Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

8. Исследование поверхности отклика. Решение задачи оптими­ зации. Уравнение регрессии второго порядка, адекватно описываю­ щее почти стационарную область, исследуют для определения коор­ динат оптимума. Кроме того, представляет интерес изучение свойств поверхности отклика в окрестности оптимума. При этом обычно переходят от полинома второго порядка, полученного по результа­ там опыта, к стандартному, каноническому уравнению:

канонические переменные, являющиеся линейными функциями фак­

Первый этап канонического преобразования — перенос начала координат в особую точку поверхности отклика — центр поверхно­ сти. Координаты центра S определяются решением системы урав­ нений

порядка приходится решать систему k линейных уравнений. Если определитель этой системы равен нулю, то поверхность не имеет центра. В этом случае можно или перенести начало координат в точку с наилучшим значением выхода, или совсем не переносить центр. При этом для нецентральной поверхности оптимум будет лежать на границе области определения факторов. Если поверх­ ность имеет центр, то в него переносят начало координат. При этом в уравнении поверхности исчезают члены, содержащие линейные эффекты и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и -взаимодействиях инвариантны относительно переноса. Второй этап — поворот координатных осей в новом центре таким образом, чтобы исчезли члены с эффектами взаимодействия; сво­

Л«>0.

2. Коэффициенты имеют разные знаки. Поверхность — гипербо­ лический параболоид, «седло» (рис. 33, б). В центре поверхности —г-

«минимакс».

3. Один или несколько (но не все) коэффициентов близки к ну­ лю. При этом центр лежит далеко за областью экспериментирова­ ния. Поверхность такого типа называется «возрастающим возвы­ шением» («гребнем»).

4. Возможен еще вырожденный случай параллельных прямых, который не представляет практического интереса (рис. 33, в).

При ^ 2 2 = 0 (рис. 33, г), перенеся начало координат в точку S (обычно вблизи центра плана), получаем уравнение параболы:

Перейдем от уравнения регрессии второго порядка для &= 2, полученного по экспериментальным данным

Рис. 33. Канонические поверхности и их сечения для k—2

Решение системы (V.92) дает координаты центра х\8 и x2s• Под­ ставив их в уравнение регрессии (V.91), получим значение выход­ ной величины в точке S—у8. Перенесем начало координат в точку

верхность отклика представляет собой эллиптический параболоид и Л„<0, Яг2 < 0 в центре поверхности — максимум. Параметр опти­ мизации при Лц>0 и Л.2 2 > 0 максимальное значение имеет на гра­ нице области исследования.

Если поверхность отклика — гиперболический параболоид:

и определяются условия, обеспечивающие максимальное значение

ложительный канонический коэффициент. При этом проверяют вы­

вформулы (V.96).

Вмногомерных задачах поиск оптимальных условий процесса ведут на ЦВМ, используя обычно один из методов нелинейного программирования.

Пример 6 . Получено уравнение регрессии степени разложения флотационногоконцентрата фосфорита Каратау от температуры и содержащихся в фосфорной кислоте примесей:

у = 35,4 + 4,51*3 — 1,3*5— l,5*i +2,66*2*—l»47*g + 1,61*1*4.

Требуется определить условия, соответствующие максимальной степени разло­ жения ([/max)» при ограничениях, накладываемых сферой с радиусом, равным звездному плечу (табл. 47).

Реш ение. Для определения условий максимальной степени разложения переменные, характер влияния которых ясен из уравнения регрессии, принимаем равными: лг2= + 2 [ х5 = —2 . Влияние концентрации SO3 в фосфорной кислоте представлено в уравнении положительным линейным и отрицательным квадра­ тичным членами. Оптимальное содержание этой примеси, равное 1,533%, опреде­ ляем из условия экстремального значения у по *з. При этих значениях факторов *2, * 3 и х5 уравнение регрессии примет вид

^=52,12 — l,5 *i + 1 ,6 1 * 1 * 4 .

Приведем это уравнение к каноническому виду. Координаты центра поверх­ ности S равны

* 1 5 = 0; * 4 5 = 0; ys = 52,12.

Таким образом, центр поверхности совпадает с центром плана. Характеристический полином

P k (X) = Х2 + 1,5Х — 0,64 = 0.

Корни полинома %i= +0,35, Я2= — 1,85. Уравнение в канонической форме:

у — 52,12 = 0,35.Y? — 1,85Х \.

Поверхность отклика — гиперболический параболоид. В сечениях поверхности отклика плоскостями у = const — гиперболы (рис. 34). В центре поверхности — минимакс. Линейное преобразование задается системой:

Xi = 0,920*1 + 0,39*4,

* 4 = — 0,39*i + 0,92*4.

Для определения максимальной степени разложения выходим из минимакса по оси Х\ (коэффициент канонической формы положительный), приравняв Х4 нулю:

ты. Степень разложения получилась соответственно равной 55,8 и 53,7%. Таким образом, расхождения с расчетными (у=54,7%) лежат в пределах ошибки экс­ перимента (sv= У 4,466= 2,1).

Если процесс описывается несколькими уравнениями регрессии, приходится решать компромиссную задачу — определять экстре­ мальное значение одной функции отклика при ограничениях, на­ кладываемых другими функциями отклика и границами области исследования (рис. 35). Пусть требуется найти экстремум функции

экстремума решается с применением множителей Лагранжа. Фор­ мально задачу отыскания условного экстремума функции /'можно свести к определению безусловного экстремума функции Лагранжа:

рассматриваемой как функция k + m переменных, где %и — неопре­ деленные множители Лагранжа. Примером применения неопреде­ ленных множителей Лагранжа может служить решение такой ком­ промиссной задачи. В широком диапазоне изменения параметров исследовали процесс конверсии нитрата кальция и фосфорной кис­ лоты в твердый монокальцийфосфат и азотную кислоту в присутст­ вии ft-бутилового спирта [2 2 ]. Был реализован ротатабельный план второго порядка и получены уравнения регрессии вида:

у\ = 60,9 4~14,5*1 “Ь 3,83*з — 4,09*4 4~ 2,14*х*з + 2,71*1*4 +

где у\ — степень конверсии; уч— отношение питательных веществ в

х3— норма фосфорной кислоты в растворе; * 4 — объемное отноше­ ние кислота : спирт; * 5 — температура конверсии.

С учетом ограничений на независимые переменные, наклады­ ваемых первой стадией процесса — кислотного разложения фосфа­ тов: Х \ = —2; * 5 = 0, и необходимостью работать с высокой произво­ дительностью * 2 = 0 имеем:

JJji = 31,9— 0,45*3 — 9,51*4— 2,48*3*4 + 0,68*J;

(V. 113)

1/2 = 2,1-+- 0,2722*з 4- 0 ,144*4 - 0,0235*!* — 0,015*| 4- 0 ,032*3*4.

На соотношения питательных веществ в удобрении по агробио­ логическим соображениям накладываются ограничения. Необходи­ мо было получить удобрения с одним из следующих соотношений питательных веществ:

Р205 : N = 1 1

P20 5 :N = 1,5:1

Р205 : N = 2 : 1

Причем предпочтительнее всего получить уравновешенное удоб­ рение с соотношением 1 1. С применением неопределенных множи­

телей Лагранжа решалась задача определения значений хзопт и х40ПТ, обеспечивающих максимальную степень конверсии с ограни­ чением по соотношению питательных веществ в удобрении. Функ­ ция Лагранжа

Система уравнений для определения оптимальных режимов:

Яф

внутри исследованной области можно получить только удобрения с

^тах--4 9 ^5 8 о/0 и ^2 = 1,54 при *з0ПТ = —0,9 и *40ПТ = —2,0.

При определении оптимальных условий процесса иногда воз­ можна некоторая экстраполяция за границы области исследования. Во всех случаях требуется экспериментальная проверка найден­ ных расчетом оптимальных условий процесса.

9. Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, ха­ рактеризующихся несколькими откликами, обычно сбодят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и ха­ рактера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нели­ нейного программирования, ридж-анализ [1 0 ] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычис­ лительные трудности. В частности, при описании поверхности от­ клика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к. необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним'из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обоб­ щенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функ­ ции желательности D. Для построения обобщенной функции жела­ тельности D предлагается преобразовать измеренные значения от­

кликов в безразмерную шкалу желательности d. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значе­ нием отклика у и соответствующим ему значением d (частной функ­ цией желательности), является в своей основе субъективным, отра­ жающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам.

Для построения шкалы желательности удобно использовать ме­ тод количественных оценок с интервалом значений желательности

желательности и соответствующие им числовые отметки приведены в’табл. 48.

Такой выбор числовых отметок объясняется удобством вычисле­ ний, поскольку

<* = 0,63 а <* = 0,37 (V.117)

Построенная в соответствии с табл. 48 шкала d представляет собой безразмерную шкалу, при помощи которой любой отклик может быть преобразован так, чтобы его можно было интерпрети­ ровать в терминах полезности или желательности для любого спе­ цифического применения.

^Простейшим типом преобразования служит такое, в котором существует верхний и (или) нижний пределы спецификации, при­ чем эти пределы являются единственным и не допускающим изме­

Аналогичным образом получается частная функция желатель­ ности, если спецификация задает ограничение сверху. Если для

данного свойства существует двустороннее ограничение, то (рис. 36, б)

Всегда желательно, чтобы значение отклика находилось не толь­ ко между пределами спецификации, но и на определенном расстоя­ нии от них, чтобы противостоять присущим производственному про­ цессу случайным колебаниям. Кроме того, довольно трудно бывает провести точную пограничную линию между приемлемой и непри­ емлемой продукцией. Поэтому в общем случае преобразование у

в d осуществляется по более сложным законам. Для двустороннего ограничения вида

tfm ln К у ^ Уmax

преобразование измеренного отклика у в шкалу d рис. 37 произво­ дится при помощи выражения

где п — положительное число (0<п<оо), не обязательно целое;

Ута% Ут\п

показатель степени п можно вычислить, если задать некоторому значению у значение d (предпочтительно в интервале 0,6<d<0,9) по формуле

In In l !d

(V. 122)

in I у' I

Задавая при помощи контрольной точки крутизну кривой жела­ тельности, можно учесть особую важность отдельных свойств; для