Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии

диагональной и ее диагональные элементы равны числу опытов в

Аналогично получим bo= 9,5; b2= —0,5; &з=+3,5. Если в рассмот­ рение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия

У. = *0 + M l + *2*2 + *3*3 + *12*1*2 + *13*1*3 + *23*2*3 + *1 23*1*2*3 . (V. 11)

то для определения коэффициентов Ьц, Ь\г, Ь2з (эффектов парного

Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам. Так, для определения коэффициента Ь12 неоЬходимо:

Остальные коэффициенты определяются подобным же образом:

^13= + 0 , 5 , ^23=1,5, ^123 = ^|25.

Если поставить дополнительно параллельные опыты, можно оп­ ределить 52воспр, проверить значимость коэффициентов регрессии и при наличии степеней свободы — адекватность уравнения.

s6u.

Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимо­ сти р = 0,05 и числа степеней свободы /= 2 tP(f) = 4,3. Таким обра­ зом, коэффициенты b2, b12, Ь13 и 6 1 2 3 незначимы и их следует исклю­ чить из уравнения. После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии имеет вид

у = 8,5 + 2,5*1 + 3,5*3— 1 ,5х2Хз.

Следовательно, полученное уравнение адекватно описывает эксперимент.

2 . Дробные реплики.. Если при получении уравнения можно ог­ раничиться линейным приближением, то число опытов резко сокра­ щается при использовании дробных реплик' (см. гл. III, 4) от полного факторного эксперимента, или дробного факторного экспе­ римента (ДФЭ). Чтобы дробная реплика представляла собой орто­ гональный план, в качестве реплики следует брать полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. Число опы­

тов при этом должно быть больше (или равно) числа неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии. Допустим, что нужно полу­ чить линейное приближение некоторого небольшого участка по­ верхности отклика при трех независимых факторах:

У = bо + Ь\Х\ + #2*2 + #3*3*

Для решения этой задачи можно ограничиться четырьмя опы­ тами, если в планировании для ПФЭ 22 (табл. 31) использовать столбец х\х2 в качестве плана для Хз (табл. 32).

полурепликой от ПФЭ 23. Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член и три коэффициента уравнения регрессии при линейных членах.

На практике обычно не удается априори постулировать равен­ ство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются осно­ вания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линей­ ными эффектами. Если коэффициенты регрессии При парных про­ изведениях не равны нулю, то полученные коэффициенты будут смешанными оценками для генеральных коэффициентов:

где р — математические ожидания для соответствующих коэффи­ циентов.

Эти генеральные коэффициенты не могут быть раздельно оце­ нены по плану, включающему всего четыре опыта (табл. 32), так как при этом столбцы для линейных членов и парных произведений одинаковы. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 32, вычислить еще столбец для произведения xix3, то ока­ жется, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбца *2 . Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешаЛшх оценок для коэффициентов. Чтобы опреде­ лить, какие генеральные коэффициенты смешаны, удобно пользо­ ваться таким приемом: поставив Хз на место Х\Х2 (табл. 32), полу­ чаем соотношение

называемое генерирующим соотношением. Умножим обе части ге­ нерирующего соотношения на *з:

*з = *1*2*з-

при этом справа получим единичный столбец:

Произведение (V. 17) называется определяющим контрастом, при помощи его удобно определить, в каких столбцах одинаковые элементы. Умножив по очереди определяющий контраст на *ь Хг, *з, получим

Д1олученным соотношениям (V.18) соответствует система смешан­ ных оценок (V.15).

При использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представле­ ние о так называемой разрешающей способности дробной реплики,,

т. е. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешан­ ными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов. Тогда в зависимости от поставленной задачи подбирается дробная реплика, при помощи которой можно извлечь максимальную ин­ формацию из эксперимента. Например, в задаче с четырьмя фак­ торами /г = 4 в качестве генерирующего соотношёния можно взять

Воспользовавшись определяющим контрастом /= х ix2x3x4, по­ лучим такую систему совместных оценок для коэффициентов урав­ нения регрессии:

Четвертьреплика от ПФЭ 25 с генерирующими соотношениями (V.23)

Разрешающая способность этой четвертьреплики невелика — все линейные эффекты смешаны с эффектами парного взаимодей­ ствия. ДФЭ можно дополнить до полного факторного эксперимен­ та, реализовав недостающие дробные реплики. В рассматриваемом

При этом обобщающие определяющие контрасты имеют вид:

В результате реализации этих дополняющих четвертьреплик по­ лучаются несмешанные оценки для всех теоретических коэффици­ ентов.

Число опытов в дробной реплике должно удовлетворять нера­ венству

k + 1 < N < 2*.

(где k — число факторов) для получения несмешанных оценок ли­ нейных эффектов. Если число опытов N равно k + \ — числу опреде­ ляемых коэффициентов в линейном уравнении регрессии, дробная реплика представляет собой насыщенный линейный ортогональный план. В табл. 36 приведен насыщенный ортогональный план для &= 7, представляющий собой 7i6 ПФЭ 27.

Т а б л и ц а 36

Линейный насыщенный план для k= 7