ротатабельнОго плана расположены на одной сфере, т. е.
р? = р | = * * * = Рлг и Р?= Р2 = ... = PV
из (V.75) имеем
Х4/Х^ = */(* +2)
и определитель матрицы (Х ТХ ) равен нулю. Поэтому необходимо, чтобы точки плана были расположены на нескольких сферах. Для некоторого числа факторов радиус сферы, на которой лежат точки ядра плана, совпадает с радиусом сферы, на которой лежат звезд ные точки, равным а. Чтобы информационная матрица была невы рожденной, в ротатабельный план вводят точки, лежащие на сфере с нулевым радиусом, — По точек в центре плана. Пусть N точек пла на расположены на s сферах по пи точек на каждой сфере, тогда
2 |
|
р/ = 2 |
л« 4 |
(V-Щ |
1-1 |
11-1 |
|
|
|
| |
1 |
р? = 2 |
»«р2- |
|
|
U-1 |
|
|
|
При Яг= 1 имеем
(V.77)
Если точки ядра плана пп и звездные точки па расположены на одной сфере ря= р« и в центре плана имеется по точек, тогда
N = па + пя + л 0 = п + п0
и из (V.77) имеем
kN |
^Р а |
k ( П + TZQ) |
k |
4 = Т + 2 |
Л2р4 = |
(k + 2) n |
(V. 78) |
> k + 2 |
Таким образом, наличие по точек в центре плана обеспечивает выполнение условия (V.65). Величина звездного плеча в ротата бельных планах может быть определена из соотношения (V.63):
при /е<5
2й + |
2а-1 = |
3-2*; а = 2й/4, |
(V.79) |
и при /г^5 |
|
к—1 |
|
|
|
|
|
2й- 1 + |
2а4 = |
3.2й- 1; а = 2 4 |
(V.80) |
В табл. 45 приведены значения а, д0 и радиуса сферы, на кото рой расположены точки ядра плана ря для различного числа фак торов в ротатабельных униформ-планах.
Т а б л и ц а 45
В еличины зв е зд н ы х плеч и к о л и ч ества точек в ц ен тре п л а н а в р о т ат а б е л ь н ы х у н и ф о р м -п л ан ах
Параметры плана |
|
|
|
k |
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
5 |
|
'б |
7 |
7 |
|
2 |
6 |
Ядро плана |
2 2 |
23 |
24 |
25 |
25-1 |
2* |
26-1 |
27 |
27- 1 |
Ря • |
1,41 |
1,73 |
2,00 |
2,24 |
2,27 |
2,45 |
2,45 |
2,64 |
2,64 |
а |
1,41 |
1,68 |
2,00 |
2,38 |
2,00 |
2,83 |
2,38 |
3,36 |
2,83 |
По |
5 |
6 |
7 |
10 |
6 |
15 |
9 |
21 |
14 |
Матрица ротатабельного плана второго порядка неортогональ на, так как
|
N |
|
7=1» |
2 ,..., к, |
|
|
|
У xoix<ji |
|
|
|||
N |
*/-1 |
|
|
|
|
|
x^ixhi |
7 Ф Щ7,^ = |
К |
2 ,..., k. |
|
||
^ |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
коррелированы между собой и со свободным |
|||||
членом Ь0. Поэтому для определения |
коэффициентов |
уравнения |
||||
регрессии необходимо решать |
систему |
нормальных |
уравнений, |
|||
обращая матрицу |
(ХТХ) |
|
|
|
|
|
в = {XTX)~lXTY.
Специфический характер матрицы {ХтX) для ротатабельных планов позволяет провести процедуру обращения этой матрицы в общем виде и получить формулы для расчетов коэффициентов урав нение регрессии и их дисперсий:
|
|
|
|
N |
|
j v |
|
|
[ 2\\ (* + 2) V |
ш - |
2Х„С ^ |
*Jt»i |
|||
|
|
J V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
|
|
|
|
/-1 |
|
|
|
|
|
С2 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Ф ]\ |
|
|||
*иУ= УУХ4’ |
|
* uiX M i |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(V.81) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7V |
|
|
|
Л |
/V |
|
|
|
N |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
у-1 /-1 |
|
|
|
/-1 |
|
|
|
|
2ЛХ?(*+2) |
с2| • |
|
|||
|
5л |
= ' |
' 2 |
|
|
|
|
|
|
^ у |
|
°ВОСП р’ |
|
||
|
|
„2 |
-5- о2 |
|
|
||
|
|
|
|
5воспр» |
|
||
|
|
,2 |
|
С2 |
, 2 |
• |
|
|
|
'buj |
|
Х4ЛГ |
В0С"Р’ |
|
|
2 |
^ [(fe + |
1) Х4 — (fe— D] С2 |
,2 |
||||
°н |
|
|
|
N |
|
|
■'воспр» |
|
|
|
|
|
|
||
где k — число факторов,
2Х4 [(6р+ 2) Х4— А]*
Константа Х4 определяется по формуле (V.77). Выражения (V.81) можно упростить, объединив константы:
* |
N |
к N |
*0 = 2 |
y i ~ a2 2 2 хпУ‘; |
1-1 |
j-li-1 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
bi = |
a3 |
Xjiyi\ |
j = |
1 , |
2 , ... f |
|
|||
|
|
i-1 |
|
|
|
|
|
|
(V.82) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
buj = a\ 2 |
x uiX]iyi\ |
и ф |
j\ |
j , |
и = |
1 |
, 2 |
, . . . , |
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
Л JV |
|
|
|
ДГ |
|||
bl) = as 2 |
•*;/*// + «6 2 |
2 |
|
|
- |
«7 У д а |
|||
l-l |
|
7-1/-1 |
|
|
|
i-i |
|||
si„ = aisy; slj = |
a3s*2y; |
sluj = |
aisl; |
sln |
^ ( a 5 + a6) s y2 . (V.83) |
||||
Значения констант, |
входящих |
в выражения |
(V.82), приведены |
||||||
в табл. 46.
Число неза висимых пе ременных к
2
3
4
5*
5
6 *
6
7*
7
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 46 |
|
|
В ы числение |
к о эф ф и ц и ен то в |
регрессии |
при р о тат аб ел ьн о м |
|
||||
|
|
|
п л ан и р о в ан и и д л я k ^ 7 |
|
|
|
|||
опы |
Пд |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число тов N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
5 |
1,412, |
0 , 2 |
0 , 1 |
0,125 |
0,25 |
0,1251 |
0,0187 |
0 , 1 |
2 0 |
6 |
1,682 |
0,1663 |
0,0568 |
0,0732 |
0,125 |
0,0625 |
0,0069 |
0,0568 |
31 |
7 |
2 , 0 0 |
0,1428 |
0,0357 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0037 |
0,0357 |
32 |
6 |
2 , 0 0 |
0,1591 |
0,0341 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0028 |
0,0341 |
52 |
1 0 |
2,378 |
0,0988 |
0,0191 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
0,0015 |
0,0191 |
53 |
9 |
2,378 |
0,1108 |
0,0187 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
0 , 0 0 1 2 |
0,0187 |
91 |
15 |
2,828 |
0,0725 |
0,0098 |
0,0125 |
0,0156 |
0,0078 |
0,0005 |
0,0098 |
92 |
14 |
2,828 |
0,0703 |
0,0098 |
0,0125 |
0,0156 |
0,0078 |
0,0005 |
0,0098 |
163 |
2 1 |
3,333 |
0,0398 |
0,0052 |
0,0066 |
0,0078 |
0,0039 |
0 ,0 0 0 2 |
0,0052 |
* Полуреплика.
При использовании ротатабельных планов второго порядка от падает необходимость в постановке дополнительных параллельных опытов для оценки дисперсии воспроизводимости. Диеперсию вос производимости определяют по опытам в центре плана:
2 |
2 |
( у 1 - ' у0) 2 |
|
и ~ \ |
|
|
|
Sn°cup = |
|
|
1 |
|
|
|
(V.84) |
|
2 |
|
А |
|
//=1 |
|
|
По
Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно
/восир == (Л0 О*
Остаточную дисперсию определяют по формуле
N
S2 = ±=1------------
ост N - 1
Число степеней свободы остаточной дисперсии /0Ст = ^ — |
|
||||
Адекватность |
уравнения |
регрессии проверяют по критерию |
|||
Фишера; |
|
|
|
|
|
|
|
F = ^ А в о с п р . |
( V . 8 5 ) |
||
где 52ад— дисперсия адекватности, которая определяется |
из соот |
||||
ношения |
v |
|
|
|
|
|
5ад/ ал — 5 ост/ост |
5воснр/ воснр» |
(V .8 6 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^ост / |
ост |
*^воспр/ воспр |
|
|
5 ад ~ |
~ |
|
7 |
|
|
|
|
/а д |
|
|
/ад — число степеней свободы дисперсии адекватности; |
|
||||
|
|
/а д — /о с т |
/воспр» |
|
|
Уравнение адекватно, если F< Fi-p (f\t /2), где /i — число степе ней свободы дисперсии адекватности; /2 — число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.
Значимость коэффициентов проверяют по критерию-Стыодента. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать.
Пример 5 [21]. Требуется установить влияние примесей, содержащихся в экстракционной фосфорной кислоте, на степень разложения (у %) флотацион ного концентрата фосфорита Каратау. В качестве факторов, от которых зависит степень разложения, были выбраны следующие: Z\ — температура процесса, °С;
z*— концентрация MgO в фосфорной кислоте, масс.%; |
z3— концентрация S03 |
||||
в фосфорной кислоте, |
масс.%; |
z4— концентрация |
А120 3 |
в фосфорной кислоте, |
|
масс.%; z6— концентрация F в фосфорной кислоте, масс.%. |
|||||
Основной уровень, интервалы варьирования и границы области исследования |
|||||
приведены в таблице. |
|
|
|
|
|
|
Zi |
|
|
|
|
* 5 |
5 0 |
2 Д |
2 , 0 |
1 , 3 3 |
0 , 7 5 |
А г ) |
2 0 |
0 , 9 |
1.0 |
0,37 |
0 , 2 5 |
+ 2 |
9 0 |
3 , 9 |
4 , 0 |
2 , 0 7 |
1 , 2 5 |
— 2 |
10 |
0 , 3 |
0 , 0 |
0 , 5 9 |
0 , 2 5 |
Область изменения независимых факторов соответствует диапазону измене ния концентраций примесей в промышленной экстракционной кислоте.
Реш ение. Для определения уравнения регрессии используем ротатабельный план второго порядка (табл. 47).
Ротатабельный план второго порядка для &= 5
Номер |
|
x t |
х 9 |
Х< |
|
У». % |
Номер |
Хх |
х а |
Х% |
Х а |
X ь |
Ух, % |
опыта |
|
* 5 |
опыта |
||||||||||
1 |
+ i + i + i |
+ 1 |
+ 1 |
3 4 , 7 |
1 7 |
— 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 5 , 0 |
||
2 |
— 1 + i 4 - 1 |
+ 1 |
— 1 |
4 0 , 0 |
1 8 |
+ 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 3 , 3 |
||
3 |
+ i |
— 1 + 1 + 1 |
— 1 |
3 9 , 0 |
1 9 |
0 — 2 |
0 |
0 |
0 |
4 9 , 2 |
|||
4 |
— 1 — 1 + 1 + 1 |
+ 1 ‘ 3 9 , 2 |
20 |
0 + 2 |
0 |
0 |
0 |
4 2 , 0 |
|||||
5 |
+ 1 + 1 - 1 |
+ 1 |
— 1 |
2 6 , 6 |
21 |
0 |
0 — 2 |
0 |
0 |
1 7 , 5 |
|||
6 |
— 1 + 1 — 1 + 1 |
+ 1 |
2 9 , 5 |
22 |
0 |
0 + 2 |
0 |
0 |
4 1 , 0 |
||||
7 |
+ 1 — 1 — 1 |
+ 1 |
+ 1 |
3 0 ,0 |
2 3 |
0 |
0 |
0 — 2 |
0 |
3 5 , 6 |
|||
8 |
— 1 — 1 — 1 |
+ 1 |
- Л |
3 4 , 5 |
2 4 |
0 |
0 |
0 + 2 |
0 |
2 7 , 2 |
|||
9 |
+ 1 + 1 + 1 |
— 1 |
— 1 |
3 2 ,2 |
2 5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
— 2 |
3 9 , 0 |
||
10 |
— 1 + 1 + 1 |
— 1 |
+ 1 |
4 1 , 4 |
2 6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ 2 |
3 0 , 0 |
||
11 |
+ 1 - 1 |
+ 1 |
— 1 |
- И |
3 3 , 7 |
2 7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 5 , 4 |
|
12 |
— 1 — 1 j - l |
— 1 |
— 1 |
4 0 , 9 |
2 8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 6 , 4 |
||
1 3 |
+ 1 + 1 — 1 — 1 |
+ 1 |
2 3 , 9 |
2 9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 3 , 2 |
|||
1 4 |
— 1 + 1 — 1 — 1 |
— 1 |
3 3 , 3 |
3 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 2 , 4 |
|||
1 5 |
+ 1 |
— 1 — 1 — 1 |
— 1 2 7 , 7 |
3 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 7 , 7 |
|||
1 6 |
— 1 — 1 — 1 1~ 1 |
+ 1 |
3 5 , 9 |
3 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 6 , 9 |
|||
Число опытов в матрице планирования для k = 5 равно 32. Ядро плана пред
ставляет собой полуреплику 2 |
5 - 1 с генерирующим соотношением |
хъ= х {х2хгх4. |
|
Величину звездного плеча а = 2 |
определяем по табл. 45. Переход |
от натураль |
|
ных переменных z |
к безразмерным х проведен по формуле (V.3). По эксперимен |
||
ту в центре плана |
определяем |
дисперсию воспроизводимости 52ВОспр=4,466 с |
|
числом степеней свободы ^воспр=л0— 1=5.
По данным табл. 47 рассчитываем коэффициенты уравнения регрессии вто
рого порядка и их ошибки: |
|
|
||
*0 |
= 35,41; |
*i = 1,07794; * 2 = |
— 0,146; * 3 = 4,5098; * 4 = — 0,542; |
|
*5 |
= — 1,3; |
* ц = — 1,5; *22 |
= 2,66; * 33 = — 1,47; *4 4 = |
— 0,93; |
£ * 5 5 = — 0,15; * 12 = 0,147; *хз = 0,256; *1 4 = 1,61; * 15 = 0,0534; |
* 23 = 0,736; |
|||
|
*2 4 = — 0,198; * 25 = 0,403; *34 = 0,401; * 35 = 0,256; *45 = 0,93; |
|||
stj = 0,43; sbuj = 0,53; sbjj = 0,394.
Значимость коэффициентов проверяем по критерию Стьюдента:
^ = 4 4 5 - = 2.48; |
, |
° '147 |
о от». |
||
|
0,43 |
|
*12= |
0,53 |
= 0 ’278’ |
|
0,146 |
|
|
0,256 |
|
|
= 0,34; |
|
|
|
|
|
0,43 |
|
|
|
|
*з = |
4,51 |
10,4; |
|
|
|
= |
|
|
|
||
0,43 |
|
|
|
|
|
h = |
0,542 |
1,26; |
|
0,0534 |
|
= |
'15 = ^ПГГ = 0,1; |
||||
|
0,43 |
|
|
0,53 |
|
h = |
1.3 |
3,02; |
^23 : |
0,736 |
= 0,1375; |
= |
|
||||
|
1,5 |
~ 3>82^ |
|
0,198 |
|
|
* 11 = |
п о(\л |
*24 = ~ |
’r" = 0,374; |
|||
|
0,394^ |
|
|
0,53 |
|
|
|
|
2,66 |
= 6,75; |
|
|
|
|
|
^ = —^— |
|
|
||
|
|
0,394 |
|
|
|
|
*зз= |
л огы |
“~3’73;1 |
%==JL i2 L =0>762; |
|||
|
0,394 |
|
|
0,53 |
|
|
|
0,93 |
=*2,36; |
|
0,4011 |
|
|
*44 = |
0,394 |
*34 = |
|
= 0,758; |
||
|
|
|
0.53J |
|
||
|
0,15 |
= 0,38; |
|
0,93 |
1,75. |
|
*55 = |
0,394 |
*45 = |
|
= |
||
|
|
|
0,53jj |
|
||
Табличное значение критерия Стьюдента для |
уровня |
значимости р=0,05 |
||||
и числа степеней свободы /= 5—*o,os(5) =3,18. После отсева незначимых коэффи
циентов, для |
которых *-отношение меньше табличного, |
получаей |
уравнение ре |
|
грессии вида |
|
|
|
|
у = 3 5 |
, 4 + 4 ,51аг3 — 1 ,3JC5 — 1уЪх\ + 2 ,6 6 * 2 — 1 |
, 4 7 *3 |
+ 1,0 1 * 1 * 4 . |
|
Проверка |
адекватности по критерию Фишера показала, |
что |
оно адекватно |
|
эксперименту: |
|
|
|
|
4>фР= 4,466; 4 = 1 5.35; ^ = 3,43; /=-0,9 5 (20,5) = 4,5.
♦Уравнение регрессии в натуральном масштабе имеет вид
у = 44,04 + 0,086*! — 13,8*2 + 10,39* 3 — 1 0 ,9 * 4 — 5,2* 5 —
— 0,00375*2 + 3,28*2 -174*з + 0,217*1*4.
Полученное уравнение позволяет определить степень разложения флотоконцентрата фосфорита Каратау при различных температурах в зависимости от содержания примесей в кислоте.
7. Критерии оптимальности планов. При определении критериев оптимально сти планов для Бокса и его школы характерным является эмпирико-интуитивный подход. Сначала ими было предложено считать оптимальным ортогональные планы, позднее — ротатабельные. План ортогонален, если ему соответствует диагональная информационная матрица. Полученные по ортогональным планам
оценки параметров |
независимы. План ротатабелен, если |
соответствующая ему |
ковариационная матрица инвариантна к ортогональному |
вращению координат. |
|
Выполнение этого |
условия делает любое направление от |
центра эксперимента |
равнозначными в смысле точности оценки поверхности отклика.
Свойства ортогональности и ротатабельности планов чрезвычайно удобны в
практическом отношении, |
что способствует |
широкому |
применению этих |
планов |
в эксперименте. Линейные |
ортогональные |
планы 2к и |
2к~р обладают |
также |
свойством ротатабельности. Композиционные ротатабельные планы, предложен ные Боксом и Хантером, не ортогональны. Если же в качестве критерия опти мальности выбивать ортогональность, то неизбежны некоторые потери в точно сти оценок параметров и регрессионной функции.
Одновременно с развитием идей Бокса развивалось второе, чисто теоретиче ское направление в планировании эксперимента. Наибольший вклад в его раз витие внес американский математик Кифер. Концепция /^-оптимальности, разви ваемая Кифером, является естественным продолжением теории эффективных оценок Фишера. В теории Фишера эффективность оценок задается только опти мальным способом обработки результатов эксперимента. При обработке экспери ментов методом наименьших квадратов для линейного уравнения регрессии находят совместно эффективные оценки этих коэффициентов. При этом эллипсоид
рассеяния оценок имеет наименьший объем. Объем эллипсоида рассеяния связан с определителем информационной матрицы [1 2 ] следующим образом:
(fe + 2)*/У/2
(V.87)
где Г
В концепции Кифера эффективность обуславливается еще и оптимальным расположением точек в факторном пространстве. План эксперимента, при котором объем эллипсоида рассеяния минимизируется на множестве планов в заданной области, называется D-оптимальным. Согласно (V.87), D-оптимальному плану должен соответствовать максимальный определитель информационной матрицы.
Кифером предложен ряд критериев оптимальности планов. Все эти критерии, как и критерий D-оптимальности, фактически сводятся к некоторым требованиям, предъявляемым к виду ковариационной, а следовательно, и информационной матрицы,- Так, план называется А-оптимальным, если его ковариационная мат рица имеет наименьший след (сумму диагональных элементов). Л-Оптимальный план позволяет минимизировать среднюю дисперсию оценок параметров. План называется Е-оптимальным, если максимальное характеристическое значение со ответствующей ему ковариационной матрицы оценок параметров минимально. Это значит, что D-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсои да рассеяния оценок параметров. План называется G-оптимальным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии предсказанных значений у в области планирования и, следовательно, обеспечи вает отсутствие в области планирования точек, в которых точность оценки по верхности отклика слишком низкая.
Боксом и Дрепером [51] предлагается еще один критерий оптимальности планов, позволяющий минимизировать систематическое и общее смещение, воз никающее при аппроксимации поверхности отклика полиномом более низкого порядка, чем это требуется для адекватного описания.
В настоящее время |
наиболее развита теория построения D-оптимальных |
и G-оптимальных планов |
[46]. В общем виде задача построения D-оптимальных |
планов не решена. Наиболее разработанными можно считать методы получения D-оптимальных планов для оценки одного параметра. В работах Кифера, Вольфовица, Хоула и Коно введено понятие непрерывного плана и построены непре рывные D-оптимальные планы для полнноминальной регрессии первого и второго порядков при ограничениях, на гиперкубе и /г-мерном шаре; для тригонометриче ской регрессии с различными весовыми функциями на отрезке [46]. Границы эксперимента чаще всего задаются гиперкубом. D-Оптимальные планы первого порядка при ограничениях на кубе можно задать в виде ПФЭ 2h. D-Оптималь-
. ными планами являются также некоторые дробные реплики полного факторного эксперимента и планы Плакетта — Бермана для числа факторов k, удовлетво ряющих условию k+ 1 кратно четырем. Эти планы в то же время ортогональны и^ротатабельны.
D-Оптимальные непрерывные планы второго порядка на кубах размерности
2—5 для полиномов второго порядка, предложенные Кифером |
и Вольфовицем, |
как правило, содержат очень большое число наблюдений; так, |
например, при |
«= 5 в таком точном плане должно быть более 1500 измерений |
[46]. В связи с |
этим при помощи ЦВМ были найдены несимметричные планы второго порядка с достаточно малым числом экспериментальных точек и которые близки к D-опти мальным по таким характеристикам, как определитель информационной матри цы, средняя и максимальная дисперсия предсказанного значения параметра опти мизации [47]. Была проведена также сравнительная оценка с позиции D-опти- мальности характеристик некоторых композиционных планов второго порядка при ограничениях на кубе для 6=4, 5, 6 . Выбор того или иного плана исследова ния определяется постановкой задачи и возможностями эксперимента.