Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

тив из каждой вершины треугольника высоту, разделив к аж дую из них на десять равных по величине отрезков и проведя через полу­ ченные деления прямые, параллельные сторонам треугольника, по­ лучим треугольную сетку. Приближение от каждой данной стороны к противоположной вершине отвечает пропорциональному возра­ станию содержания соответствующего компонента, поэтому пря­ мые, параллельные данной стороне, при последовательном перехо­ де от одной прямой к другой отражают возрастание третьего компонента на 10%. На рис. 44 на .соответствующих высотах тре-

d — 30% А и 70% С). Практически большей частью не прибегают к построению высот, можно откладывать содержание компонентов непосредственно на сторонах треугольника. Такой способ отсчета принят в треугольнике Гиббса. В треугольнике Розебума состав тройной системы отсчитывается по трем отрезкам одной стороны треугольника (рис. 45). В концентрационном треугольнике точки, лежащие на прямой, выходящей из вершины треугольника, соот­ ветствуют смесям с постоянным отношением содержаний компонен­ тов, изображаемых двумя другими вершинами. Свойство (у) обыч­ но представляют проекциями линий равного значения на плоскость концентрационного треугольника.

При <7 = 4 правильный симплекс — тетраэдр, каждая вершина которого соответствует чистым компонентам. Ребро представляет собой двухкомпонентную систему, грань — трехкомпонентную. Точ­ ки внутри тетраэдра соответствуют четырехкомпонентным систе­ мам. Так, компонент Х\ отсутствует на грани х2>х3, Х4 , а по сечени­ ям тетраэдра, приближающимся к вершине Xi, содержание компо­ нента Х\ увеличивается.

Представление кривых свойств этой системы на плоскости не представляется возможным. Поэтому графически такую систему представляют в виде сечений трехмерного симплекса плоскостями,

перпендикулярными одной из его осей. Состав четырехкомпонент­ ных смесей, лежащих в плоскости сечения, определяется уже дву­ мерным симплексом, что позволяет изменение свойств системы представлять в виде контурных кривых. При этом в одном сечении варьируют только тремя компонентами. Переход от одного сечения к другому соответствует изменению четвертого компонента.

При планировании эксперимента для решения задач на диа­ граммах состав — свойство нредполагается, что изучаемое свойство является непрерывной функцией аргументов и может быть с доста­ точной точностью представлено полиномом. Использование методов планирования эксперимента позволяет значительно сократить объем эксперимента при изучении многокомпонентных систем, от­ падает необходимость в пространственном представлении сложных поверхностей, так как свойства можно определять из уравнений. При этом сохраняется возможность графической интерпретации результатов.

Поверхности отклика в многокомпонентных системах имеют, как правило, очень сложный характер. Для адекватного описания таких поверхностей необходимы полиномы высоких степеней и, сле­ довательно, большое количество опытов. Обычный полином степе­

снизить число коэффициентов до C"+n-i. Однако по существу зада­ чи желательно ввести в модель все q компонентов.

например, как получить такой приведенный полином второй степе­ ни для тройной системы. Общий вид полинома

для ^-компонентной

Нелинейная часть этих полиномов называется синергизмом, если она вызывает увеличение отклика по сравнению с откликом, предсказываемым линейной частью уравнения, и антагонизмом — при уменьшении отклика. Например, член fiijXiXj в полиноме вто­ рого порядка называют квадратичным коэффициентом бинарного синергизма компонентов i и /. В полиноме третьего порядка синер­ гизм трехкомпонентной смеси равен

где в квадратных скобках — бинарные синергизмы в тройной систе­ ме; Pij/t — кубический коэффициент тройного синергизма компонен­ тов /, /, k.

Возможно другое преобразование исходного полинома степени п от q переменных. Его можно свести к так называемому однород­

Число неизвестных коэффициентов в (VI. 19) то же, что и в (VI.9). Приведенные полиномы получили более широкое применение и в дальнейшем будем использовать только их. Таким образом, ми­

нимальное число экспериментальных точек для определения коэф­

фициентов полинома степени п от q переменных составляет Cq+n _i (табл. 63).

Число опытов для полиномов разных степеней

2. Симплекс-решетчатые планы Шеффе. В настоящее время наи­ большее применение получили симплекс-решетчатые планы, пред­ ложенные Шеффе [37, 38]. Эти планы обеспечивают равномерный

Записав координаты точек симплексной решетки, получим мат­ рицу планирования. Построим матрицы планирования для решеток {3,2}, {3,3} и {3,4}.“

Индексы у свойства смеси указывают на относительное содер­ жание каждого компонента в смеси. Например, смесь 1 (табл. 64)

Соответственно

Т р и точки, определяющие коэффициент P i j , лежат на одном ребре. Коэффициенты приведенного полинома второго порядка для ^-ком­ понентной смеси

При последовательной подстановке в полином третьего порядка для трехкомпонентной смеси

Подставляя в приведенный полином координаты точек 6 и 7, по­ лучим:

Подставляя координаты последней точки с учетом соотношений

Коэффициенты полинома третьего порядка для ^-компонентной смеси

циентов любого приведенного полинома при любом числе компо­ нентов. Так, для полинома неполного третьего порядка для трех­ компонентной смеси имеем:

Iу = Pi*! 4- Рг*2 4- рз*з 4- Pi2*i-*2 4" Pi3*i*3 4- Ргз-^г-^з 4- Pi23*i*2*3 >

Для /7 -компонентной смеси

Полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси:

Pl2 = 4у 12 — 2х/1 — 2//2,