Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

14.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

например для модуля упругости при изгибе у\

SSi = 3642 + 3652 + . . . + 5582 = 6 275 327;

3) сумма квадратов итогов по фактору Хи деленная на л2,

	2 * 2 ,
	[~0
	SS2 =	П2
Так, для показателя у i	(табл. 25)	П2
Так, для показателя у i	(табл. 25)
SS2 =	43222 ч- 40912 +	43462
SS2 =	--------------- -	= 6 033742.

Таким же образом определялись эти величины для остальных факторов;

2 * 1 /

4) SS3- - ! = ^ — .

например, для у\ (табл. 25)

55>_ « 2 Е ± « д а ± з ш 1 _ 6053041;

2>х 1я

5) SS4 =

9 например, для у\ (табл. 25)

33852 + 42232 +51512 = б 2 0 2 7 5 0 ;

2		* 5’
6) ss5= Z-0
например, для у\	(табл. 25)
SS5 =		12892 + 15162 + 14192 +	. . . + 15242
SS5 =			= 6 046886;

7) корректирующий член, равный квадрату общего итога, деленному на чис

ло опытов,

3 \ 2 / 2 \ 2 / 3 \ 2 8 \ 2

SSQ= —		- /H	__		___		___
л з ____			__	/	___	^'	___	/у
	s/-—о0		\ j-—o0	/	\\ q=*0	^'	\ I/=»о0	/у
например, д,ля у\t)i (табл. 25)
SSfi = (4322 4- 4091 4- 4346)2			(4528 4- 4339 4- 3892)2			(1289 4-	■.. + 1524)2
		27		27			27
			=	6 029 336;

Далее определялись суммы квадратов для всех источников дисперсии; 8) SSX^= SS2 —

например, для у\

9) SSXt = SS3 — SS6;

например, для y\

SSrj = 6 053 041 — 6 029 336 = 23 705;

10)SSX> = SS4 — SS6;

например, для y\

SSr = 6 202 750 — 6 029 336 = 173 414;

11) SSX< = SS5 — SS6;

например, для у i

SSXA = 6 046 886 — 6 029 336 = 17 547;

12) общая сумма квадратов равна разности между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом:

например, для у\

SSo6ui = 6 275 327 — б 029 336 = 245 991;

13) остаточная сумма квадратов служит для оценки ошибки эксперимента

SSQCT = SS0бщ — (SSXi + SSXа + S 5 Jtrjj + 5 5 ^ );

например, для у\

SSocr = 245 991 — (4406 + 23 705 + 17 341 + 17 547) = 26 919.

Результаты дисперсионного анализа для всех четырех показателей качества представлены в таблице.

Для выбора оптимальной композиции эффекты факторов на разных уровнях были сопоставлены при помощи множественного рангового критерияДункана. При этом поскольку тип добавки (х\) значимо влияет только на у2 (см. табли

цу), была выбрана добавка, обеспечивающая максимальную прочность при изги бе. Нормированная ошибка среднего значения у2 равна

	S—У2	V 5ош9		2,99.
Средние	значения
у2 для	уровней		$ > =	108	^ 2)= 116
фактора Х\		у £°> = 104	$ > =	108	^ 2)= 116
Ранги, г	(табл.	8	3,08		3,23
приложения)			3,08		3,23
г X s -			9,2		9,7
у2
	«42*— У ^ =12>9,7 — различие значимо
	<42*— У^ =8< 9,2 — различие незначимо
	yty^	= 4 < 9 ,2 — различие незначимо

Была выбрана добавка типа ДСТ-30. Этот тип добавки существенно отли чается от добавки типа СКЭП и незначимо от ИСТ-30. В связи с тем, что фак торы х3, х2 и хАпо разному влияют на показатели качества (табл. 25), оптималь

ная композиция была выбрана на основании факторного анализа обобщенной функции желательности D. Были определены нормированная ошибка среднего значения D:

для факторов х2 и Хг

SD ~

0,035,

Свой	Источник дисперсии	Число	Сумма	Средний	Проверка значимости
ство	Источник дисперсии	степеней	кпадратов	квадрат	Проверка значимости
		свободы

Х\	2	4 406	2203
*2	2	23705	11853
У1	2	173414	86 707
Хз	2	173414	86 707
Х4	8	17547	2 193
Ошибка	12	26919	2 243
Общая сумма	26	245 991
XI	2	741	370
х 2	2	65	33
У2	2	761
х 3	2	761	381
х 4	8	4 949	619
Ошибка	12	964	80
Общая сумма	26	7 480
Х \		3098	1549
Х2		38 617	19 309
Уз
Хз		654 929	327 465
х 4		120 054	15 007

^ < 1

5 ОШ

4 X2

= 5,284

5 2 ^ ош

S2 х 3

= 38,657

• 1	< 1
	< 1
s lm

Л =■	: 4,625
Ъ = - 2	< 1
ОШ
2

Т-з = - ^ - = 4 , 7 6 3

ОШ

FA= - *4 = 7,730

л = .	г.2.
л = .	< 1
^2 =	г - =	3,838
Р з =	=	65,089
	ОШ
	9
^ = -	5“
^ = -	=	2,983

ОШ

Свой	Источник		Число		Сумма		Средний		Проверка значимости
ство	дисперсии		степеней		квадратов		квадрат		Проверка значимости
			свободы
Ошибка				12	60 375		5 031
Общая сумма				26	877 073
		Х\		2	0		0		Л <		1
		Х2		2	0,058		0,029		F 2 =		2,636
D				2*	0,299		0,150		^ 3 =		13,636
D		*4		8	0,307		0,154		Fa = 14,00
Ошибка				12	0,130		0,011
Общая сумма				26	0,794
для фактора х4
			Ч- V		U,U11		:0,061.
					3		:0,061.
					3			0
Уровни фактора х2				1	2			0
Средние	значения		0,480		0,554			0,598
D			0,480		0,554			0,598
Ранги, г					3,08			3,23
г X sp					0,107			0,113
		£>(°>_£)(1) = 0,118>0,113 — различие значимо
		£)(°) — £)(2) =0,044<0,107 — различие незначимо
		/)(2) — /)(х) =0,074<0,107 — различие незначимо
	Уровни фактора х3				0			1	2
	Средние		значения		0,403		0,582		0,653
		D			0,403		0,582		0,653
		ъ {2) — 5 (0) =0,250>0,113 — различие значимо
		£)(2) —		=0,071 <0,107 — различие незначимо
		£>(1)—		=0,179> 0,107 — различие значимо
Уровни фак			2	8	0	7	4	3			1	5
тора Х4		6	2	8	0	7	4	3			1	5
Средние зна-.			0,457	0,463	0,527		0,573	0,575	0,642	0,643		0,697
чения	D	0,336	0,457	0,463	0,527		0,573	0,575	0,642	0,643		0,697
Ранги, г			3,08	3,23	3,33		3,36	3,40	3,42	3,44		3,44
r X s £			0,187	0,197	0,201		0,205	0,208	0,209	0,210		0,22Q

D(5) — £)(6) =0,331 <0,210 — различие значимое

/)(5) — D^ =0,240>0,210 — различие значимое

£)(5) — /)(8) =о,234>0,209 — различие значимое

£)(5) — £)(°) =о,170<0,208 — различие незначимое

£)(5) — £)(?) =0,124<0,205 — различие незначимое

/)(5) — /)(4) =0,122<0,'201— различие незначимое

£)(5) — Z)(3> = 0,055<0,197 — различие незначимое

D (5)— Z>(1* = 0,054<0,187— различие незначимое D*1) — 5 (6) = 0,307>0,210— различие значимое 5(П — £)(2) = 0,186<0,209— различие незначимое

—D ^ = 0,180<0,2€8— различие незначимое 5 (1) — D = 0,116<0,205— различие незначимое £>(!) — /)(7) =О,07О<О,2О1— различие незначимое

—б (4) = 0,068>0,197— различие незначимое 5 (1)— D(3) = 0,001 <0,187 — различие незначимое

£>(3) — = 0,306>0,209 — различие значимое

/)(3) — 5 (2) = 0,185<0,208— различие незначимое

2)(3) — 5	(8) = 0,179<0,205 — различие незначимое
5 ( 3) — 5	(0)	=0,115<0,201 — различие незначимое
]Q(3) — 5 (7)		= 0,069<0,197 — различие незначимое

5 (3) — 5 (4) = 0,067<0,187 — различие незначимое £>(4) — =0,239>0,208 — различие значимое

25(4) — 5 (2) = 0,118<0,205 — различие незначимое /)(4) — £>(8) =0,112<0,201— различие незначимое

D(4) —	=0,048<0,197 — различие незначимое
£>(4) — D	= 0,002<0,187 — различие незначимое
5<7>— Z5<6> =0,237 >0,205 — различие значимое
D^	=0,116<0,201 — различие незначимое
/)(7)	) = о >1Ю<0,197 — различие незначимое

^^ =0,046<0,187 — различие незначимое

£>(°) ) =о,191 <0,201— различие незначимое

£)(°) — о ( 2) =о,070<0,197 — различие незначимое £)(°)__£)(8) = 0,064<0,187 — различие незначимое £>(8) — D(6) =о, 127<0,197 — различие незначимое

£>( 8) __ £)(2) = 0,006<0,187 — различие незначимое £)(2) — £)(6) =0,121 <0,187 — различие незначимое

На основании дисперсионного и факторного анализа были выбраны следую

щие композиции:		(Т А= 1	1)4-10 ДСТ-30;
1)	ПЭВД4-10%	(Т А= 1	1)4-10 ДСТ-30;
2)	ПЭВД4-15%	(Т : А = 1	1)4-10% ДСТ-30;
3)	ПЭВД4-10% (Т : А = I : 0,5)4-10% ДСТ.
Свойства оптимальных композиций приведены в таблице.
Номер компози		у,, кгс/см3	Уа, кгс/см3	Уз, Г	Формуемость
	ции	у,, кгс/см3	Уа, кгс/см3	Уз, Г	Формуемость
	1-	545	135	450	Отличная
	2	576	125	400	Хорошая
	3	498	130	470	Отличная

МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО

ИРЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

1.Стохастическая связь. Между случайными величинами обыч но существует такая связь, при которой с изменением одной вели

чины меняется распределение другой. Такая связь называется сто хастической. Изменение случайной величины Y, соответствующе^ изменению величины X, разбивается при этом на две компоненты; стохастическую (связанную с зависимостью Y от X) и случайную. Если первая компонента отсутствует, то величины Y и X независи мы. Если отсутствует вторая компонента, Y и X связаны функцио нальной зависимостью. При наличии обеих компонент соотношение между ними определяет силу (тесноту) связи. В общем виде зада-: ча выявления и оценки силы стохастической связи в математиче ской статистике не решена. Существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. Из них важнейшим является коэффициент корреляции.

Если две случайные величины независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий этих величин:

	D { X + Y) =	D{X\ + D[Y\.	(IV. 1)
Из определения	дисперсии	и математического	ожидания сле
дует:
D {Х + Г} =	М [X + Y — М (X + Г)]2 = М [Л"— МХХ)]2 +
+ 2М {{Х — М (* )] [У — М (Г)]} + М [Y — М (Г)]2 =			£>(Х) +
+ 2М		+ D ( Y ) .	(IV .2)
Зависимость между X и Y вытекает из неравенства
	M [ ( X - m x) ( Y - m y)] * 0 .		(IV .3)

Величина (IV.3) называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией cov {AT}, (covxy) случайных величин X и

У. Безразмерная величина

г = ---------------------------M [ ( X - m M Y - m u)]	(.iv.4)
Чх Ч у

называется коэффициентом корреляции. Для независимых случай ных величин коэффициент корреляции равен нулю, но он мон^ет быть равен нулю для некоторых зависимых величин, которые При этом называются некоррелированными. Для случайных величин, имеющих нормальное распределение, отсутствие корреляции озца. чает и отсутствие всякой зависимости.

Коэффициент корреляции не меняется от прибавления к X и у каких-либо неслучайных слагаемых, от умножения X и Y на поло жительные числа. Если же одну из величин, не меняя другой, ум. ноэрить на —1, то на —1 умножится и коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только линейную. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать), по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости. Если случайные величины X и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью у = = bo+ b[X, то гху= ± 1; причем знак соответствует знаку коэффи циента Ь\. В общем случае, когда величины X и У связаны произ вольной стохастической зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах

						— 1 < г ^ < 1 .		( I V . 5)
При гху> 0 существует положительная корреляционная связь меж
ду величинами X и У, при гху< 0 — отрицательная.
Коэффициент				корреляции
одинаково отмечает и слишком
большую долю случайности, и
слишком			большую		криволи-
нейность			этой связи.		Зависи
мость между X и У может быть
строго		функциональной,				а ко
эффициент корреляции все еще
будет		меньше 1.		О	наличии
или	отсутствии			корреляции
между		двумя случайными ве
личинами			качественно			можно
судить по виду поля корреля
ции.	Положительная				корреля
ция	между случайными					вели
чинами		представлена на рис.					Рис. 23. Поле корреляции случайной ве
23,	а. Еще более			ярко		выра
женная		положительная				корре	личины
ляция,		близкая		к	линейной
функциональной, показана на рис. 23, б. На рис. 23, в приведен
пример			сравнительно			слабой	отрицательной корреляции,		а на
рис. 23, г — пример практически некоррелированных случайных ве
личин.									коэффи
2.			Выборочный коэффициент корреляции. Выборочный
циент корреляции г* определяется так же, как и генеральный коэф
фициент г, только при этом используются выборочные								средние и

дисперсии. Допустим, что проведено п испытаний и при каждом от мечались значения двух случайных величин. Если через х и у обо значить средние значения

то выборочный коэффициент корреляции равен
	П	_	_
	2	t o — •*) to — у)
	г* =	----------------»----
		(Л — 1) SxSy
где sx2 и sv2— выборочные дисперсии:
		т2 to — *)2,
		/=1
При вычислениях удобно пользоваться формулами:
п		п	П	П
п		п	2	0/
^	to — *) t o —7) = ^		•*/«// — ——^	—
/-1	^	/-1

(IV.6)

(IV .7)

При достаточно большом объеме выборки п выборочный коэф фициент корреляции г* приближенно равен генеральному коэффи циенту г. Однако оценить возникающую при этом погрешность затруднительно. Для этого нужно знать распределение г* как слу чайной величины. Это распределение зависит от генерального, ко эффициента корреляции г, который неизвестен. Для проверки гипо тезы об отсутствии корреляции необходимо проверять, значимо ли отличается г* от нуля. Для проверки нулевой гипотезы Н0:г = О можно использовать нормальное распределение со стандартом:

V ~ 0

(IV .8)

Если в качестве доверительной вероятности взять (3 = 0,95, ко эффициент корреляции находится в следующих доверительных границах:

.	1,96 (1 — г*2)	< Г < Г* +	1,96 (1 — г*2)
г* —	-------- — -----	< Г < Г* +	-----------II------

V п

Уп

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что зависимость меж ду случайными величинами существует, если 0 не содержится внут ри доверительного интервала, т. е. если

к*1	1,96(1 —г*2)	(IV. 10)
к*1	—— ^ ---- - > 0	(IV. 10)
	VП

При малом числе экспериментов и сравнительно высокой кор реляции распределение коэффициента корреляции существенно от-

Рис. 24. Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции

личается от нормального (рис. 24, а). Для построения доверитель ного интервала можно воспользоваться преобразованием Фишера:

e2z— 1

r* = ihz = — ------- ,	(IV .ll)
e2z + 1

отсюда

z =	1 +/•♦	(IV .12)
	1 —г*

Распределение z является почти неизменным по форме при меняю щихся г* и п и с возрастанием п быстро приближается к нормаль ному (рис. 24, б) со средним, равным

1	, 1 + г
mz==T	п Т ^ 7	’	(1УЛЗ)
и со стандартом
У п - 3			(IV. 14)
У п - 3
Тогда с доверительной вероятностью		р значение	неизвестного
mz находится в пределах

где щ — квантиль нормального распределения. При доверительной вероятности Э = 0,95, ыр = 1,96, отсюда

1,96	1,96	(IV. 16)
< mz < г +	----- —	(IV. 16)

У п - З

После нахождения доверительных границ для mz

Zi =	1,96
Zi =	Z
	У п — 3
и	(IV .17)
	У п - З

можно найти доверительные границы для генерального коэффици ента корреляции, подставляя z { и z2 в формулу (IV.11).

3. Регрессия. Зависимость между случайными величинами пол ностью определяется условной функцией распределения. Для си стемы двух случайных величин условная функция распределения F(x, у) является функцией двух переменных и т. д. Использование условных функций распределения в практических случаях затруд нительно. Поэтому на практике обычно пользуются условными средними ту и условными дисперсиями оу2. Зависимость дисперсии (Ту2 от параметра х называется скедастической зависимостью. Ис пользуется эта зависимость редко. На практике, если дисперсии однородны, их усредняют. Зависимость условного среднего пгу от л* называется регрессией.

При обработке эксперимента находят уравнение приближенной регрессии, оценивая при этом величину и вероятность этой прибли женности. Задача ставится таким образом: по данной выборке объема п найти уравнение приближенной регрессии и оценить до пускаемую при этом ошибку. Эта задача решается методами рег рессионного и корреляционного анализа.

4. Метод наименьших квадратов. Уравнение приближенной рег

рессии существенно зависит от выбираемого метода приближения. В качестве такого метода обычно выбирают метод наимень ших квадратов. Пусть задан некоторый класс функций f{x), накладывающих на выборку одинаковое число связей I. Число свя зей / равно числу неопределенных коэффициентов, входящих в ана литическое выражение этой функции. Чаще всего используют мно гочлены различной степени. Наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса, для кото рой сумма квадратов

ф= 2 [*<-/(*/)]* /-1

имеет наименьшее значение.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022838.89 Кб1Определение характеристик просадочности грунтов..pdf
#
15.11.2022838.89 Кб1ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСАДОЧНОСТИ ГРУНТОВ.pdf
#
15.11.20222.43 Mб51Оптимальное проектирование конструкций..pdf
#
15.11.20222.81 Mб184Оптимизация в среде MATLAB..pdf
#
15.11.20228.74 Mб38Оптимизация технологических процессов механической обработки..pdf
#
15.11.202214.6 Mб31Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии..pdf
#
15.11.20226.91 Mб15Оптическое материаловедение. Активные материалы.pdf
#
15.11.20228.52 Mб17Оптическое материаловедение..pdf
#
15.11.20223.07 Mб7Организационное поведение..pdf
#
15.11.20224.84 Mб18Организация планирование и управление строительным производством (в..pdf
#
15.11.20221.04 Mб3Организация аудиторной работы студентов по учебной дисциплине..pdf