Оптимальное проектирование конструкций

УДК 519.812.3 К60

Рецензенты:

Зам. директора по научным вопросам Института механики сплошных сред УрО РАН, доктор физико-математических наук

А.А. Роговой

Доктор технических наук, профессор Пермского государственного университета

Л.Н. Ясницкий

Колмогоров Г.Л., Лежнева А.А.

К60 Оптимальное проектирование конструкций: Учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун.-т. – Пермь, 2005. – 168 с.

Систематизированы приемы и методы, используемые для решения задач оптимального проектирования элементов конструкций, раскрыты их специфические особенности, рассмотрены этапы оптимизационного процесса. Приведены примеры решения конкретных задач. Наглядная интерпретация результатов способствует освоению студентами практических методов оптимизации.

Для студентов технических университетов. Пособие может быть полезно преподавателям, аспирантам и инженерам.

Издание учебного пособия осуществлено при финансовой поддержке Департамента промышленности и науки Пермской области.

УДК 519.812.3

2

1.3.Классификация оптимизационных задач ……………………... 19

1.4.Примеры постановки оптимизационных задач ………………. 21

2.Задачи одномерной минимизации ……..…………………….………. 29

2.1.Определения и критерии оптимальности ……………………... 29

2.2.Методы сокращения интервала в задачах одномерной мини-

мизации …………………………………………………………. 32

2.3.Методы минимизации с использованием производных ……... 36

2.4.Примеры решения одномерных задач проектирования ……... 39

3.Задачи многомерной безусловной оптимизации …………………... 45

3.1.Постановка и критерии оптимальности многомерных задач безусловной оптимизации …………………………………….. 45

3.2.Методы решения многомерных безусловных задач …………. 47

3.3.Выбор метода безусловной минимизации ……………………. 60

4.Задачи многомерной оптимизации с ограничениями …………….. 63

4.1.Критерии оптимальности ……………………………………… 66

4.2.Линейное программирование ………………………………….. 78

4.3.Методы решения многомерных задач с ограничениями на основе преобразования задач …………………………………. 95

4.4.Динамическое программирование …………………………….. 112

4.5.Анализ чувствительности ……………………………………… 122

5.Оптимизация конструкций с распределенными параметрами …. 130

5.1.Использование вариационных методов для решения задач оптимального проектирования ………………………………... 130

5.2.Теория оптимального управления …………………………….. 136

5.3.Анализа чувствительности для случая оптимального проектирования систем при статических нагрузках ……………….. 149

6.Многоцелевая оптимизация ………………………………………….. 154

6.1.Множество Парето ……………………………………………... 156

6.2.Постановка задачи …………………………………................... 157

6.3.Методы решения ………………………………………………. 158

7.Список литературы ……………………………………………………… 166

3

Оптимальное проектирование конструкций является одним из актуальных разделов механики деформируемого твердого тела. Этой проблеме посвящено значительное число работ, опубликованных главным образом в последние тридцать лет. Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования значительно усилился в связи с интенсивным развитием авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения. На основе оптимального проектирования появилась возможность значительно снизить вес летательных аппаратов, улучшить механические характеристики конструкций. Проблемы оптимизации возникают также при проектировании строительных сооружений. Таким образом, исследования в этой области имеют несомненно и прикладное значение.

С позиций теоретического значения представляют интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, использующих специфику рассматриваемых задач.

До недавнего времени в исследованиях по конструированию основное внимание обращалось на возможности анализа. Например, можно и нужно, конечно, провести анализ конструкции, подверженной заданной нагрузке, и получить точные значения напряжений, смещений или частоты. Однако может оказаться неясным, как должна быть спланирована конструкция и какие у нее должны быть пропорции, чтобы эффективно использовать материал, удовлетворяющий требованиям прочности. Еще более трудной является задача подбора пропорций конструкции с тем, чтобы эффективно ограничить ее смещения и удовлетворить ограничениям на частоту и критическую силу потери устойчивости.

Если выбор пропорции можно осуществить только единственным способом, то об оптимизации можно говорить, только тогда, когда есть варианты.

Таким образом, любая задача, условия которой оставляют свобо-

ду выбора решений, может быть определена как задача оптимизации.

Задача, допускающая лишь одно решение, не требует оптимизации.

1. ПОСТАНОВКА, КЛАССИФИКАЦИЯ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Поиск наилучшего решения задач занимал умы людей на протяжении многих веков. Еще Эвклид описал способы построения наибольшего и наименьшего из отрезков, соединяющих данную точку с окружностью, и показал, как среди параллелограммов с заданным периметром найти параллелограмм максимальной площади. Великие математики XVII и XVIII веков развили методы оптимизации, которые позволили решить многие за-

4

дачи геометрии, механики, физики. Достаточно вспомнить знаменитые задачи о брахистохроне, геодезических линиях, задачу Дидоны и другие. В механике деформируемого твердого тела задачи оптимизации ставились, а иногда и решались гораздо раньше, чем в других областях техники. Уже в работах Галилея была высказана мысль о проектировании балки равного сопротивления. Особенно интенсивно стали разрабатываться вопросы оптимального проектирования в ХХ веке. В начале века были решены многие задачи об оптимальных арках. В тридцатые и сороковые годы наибольшее внимание привлекали упругие фермы. В пятидесятых годах появились работы по оптимизации балок, рам и первые исследования об оптимальных пластинках и оболочках. В связи с широким применением в технике и строительстве композиционных материалов начали изучаться вопросы оптимизации внутренней структуры упругих тел. В настоящее время большая часть исследований по оптимизации конструкций или их элементов выполняется с использованием вычислительной техники.

1.1. Постановка задач оптимизации конструкций

Теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач. Это объясняется тем, что характеристики, определяющие нагружение и деформирование конструкции, и предъявляемые к ним требования, существенно отличаются при рассмотрении различных типов конструкций, свойств материала, условий эксплуатации.

Рассмотрим факторы, позволяющие осуществить постановку оптимизационных задач проектирования конструкций. Как известно, основными элементами объекта оптимизации являются внешнее воздействие, конструкция и материал.

Конструкция – механическая модель реальной конструкции, которую можно описать либо как стержневую систему или пластинку, либо как оболочку или объемное тело. Она характеризуется формой (конфигурация), условиями закрепления и распределением физических постоянных (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, постоянные пластичности, предельные значения характеристик материала и т.д.).

Материал – описание его поведения при нагружении может быть разным согласно определяющих соотношений (закон Гука, условия пластичности, условия затвердевания и другие возможные определяющие соотношения).

Если все параметры воздействия, конструкции и материала определены, то при расчете на прочность и жесткость следует определить напря- женно-деформированное состояние от внешних воздействий. Если же решается задача на устойчивость, то основной задачей является определение

5

значения внешнего воздействия при известных прочих параметрах. В такой постановке решение единственное и оптимизационной задачи нет.

Рассмотрим, в каких случаях возможны постановки оптимизационных задач.

Внешнее воздействие (нагрузки). Пусть место приложения нагрузки и направление нагружения фиксированы. Меняя величину нагрузки, т.е. закон ее распределения (снеговая нагрузка, нагрузка в полете и т.д.), будем получать различные результаты решения задачи. Но это означает, что для заданной конструкции можно найти множество сочетаний внешнего воздействия, влияющих на ее поведение. Выбрав какой-либо показатель качества конструкции, можно сформулировать оптимизационную задачу, решение которой не только опишет ее напряженно-деформированное состояние, но и позволит определить распределение внешней нагрузки, отвечающее этому показателю качества. Пример – такое распределение груза на пароме, самолете и других объектах, при котором его суммарный вес был бы максимальным при выполнении всех условий безопасности. Задачу можно расширить за счет регулирования распределения мест приложения нагрузки и ее направления.

Конструкция. Пусть, например, форма конструкции и условия ее закрепления фиксированы. Тогда результат расчета, например, напряжен- но-деформированного состояния будет зависеть от закона распределения физических констант материала конструкции. Выбрав какой-то критерий оптимальности, можно найти соответствующий вариант распределения свойств. Пример – многослойная конструкция или конструкция из композиционных материалов, когда конструкция и материал создаются одновременно. Круг задач значительно расширяется, если изменять форму конструкции и условия ее закрепления.

Таким образом, можно сформулировать две задачи оптимизации конструкции: по отношению к распределению внешних воздействий и по отношению к распределению геометрических и физических свойств тела. Первую называют поверочной задачей оптимизации, а вторую – проектной. В первой задаче известная конструкция проверяется на способность воспринимать различные комбинации внешнего воздействия при определенном показателе их качества, а во второй даются проектные рекомендации по композиции конструкции, чтобы при заданных внешних воздействиях она достигала желаемого состояния и отвечала определенным показателям качества.

Каждая из этих задач может быть поставлена для различных моделей материала (упругого, идеально-упругопластичного, упругопластичного с упрочнением, ползучего и т.д.), для различных видов внешнего воздействия (статического, динамического, повторно-переменного и др.) и условий расчета (прочность, жесткость, устойчивость, надежность).

6

Однако при разработке любой из рассматриваемых оптимизационных задач исследователю необходимо преодолеть несколько стадий, частично перекрывающих друг друга и не имеющих четких границ. В большинстве случаев ими будут:

1.Формулировка задачи, которая включает задание требований и целей, предъявляемых к конструкции или проекту в целом. Здесь же должны быть выделены или определены те факторы, которые необходимо учесть при выполнении работы и которые влияют на качество конструкции.

2.Математическая запись сформулированной задачи (этап формализации задачи или построение математической модели).

3.Отыскание решения с помощью построенной модели.

4.Анализ решения и уточнение модели в случае необходимости.

1.2. Формализация оптимизационных задач

Формализация означает математическое описание сформулированной задачи (построение математической модели) и включает в себя:

•введение обозначений для переменных;

•задание выражения, зависящего от переменных, которое в результате решения должно принимать минимальное или максимальное значение. Это выражение называют целевой функцией (функционалом) или критерием оптимальности;

•выделение множества допустимых значений переменных. При этом записываются связи между переменными в форме уравнений, характеризующих объект, и ограничения, наложенные на каждую из переменных и их комбинации.

Процесс оптимизации с использованием модели можно рассматривать как метод отыскания оптимального решения для реальной системы без непосредственного экспериментирования с самой системой, т.е. прямой путь, ведущий к реальному оптимуму, заменяется обходным, включающим построение и оптимизацию модели и преобразование полученных результатов в практически реализуемую форму.

Этап построения математической модели оптимизационной задачи требует глубокого понимания особенностей исследуемого объекта и зачастую представляет значительные трудности, особенно с точки зрения количественного описания потребностей и целей оптимизируемой системы.

Следует отметить, что при построении модели формируются логически обоснованные допущения, определяющие форму представления модели. При этом необходимо учитывать качество имеющейся информации о системе и метод реализации ее на ЭВМ. Каждый из этапов построения мо-

7

дели может быть представлен разными исследователями по-своему. Поэтому качество модели нельзя оценивать ни по структуре, ни по форме, а следует оценивать только по достоверности полученных на модели прогнозов поведения реальной системы.

Так как модель есть упрощенное представление реальной системы, то при построении модели необходимо учитывать уровень детализации: он должен соответствовать целям исследования и отвечать качеству доступной информации (принцип оптимальной неточности системы). Единственно надежными методами в этом случае являются метод постепенного совершенствования модели и метод оптимизации. Здесь уместно привести высказывание Беллмана: «Если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров. Вот уж поистине сказка про белого бычка. Если же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, мы построим слишком упрощенную модель, то вскоре обнаружим, что она не предсказывает дальнейший ход явления настолько, чтобы удовлетворить нашим требованиям». Иногда говорят, что на пути построения математической модели мы должны преодолеть западню переупрощения и болото переусложнения.

Рассмотрим этапы формализации.

Параметры управления и параметры состояния. Параметры, из-

менение которых при оптимальном проектировании ведет к изменению критерия качества, называют параметрами управления. При решении проектировочной задачи в качестве параметров оптимизации (управления) могут выступать:

а) группа геометрических параметров:

–форма поперечного сечения (например, для стержней);

–функции изменения размеров поперечного сечения (постоянная, переменная, задание характера изменения);

–положение в пространстве узлов ферм и рам;

–конфигурация элементов в конструкции (например, форма срединной поверхности арки или оболочки, форма ограничивающей поверхности конструкции);

–количество, размеры, форма и расположение ребер жесткости в тонкостенных конструкциях и др.;

б) группа характеристик материала:

–упругие модули;

–плотности материала;

–коэффициенты определяющих законов, описывающих пластическую деформацию, вязкоупругость или ползучесть;

8

–предел текучести и прочности;

–для композиционных материалов – относительное количество монослоев с заданными направлениями укладки, коэффициенты объемного армирования и т.д.;

–постоянные материала с точки зрения усталости.

Если параметры управления выбраны, т.е. выбраны геометрия, условия закрепления и материал конструкции и условия ее нагружения, то, решая обычную задачу определения напряженно-деформированного состояния, можно найти параметры состояния системы, например напряжения, которые определяют работоспособность конструкции

Критерии оптимальности конструкций. Они представляют собой те показатели качества конструкции, к оптимизации которых стремятся при проектировании конструкции.

В основе выбора критерия лежат:

1)назначение конструкции;

2)условия ее эксплуатации;

3)технологические возможности создания конструкции;

4)экономические возможности реализации проекта.

По сути дела, при оптимальном проектировании перед исследователем стоит одна из двух задач:

•либо сделать изделие, обладающее заданными свойствами и имеющее минимальную стоимость;

•либо сделать изделие, имеющее заданную стоимость и обладающее максимальными свойствами.

Критерий оптимальности является по своему смыслу экономической категорией и выходит за рамки чисто физических представлений. Выработка такого критерия – одна из самых сложных проблем, которая заключается в том, что взять в качестве критерия, а что будет играть роль ограничения. Например, в годы войны наше государство несло очень большие потери на море из-за авиации противника. Установка одного зенитного орудия на корабле требовала больших затрат и при этом одно орудие сбивало один самолет из двадцати пяти. Однако установка такого орудия даже

вэтих условиях уменьшала потери в 2,5 раза.

Приведем примеры наиболее распространенных критериев оптимальности в задачах оптимального проектирования конструкций.

Чаще всего критерии оптимальности записываются в виде функционалов. Наиболее распространенными из них являются [3]:

1. Вес – одна из основных характеристик конструкции и поэтому в большинстве работ по оптимальному проектированию этот функционал либо рассматривается в качестве оптимизируемого критерия, либо выступает как ограничение. Вес конструкции характеризует не только расход

9

материала, необходимого для ее создания, но и некоторые эксплуатационные свойства. Например, увеличение веса летательных аппаратов приводит не только к увеличению количества материала, идущего на изготовление аппарата, но и к большему расходу топлива при полете, ухудшению летных характеристик.

Вес – интегральная характеристика конструкции. Для сплошных однородных тел вес пропорционален занимаемому им объему:

I = γ ∫ dv ,

V

где γ – удельный вес материала. В этом случае для изменения веса конструкции требуется варьирование области интегрирования. Для тонкостенных конструкций из однородных материалов вес можно представить в виде интеграла от распределения толщин h:

I = γ ∫ f (h)ds .

s

Например, для сплошной пластинки, ограниченной контуром L в плоскости х1, х2, f = h(х1, х2), S – область, ограниченная контуром L. В этом случае уменьшить вес можно как изменением толщины при неизменной области S L, так и одновременным изменением толщины и формы области.

Часто в задачах оптимизации конструкций материал делится на конструктивный, количество и способ размещения которого по конструкции отыскивается, и неконструктивный, положение и количество которого задано. Например, при проектировании трехслойных пластин наиболее часто рассматриваются задачи отыскания оптимального распределения толщины внешних армирующих слоев при фиксированном среднем слое. Тогда функционал веса I = Ia + Ic (а – армирующий, с – средний) и минимизация

Iсводится к минимизации Ia .

Вслучае оптимизации неоднородных тел функционал веса зависит от структуры тела. Например, для композиционных армированных материалов

I = ∫ (γ a ha + γ chc )ds ,

s

где γ а , γ с – удельный вес соответственно армирующего и связующего ма-

териалов.

2. В ряде работ по теории оптимального проектирования в качестве критерия качества выбирают величину работы, производимой внешними

10