Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
73 |
|||
|
|
Выбор центров граней в плане Мак Лина и Андерсона |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Содержание компонентов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
Точки, |
образующие грань |
|
|||||
опыта |
|
|
х 2 |
|
х* |
Ха |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(9) |
|
0,50 |
0,10 |
0,345 • |
0,055 |
|
(1), |
(2), |
(3), |
(4) |
|
|
|||
(10) |
|
0,50 |
0,345 |
0,10 |
0,055 |
|
(5), |
(6), |
(7), |
(8) |
|
|
|||
(П ) |
|
0,40 |
0,2725 |
0,2725 |
0,055 |
|
(1), |
(2)Г (5), |
(6) |
|
|
||||
(12) |
|
0,60 |
0,1725 |
0,1725 |
а, 055 |
|
(3), |
(4), |
(7), |
(8) |
|
|
|||
(13) |
|
0,50 |
0,2350 |
0,2350 |
0,030 |
|
(1), |
(3), |
(5), |
(7) |
|
|
|||
(14) |
|
0,50 |
0,2100 |
0,2100 |
0,080 |
|
(2), |
(4), |
(6), |
(8) |
|
|
|||
(15) |
|
0,50 |
0,2225 |
0,2225 |
0,055 |
Центр многогранника |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
74 |
|||
|
План Мак Лина и Андерсона для четырехкомпонентной смеси |
|
|
|
|||||||||||
Номер |
Xi |
х 2 |
Xz |
Ха |
^св |
Номер |
Xi |
х 2 |
|
х 9 |
|
Ха |
^св |
||
опыта |
опыта |
|
|
||||||||||||
1 |
0,40 |
0,10 |
0,47 |
0,03 |
75 |
9 |
0,50 |
0,10 |
|
0,345 |
|
0,055 |
220 |
||
2 |
0,40 |
0,10 |
0,42 |
0,08 |
180 |
10 |
0,50 |
0,345 |
|
0,10 |
|
0,055 |
200 |
||
3 |
0,60 |
0,10 |
0,27 |
0,03 |
195 |
11 |
0,40 |
0,2725 0,2725 |
0,055 |
190 |
|||||
4 |
0,60 |
0,10 |
0,22 |
0,08 |
300 |
12 |
0,60 |
0,1725 0,1725 |
0,055 |
310 |
|||||
5 |
0,40 |
0,47 |
0,10 |
0,03 |
145 |
13 |
0,50 |
0,235 |
|
0,235 |
|
0,030 |
200 |
||
6 |
0,40 |
0,42 |
0,10 |
0,08 |
230 |
14 |
0,50 |
0,210 |
|
0,210 |
|
0,080 |
410 |
||
7 |
0,60 |
0,27 |
0,10 |
0,03 |
220 |
15 |
0,50 |
0,2225 0,2225 |
0,055 |
425 |
|||||
8 |
0,60 |
0,22 |
0,10 |
0,08 |
350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение регрессии имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
у = |
— l,558*i — 2 ,8 5 U 2 — 2,426*3 + |
14,372*4 + |
8,300* I* 2 + |
|
|
|
||||||||
+ |
8 , 0 7 6 ^ 3 - |
6 ,6 2 5 ^ 4 + |
3 , 2 1 3 ^ 3 - 1 6 ,9 9 8 ^ 4 - |
17,127*3лг4. |
(VI. 132) |
||||||||||
Так как зависимость свойства от состава адекватно описывается уравнением регрессии второго порядка, оказалось возможным оп ределить оптимальные условия, применив метод нелинейного про граммирования. Условия, обеспечивающие максимальную яркость свечения, определялись при ограничениях (VI.131):
утах = 397,48 |
при *1 = 0,5233, |
лг2 = 0,2299, х 3 = |
0,1608, лг4 = 0,080. |
С увеличением числа компонентов смеси число эксперименталь ных точек в плане Мак Лина и Андерсона быстро возрастает. Для сокращения числа экспериментов можно исключить некоторые из центров граней или такие точки, после исключения которых остав шиеся оказываются распределенными по исследуемой области бо лее или менее равномерно.
5. D-Оптимальные планы. Среди различных известных критериев оптимальности планов важнейшими являются требования Ь- и {/-оптимальности. D-Оптимальным называется план, минимизирую
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 139) |
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 140) |
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 141) |
bU = |
7 |
|
|
7 (^ш у + |
yijjj)], |
(VI. 142) |
|
[ — 3 (у i + yj) — 8у и + |
|||||||
Р//УЛ = |
2 6 , 6 5 7 y.i — 6 , 1 6 7 (yj + yk) — |
1 6 , 9 6 ( у и |
+ |
y ik) + |
|
||
+ 0,511^//* — 32,18 (уии + |
yuik) + |
17,196 (yijjj + |
yikkk) + |
|
|||
+ 5,72 ( y j j j k + yjkkk) + 84, П у щ и |
— 23,237 ( y i j j k |
+ У Ц ьь)l |
(VI. 143) |
||||
|
i Ф ] Ф k \ |
i , j , k = 1, 2, 3 . |
|
|
|
||
При проверке адекватности для определения зависимости £ от состава можно пользоваться контурной картой (рис. 58). D-Опти мальность плана обеспечила отсутствие на этой контурной карте
Рис. 57. Изолинии £ для D-оптималь- |
Рис. 58. Изолинии £ для D-оптималь- |
||
ного плана третьего порядка |
ного плана четвертого порядка |
||
изолинии £>1,0 (см. для сравнения рис. 49, б для простой |
симп |
||
лексной решетки). Однако готовить смеси |
с содержанием |
компо |
|
нентов 9,8273 и 0,1727 труднее, чем смеси |
с соотношением |
компо |
|
нентов 3/4 и XU. |
|
|
|
Существенным недостатком рассмотренных D-оптимальных плаов третьего и четвертого порядка является отсутствие компози ционное™. На рис. 59 показано расположение экспериментальных очек в D-оптимальных планах для трехкомпонентных систем. При необходимости можно от плана Второго порядка перейти к плану четвертого порядка, сохранив свойство D-оптимальности. При этом
очку в центре |
(рис. 59) |
можно |
использовать |
как контрольную, |
|
ри переходе |
от плана |
третьего |
порядка к плану |
четвертого |
|
1рис. 59) приходится или |
переделывать опыты, |
или |
работать по |
||
лану, не обладающему свойством D-оптимальности. |
|
||||
Рис. 59. Расположение точек в D-оптимальных планах:
а — второго порядка; |
б — неполного третьего порядка; |
в — третьего порядку |
|
г — четвертого порядка |
|
Пример 4 [497. Изучалась зависимость вязкости |
(у) растворов в системе |
|
(NH4)2H P04—К2СО3—Н20 |
от состава и температуры. |
Планирование эксперимен |
та проводилось на локальном участке концентрационного треугольника, ограни
ченного линией насыщения |
при 0° С (рис. 60). |
Локальный |
участок |
диаграммы |
|||||||
представлял |
собой треугольник |
с |
вершинами |
(42, |
0, |
58), z2 |
(0, |
30, 70) |
|||
z3 (0, 0, 100). |
|
|
план третьего |
порядка |
был |
составлен |
относи |
||||
Р е ш е н и е . D-Оптимальный |
|||||||||||
тельно псевдокомпонентов |
z u z2, z3 |
и по формуле |
(VI. 120) |
определено содержа |
|||||||
ние исходных |
компонентов |
в экспериментальных |
точках. |
В |
табл. |
77 |
условия |
||||
опытов выражены в псевдокомпонентах Zj и в натуральном масштабе (%).
*1
Xf( К2С03)
Рис. 60. Область исследования вязкости в системе (NH4)2H P04—К2СО3—Н20 (а) и план эксперимента (б)
Ошибка воспроизводимости равна s„ = 0,53. Число степеней свободы ошибки воспроизводимости fy= 13. По фдрмулам (VI. 135) были рассчитаны коэффициен ты уравнений регрессии третьего порядка вязкости при 0° С:
^ |
= 8 ,3 3 * 1 4 - 4 , 9 9 * 2 + |
1 , 7 9 * 3 — 6 , 9 5 * I * 2 — 9 , 0 5 * i * 3 — 1 , 3 7 * 2* 3*; + |
||
+ |
17,90*2*2 (Zi — *2) + 9,90*2*3 (*i — *3) + |
12,37*2*з (*2— *3) + |
||
|
|
|
+ 18,06*1*2*з |
(VI .144) |
и при 30° С: |
|
|
|
|
|
= 3,83*i + 2 |
,54*2 + 0,80*з — 8,77*1* 2— 3, 10* 1* 3— 0,87* 2*з + |
||
+ 5,27* 2*2 (*1 |
— г2) |
+ 6,55* 1*з (*! — * 3) + 5,77* 2* 3(*2— * 3) + |
||
|
|
|
+ 3,00*i *2z3. |
(VI. 145) |
Т а б л и ц а 77
|
Матрица планирования и результаты измерения вязкости |
|
||||||
Номер |
|
|
|
|
Хч |
Xа |
Ух (0° С) |
у, (30® С) |
опыта |
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
0 |
0 |
42,0 |
0 |
58,0 |
8,33 |
3,83 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
30,0 |
70,0 |
4,99 |
2,54 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
100,0 |
1,79 |
0,80 |
4 |
0,2764 |
0,7236 |
0 |
11,6 |
21,71 |
66,69 |
4,22 |
2,09 |
5 |
0,7236 |
0,2764 |
0 |
30,4 |
8,29 |
61,31 |
6,32 * |
2,77 |
6 |
0,2764 |
0 |
0,7236 |
11,6 |
0 |
88,4 |
2,20 |
1,13 |
7 |
0,7236 |
0 |
‘ 0,2764 |
30,4 |
0 |
69,6 |
4,30 |
2,26 |
8 |
0 |
0,2764 |
0,7236 |
0 |
8,29 |
91,71 |
2,30 |
1,09 |
9 |
0 |
0,7236 |
0,2764 |
0 |
21,71 |
78,29 |
3,93 |
1,90 |
10 |
0,333 |
0,333 |
0,333 |
14,0 |
10,0 |
76,0 |
3,59 |
1,64 |
11 |
0,22 |
0,22 |
0,56 |
9,1 |
6,5- |
84,4 |
2,00 |
1,23 |
12 |
0,22 |
0,56 |
0,22 |
9,1 |
17,0 |
73,9 |
3,68 |
1,82 |
13 |
0,56 |
0,22 |
0,22 |
23,9 |
6,5 |
69,6 |
4,70 |
2,12 |
Точки И, 12, 13 (см. табл. 77) служат для проверки адекватности полученных
уравнений регрессии. Результаты проверки адекватности уравнений (VI. 144) и (VI. 145) сведены в таблицу.
Номер |
У1 |
у'х |
Д уа |
У |
Уг |
Д у9 |
£ |
|
*а |
опыта |
|
||||||||
11 |
2,00 |
1,68 |
0,32 |
1,23 |
0,72 |
0,51 |
0,8 |
0,77 |
1,22 |
12 |
3,68 |
3,68 |
0 |
1,82 |
1,82 |
0 |
0,8 |
0 |
0 |
13 |
4,70 |
5,70 |
1,00 |
2,12 |
2,59 |
0,47 |
0,9 |
2,33 |
1,09 |
Табличное значение критерия Стыодента /0loi6; 13=2,85. Для всех контрольных
точек значения, /-отношения оказались меньше табличного, следовательно, урав
нения регрессии (VI. 144) |
и (VI. 145) |
адекватны эксперименту. |
Рассмотрим сведе |
|||||||||
ние |
уравнений |
регрессии |
(VI. 144) |
и |
(VI. 145) |
в одно, |
приняв |
линейную |
зависи |
|||
мость коэффициентов Р от температуры (таблица). |
|
|
|
|
||||||||
т |
г, |
Pi |
Ра |
|
Р1а |
Pi. . |
Ра* |
Ти |
Tif |
Tj* |
Pit* |
|
о ° с |
—1 |
8 ,3 3 |
4 ,9 9 |
1,79 |
— 6 ,9 5 — 9 ,0 5 |
- 1 , 3 7 |
17,90 |
9 ,9 0 |
12,37 |
13,06 |
||
30° с |
+ 1 |
3,83 |
2 ,5 4 |
0,80 |
—8,77 - 3 , 1 0 |
- 0 , 8 7 |
5,27 |
6,55 |
5 ,7 7 |
3,00 |
||
Для удобства расчета зависимости коэффициента р от температуры восполь |
||||||||||||
зуемся линейным преобразованием вида (V.3). Для данного |
случая |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Т! = |
(Г — 15)/15. |
|
|
(VI. 146) |
||||
И рассмотрим линейную зависимость р;- от безразмерного параметра Т\\ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ру = |
Piy + |
fo)T\. |
|
|
(VI. 147) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
285 |
р(0) + р^ЗО)
|
|
|
2 |
|
(V1. 148; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р ( 3 0 ) _ р(0) |
|
|
|
|
h j = ------ о------ |
(VI. 149) |
||
где |
— соответствующий коэффициент в уравнении (VI.144); p j30^— соответ |
||||
ствующий |
коэффициент в уравнении |
(VI. 145). |
Подставив |
(VI. 146), (VI. 148) и |
|
(VI.149) в |
(VI.147), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
й<30>— |
8 (.0) |
|
|
|
h = 4°> + |
j 2 Л Ъ } Т. |
(VI. 150) |
|
Окончательное уравнение регрессии вязкости растворов от температуры и со става имеет вид
Я = (8,33 - 0,150Г) *i + (4,99 — 0,082Г) *2 + (1,79 — 0.001Г) z 3 +
|
|
О*^) + 0,3*(!2) + |
0,7*<3>= |
0, |
|
||
|
|
o*(1) + o*<2) + i43>= o, |
|
||||
|
|
0,42*^> + |
0 4 2) + |
0,58*^3) = |
0, |
|
|
|
|
0 4 х) + 0 ,3 4 2) + |
0,7*!,3>= |
1, |
|
||
+ ( — 6 , 9 5 + 0 ,1 0 6 7 ') z \ z 2 + ( — 9 , 0 5 + 0 . 3 4 7 Г ) * i * 3 + ( 1 , 3 7 + 0 , 1 6 6 Г ) * 2* 3 + |
|||||||
+ |
(17,90 — 0 ,069Г) *i*2 (*i — z 2) + |
(9,90 - |
0.008Г) *i*3(*x — z 3) + i |
||||
|
+ (12,37 — 0.017Г) z 2z 3 (z2 - z 3) + (13,06 — 0.720Г) * 1*2*3- |
(VI. 151) |
|||||
Получим уравнения связи псевдокомпонентов Zj |
с натуральным переменным Xj- |
||||||
Системы |
уравнений |
(VI. 123) для |
рассматриваемой задачи имеют вид |
|
|||
|
|
0 ,4 2 ^ ^ + |
0г[2) + |
0,58*<13) = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 152) |
|
|
o*^ + o,42) + i43) = o.- |
|
||||
Решения систем |
(VI. 152) имеют вид: |
|
|
|
|
||
|
|
*0) = 2,38, |
4 1> = |
°. |
|
|
|
|
|
*<2>= о, |
|
42) = |
з,зз, |
(Vi. 153) |
|
|
|
43>= о, |
|
4 3>= |
о. |
|
|
Подставив (VI. 153) в систему уравнений (VI. 122), получим:
*1 = 2,38(1 — х 2 — х3),
*2 = 3,33*2. |
(VI. 154) |
*3 = 1 — *1 — *2 = 2,38*3 — 0,95*2— 1.38.
П ри м ер 5. Определяли оптимальный состав многокомпонентного растворите
ля, применяемого в процессе очистки дрожжей от углеводородов. Основным по казателем очистки дрожжей является содержание углеводородов в биомассе после экстракции (у). Исходя из технологических и технико-экономических сооб ражений, планирование эксперимента проводили на локальном участке концент
рационного |
треугольника |
|
(рис. 61). |
В |
об |
|
|
|
|
|
||||||||||
ласти |
исследования |
|
содержание |
в |
смеси |
|
|
* 1 |
|
|
||||||||||
(%) |
ацетона |
*is^74, |
гексана |
х2^ 9 0 |
и |
|
|
|
|
|
||||||||||
воды |
х32^10%. |
Локальный |
участок |
диа |
|
|
|
|
|
|||||||||||
граммы |
представляет |
собой |
треугольник |
с |
|
|
|
|
|
|||||||||||
вершинами |
Z\ |
(9,5; |
89,5; |
1), z2 |
(58,5; |
40; |
|
|
|
|
|
|||||||||
1,5), z3 (74, 16, 10). |
|
|
|
|
|
план |
чет |
|
|
|
|
|
||||||||
Р е ш е н и е . |
D-Оптимальный |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
вертого |
порядка |
составлен |
относительно |
|
|
|
|
|
||||||||||||
псевдокомпонентов z lf z2, z3 (табл. 78). Для |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
псевдокомпонентов |
удовлетворяется |
основ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ное условие (VI.1) планов Шеффе. |
|
• |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Переход |
к |
исходным |
компонентам |
|
|
|
|
|
||||||||||||
для любой точки исследуемого локального |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
симплекса |
осуществляется |
по |
формуле |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(VI.120). |
|
этому |
|
плану |
был |
поставлен |
|
|
|
|
|
|||||||||
Согласно |
|
Рис. |
61. |
Область исследова |
||||||||||||||||
эксперимент |
на смесях, |
каждый опыт |
пов |
|||||||||||||||||
ния |
состава |
многокомпо |
||||||||||||||||||
торяли два |
раза. По |
формулам |
(VI. 139) — |
|||||||||||||||||
нентного |
растворителя |
и |
||||||||||||||||||
(VIЛ43) |
рассчитаны |
коэффициенты |
уравне |
|||||||||||||||||
|
план эксперимента |
|
||||||||||||||||||
ния регрессии |
четвертого |
порядка |
в |
псев |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
докомпонентах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
у = |
0, \zi |
4- 0,3*2 + |
0,04*з — 0,48*!*2— 0 ,04-гг^з — 0,44*2^3 + |
|
||||||||||||||
|
+ 0,914*I*2 (*I — *2) — 0,312*1*3(2! — г3) — 1,39*2*3(*2 — *3) — |
|
||||||||||||||||||
|
- |
1,003*I*2'(*I - * 2 ) 2 + 0,747*I *3(* I - *3)2 + |
0,782 *2*3 (*2 — *3)2 + |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
1,398*1*х*3 + 8,416*!*2*3 — 4,703*1*223. |
(V I.155) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 78 |
||
|
|
|
|
|
|
D -О п ти м ал ьн ы й |
п л ан |
ч етвер то го |
п о р я д к а |
|
|
|||||||||
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хх |
х% |
Х Я |
У |
||||
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
9,5 |
89,5 |
1 |
од |
||
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
58,5 |
40 |
|
1,5 |
о.з |
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
74 |
16 |
|
10,0 |
0,04 |
|
|
4 |
|
|
0,5 |
|
|
0,5 |
|
0 |
|
|
|
34 |
64,7 |
1,3 |
0,08 |
||||
|
5 |
|
|
0,5 |
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
|
41,7 |
52,8 |
5,5 |
0,06 |
||||
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
0,5 |
|
0,5 |
|
|
66,2 |
28,2 |
5,8 |
0,06 |
||||
|
7 |
|
|
0,176 |
|
|
0,824 |
0 |
|
|
|
49,9 |
48,7 |
1,4 |
0,05 |
|||||
|
8 |
|
|
0,824 |
|
0,176 |
0 |
|
|
|
18,12 |
80,79 |
1,09 |
0,09 |
||||||
|
9 |
|
|
0,176 |
|
0 |
|
|
0,824 |
|
62,6 |
29,0 |
В,4 |
0,12 |
||||||
|
10 |
|
|
0,824 |
|
0 |
|
|
0,176 |
|
20,85 |
76,55 |
2,6 |
0,1 |
||||||
|
11 |
|
|
0 |
|
|
|
0,176 |
0,824 |
|
71,22 |
20,30 |
8,49 |
0,2 |
||||||
|
12 |
|
|
0 |
|
|
|
0,824 |
0,176 |
|
61,25 |
35,75 |
3,0 |
0,11 |
||||||
|
13 |
|
|
0,216 |
|
0,216 |
0,568 |
|
56,7 |
37,12 |
6,18 |
0,11 |
||||||||
|
'14 |
|
|
0,216 |
|
0,568 |
0,21.6 |
|
51,2 |
45,65 |
3,15 |
0,091 |
||||||||
|
15 |
|
|
0,568 |
|
0,216 |
0,216 |
|
34,0 |
62,97 |
3,03 |
0,11 |
||||||||
|
16 |
|
|
0,333 |
|
0,333 |
0,333 |
|
47,3 |
48,5 |
4,2 |
0,108 |
||||||||
Проверка адекватности полученного уравнения регрессии проводилась по критерию Стьюдента в четырех контрольных точках. Результаты проверки адек ватности приведены в таблице.
Х х |
х* |
Х з |
У |
У |
t |
*табл |
47,3 |
48,5 |
4,2 |
0,1022 |
0,108 |
0,365 |
3,15 |
53 |
44 |
3,0 |
0,079 |
0,072 |
0,392 |
3,15 |
19 |
79 |
2,0 |
0,1 |
0,07 |
1,778 |
3,15 |
37,9 |
58,7 |
3,4 |
0,13 |
0,12 |
0,547 |
3,15 |
44,5 |
54,0 |
1,5 |
0,04 |
0,05 |
0,57 |
3,15 |
Уравнение (VI. 155) адекватно эксперименту при уровне значимости р = 0,05. Качество получаемого продукта считается удовлетворительным, если содер жание остаточных углеводородов в биомассе менее 0,05%. Для определения со ставов растворителя, обеспечивающих это требование, по уравнению (VI. 155)
построены линии равных значений у (рис. 62). Составы растворителя, удовлетво ряющие требованию #<0,05%, находятся в заштрихованной области симплекса.
6. Планы с минимизацией систематического смещения. В пла нах, предложенных Дрепером и Лоуренсом [50], в отличие от симп лексных решеток все точки расположены внутри области исследова ния, т. е. эксперимент проводится только с ^-компонентными соста вами. В этих планах учитывается отсутствие априорной информации о поверхности отклика и тот факт, что желательно аппроксимиро вать неизвестную поверхность отклика полиномами низких степе ней. Экспериментальные точки выбираются таким образом, чтобы обеспечить наилучшее представление сложной поверхности просты ми полиномами.
Точки плана для 'строения полинома степени п\ выбирают таким образом, что(ь .олучить минимальную величину системати ческой ошибки, свяс^.ной с тем, что функция отклика есть полином степени п2>п\. Принципы, используемые при выборе подходящих
планов, |
были |
предложены |
ранее |
|
||
Боксом и Дрепером [51]. |
|
|
|
|||
Дрепером и Лоуренсом построе |
|
|||||
ны планы для |
трех- |
и четырехком |
|
|||
понентных систем для степеней по |
|
|||||
линомов /2 j= l, |
/г2 = 2, |
/2 I = 2 и п2 —3. |
|
|||
Для удобства |
построения |
планов |
|
|||
Дрепер |
и Лоуренс |
вводят |
новую |
|
||
систему |
координат. В трехкомпо |
|
||||
нентных системах в плоскости кон |
|
|||||
центрационного |
треугольника |
(хь |
|
|||
х2, х3) новая система координат вы |
|
|||||
бирается таким образом, чтобы на |
|
|||||
чало координат совпадало с |
цент |
|
||||
ром тяжести треугольника, одна |
из |
Рис. 63. Система координат для |
||||
вершин треугольника лежит на оси |
планов Дрепера — Лоуренса |
|||||